9 - MCA503_Texto-base - Fundamentos de Matemática II (Capítulo 11) Gil da Costa Marques

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Licenciatura em ciências · USP/ Univesp
11.1 Introdução
11.2 Integrais de Caminho e Circulação de um Vetor
11.3 Forças Conservativas
11.4 Diferença de potencial e Força Eletromotriz 
11.5 Fluxo de um Campo Vetorial
11.6 Teorema de Gauss
11.6.1 Lei de Gauss
11.6.2 A Equação da Continuidade
11.7 Teorema de Stokes
11.8 Lei da Indução de Faraday
11
Gil da Costa Marques
INTEGRAIS SOBRE 
CAMINHOS E SUPERFÍCIES 
Fu
nd
am
en
to
s 
de
 M
at
em
át
ic
a 
II
223
Fundamentos de Matemática II
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
11.1 Introdução
Conquanto seja possível expressar as leis fundamentais em termos de propriedades dos 
campos quando definidos em cada ponto do espaço, é possível expressar as mesmas leis fazendo 
uso de propriedades que envolvem o comportamento de campos vetoriais ao longo de uma 
curva ou de uma superfície. É disso que tratam as duas grandezas a serem definidas em seguida: 
a circulação e o fluxo de um vetor. Leis físicas podem ser expressas em termos de circulações ao 
longo de uma curva e fluxos de grandezas vetoriais ao longo de superfícies. 
A soma sobre componentes de taxas de variação ao longo de intervalos consecutivos são 
importantes fontes de informação. Veremos que no caso de campos conservativos a integral de 
linha do campo leva a uma soma parecida com a soma sobre derivadas de funções de uma variável. 
Lembramos para tanto que a integral das diferenciais da função f ao longo de um intervalo 
determina a diferença dos valores da função nos extremos daquele intervalo:
 11.1 
Em outras palavras, o limite da soma das taxas de variação da grandeza f determina a dife-
rença de valores aludida acima, ou seja: 
 11.2 
Na Física lidamos com taxas de variação de campos vetoriais. Podemos melhorar nossa 
compreensão a respeito do mundo físico quando consideramos o limite de somas sobre taxas 
de variações (como integrais envolvendo divergentes de funções vetoriais) ou de projeções de 
taxas de variações de campos ao longo de direções tangentes a curvas (integrais de caminho) ou 
ao longo de direções normais a superfícies (fluxos de grandezas vetoriais).
Como no caso de funções de uma variável, muitas vezes, o conhecimento das taxas de variação 
de funções de muitas variáveis leva à determinação, às vezes de forma simples, das próprias 
grandezas físicas. No entanto, como fazê-lo nesse caso requer o uso de algumas identidades, 
relações e, outras vezes, o uso de argumentos de simetria. 
df x dx f b f a
a
b
( ) = ( ) − ( )∫
df x
dx
dx f b f a
a
b ( )




 = ( ) − ( )∫
224
11 Integrais sobre Caminhos e Superfícies 
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Na Física, estamos interessados em dois tipos de somas ou, o que é mais importante, integrais. 
Primeiramente, integrais de volume do divergente de uma grandeza vetorial. Usualmente, tais 
integrais são relacionadas a grandezas físicas (como massa e carga elétrica) contidas no volume. 
Essa é a base da lei de Coulomb na eletrostática. 
Outro tipo de integral envolvendo campos vetoriais é aquela em que integramos as pro-
jeções dos campos ao longo de direções tangentes ou perpendiculares a curvas e superfícies. 
Finalmente, consideraremos integrais de projeções de taxas de variação de grandezas vetoriais 
ao longo de curvas e superfícies. Como no caso de funções de uma variável, devemos efetuar 
partições no intervalo de domínio de curvas e superfícies. 
Os aspectos mencionados acima serão alvo de análise neste texto.
11.2 Integrais de Caminho 
e Circulação de um Vetor
Lembramos que um caminho, interligando dois pontos A e B, nada mais é do que uma curva 
que pode ser descrita utilizando um parâmetro, designado por λ. Assim, define-se uma curva 
como o lugar geométrico dos pontos do espaço descritos pelas funções a um parâmetro – o 
parâmetro λ – dadas por:
 11.3 
A cada ponto do espaço corresponde um e apenas um valor do parâmetro λ e, ao variá-lo, 
obtemos os diferentes pontos ao longo da curva. Em particular, aos pontos A e B correspondem 
os valores λA e λB tais que suas coordenadas são dadas por:
 11.4 
Consideremos uma linha ou uma curva qualquer. Ela pode ser subdivida em n pedaços 
infinitesimais.
x x
y y
z z
= ( )
= ( )
= ( )
λ
λ
λ
x x x x
y y y y
z z z z
A A B B
A A B B
A A B B
= ( ) = ( )
= ( ) = ( )
= ( ) = ( )
λ λ
λ λ
λ λ
225
Fundamentos de Matemática II
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Um ponto ao longo da curva é caracterizado pelo vetor de posição:
 11.5 
Assim, dois pontos ao longo de uma curva definem um vetor deslocamento (veja Figura 11.1) 
dado por:
 11.6 
Definimos a distância entre esses dois pontos (veja Figura 11.1) como se fosse igual ao 
módulo do vetor acima, isto é:
 11.7 
O produto escalar de um vetor 

B r( ) pelo vetor ∆r é dado, portanto, pela expressão:
 11.8 
onde θ é o ângulo entre os dois vetores 
e Bt é a projeção do vetor 

B r( ) na direção 
estabelecida pelo vetor ∆r .
Consideremos uma curva arbitrária, 
na qual introduzimos uma partição 
contendo n pequenos segmentos de 
comprimento ∆l (veja Figura 11.1).
Para qualquer elemento da linha, ou seja, um particular segmento da curva - digamos o 
trecho associado ao i-ésimo ponto da partição considerada -, introduzimos o vetor ∆ri, que é o 
vetor deslocamento associado aos extremos dessa divisão da curva. Ou seja, tal vetor é o vetor 
deslocamento entre os extremos do segmento. 
Considerando agora um campo vetorial 

B r( ), podemos definir uma grandeza escalar a 
partir do produto escalar:
 11.9 
Figura 11.1: a) O vetor deslocamento entre dois pontos ao longo de uma 
curva e b) sua partição em segmentos.
ba

 

r x i y j z kλ λ λ λ( ) = ( ) + ( ) + ( )
∆ ∆
  r r rλ λ λ λ( ) = +( ) − ( )
∆ ∆l r= ( ) λ

 

  B r r B r r B rt( ) ⋅ = ( ) =∆ ∆ ∆cosθ
∆ ∆τi i iB r r= ( ) ⋅

 
226
11 Integrais sobre Caminhos e Superfícies 
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Definimos a grandeza escalar τn como aquela que resulta da soma sobre todas as contribui-
ções associadas às n partições da curva:
 11.10 
No limite em que o número de elementos das 
partições tende a infinito, tal soma define a integral 
de caminho:
 11.11 
onde fica implícito que, no limite acima, o (máximo 
|∆ri|) → 0 quando n → ∞.
Na expressão 11.11, o vetor d r é o vetor deslocamento infinitesimal
 11.12 
o qual é tangente à curva pelo ponto caracterizado pelo vetor posição 
r e seu módulo é dado por 
 11.13 
onde dl é o elemento de comprimento infinitesimal da curva. A direção desse vetor é a mesma 
direção da reta tangente à curva pelo ponto considerado e o seu sentido indica a direção 
crescente do deslocamento (veja figura). Escrevemos assim:
 11.14 
onde 

t é o versor tangente à curva pelo ponto caracterizado pelo 
vetor posição 
r .
Quando a curva é fechada, a integral de caminho é conhecida 
como circulação do vetor ao longo dela, e é representada assim:
 11.15 
Figura 11.2: a) O vetor deslocamento infinitesimal e 
b) a projeção do campo em cada ponto.
a b
τ τn i
i
n
i i
i
n
B r r= = ( ) ⋅
= =
∑ ∑∆ ∆
1 1

 
τB n i
n
iB r B r dr= ⋅ = ( ) ⋅→∞
=
∑ ∫lim



 
1
∆
Γ
dr dxi dyj dzk
 

= + +
dr dl =
Figura 11.3: Circulação de uma 
grandeza vetorial.
dr dlt

=
τ = ( ) ⋅∫
� � ��B r dr
Γ
227
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Se definirmos a componente do vetor 


B dl B dlt⋅ = ⋅ , então, a integral de linha entre os 
pontos A e B pode ser escrita, formalmente, sob a forma:
 11.16 
ou seja, a circulação de um vetor, ou sua integral de linha acaba se reduzindo a uma integral de 
uma função de uma variável.
A circulação de um vetor ou a integral de linha do vetor é uma grandeza escalar que 
depende do caminho escolhido e do sentido em que se percorre esse caminho. Invertendo-se 
o sentido no qual se percorre o caminho, inverte-se o seu sinal.
A circulaçãode um campo vetorial é uma medida de quão próximas (ou afastadas) estão as linhas 
de força do campo de se fecharem sobre si mesmas. Na Figura 11.4, apresentamos um campo com 
circulação. O campo magnético da Terra é um campo com circulação.
 
Exemplos
• ExEmplo 1
Determine a integral de linha do campo vetorial:
 11.17 
ao longo dos caminhos 1 e 2, de acordo com a Figura 11.4.
→ REsolução:
Ao longo do caminho 1, o valor da coordenada y se mantém 
constante (y = y2). Assim, temos:
 11.18 
Portanto,
 11.19 
τ
λ
λ
λ
λ
= 




∫ B
dl
d
dt
1
2
 
Figura 11.4: Integral de linha entre dois caminhos.


 
B B e B xi yj
x y
ρ
ρ ϕ
( ) = = +
+( )
0
0 2 2 3 2
( )
/
dr dxi

=
τ1
1
0 2
2
2 3 2 0
2
2
2 1 2
1
2
1
B
x
x
x
B r dr B x dx
x y
B x y= ( ) ⋅ =
+( )
= − +( )∫ ∫
−
  ( )
/
/ xx
B x y x y
2
0 2
2
2
2 1 2
1
2
2
2 1 2= − +( ) − +( )


− −/ /
228
11 Integrais sobre Caminhos e Superfícies 
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Ao longo do caminho 2, a situação se inverte, ou seja, o valor da coordenada x se mantém constante 
(x = x1). Escrevemos, nessas circunstâncias:
 11.20 
Donde inferimos que:
 11.21 
• ExEmplo 2
Determine a integral de linha do campo vetorial:
 11.22 
ao longo dos caminhos 1, 2, 3 e 4. Determine também a circulação do 
campo vetorial no caminho fechado composto pela soma desses trechos.
Ao longo dos caminhos 1 e 3, só a variável r se altera. As curvas são 
linhas retas partindo da origem. Suas direções e sentidos são determinados 
pelo vetor dl

, dado por:
 11.23 
Portanto, para os caminhos 1 e 3 podemos escrever:
 11.24 
Para os caminhos 2 e 4 os vetores dl

 são dados por:
 11.25 
Tal vetor é ortogonal ao campo, obtendo daí um valor nulo para as integrais de caminho.
 11.26 
dr dyj

=
τ2
2
0
1
2 2 3 2 0 1
2 2 1 2
1
2
1
B
y
y
y
B r dr B y dy
x y
B x y= ( ) ⋅ =
+( )
= − +( )∫ ∫
−
  ( )
/
/ yy
B x y x y
2
0 1
2
2
2 1 2
1
2
1
2 1 2= − +( ) − +( )


− −/ /
Figura 11.5: Circulação de um campo 
vetorial ao longo de 4 caminhos.

 
E k r
r
k
r
r
r
k
r
er= = =3 2 2
dl dr er


= 
τ
τ
1 2 2
1 2
2
1
2
1
2
1
21 1 1
= ⋅ = = − = −






=
∫ ∫
k
r
e dl k
r
dr k
r
k
r r
k
r
r
r
r
r
r
r
r


22 2
1 22
1
2
1
2
11 1 1 e dl k
r
dr k
r
k
r rrr
r
r
r
r
r
⋅ = = − = −





∫ ∫
dl rd e


= ϕ ϕ
τ ϕ
τ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
3 2 2
4 2
1
2
1
2
2
1
0= ⋅ = ⋅ =
= ⋅
∫ ∫
∫
k
r
e dl k
r
rd e e
k
r
e dl
r r
r


 


 
== ⋅ =∫
k
r
rd e er2
2
1
0ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
  
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Das expressões 11.24 e 11.26, resulta que a circulação do campo vetorial se anula ao longo do 
caminho fechado, ou seja:
 11.27 
• ExEmplo 3 
Determine a circulação do campo vetorial:
 11.28 
ao longo do caminho fechado associado à circunferência de raio r 
(veja Figura 11.6).
→ REsolução:
O versor tangente à circunferência é:
 11.29 
O elemento de comprimento ao longo da circunferência de raio r é dado por:
 11.30 
E, portanto:
 11.31 
Donde se infere que:
 11.32 
11.3 Forças Conservativas
O exemplo de integral de caminho com o qual estamos mais 
familiarizados é aquele que define a grandeza física denominada 
trabalho. Nesse caso, o campo 

B é substituído pela força 

F .
τ τ τ τ τ= ⋅ = + + + =∫
� �
� E dl
Γ
1 2 3 4 0
Figura 11.6: Circulação ao longo de 
uma circunferência.

B B eρ ρ ϕ( ) = ( )

 
e i jϕ ϕ ϕ= +sen cos
dl rd= ϕ
dl rdre


= ϕ
� �
� B dl B r rd rB r⋅ = ( ) = ( )∫∫
0
2
2
π
ϕ π
Γ
Figura 11.7: Dois pontos podem 
ser interligados por meio de 
vários caminhos.
230
11 Integrais sobre Caminhos e Superfícies 
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Assim, o trabalho realizado pela força 

F enquanto a partícula, que experimenta a ação dessa 
força, se desloca do ponto A até o ponto B, ao longo da curva Γ, é dado por:
 11.33 
O trabalho é uma grandeza física que dá a variação de energia cinética ao longo do deslo-
camento, isto é:
 11.34 
O trabalho pode depender do caminho, ou não. Forças para as quais a integral de linha entre 
os pontos não depende do caminho são denominadas forças conservativas.
Tais forças - as conservativas - são derivadas de um campo escalar denominado energia 
potencial, ou seja, para que tais forças não dependam do caminho, elas devem ser escritas da 
seguinte forma:
 11.35 
onde U é a energia potencial da partícula. Portanto, para tais forças podemos escrever:
 11.36 
E, portanto, de 11.34 e 11.36, vemos que a grandeza física conhecida como energia se 
conserva, ou seja, a energia E é constante, onde:
 11.37 
Para um campo conservativo, como o campo de forças, sua circulação é nula, isto é:
 11.38 
W F r dr
A
B
= ( ) ⋅∫
 
W F r dr m v m v
A
B
B A= ( ) ⋅ = ( ) − ( )∫
 
2 2
2 2
 
F x y z U x y z, , , ,( ) = −∇ ( )
W F r dr U dr dU U A U B
A
B
A
B
A
B
= ( ) ⋅ = − ∇ ⋅ = − = ( ) − ( )∫ ∫ ∫

 


E m v U= +
2
2
� � ��F r dr( ) ⋅ =∫
Γ
0
231
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11.4 Diferença de potencial 
e Força Eletromotriz 
Sabemos que no caso do campo elétrico associado a fenômenos onde as cargas elétricas se 
distribuem de forma que não mudem com o tempo (a eletrostática), esse campo elétrico por 
elas produzido é tal que:
 11.39 
E, portanto, o campo elétrico gera uma força conservativa. Escrevemos:
 11.40 
onde V(x, y, z) é o potencial eletrostático. 
Na eletrostática, a integral de caminho entre dois pontos dá a diferencial de potencial entre eles:
 11.41 
E, portanto, na eletrostática, a circulação do campo elétrico é sempre nula.
 11.42 
No entanto, quando tratamos de fenômenos mais gerais, a circulação do campo elétrico 
pode não ser nula. Isso nos leva ao conceito de força eletromotriz.
 
∇× ( ) =E x y z, , 0
 
E x y z V x y z, , , ,( ) = −∇ ( )

 

E r dr V dr dV V A V B
A
B
A
B
A
B
( ) ⋅ = − ∇ ⋅ = − = ( ) − ( )∫ ∫ ∫
( ) 0E r dr
Γ
⋅ =∫

 

Definimos força eletromotriz 
(ε) como a grandeza física que 
resulta da circulação do vetor 
campo elétrico (tomado ao longo 
de um caminho fechado, por-
tanto), ou seja:
 11.43 ε = ( ) ⋅∫
� � �� E r dr
Γ
Figura 11.8: A circulação do 
campo elétrico pode, ou não, 
ser nula.
232
11 Integrais sobre Caminhos e Superfícies 
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11.5 Fluxo de um Campo Vetorial
Um dos conceitos mais importantes no eletromagnetismo é o de fluxo de um vetor através 
de uma superfície. Em particular, a lei de Gauss da eletrostática e a lei da Indução - leis funda-
mentais do eletromagnetismo - fazem uso desse conceito. 
Nos muitos usos que fazemos dessa grandeza, o fluxo de uma grandeza vetorial através de 
uma superfície representa a taxa com que alguma grandeza física flui através da superfície 
considerada. Como a taxa com que algo flui depende da orientação relativa da superfície e 
aquele algo que flui, o fluxo depende do produto escalar entre um vetor normal (ou seja, per-
pendicular à superfície) e o vetor que representa a grandeza que flui. Depende também da ex-
tensão da área da superfície.
No caso da orientação, isso pode ser ilustrado considerando a Figura 11.9, 
na qual representamos o fluxo de um fluido (água) através de uma superfí-
cie. Dependendo da orientação da superfície, nenhuma quantidade de fluido 
(medido pela sua massa) atravessará a superfície. A quantidade máxima de 
fluido que passa ocorre quando a superfície é perpendicular ao jato de água.
Definiremos o fluxo de um vetor começando por um caso simples. 
Consideremos o caso de uma superfície plana de área S. Tal superfície é 
caracterizada pelo vetor 
n, o qual é normal a ela, ou seja:
 11.44 
onde o plano é o lugar geométrico dos pontos do espaço para os quais a função W(x, y, z) dada por:
 11.45é constante.
Para a superfície acima podemos introduzir um vetor, 

S, associado a ela. Esse vetor é definido 
como o produto da área pelo vetor normal a ela, isto é:
 11.46 
Figura 11.9: Fluxo de uma 
grandeza vetorial ao longo 
de uma superfície fechada.



 

n
W x y z
W x y z
ai bj ck
a b c
=
∇ ( )
∇ ( )
=
+ +
+ +
, ,
, , 2 2 2
W x y z ax by cz d, ,( ) = + + +

S Sn=
233
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Consideremos agora o caso de um campo vetorial 

V constante. 
Definimos o fluxo do vetor 

V através da superfície plana dada por 
11.46, e de área S, como uma grandeza escalar definida pelo produto 
 11.47 
onde θ é o ângulo entre o vetor 

V e o vetor normal ao plano. É uma 
medida da orientação do vetor 

V em relação à superfície.
No caso mais geral em que a superfície não é plana e/ou o vetor 

V não é constante, devemos 
recorrer a um artifício. A ideia é subdividir a superfície em pequenos elementos de superfície. 
Esses elementos de uma dada superfície serão designados ∆Si. A partir deles podemos introduz 
vetores ∆

Si associados a cada elemento, de tal forma que, por definição:
 11.48 
onde 
ni é o vetor normal ao i-ésimo elemento de superfície.
Agora, para cada elemento de superfície localizada na posição 
rj podemos definir uma 
contribuição para o f luxo do vetor, a qual será dada por:
 11.49 
Poderíamos, a seguir, definir o fluxo do vetor 

V como o fluxo dado pela soma de todos os 
fluxos associados aos fluxos definidos em 11.49, ou seja:
 11.50 
Figura 11.10: Fluxo de uma grandeza 
vetorial através de uma superfície.
Φ = ⋅ =
 
V S VS cosθ
∆ ∆

S S ni i i= ( )
∆Φ ∆ ∆i i i i i iV r S V r S= ( ) ⋅ = ( )



 cosθ
Figura 11.11: Fluxo do vetor através de diferentes elementos de superfície da esfera.
Φ ∆Φ ∆n i
i
n
i i
i
n
V r S= = ( ) ⋅
= =
∑ ∑
1 1



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No entanto, a rigor, o fluxo do vetor 

V através da superfície S é definido por meio do 
processo limite:
 11.51 
O processo limite acima define o fluxo do vetor, o qual se escreve sob a forma de uma 
integral de superfície definida como:
 11.52 
onde, no limite acima, fica implícito que o valor máximo de ∆

Si → 0 no limite em que n → ∞.
Na expressão 11.52, o vetor d

S é um vetor de superfície infinitesimal que depende da 
superfície e do ponto considerado. Ele é escrito como:
 11.53 
É, portanto, perpendicular à superfície pelo ponto caracterizado pelo vetor posição 
r , e o 
seu módulo é dado por 
 11.54 
onde dS é o elemento de superfície infinitesimal, e S representa a superfície. No caso de uma 
superfície fechada utilizamos a notação 
 11.55 
O fluxo de alguns vetores através de superfícies dá a taxa de vazão de uma determinada 
grandeza física, isto é, dá a taxa, por unidade de tempo, pela qual uma determinada grandeza 
passa (ou flui) por uma determinada superfície. Exemplos de tais grandezas são a massa (por 
unidade de tempo) de fluido que passa por uma superfície, a carga, a energia etc. Assim, temos, 
Φ Φ ∆= = ( ) ⋅
→∞ →∞
=
∑lim limn
n
n i ii
n
V r S



1
Φ ∆= ( ) ⋅ = ( ) ⋅
→∞
=
∑ ∫∫limn i ii
n
S
V r S V r dS


 


1
dS dS n


= ( )
dS dS

=
( )
s
V r dSΦ = ⋅∫∫



235
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no caso do eletromagnetismo que o fluxo do vetor de Poynting (S) através de uma superfície 
dá a taxa pela qual a energia eletromagnética passa pela superfície considerada. Escrevemos
 11.56 
enquanto o fluxo do vetor densidade de corrente através de uma 
superfície dá a taxa pela qual a carga flui através dessa superfície:
 11.57 
Alguns campos vetoriais de interesse na física são tais que o fluxo 
desses vetores através de uma superfície dá a taxa (por unidade de 
tempo) pela qual alguma grandeza física (como massa, carga, energia, 
calor) passa por essa superfície.
• ExEmplo 4
Determine o fluxo de campo magnético uniforme dado por:
 11.58 
através de uma espira plana retangular e pertencente ao plano xy 
(veja Figura 11.13). Os lados da espira têm comprimentos a e b.
→ REsolução:
O elemento de área no plano xy é dS = dxdy. Define-se o vetor 
elemento de área d

S como um vetor perpendicular ao elemento 
de área. Seu módulo é dS, ou seja, dS dSen


= onde 
en é o vetor 
unitário na direção perpendicular à superfície. No caso em tela, a 
direção normal à superfície considerada é o eixo 0z, o que implica que en = 

k . Então, podemos escrever:
 11.59 
Substituindo-se 

B e ds na expressão 11.55, temos:
 11.60 
Figura 11.12: A corrente elétrica é 
o fluxo da densidade de corrente 
ao longo de uma secção 
transversal do condutor.
Φ s
A
S r dA dE
dt
= ( ) ⋅ =∫∫



Φ J
A
J r dA dQ
dt
= ( ) ⋅ =∫∫



Figura 11.13: Fluxo do campo magnético num 
elemento de superfície plana.


B B k= 0
dS dSk dxdyk
  
= =
Φ = ⋅( ) = ⋅( ) = ( ) ⋅( ) = ( )∫∫ ∫∫∫∫∫∫


   
B ds Bk dsk Bds k k Bds
S SSS
,
236
11 Integrais sobre Caminhos e Superfícies 
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Substituindo ds = dxdy, o fluxo é obtido resolvendo-se uma integral dupla, cujo domínio é 0 ≤ y ≤ b 
e 0 ≤ x ≤ a, conforme indica a figura. Logo:
 11.61 
• ExEmplo 5
A Figura 11.14 ilustra um campo magnético constante (módulo, direção 
e sentido) atravessando uma espira circular de área S, totalmente contida 
no plano. Determine o fluxo do campo magnético na espira.
→ REsolução:
Nesse caso, a direção normal ao plano da espira difere da direção do 
campo magnético de um ângulo θ. 
A definição de produto escalar entre dois vetores nos leva a escrever 

B ds B ds⋅ = . .cosθ. Portanto, Φ = ( ) =∫∫ ∫∫B ds B ds
S S
. .cos .cosθ θ . Uma 
vez que ds S
S
∫∫ = , o fluxo na espira é: 
 11.62 
Observe que: 
1. Quando as linhas de fluxo forem perpendiculares ao plano da área S, o ângulo θ = 0° e cos0° = 1 
e o fluxo φ = B.A.cosθ. = B.A atinge o valor máximo.
2. Quando as linhas de fluxo passarem tangencialmente ao plano da área S, o ângulo θ = 90°; 
cos 90° = 0 e o fluxo φ = B.A.cos90°= 0 é nulo nesse caso.
• ExEmplo 6
Expresse o fluxo do campo vetorial 
 11.63 
Ao longo de uma superfície qualquer, em termos do conceito de ângulo sólido, determine o fluxo 
no caso de um ângulo sólido delimitado pela superfície de um cone de abertura θ = θ0.
→ REsolução:
Considere uma região do espaço delimitada por uma superfície fechada e que tem origem num 
ponto. O ângulo sólido se refere a uma medida da abertura da superfície. É, portanto, uma generali-
zação do conceito de ângulo para duas dimensões.
Φ = = =∫∫ Bdydx B a b B S
ba
00
. . .
Figura 11.14: Fluxo do campo 
magnético numa espira circular 
contida num plano.
Φ = B S. .cosθ


E x y z k r
r
, ,( ) = 3
237
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Para calculá-lo, consideramos uma super-
fície esférica de raio R. A intersecção da 
superfície acima referida leva a uma outra 
curva. O ângulo sólido é definido como 
igual à área subentendida pela curva divi-
dida por R2, ou seja:
 11.64 
A melhor definição de ângulo sólido é 
obtida por meio do conceito de fluxo, ou 
seja, definimos o ângulo sólido por meio 
do fluxo do campo vetorial:
 11.65 
Lembrando que:
 11.66 
Assim, o ângulo sólido se escreve como:
 11.67 
Portanto, de 11.65, resulta que o fluxo do campo vetorial é dado por:
 11.68 
No caso da superfície do cone, o fluxo do é dado por:
 11.69 
Figura 11.15: Ângulo sólido é uma extensão tridimensional do 
conceito de ângulo.
Ω =
A
R2
Ω = ⋅




 = ⋅( )∫∫ ∫∫1 12 2r
r
r
dS
r
e dS
A
r
A




dS r d d r
r
r d d er



= =2 2sen senθ θ ϕ θ θ ϕ
Figura 11.16: Ângulo sólido 
compreendido por um cone.
Ω = ∫∫ senθ θ ϕd d
A
Φ Ω= ⋅




 =∫∫ k rr
r
dS k
A
1
2


Φ Ω= = = −∫ ∫k d dsen ( cos )θ θ ϕ π θ
θ π
0 0
2
0
0
2 1
238
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11.6 Teorema de Gauss
Podemos relacionar o fluxo de uma grandeza vetorial ao longo de uma superfície fechada 
com a taxa de variação do campo denominada divergente do campo vetorial. E isso pode ser 
feito por meio do uso do teorema de Gauss.
Esse teorema estabelece uma relação simples entre a integral de volume do divergente de 
um campo vetorial, ∇⋅ ( )

J r , e o fluxo desse vetor, 

J r( ), sobre a superfície fechada que delimita 
esse volume, isto é:
 11.70 
Tal teorema não será aqui demonstrado. Faremos, no entanto, algumas aplicações.
11.6.1 Lei de Gauss
Desde o trabalho pioneiro de Coulomb, sabe-se que uma distribuição de cargas dá origem 
a um campo elétrico. A primeira lei se preocupa em estabelecer uma relação entre o campo 
elétrico gerado e a distribuição de cargas que lhe dá origem. Tal relação envolve taxas de variação 
do campo elétrico e é escrita como:
 11.71 
Essa é uma das quatro equações de Maxwell. Integrando-se no volume V, membro a membro, 
a equação 11.71, obtemos:
 11.72 
O primeiro termo pode ser escrito, usando o teorema de Gauss, como o fluxo do campo 
elétrico sobre a superfície que delimita o volume. O segundo termo da equação acima é a 
carga elétrica contida no volume dividido por ε0. Obtemos, assim, uma relação entre o fluxo do 
campo elétrico e a carga contida no volume considerado.
( ) ( )
V s
J r dV J r dS∇⋅ = ⋅∫∫∫ ∫∫
 
 

( ) ( )
0
,
,
r t
E r t
ρ
∇ =
ε




( ) ( )3 3
0
1, ,
V V
E r t d r r t d r∇ = ρ
ε∫∫∫ ∫∫∫

   

239
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 11.73 
ou seja, o fluxo do campo elétrico através de uma superfície S é igual, com exceção de uma cons-
tante de proporcionalidade, à carga elétrica contida na região delimitada por essa mesma superfície.
Essa lei, expressa em 11.73, é conhecida como lei de Gauss.
11.6.2 A Equação da Continuidade
Ilustraremos o uso do teorema de Gauss fazendo uso da equação da continuidade. Essa equação 
exprime, de forma precisa, o conceito da conservação da carga elétrica.
A equação da continuidade se escreve assim:
 11.74 
Integrando-se ambos os membros e utilizando o teorema de Gauss, obtemos:
 11.75 
Uma forma de caracterizar a corrente elétrica é fazê-lo através de um vetor conhecido 
como densidade de corrente. Se temos partículas carregadas numa certa região do espaço, 
distribuidas com uma certa densidade volumétrica ρ(r) e se a velocidade dos elétrons em cada 
ponto for 
v, a densidade de corrente 

J r( ) é dada por:
 11.76 
ΦE
S
E ds Q≡ ⋅ =∫∫
� �� ε0
Figura 11.17: Lei de Gauss no 
eletromagnetismo relaciona a carga 
elétrica contida num volume do 
espaço e o fluxo do campo elétrico 
ao longo de uma superfície que 
contém esse volume.
∇⋅ ( ) + ∂ ( )
∂
=



J r
r
t
ρ
0
( ) ( ), , 0
S V
J r t dS r t
t
∂
⋅ + ρ =
∂∫∫ ∫∫∫

 


  J r r v( ) = ( )ρ
240
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O fluxo da densidade de corrente dá o quanto de cargas por unidade de tempo atravessa 
uma superfície de área A, ou seja, o fluxo é a corrente elétrica que atravessa essa superfície:
 11.77 
A intensidade da corrente, medida usualmente em Ampères, é uma medida da quantidade de 
elétrons que passam por uma certa superfície por unidade de tempo. Resumidamente, escrevemos
 11.78 
E, portanto, podemos escrever:
 11.79 
Consequentemente, a soma das cargas que saem mais 
as cargas que ficam é constante no tempo, que é, em 
última análise, a lei de conservação da carga elétrica.
11.7 Teorema de Stokes
O teorema de Stokes estabelece uma relação entre o fluxo do rotacional de um vetor e a 
circulação do vetor sobre um caminho fechado que delimita a superfície,isto é:
 11.80 
A seguir faremos algumas aplicações.
i J dS
A
= ⋅∫∫
 
Figura 11.18: A carga que sai, por unidade de tempo, 
pela superfície fechada é igual à taxa pela qual as 
cargas desaparecem no interior dessa superfície.
i dQ
dt
=
dQ
dt
dQ
dt
sai dentro+ = 0
( ) ( )
S
B r dS B r dl
Γ
∇× ⋅ = ⋅∫∫ ∫
 
 

Figura 11.19: O teorema de Stokes 
estabelece uma relação entre a circulação 
de um campo ao longo de um caminho 
e o fluxo do campo vetorial derivado do 
mesmo, ou seja, com o fluxo do rotacional 
do campo ao longo de uma superfície 
delimitada pelo caminho.
241
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11.8 Lei da Indução de Faraday
Se uma determinada grandeza física mudar com o tempo, ela pode dar origem a uma outra 
grandeza física? Ou seja, a variação de uma grandeza física pode induzir o surgimento de uma 
outra grandeza?
No eletromagnetismo isso ocorre. A esse fenômeno damos o nome de indução. No eletromag-
netismo, a mera variação do campo magnético com o tempo dá origem (ou induz) a um campo 
elétrico. Esse é um enunciado um tanto quanto impreciso da lei de Faraday. Essa lei é formulada de 
uma maneira precisa, em termos quantitativos, utilizando fluxos de campos e integrais de caminho.
A lei de Faraday afirma que, se o campo magnético variar com o tempo (o mesmo ocorrendo 
com o fluxo), então, a taxa de variação, com respeito ao tempo, do fluxo do campo magnético 
através de uma superfície S é igual (com um sinal menos) à integral de caminho do campo 
elétrico ao longo da curva Γ (fechada) que delimita a superfície aberta. Dentro do contexto da 
formulação de Maxwell, uma formulação local das leis do eletromagnetismo, escrevemos:
 11.81 
 11.82 
onde o fluxo do campo magnético é determinado considerando-se uma superfície aberta, isto é:
 11.83 
Tal superfície é indeterminada, pois, a rigor, o resultado vale para qualquer superfície que 
esteja delimitada pelo caminho Γ.
Por outro lado, o sentido do caminho Γ é determinado pela normal à superfície, ou seja, 
devemos utilizar a regra da mão direita. Assim, se os dedos apontarem na direção normal à 
superfície, o caminho será orientado no sentido do polegar.
∇× ( ) = − ∂ ( )
∂



E r t
B r t
t
,
,
BdE dl
dtΓ
Φ
⋅ = −∫



ΦB
S
B ds≡ ⋅∫∫


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