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ENGENHARIA DE PETRÓLEO E GÁS 
 
ESCOAMENTO MULTIFÁSICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1 
 
 
 
 
 
 
 
LUIZ CESAR COUTINHO JUNIOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
2017 
Exercício 1 
Considere o poço vertical de óleo e os dados abaixo. 
Dados Fornecidos 
Qo 
(STB/dia) 
1000 
 
 
 
GOR 
(SCF/STB) 
360 
 
 
 
D 
(in) 
6 ou 
D 
(ft) 
0,5 
 
Dados Fornecidos em uma dada profundidade 
p 
(psia) 
1700 
o 
(lbm/ft3) 
47,61 
σo 
(dyna/cm) 
8,41 
T 
(oF) 
180 
g 
(lbm/ft3) 
5,88 
ε 
(ft) 
0,00006 
Bo 
(bbl/STB) 
1,197 
L 
(-) 
0,507 
 
 
Bg 
(ft3/SCF) 
0,0091 
o 
(cP) 
0,97 
 
 
Rs 
(SCF/STB) 
281 
g 
(cP) 
0,016 
 
 
 
Calcule o gradiente de pressão utilizando o método de Duns & Ros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da área: 
 
𝐴 =
𝜋𝐷2
4
 
 
Onde: 
𝐷 → 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑢𝑏𝑜, 𝑒𝑚 𝑓𝑡 
𝐴 → á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑡𝑢𝑏𝑜, 𝑒𝑚 𝑓𝑡2 
 
𝐴 =
𝜋 × (0,5)2
4
 
 
𝐴 = 0,1963𝑓𝑡2 
 
Cálculo das velocidades superficiais: 
 
Cálculo da velocidade superficial do líquido: 
 
𝑣𝑆𝐿 = 6,5 × 10
−5 ×
𝑞𝑜,𝑠𝑐 × 𝐵𝑜
𝐴
 
 
Onde: 
 
𝑣𝑆𝐿 → 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜, 𝑒𝑚 𝑓𝑡 𝑠⁄ 
𝑞𝑜,𝑠𝑐 → 𝑣𝑎𝑧ã𝑜, 𝑒𝑚 𝑆𝑇𝐵/𝑑𝑖𝑎𝑠 
𝐵𝑜 → 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 ó𝑙𝑒𝑜, 𝑒𝑚 𝑏𝑏𝑙/𝑆𝑇𝐵 
 
𝑣𝑆𝐿 = 6,5 × 10
−5 ×
1000 × 1,197
0,1963
 
 
𝑣𝑆𝐿 = 0,3963 𝑓𝑡/𝑠 
 
Cálculo da velocidade superficial do gás: 
 
𝑣𝑆𝐺 = 1,16 × 10
−5 ×
𝐵𝑜 × [𝐺𝑂𝑅 − 𝑅𝑠] × 𝐵𝑔
𝐴
 
 
Onde: 
 
𝑣𝑆𝐺 → 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑔á𝑠, 𝑒𝑚 𝑓𝑡 𝑠⁄ 
𝐵𝑔 → 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑔á𝑠, 𝑒𝑚 𝑓𝑡
3 𝑆𝐶𝐹⁄ 
 
𝑣𝑆𝐺 = 1,16 × 10
−5 ×
1000 × [360 − 281] × 0,0091
0,1963
 
 
𝑣𝑆𝐺 = 0,0425 𝑓𝑡 𝑠⁄ 
 
Cálculo da velocidade média: 
 
𝑣𝑚 = 𝑣𝑆𝐿 + 𝑣𝑆𝐺 
 
Onde: 
𝑣𝑚 → 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚é𝑑𝑖𝑎, 𝑒𝑚 𝑓𝑡 𝑠⁄ 
 
𝑣𝑚 = 0,3963 + 0,0425 
𝑣𝑚 = 0,4387 𝑓𝑡 𝑠⁄ 
 
Cálculo dos números adimensionais: 
 
 Número da velocidade de líquido: 
 
𝑁𝐿𝑣 = 1,938 (𝑣𝑆𝐿) √
𝜌𝐿
𝜎𝐿
4
 
Onde: 
𝑁𝐿𝑣 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 
𝜌𝐿 → 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑜 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜, 𝑒𝑚 𝑙𝑏𝑚 𝑓𝑡
3⁄ 
𝜎𝐿 → 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓𝑎𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑒𝑚 (𝑑𝑦𝑛𝑎/𝑐𝑚) 
 
𝑁𝐿𝑣 = 1,938 (0,3963) √
47,61
8,41
4
 
 
𝑁𝐿𝑣 = 1,1846 
 
 Número da velocidade de gás: 
 
𝑁𝐺𝑣 = 1,938 (𝑣𝑆𝐺) √
𝜌𝐿
𝜎𝐿
4
 
 
Onde: 
𝑁𝐺𝑣 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑔á𝑠 
 
𝑁𝐺𝑣 = 1,938 (0,0425) √
47,61
8,41
4
 
 
𝑁𝐺𝑣 = 0,1270 
 
 Número do diâmetro do tubo: 
 
𝑁𝑑 = 10,07 (𝑑) √
𝜌𝐿
𝜎𝐿
 
 
Onde: 
𝑁𝑑 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑢𝑏𝑜 
𝑑 → 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑢𝑏𝑜, 𝑒𝑚 𝑖𝑛 
 
𝑁𝑑 = 10,07 (6) √
47,61
8,41
 
 
𝑁𝑑 = 143,76 
 
 Número da viscosidade do liquido: 
 
𝑁𝐿 = 0,15726 (𝜇𝐿) √
1
𝜌𝐿 × 𝜎𝐿
3
4
 
 
Onde: 
𝑁𝐿 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 
𝜇𝐿 → 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜, 𝑒𝑚 𝑐𝑃 
 
𝑁𝐿 = 0,15726 (0,97) √
1
47,61 × 8,413
4
 
 
𝑁𝐿 = 0,0118 
 
Observando em qual padrão de fluxo se encontra o escoamento: 
 
Tendo os valores de 𝑁𝐿𝑉 e 𝑁𝐺𝑉 e vendo no gráfico abaixo, 
 
 
 
e com os valores de 𝑁𝐿𝑣 = 1,1846 e 𝑁𝐺𝑣 = 0,1270: 
 
 
 
Verifica-se que o padrão de fluxo do escoamento é bubble flow. 
 
Cálculo da correlação de parâmetros 
 
Para 𝑁𝑑 = 143,76 e de acordo com o gráfico abaixo, encontra-se os valores para 𝐿1 e 𝐿2. 
 
 
 
Verifica-se que 𝐿1 = 1,0 e 𝐿2 = 1,1, a partir da visualização no gráfico. 
 
Para padrão de bolhas, é necessário que 𝑁𝐺𝑉 < 𝑁𝐺𝑉 𝑏𝑜𝑙ℎ𝑎→𝑔𝑜𝑙𝑓𝑎𝑑𝑎. Verificando: 
 
𝑁𝐺𝑉 𝑏𝑜𝑙ℎ𝑎→𝑔𝑜𝑙𝑓𝑎𝑑𝑎=𝐿1 + (𝐿2 × 𝑁𝐿𝑉) 
 
𝑁𝐺𝑉 𝑏𝑜𝑙ℎ𝑎→𝑔𝑜𝑙𝑓𝑎𝑑𝑎=1,0 + (1,1 × 1,1846) 
𝑁𝐺𝑉 𝑏𝑜𝑙ℎ𝑎→𝑔𝑜𝑙𝑓𝑎𝑑𝑎=2,30 
Como 𝑁𝐺𝑣 = 0,1270 e 𝑁𝐺𝑉 𝑏𝑜𝑙ℎ𝑎→𝑔𝑜𝑙𝑓𝑎𝑑𝑎=2,30, verificamos que 𝑁𝐺𝑉 < 𝑁𝐺𝑉 𝑏𝑜𝑙ℎ𝑎→𝑔𝑜𝑙𝑓𝑎𝑑𝑎 . 
Assim, ocorre o padrão de bolhas. 
 
Determinando o hold-up de líquido: 
 
Para determinar o 𝐻𝐿, precisamos calcular o 𝑆 (para isso é necessário calcular e 
determinar 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3, 𝐹4 e 𝐹3
′) para em seguida calcularmos 𝑣𝑠 e, logo após, 𝐻𝐿. 
 
Calculando a velocidade de escorregamento: 
 
𝑆 = 𝐹1 + (𝐹2 × 𝑁𝐿𝑉) + [𝐹3
′ (
𝑁𝐺𝑉
1 + 𝑁𝐿𝑉
)
2
] 
 
Onde: 
𝑆 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑜𝑢 𝑠𝑙𝑖𝑝) 
 
Para podermos obter os valores de 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3, 𝐹4 e 𝐹3
′, temos que observar no gráfico 
abaixo o valor de 𝑁𝐿. 
 
 
 
Sendo 𝑁𝐿 = 0,0118: 
 
 
Temos que: 𝐹1 = 1,2; 𝐹2 = 0,24; 𝐹3 = 1,3; 𝐹4 = 26,5 
 
Para o cálculo de 𝑆, precisamos ainda calcular 𝐹3
′: 
 
𝐹3
′ = 𝐹3 −
𝐹4
𝑁𝑑
 
 
𝐹3
′ = 1,3 −
26,5
143,76
 
 
𝐹3
′ = 1,116 
 
Assim: 
 
𝑆 = 1,2 + (0,24 × 1,1846) + [1,116 (
0,1270
1 + 1,1846
)
2
] 
 
𝑆 = 1,488 
 
Como 
 
𝑆 = 1,938 × (𝑣𝑆) × √
𝜌𝐿
𝜎𝐿
4
 
 
Então: 
 
1,488 = 1,938 × (𝑣𝑆) × √
47,61
8,41
4
 
 
Assim, 𝑣𝑆 = 0,498 𝑓𝑡/𝑠. 
 
Com os dados calculados, podemos enfim calcular o hold-up de líquido com a equação: 
 
𝐻𝐿 =
𝑣𝑆 − 𝑣𝑚 + √(𝑣𝑚 − 𝑣𝑆)
2 + (4 × 𝑣𝑆 × 𝑣𝑆𝐿)
2 𝑣𝑆
 
 
𝐻𝐿 =
0,498 − 0,4387 + √(0,4387 − 0,498)2 + (4 × 0,498 × 0,3963)
20,498
 
 
𝐻𝐿 = 0,9535 
 
Lembrando que o valor de 𝐻𝐿 nunca ultrapassa o valor 1. 
 
 
 
Determinação do fator de atrito: 
 
Para calcular 𝑓, precisamos calcular 𝑓1, 𝑓2 e 𝑓3, o Número de Reinolds e verificar o 
Diagrama de Moody. 
 
 Calculando 𝑓1: 
 
Este valor será encontrado no Diagrama de Moody. Para isso, precisamos calcular 𝑁𝑅𝑒 e 
𝜀
𝐷⁄ . 
 
𝑁𝑅𝑒 = 124
𝜌𝐿 × 𝑣𝑆𝐿 × 𝐷
𝜇𝐿
 
Onde: 
𝑁𝑅𝑒 → 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑖𝑛𝑜𝑙𝑑𝑠 
𝐷 → 𝐷𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑢𝑏𝑜, 𝑒𝑚 𝑖𝑛 
 
𝑁𝑅𝑒 = 124
47,61 × 0,3963 × 6
0,97
 
 
𝑁𝑅𝑒 = 1,45 × 10
4 
 
𝜀
𝐷
= 
 
Onde: 
𝜀 → 𝑟𝑢𝑔𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎, 𝑒𝑚 𝑓𝑡 
𝐷 → 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑢𝑏𝑜, 𝑒𝑚 𝑓𝑡 
 
𝜀
𝐷
=
0,00006
0,5
 
 
𝜀
𝐷
= 0,00012 = 1,2 × 10−4 
 
Com os valores de 𝑁𝑅𝑒 e 
𝜀
𝐷⁄ , visualizamos o valor de 𝑓1 no Diagrama de Moody: 
 
 
 
Com 𝑁𝑅𝑒 = 1,45 × 10
4 e 
𝜀
𝐷
= 0,00012 = 1,2 × 10−4, temos: 
 
 
 
Assim, encontramos o valor de 𝑓1 = 0,0285 
 
 Calculando 𝑓3: 
 
𝑓3 = 1 +
𝑓1
4
 √
𝑣𝑆𝐺
50 𝑣𝑆𝐿
 
 
𝑓3 = 1 +
0,0285
4
 √
0,0425
50 × 0,3963
 
 
𝑓3 = 1,00033 
 
 Calculando 𝑓2: 
 
Para calcular 𝑓2, precisamos calcular 
𝑓1×𝑣𝑆𝐺×𝑁𝐷
𝑣𝑆𝐿
 e observar o valor de 𝑓2 no gráfico. 
 
𝑓1 × 𝑣𝑆𝐺 × (𝑁𝐷
2/3)
𝑣𝑆𝐿
 
 
0,0285 × 0,0425 × (143,762/3)
0,3963
 
 
Com isso, 
 
𝑓1 × 𝑣𝑆𝐺 × (𝑁𝐷
2/3)
𝑣𝑆𝐿
= 0,0838 = 8,4 × 10−2 
 
Observando o gráfico: 
 
 
 
Assim, encontramos o valor de 𝑓2 de acordo com a linha vertical. 
 
 
 
𝑓2 = 1,0 
 
 Calculando 𝑓: 
 
𝑓 = 𝑓1 ×
𝑓2
𝑓3
 
Onde: 
𝑓 → 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 
 
𝑓 = 0,0285 ×
1,0
1,00033
 
 
𝑓 = 0,0285 
 
O componente de energia cinética é considerado desprezível para o escoamento no 
padrão de fluxo de bolha, segundo Duns & Ros. 
 
Determinação do gradiente de pressão: 
 
(
𝑑𝑝
𝑑𝑍
) = (
6 × 𝑓 × 𝜌𝐿 × (𝑣𝑆𝐿
2)
𝑔𝑐 × 𝑑
+ 𝜌𝑆) (
1
144
) 
 
Onde: 
(
𝑑𝑝
𝑑𝑍
) → 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑛𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙, 𝑒𝑚 𝑝𝑠𝑖𝑎 𝑓𝑡⁄ 
𝑔𝑐 → 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
𝑔𝑐 → 32,17
𝑙𝑏𝑚 𝑓𝑡 𝑠2⁄
𝑙𝑏𝑓
 
𝐷 → 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑢𝑏𝑜, 𝑒𝑚 𝑖𝑛 
 
Antes, precisamos calcular 𝜌𝑆 : 
 
𝜌𝑆 = (𝐻𝐿 × 𝜌𝐿) + [(1 − 𝐻𝐿) × 𝜌𝐺] 
 
𝜌𝑆 = (0,9535 × 47,61) + [(1 − 0,9535) × 5,88] 
 
𝜌𝑆 = 45,67 
 
Sendo: 
 
(
𝑑𝑝
𝑑𝑍
) = (
6 × 𝑓 × 𝜌𝐿 × (𝑣𝑆𝐿
2)
𝑔𝑐 × 𝑑
+ 𝜌𝑆) (
1
144) 
 
Então: 
 
(
𝑑𝑝
𝑑𝑍
) = (
6 × 0,0285 × 47,61 × (0,39632)
32,17 × 6
+ 45,67) (
1
144
) 
Com isso: 
 
(
𝑑𝑝
𝑑𝑍
) = 0,3172 𝑝𝑠𝑖𝑎 𝑓𝑡⁄