Atividade 3 - Cálculo Numérico Computacional

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema 
Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de 
Equações Unidade 01 
Disciplina (s) Cálculo Numérico Computacional 
Data da 
última 
atualização 
03/02/2020 
Aluno Matheus Magalhães Caxias Matricula 2019202063 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos 
Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear). 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1). 
II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos 
Descrição Quantidade 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
Computador ou Notebook 1 
III. Introdução 
Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem 
soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se 
aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais 
acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra. 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
▪ Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. (
Capstone) 
▪ Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
▪ Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
 
 
 V. Experimento 
ETAPA 1: Método Gráfico 
 
 
 
 
 
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 20𝑥 + 30. 
 
 
O resultado apresentado no experimento denota 3 raízes apresentadas na planilha a saber: [-5,-4] , [1,2] e [4,5] 
sendo a primeira negativa e a segunda e terceira positivas, ou seja o eixo x estaria sendo tocado nesses 3 
pontos do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra 
(https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥). 
 
 
 
 
ETAPA 2: Método da Bisseção 
 
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta (𝑥4) aproximação 
da raiz positiva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10. Para tanto, isole a raiz num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 naturais) de 
comprimento 1, isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1. 
 
𝑥4 𝑓(𝑥4) |𝑥4 − 𝑥3| 
3,15625 -0,0380859375 0,198242 
 
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima (𝑥29) aproximação da raiz. 
 
𝑥29 𝑓(𝑥29) |𝑥29 − 𝑥28| 
3,16227766033261 1,03875E-09 5,8902E-09 
 
5. Calcule √10 com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com 𝑥29. 
 
O cálculo apresenta 
 
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎: √10=3,1622776602 
 
𝐸 = 3,1622776602 −3,16227766033262 = -0,00000000013262 (-0,0000000042%) 
https://www.geogebra.org/
 
 
 
 
 
A correspondência é quase exata 
 
ETAPA 3: Método de Newton 
 
6. No Excel, isolando a raiz de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 inteiros) de comprimento 1, 
isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1 e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo: 
 
 
 
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas 
respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é 𝜖 ≤ 10−9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 4: Método da Iteração Linear 
 
 
8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos⁡(𝑥) e 𝑥0 = 0,5. Justificando 
sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração 𝐹(𝑥)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos⁡(𝑥), 𝑥0 = 0,5 e uma função de iteração 𝐹(𝑥) convenientemente escolhida. No Excel, 
levando em consideração a sequência de raízes 𝑥𝑛, complete a tabela abaixo: 
 
 
 
 
10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas 
para a raiz encontrada (𝑥32). 
 
 
 
 
 
 
 
 
VI. Avaliação do experimento 
Encontrara solução de uma equação pode se r um processo complicado, principalmente quando tentamos 
resolver de forma analítica. Este é um dos motivos que incentivaram os matemáticos a criarem métodos 
diferenciados para a resolução de forma numérica. Existem vários métodos numéricos para a resolução de 
equações, os quais procuraram encontrar uma solução aproximada para o problema. O experimento 
demonstra que os métodos possuem eficácia na análise, porém também possuem erros e devem ser 
verificados atentamente na definição do processo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Referências 
BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; 
2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987