5 - Exercícios de apoio - Semana 1_ CÁLCULO III - MCA003

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10/10/2020 Exercícios de apoio - Semana 1: CÁLCULO III - MCA003
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EXERCÍCIOS DE APOIO
Apenas para praticar. Não vale nota.
Complete: 
Como a ordem de integração varia de acordo com a ordem das integrais, de
“dentro para fora”, devemos buscar quais são os limites referentes à x, y e z:
1.
Calcule a massa do cubo [0,1] × [0,1] × [0,1] 
com função densidade δ = δ(x, y, z) = xyz 
Como é um cubo, os limites de integração variam de 0 a 1 em todos os eixos,
assim, como a integral tripla é a massa do cubo de acordo com a variação da
função densidade, temos:
2.
Determine 
sendo D = {(x, y, z)}| -1 ≤ x, y, z ≤ 2} e f(x, y, z) = xy + 2z
Neste caso, a região é dada entre -1 e 2 nos três eixos (x,y,z), assim, aplicando à
integral tripla da função, temos:
3.
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Calcule 
sendo D = [0,2] × [1,3] × [0,3] e f(x, y, z) = x + y + z.
Temos que no paralelepípedo D, x varia entre 0 e 2, y entre 1 e 3 e z entre 0 e 3,
portanto:
4.
Sendo D = {(x, y, z)}| 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x + y} 
obtenha 
5.
Se D é solido descrito por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ 1 - x 
obtenha 
6.
Calcule a massa do tetraedro de vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) 
com densidade δ = δ(x, y, z) = y.
Note que, no caso dessa integral tripla, precisamos investigar os limites de
integração com relação à x, y e z. O tetraedro é dado pela seguinte imagem:
7.
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ESCONDER
GABARITO
No caso, x varia entre 0 e 1.
Já y varia entre 0 e a reta que passa pelos pontos (1,0,0) e (0,1,0), ou seja, y = 1 –
x.
E, finalmente, z varia entre 0 e o plano que passa por (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1), que
é dado por x + y + z = 1, ou seja, z = 1 – x – y