1 1 Cinemática no plano

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DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS
U1 - CINEMÁTICA PLANAR DE CORPOS RÍGIDOS
S1 - Cinemática no plano
1.1 Cinemática no plano
Corpo rígido
Em física, um corpo rígido é uma idealização de um corpo sólido considerado indeformável, ou com deformações desprezíveis em sua constituição.
Em outras palavras, se tomarmos distâncias entre dois pontos do corpo sólido, essas distâncias permanecerão constantes, independentemente das forças externas aplicadas a esse corpo e do stress causado pelas forças.
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Grandezas
Vetoriais:
São grandezas que necessitam de direção, sentido e magnitude para que a descrição seja completa.
Exemplos: posição, velocidade, aceleração, momento linear, etc.
Escalares:
São números reais, que não necessitam nem de direção, nem de sentido. O próprio valor já é suficiente para a completa descrição de grandezas físicas, utilizando unidades de medidas apropriadas.
Exemplos: massa, tempo, comprimento, etc.
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Posição
É função do tempo, da velocidade e da aceleração. 
É geralmente representada pela letra s, e pode ser obtida a partir da integral da velocidade, ou integrando duas vezes a fórmula da aceleração em função do tempo.
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Velocidade instantânea
Representada por 𝑣(𝑡), é dada pelo limite da velocidade média em um intervalo de tempo que tende a zero. 
Também é obtida através da derivada da posição em função do tempo.
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Aceleração instantânea
Representada por 𝑎(𝑡), é dada pelo limite da aceleração média em um intervalo de tempo que tende a zero. 
Também é obtida pela derivada da velocidade em função do tempo, ou a partir da derivada segunda da função posição.
 
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Posição instantânea
Representada por 𝑠(𝑡), "fornece a posição do ponto material em um determinado instante de tempo 𝑡". 
Quando a aceleração do ponto material é constante, a posição (função horária) é obtida pela fórmula do movimento uniformemente acelerado 
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Coordenada de posição do ponto
O ponto P se move no eixo coordenada S e a localização do ponto é dado pelo vetor r, que chamamos de coordenada de posição do ponto.
O comprimento do vetor r nada mais é do que o distância do ponto em relação à origem.
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Deslocamento de corpo rígido em sistema de referências
Vetores são representados algebricamente por suas componentes/coordenadas no plano ou no espaço. No plano, o vetor é representado pela dupla (x,y), que são suas coordenadas.
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Representação de vetores
Para representar vetores, é necessário ter uma base. 
No Plano Euclidiano temos a conhecida base canônica, representada pelas letras i e j, cujas coordenadas são (1,0) e (0,1). 
Os vetores i e j são chamados de versores, pois indicam sentido e direção de vetores, e juntos, formando uma base, podem ser utilizados para descrever qualquer vetor no plano.
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Representação de vetores em três dimensões
Os versores da base canônica em três dimensões, ou espaço euclidiano tridimensional, são . 
O vetor pode ser representado na base canônica do espaço euclidiano da seguinte forma: 
 
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Seja a seguinte função vetorial, , que representa o vetor posição do centro de massa (CM) de um corpo rígido no espaço de três dimensões como função do tempo. 
Encontre a função que descreve a velocidade desse ponto do corpo rígido.
 Resolução:
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Referenciais
Referenciais inerciais
Se comportam como corpos em equilíbrio estático, ou em equilíbrio cinético. 
Referenciais não inerciais
Se movem com aceleração, constante ou não. 
Quando o referencial é inercial e se encontra em equilíbrio estático, o movimento dos corpos rígidos é chamado movimento absoluto, pois não há efeito de velocidade relativa entre observador e corpo rígido observado (cada um constituindo individualmente um referencial).
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Sistema de referência em translação
Os pontos A e B se deslocam no espaço
Os vetores rA e rB definem as suas posições em qualquer instante em relação ao sistema de referências fixo Oxyz.
Consideramos o ponto A como sendo o centro do sistema de referência móvel Ax’y’z’
O vetor rB/A que une os pontos A e B, define a posição de B em relação a A
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Velocidade e aceleração
Derivando em relação a t, no sistema de fixo de referência
Derivando novamente em relação a t
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No caso do sistema referencial inercial em movimento relativo
As equações de movimento obedecem as chamadas transformações de Galileo. 
No exemplo da figura existe um movimento uniforme na direção do eixo x. 
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No caso do sistema referencial inercial em movimento relativo
No referencial S, algum ponto de um corpo rígido possui coordenadas (x,y,z,t ). Para o referencial S' esse corpo rígido teria as coordenadas (x ',y ',z',t ‘).
Transformações de Galileo:
						(x ',y ',z',t ') = (x − vt,y,z,t )
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Lei da composição de movimentos
Derivando a coordenada X’ em relação ao tempo, obtemos:
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Movimento de rotação
Caso o referencial S' girar com velocidade angular , com f representando a frequência e T o período da rotação. A unidade relevante é radianos por segundo.
Seja o vetor posição desse referencial em relação ao referencial S estático.
Nesse caso, a posição de um objeto qualquer no referencial S está relacionada com a posição do objeto no referencial S’ pela equação a seguir:
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Note que o referencial S' está girando, de modo que o vetor não é constante.
Para um observador sobre esse referencial, o referencial S está em movimento circular (lembre-se, se você começar a girar, terá a impressão de que o ambiente à sua volta estará girando). Essa relação é bem descrita por senos e cossenos da seguinte maneira:
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Derivando em relação ao tempo, temos:
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Movimento de translação e rotação juntos
Para calcular aceleração:
Onde:
 = aceleração angular
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Problemas
1. Um engenheiro precisa realizar análises sobre o movimento de um corpo rígido e apresentar essas análises em um relatório para seu gestor. O corpo rígido possui um ponto A e um ponto B, e o vetor posição que liga os dois pontos é e sua velocidade angular descrita pelo vetor , onde as unidades de grandeza se encontram no sistema internacional (SI).
Selecione a alternativa que contém o vetor velocidade (tangencial) do
corpo rígido.
a) (1;4;3).
b) (1;2;1).
c) (0;–1;0).
d) (2;0;5).
e) (3;–1;2).
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Resolução
Vetor velocidade tangencial da trajetória de um corpo rígido que possui vetor posição R = (Rx , Ry e Rz), e para frequência angular , é calculado da seguinte maneira:
(alternativa C)
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Problemas
1. Um engenheiro precisa realizar análises sobre o movimento de um corpo rígido e apresentar essas análises em um relatório para seu gestor. O corpo rígido possui um ponto A e um ponto B, e o vetor posição que liga os dois pontos é e sua velocidade angular descrita pelo vetor , onde as unidades de grandeza se encontram no sistema internacional (SI).
Selecione a alternativa que contém o vetor velocidade (tangencial) do
corpo rígido.
a) (1;4;3).
b) (1;2;1).
c) (0;–1;0).
d) (2;0;5).
e) (3;–1;2).
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Problemas
A figura mostra um disco A que gira com velocidade angular constante. Não há deslizamento entre o disco A, o anel C e o disco B. Como mostra na figura, os discos A e B possuem o mesmo raio R R A B = , e o disco C possui raio da abertura Rc e uma pequena espessura e. Determine a relação entre as três velocidades angulares ωA ,ωB , e ωC .
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Resolução
Sabemos que quando discos e anéis estão girando em contato, neste ponto a velocidade tangencial dos corpos rígidos são iguais. Como temos a relação , se igualarmos essa relação paraos dois corpos rígidos em contato, para o disco A e para o anel C, temos:
Como: 
Entre C e B:
Como: 
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Resolução
Sabemos que , mas qual é maior ou ?
Dividindo a relação por :
Como