Forma trigonométrica de números complexos-convertido (1)

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FORMA TRIGONOMÉTRICA 
DE NÚMEROS COMPLEXOS
• O número complexo é representado por: z= (x,y)= x + i y
Também da seguinte forma: z= rcos + i rsen ou z= r (cos + i sen )
• → é o ângulo definido pelo eixo x, chamado de argumento do número complexo z=(x,y), tomado
sempre no sentido anti- horário.
• R=√x²+y² → chamado módulo do número complexo, também indicado por |z|
• R(cos + i sen ) → é chamada forma trigonométrica do número complexo (x,y)
• Exemplo: A forma trigonométrica do número complexo 1+ i:
-Resolução:
x=1 e y= 1
R=√1²+1² ou |z|= √1²+1² 
R=√2 |z|= √2 
cos = 
x
|z|
→ cos = 
1
√2
→ 
1
√2
. 
√2
√2
= 
√2
2
45°→ = 
π
4
sen = 
y
|z|
→ sen = 
1
√2
→ 
√2
2
portanto a fórmula trigonométrica é z= √2 (cos 
π
4
+ isen
π
4
)
1° FÓRMULA DE MOIVRE
• Quando os números complexos z1= (x1, y1) e z2= (x2, y2) são escritos na forma trigonométrica, isto é: 
Z1= r1 (cos 1+ sen 1) e z2= r2 (cos 2 + sen 2), o produto z1z2 fica assim:
Z1Z2 = r1 (cos 1 + i sen 1 ) r2 ( cos 2 +i sen 2 ) 
= r1r 2 [(cos 1. cos 2 - sen 1. sen 2) + i(sen 1. cos 2 + cos 1. sen 2)
= r1r 2 [ cos( 1 + 2) + i sen ( 1 + 2)].
• Ou seja , temos:
r1 (cos 1 + i sen 1 ) r2 ( cos 2 + i sen 2 ) = r1r 2 [ cos( 1 + 2) + i sen ( 1 + 2)]
• Se z1 = z2 = r (cos + i sen ) está igualdade se reduz- se a: 
[r (cos + i sen )]² = r² (cos2 + i sen2 ). 
A partir da última igualdade, pode-se mostrar que: 
[r (cos + i sen )] n = r n (cos n + i sen n ). 
Para todo número n > 1. Em particular, quando r =1 , obtemos a identidade:
(cos + i sen )n = cos n + i sen n
ou
Zn =|z|
n (cos(n )+ i se(n ))
Conhecida como Fórmula de Moivre
Exemplo: Calcule (1+√3i)6
Resolução: 
- Primeiro consideremos 1+√3i para depois calcularmos z6 , para aplicar a fórmula de Moivre, precisamos
calcular o módulo e o argumento de z.
|z|=√ 1²+(√3)² → |z|= 2
cos = 
x
|z|
→ 
1
2
60°→ =
π
3
sen = 
y
|z|
→ 
√3
2
Calculando: z6 
Zn =|z|
n (cos(n )+ i se(n )) → z6= 26 (cos(6.
π
3 ) + i sen (6. 
π
3 )
→ z6 = 64 (cos(2π)+ i sen (2π)
→ z6 = 64 (1+ i.0) forma trigonométrica
→ z6 = 64
forma algébrica
A fórmula de Moivre também é apropriada para dedução de fórmulas trigonométricas que permitem 
expressar cos n e sen n em função de cos e sen . Por exemplo fazendo n=3 na fórmula de Moivre , 
obtemos: 
(cos + sen ) ³ = cos3 + sen3 ) 
Mas cos n + i sen n também pode ser visto como um número complexo na forma normal x+iy. Assim 
podemos efetuar as contas e obter
(cos + sen ) ³ = cos³ - 3cos sen² + i (- sen³ + 3cos sen )
Logo,
cos3 + i sen3 = cos³ -3cos sen² + i (- sem³ + 3cos² sen )
ou (cos3 , sen3 )= (cos³ -3cos sen² , -sen³ + 3cos² sen )
Pela definição 7.1 da ultima igualdade temos: 
cos3 = cos³ - 3 cos sen e sen3 = -sen³ + 3cos² sen