EM2 MAT 21 2011

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FORMA TRIGONOMÉTRICA(POLAR)
 DE UM COMPLEXO
Considere um complexo não nulo na forma z = a + bi com a e b reais, de módulo e argumento θ, representado na figura.
 z = a + bi
 P é chamado de afixo de z
 |z| = distância de P até a origem
 = argumento
ρ = | z | = 
cos = a = cos |z|
sen = b = sen |z|
z = a + bi
z = cos |z| + sen |z| i
z = |z| ( cos + i sen ) Fazendo |z| = 
 
 z = ( cos + i sen ) ou 
 
 z = cis 
 (
 
Observações: 
Conjugado na forma trigonométrica
 
)
Ex1 Escreva o complexo z = + i
Cálculo do módulo de z
 
 ρ = cos = 
 ρ = sen = 
 ρ = cos = 
 ρ = sen = 
 ρ = 2 
 Concluímos que
 = 30º
Logo podemos escrever o complexo como 
 z = 2 ( cos 30º + i sen 30º) 
ou ainda 
 z = 2 cis 30º
Representação gráfica
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1) A forma trigonométrica do número complexo z = 4 + 4i é:
a) 4 (cos 30° + i sen 30°)
b) 8 (cos 45° + i sen 45°)
c) 8 (cos 60° + i sen 60°)
d) 8 (cos 120° + i sen 120°)
e) 8 (cos 150° + i sen 150°)
2.(UNIRIO) Se Z1 e Z2 são números complexos representados pelos seus afixos no Plano Argand – Gauss, ao lado, então Z3 = Z1 . Z2 escrito na forma trigonométrica é:
1. 
(cis 2250 )
1. 
(cis 3150)
1. 
2(cis 450)
1. 
2(cis 1350)
1. 
2(cis 2250)
3) Seja o número complexo z = . A forma trigonométrica de z é
a)2 [cos + i sen]
b) ) (cos + i sen )
c) 4( cos + i sen)
d) cos + i sen )
e) (cos + i sen )
4) A imagem do número complexo
z = 3.[cos + i.sen ] é o ponto
a) (; )
b) (; )
c) (;)
d) ( )
e) (-3; 3)
5) Se z = 2 [cos + i sen ], então o conjugado de z2 é igual a
a) - i 
b) - - i 
c) - + i 
d) 4
e) - 4i
6) Escrevendo o complexo z = 4 [cos + i sen ] na forma algébrica encontraremos :
a) 2 - i 
b) - - i 
c) + i 
d) 2 + i 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. (UNIRIO) Um complexo z possui módulo igual a 2 e argumento . Sendo o conjugado de z, a forma algébrica do complexo é:
a) 1 - i
b) - i
c) + i
d) 1 + i
e)2( – i)
2) Considere z1 = -3 + 2i e z2 = 4 + i. A representação trigonométrica de z1 somado ao conjugado de z2 é
a) cos + i sen
b) [cos + i sen]
c) cos + i sen 
d) (cos + i sen )
e) cos + i sen 
3. (UFRJ) Um jantar secreto é marcado para a hora em que as extremidades dos ponteiros do relógio forem representadas pelos números complexos z e w a seguir:
sendo α um número real fixo, 0 < α < 1 .
Determine a hora do jantar.
4.(UERJ) Considere o seguinte número complexo:
 z = 
Ao escrever z na forma trigonométrica, os valores do módulo e do argumento serão, respectivamente, de:
a) e 
b) e 
c) e 
d) e
ORIENTADOR METODOLÓGICO
Conteúdo :
- Números Complexos – forma trigonométrica
Objetivos :
- escrever um complexo na forma trigonométrica.
GABARITO 
1)A
2)E
3)A
4)A
5)E
6) B
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1)A
2)B
3)9 horas
4)D
a
z
|
|
b
z
|
|
2
2
1
)
3
(
+
1
3
+
2
3
4
2
1
2
2
2
2
2
2
3
1
1
i
i
+
-
2
12
25
p
2
r
12
17
p
2
2
12
25
p
2
2
12
17
p
a
b
2
2
+