2 TEORIA DAS ESTRUTURAS - PTV JOVAIR

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TEORIA DAS ESTRUTURAS
ESTATICIDADE E ESTABILIDADE
Função dos apoios é limitar os graus de liberdade(IMPEDIR MOVIMENTOS) de uma estrutura. 
APOIO MÓVEL (1 VINCULO 
IMPEDE 1 TRANSLAÇÃO)
APOIO FIXO (2 VINCULOS 
IMPEDE 2 TRANSLAÇÕES)
ENGASTE FIXO (3 VINCULOS 
IMPEDE 3 TRANSLAÇÕES E 1 ROTAÇÃO)
 
ESTATICIDADE E ESTABILIDADE
Três casos podem então ocorrer:
Os VINCULOS são em número estritamente necessário  Número de incógnitas (VINCULOS) = Número de equações  estrutura é isostática, ocorrendo uma situação de equilíbrio estável.
Os VINCULOS são em número inferior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura. Número de incógnitas (VINCULOS) < Número de equações de equilibrio  estrutura hipostática  INSTÁVEL  NÃO UTILIZAR 
Os VINCULOS são em número superior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura.  Número de incógnitas (VINCULOS) > Número de equações , conduzindo a um sistema indeterminado.  estrutura hiperestática, continuando o equilíbrio a ser estável.
ESTATICIDADE E ESTABILIDADE
BARRA SIMPLES – transmite força axial, tração e compressão (treliças, tirantes).
CHAPA ABERTA – começa em um ponto e termina em outro. Transmite N, V e M.
NÓ DE TRELIÇA– é o encontro de barras simples.
Para estruturas planas:	bn = 3.c + 2.n
3 → preciso de três vínculos para impedir os três movimentos no plano.
2 → preciso de duas barras vinculares para equilibrar o nó.
c = nº de chapas abertas
n = nº de nós de treliça
bn = barras necessárias
ESTATICIDADE E ESTABILIDADE
 be = r + v
G = grau de hiperestaticidade= be – bn 
be = barras existentes
r = barras simples reais (de treliça)
v = barras vinculares 
Três casos podem ocorrer (condição necessária, mas não suficiente):
Se :
be = bn → estrutura isostática
be < bn → estrutura hipostática
be > bn → estrutura hiperestática
ESTATICIDADE E ESTABILIDADE
 
TRELIÇA
 Estrutura composta apenas de barras simples e nós, com carga aplicada somente nos nós.
Estrutura é 1x hiperestática.
ESTATICIDADE E ESTABILIDADE
 
Transmitem todos os esforços(M, N, V), para o caso particular onde não existe barra simples (treliça), então a formula geral: bn = 3.c + 2.n , não existe barra simples então  bn = 3.c + 2.n, onde n=0  bn = 3c
ESTRUTURAS COMPOSTAS DE APOIOS E CHAPAS (BARRAS GERAIS)
Estrutura é 2x hiperestática.
ESTATICIDADE E ESTABILIDADE
 
Hipóteses do Método Clássico 
O Método Clássico para o cálculo de deslocamentos nas estruturas fundamenta-se na Teoria da Elasticidade Linear de 1ª Ordem, cujas hipóteses básicas são:
1°) Mantém-se válidas as imposições da Resistência dos Materiais
LEI DE HOOKE 
1°) Mantém-se válidas as imposições da Resistência dos Materiais
HIPÓTESE DE BERNOULLI (SEÇÕES PLANAS) 
Bernoulli observou a seguinte característica no funcionamento dos corpos sujeitos à solicitações: "Uma seção plana e perpendicular ao eixo longitudinal de uma peça, continuará plana e perpendicular ao eixo da mesma durante e após sua deformação. 
2°) Continuidade da estrutura com a deformação
Em um ponto β qualquer, a tangente à sua esquerda coincide com a tangente à sua direita.
Os nós contínuos são supostos indeformáveis; os ângulos entre as barras se mantêm na estrutura deformada. “NÃO HÁ QUEBRA DA LINHA ELÁSTICA”
3°) As condições de equilíbrio são computadas na posição indeformada
Os deslocamentos são pequenos o suficiente para se escrever as equações de equilíbrio na posição original (as equações de Equilíbrio independem da posição deformada final da estrutura).
O equilíbrio ocorre na configuração deformada, que admitimos ser bem próxima da inicial (campo das pequenas deformações)
Nas estruturas usuais 𝞭(Q) é muito pequeno e pode ser desprezado. Portanto, Ma= Q x l
4°) SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS
Os efeitos causados por um sistema de forças externas são a soma dos efeitos produzidos por cada força considerada agindo isoladamente e independentes das outras.
PRINCÍPIO (OU TEOREMA) DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V.)
ENERGIA O conceito de energia é, na verdade, algo intuitivo, pois não existe uma definição específica para esse fenômeno físico.
Princípio da Conservação de Energia : Segundo o Princípio de Lavoisier, a energia não pode surgir do nada e nem pode ser destruída. A única possibilidade que existe é a transformação de um tipo de energia em outro.
Ex.: Energia da queda d´água nas hidrelétricas que é convertida em energia elétrica
O total da energia que existe antes da sua transformação é igual ao seu total depois dessa transformação.
PRINCÍPIO (OU TEOREMA) DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V.)
TRABALHO é a energia transferida para um objeto através de uma força que age sobre o objeto. 
Trabalho, portanto, é energia transferida; “realizar trabalho” é o ato de transferir energia. O trabalho tem a mesma unidade que a energia e é uma grandeza escalar.
U = F . δ
U +  F e δ têm o mesmo sentido 
U -  F e δ têm sentido opostos
A força possui um trabalho nulo quando NÃO possuir uma componente vetorial na direção do deslocamento. 
PRINCÍPIO (OU TEOREMA) DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V.)
O PTV é uma ferramenta versátil no estudo de deformações sofridas pelas estruturas lineares devidas a cada um dos agentes deformantes a que podem estar submetidas: carregamento externo, variação de temperatura, movimentos (recalques) de seus apoios.
A palavra virtual significa que as quantidades são puramente imaginárias e que não precisam existir no sentido real ou físico. Assim, um deslocamento virtual é um pequeno deslocamento imaginário, arbitrariamente imposto sobre um sistema estrutural. Não há necessidade de se tratar de um deslocamento real, como por exemplo os deslocamentos de flexão causada por cargas atuantes na estrutura. O trabalho realizado por forças reais durante um deslocamento virtual é chamado trabalho virtual 
PRINCÍPIO (OU TEOREMA) DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V.)
1 - Teorema Básico – Princípio de Jean D’Alembert
“O trabalho virtual de um sistema de forças externas (real) em equilíbrio estático é nulo para qualquer deslocamento virtual (hipotético e infinitesimal) de corpo rígido compatível com a vinculação”.
				
				U = F . δ = 0
A palavra virtual significa “susceptível de exercer-se, embora não esteja em exercício”.
PRINCÍPIO (OU TEOREMA) DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V.)
Demonstração
O corpo está em equilíbrio, submetido a um sistema de esforços externos coplanares. Tais esforços incluem momentos (Mj), assim como forças Fi, de componentes xi, yi, aplicadas nos pontos Ai, de coordenadas xi, yi. Considerando como positivos os momentos que atuam no sentido anti-horário, as condições de Equilíbrio Estático são:
 Fxi = 0; Fyi = 0; Mj - Fxi.yi + Fyi.xi = 0
PRINCÍPIO (OU TEOREMA) DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V.)
Demonstração
Um deslocamento qualquer de corpo rígido pode ser decomposto em dois deslocamentos lineares α e β paralelos a cada eixo e uma rotação θ (por ex. em torno da origem 0).
∑Fxi e ∑Fyi =0 (o corpo está em equilibrio, então não se movimenta) 
PRINCÍPIO (OU TEOREMA) DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V.)
Demonstração
∑Fxi e ∑Fyi =0 e ∑Mj =0 (o corpo está em equilibrio, então não se movimenta) 
PRINCÍPIO (OU TEOREMA) DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V.)
Conclusão: Para qualquer valor de α, β e θ (deslocamento virtual) têm-se Uext = 0
“ Em qualquer deslocamento virtual compatível com as ligações, a soma dos trabalhos virtuais de um sistema de forças externas em equilíbrio será nula.”
O PTV tem como condição necessária: estando o sistema em equilíbrio é necessário que a soma dos trabalhos virtuais seja nula. 
PRINCÍPIO (OU TEOREMA) DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V.)
Aplicações do P.T.V.
LINHAS DE INFLUÊNCIA
a) Determinação de Reações de Apoio em Sistemas Isostáticos
Objetivo: Transformar um problema estático em problema geométrico 
PRINCÍPIO (OU TEOREMA) DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V.)
01) retira-se o vínculo correspondente à incógnita, substituindo-o pela incógnita para manter o equilíbrio. A incógnitapassa a ser considerada como carga externa;
PRINCÍPIO (OU TEOREMA) DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V.)
02) aplica-se um deslocamento virtual compatível com as ligações remanescentes da estrutura;
03) calcula-se o trabalho virtual de todos os esforços externos igualando-o a zero 
Do P.T.V. ⇒ Uext = 0
-30.2θ + VB.4 θ = 0 ⇒ 
VB = 15 kN
PRINCÍPIO (OU TEOREMA) DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V.)
PRINCÍPIO (OU TEOREMA) DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V.)
PRINCÍPIO (OU TEOREMA) DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V.)
PRINCÍPIO (OU TEOREMA) DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V.)
PRINCÍPIO (OU TEOREMA) DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V.)