Geometria plana_Notas para aula_229_03_2021

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Geometria plana – Notas introdutórias da disciplina de Geometria Euclidiana - 2021 
1. Os primeiros conceitos 
Ponto, reta e plano 
Tal como as noções de conjunto, elemento e a noça de pertença aceites sem definição 
na Teoria dos Conjuntos, os conceitos de ponto, reta e plano também são aceitos sem 
definição na Geometria. Por isso, são considerados conceitos primitivos. 
Representação desses conceitos primitivos 
Pontos 
Notação 
Letras minúsculas do nosso alfabeto 
português. A, B, C, 
Reta 
Letras minúsculas do nosso alfabeto 
português: a, b, c, ... 
 
Plano 
 
Letras minúsculas do alfabeto grego: 
α, β, π, ... 
2. Além dos conceitos primitivos, aceitos sem definição, há propriedades geométricas 
aceitas sem demonstração. Tais propriedades são chamadas postulados ou axiomas. 
Por exemplo, um dos postulados da Geometria afirma que: 
Dados dois pontos distintos A e B, existe uma única reta que os contém. 
O axioma acima na forma informal seria “Por dois pontos distintos A e B passa uma só 
reta”. 
 
Essa reta é denotada pelo símbolo 𝐴𝐵 ⃡ , que se 
lê: “reta AB”. 
 Subconjuntos da reta 
Representação gráfica Notação 
Semirreta 𝐴𝐵 lê-se: semirreta AB. O ponto 
A é a origem da semirreta. 
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Segmento de reta 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
lê-se: segmento de reta AB 
Observação importante 
o A medida de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ será denotada por AB. Desse modo, se 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ mede 4 cm, 
escrevemos: AB = 4 cm. 
 
AB = 4 cm 
o Dois segmentos que possuem medidas iguais são chamados congruentes. Para 
dizer que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ são segmentos congruentes escrevemos: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 
 
 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅  AB = CD 
 
3. Euclides e Os Elementos 
Euclides, Arquimedes e Apolônio são considerados os três maiores 
matemáticos da Antiguidade. 
Euclides (330 – 275 a.C.) foi autor de muitos trabalhos entre os quais se destaca 
os “Elementos”. Esse trabalho (os “Elementos”) contém uma exposição sistemática de 
proposições da Geometria elementar e Teoria dos números. Foi adoptado como livro 
texto pelos gregos para o estudo da matemática pura. 
Os “Elementos” não são uma obra original, mas uma compilação do 
conhecimento matemático da época. Contudo, isso não deslustra Euclides, 
aliás,segundo Domingues (1994), essa era a sua proposta. 
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O que deve ser levado em conta é o extremo brilhantismo com que 
Euclides levou a termo essa tarefa. De fato, além de ofuscarem 
completamente todas as obras similares anteriores, fazendo com que não 
restasse nenhum vestígio delas, os Elementos foram considerados, por 
mais de dois milénios, o modelo por excelência de sistema dedutivo 
(DOMINGUES, 1997, p. 8). 
Portanto, a importância desse trabalho está, acima de tudo, no método empregue 
para a apresentação desse conhecimento: o uso contínuo e rigoroso da lógica na forma 
dos raciocínios, ou seja, o método axiomático e dedutivo. Euclides fixou dez 
afirmações primitivas, não demonstradas e consideradas auto-evidentes para a 
demonstração dos resultados da geometria (TENÓRIO, 1994, p. 19). 
Tarefa: 
a. Procure saber o que os gregos da antiguidade entendiam por “elementos”. 
b. A maioria dos filósofos e matemáticos gregos fazia distinção entre axioma 
e postulado. Apresente tal distinção. 
c. Os Elementos de Euclides assentam-se logicamente em cinco axiomas e 
cinco postulados. Quais são esses axiomas e esses postulados? 
4. Apesar do seu peso magistral por muito tempo, Os elementos de Euclides não 
escaparam o crivo dos matemáticos posteriores, o que lhes valeram certos reparos. 
Procure obter algumas das imperfeições que se constataram dos Elemtos de Euclides. 
5. Os Fundamentos da Geometria (David Hilbert, 1862 – 1942) 
Considerado um dos clássicos da Matemática, Hilbert teve um papel preponderante 
na mudança da concepção da geometria. 
Tarefa: Procure obter a lista de axiomas propostos por Hilbert. 
Abordagem axiomática (ou dedutiva) da Geometria – 2021 
Em que consiste? 
- Consiste em iniciar o estudo da Geometria com certas afirmações chamadas “axiomas” 
ou “postulados”, as quais aceitamos sem justificá-las , e deduzir, através das demonstrações, outras 
afirmações, dentre as quais os teoremas e proposições. 
 
O que é indispensável na disciplina de Geometria Euclidiana – 2021 – 2º semetre. 
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1. Estudo dos triângulos 
1.1 Definição e elementos. 
1.2 Classificações dos triângulos 
1.3 Outros elementos de um triângulo – altura, mediana e bissetriz de um triângulo. Quantas 
medianas, bissetrizes e alturas tem um triângulo? 
1.4 Propriedades: a soma dos ângulos internos (sua demonstração); a medida de um ângulo 
externo (sua demonstração). 
1.5 Os critérios de congruência dos triângulos. 
1.6 Triângulo isósceles e suas propriedades. 
2. Quadriláteros 
- Definição, elementos. Quadriláteros côncavo e quadrilátero convexo 
- Soma de ângulos no quadrilátero (ângulos internos; ângulos externos) 
- Classificação dos quadriláteros (as principais maneiras de classificar os quadriláteros) 
 Os trapézios (classificação e propriedades) 
 Os paralelogramos ( classificação e propriedades) 
3. Congruência de triângulos 
 Aplicação dos casos de congruência de triângulos e das propriedades do triângulo 
isósceles na demonstração de propriedades 
 Desigualdades no triângulo 
 Mediana relativa a hipotenusa de um triângulo retângulo 
4. Base média e pontos notáveis 
 A base média de um triângulo 
 Circuncentro 
 Ortocentro 
 Baricentro 
5. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero convexo 
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6. Contruções geométricas fundamentais: 
 Perpendicular a uma reta 
 Mediatriz de um segmento 
 Ângulos congruentes e retas paralelas 
 Bissetriz de um ângulo 
 Circunferências circunscritas e inscritas num triângulo 
7. O Teorema Fundamental da Proporcionalidade e o Teorema de Tales 
 Consequência do teorema de Tales (Teorema da bissetriz interna e Teorema da 
bissetriz externa) 
8. Semelhança 
 Semelhança de triângulos 
 Teorema fundamental 
 Casos de semelhança de triângulos 
9. Circunferência e Círculo 
 Elementos e partes da circunferência e do círculo 
 Medida de um arco de circunferência 
 Teorema sobre a reta perpendicular a uma corda conduzida pelo centro da 
circunferência 
 Ângulos relacionados com arcos (ângulo central, ângulo inscrito, ângulos 
excêntricos) 
 Quadrilátero inscrito