7 - MCA503_Texto-base - Fundamentos de Matemática II

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Licenciatura em ciências · USP/ Univesp
9.1 Introdução
9.2 Tangentes e perpendiculares a Curvas
9.2.1 Vetores Normais a uma Curva e Raio de Curvatura
9.3 Diferencial total de uma função escalar
9.4 Derivada numa Direção e Máxima Derivada Direcional
9.5 Perpendicular a uma superfície
9.6 Plano tangente a uma superfície por um ponto
9.7 Direções Normais a Superfícies e Tangenciais a Curvas 
9.8 Elementos de volume e de superfície
9.8.1 Exemplo: Coordenadas Esféricas
9.9 Bases de Vetores
Fu
nd
am
en
to
s 
de
 M
at
em
át
ic
a 
II
Gil da Costa Marques
9APLICAÇÕES À GEOMETRIA DIFERENCIAL
167
Fundamentos de Matemática II
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
9.1 Introdução
A geometria diferencial é o ramo da matemática que se ocupa de utilizar o cálculo diferencial 
e a geometria analítica para entender propriedades de curvas e superfícies. 
Entre as propriedades interessantes, do ponto de vista das curvas, podemos mencionar a 
curvatura, a torção, a direção tangente e a direção normal, em cada ponto de uma curva.
Dada uma superfície, podemos estar interessados na sua curvatura, na direção normal e no 
plano tangente em cada ponto ao longo da mesma. 
Neste texto discutiremos algumas dessas questões, especialmente como inferi-las utilizando 
as derivadas parciais de funções escalares ou derivadas de funções vetoriais.
Por ser de grande aplicação prática, introduziremos uma forma de efetuar integrais de super-
fícies ou de volumes, quando introduzimos coordenadas generalizadas.
Vale recordar que uma superfície - ou parte dela - pode ser descrita por meio de uma função 
de três variáveis W(x, y, z) e isto se deve ao fato de que os valores constantes de tal função 
descrevem uma superfície.
 9.1 
A seguir, consideraremos três superfícies caracterizadas pelas funções: Q1(x, y, z), Q2(x, y, z), 
Q3(x, y, z). Elas definem algo que, usualmente, denominamos coordenadas generalizadas e isso 
porque um ponto no espaço pode ser especificado a partir de valores das coordenadas (Q1, Q2, Q3). 
Por exemplo, ao ponto P0 corresponde o valor das coordenadas:
onde Qi0 é o valor assumido pela coordenada Qi, 1 ≤ i ≤ 3, no ponto P0.
Assim, pontos do espaço estão associados a valores fixos das coordenadas (Q1, Q2, Q3). 
É importante lembrar, no entanto, que a condição para que uma particular coordenada do 
espaço tenha um valor fixo se escreve como:
 9.2 
W W x y z0 = ( ), ,
P Q Q Q0 10 20 30⇔ ( ), ,
Q x y z Qi , ,( ) = =10 constante
168
9 Aplicações à Geometria Diferencial
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e, consequentemente, essa condição descreve o lugar geométrico dos pontos do espaço perten-
centes a uma superfície. 
O conjunto de duas condições para valores constantes das coor-
denadas generalizadas do espaço, quando impostas simultaneamente, 
como, por exemplo, as condições:
 9.3 
descreve a intersecção de duas superfícies. Assim, o lugar geo-
métrico dos pontos do espaço tais que duas coordenadas gene-
ralizadas tenham um valor fixo descreve uma curva no espaço. 
Com a superfície Q3 definida em 9.2, leva a um ponto.
9.2 Tangentes e perpendiculares a Curvas
Uma curva é descrita por meio de um vetor dependente de um parâmetro λ, isto é, o vetor 
associado a um ponto da curva é dado pela função vetorial:
 9.4 
e a cada valor de λ corresponde um - e apenas um - ponto da curva.
A seguir, adotaremos o parâmetro λ como se fosse o comprimento de arco da curva. O ideal, 
nesses casos, é adotar a coordenada espaço. Assim, a cada valor da coordenada espaço, fica 
assegurado que existe apenas um ponto da curva. Escrevemos:
 9.5 
E, portanto, em termos da coordenada espaço, o vetor posição será escrito como:
 9.6 
Figura 9.1: Superfícies podem ser 
utilizadas para determinar pontos no 
espaço ou curvas.
Q x y z Q
Q x y z Q
1 10
2 20
, ,
, ,
( ) =
( ) =

 

r x i y j z kλ λ λ λ( ) = ( ) + ( ) + ( )
λ = s

 

r s x s i y s j z s k( ) = ( ) + ( ) + ( )
169
Fundamentos de Matemática II
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O elemento de comprimento da curva, ds, é dado por:
 9.7 
O vetor 

t definido por:
 9.8 
tem propriedades interessantes. Em primeiro lugar, sua direção é tangente à curva em cada 
ponto. Seu sentido indica valores crescentes das coordenadas e, finalmente, ele tem um módulo 
unitário. De fato, de 9.7, temos: 
 9.9 
e, portanto, o vetor 

t é um versor (isto é, tem módulo unitário).
Exemplos
• ExEmplo 1
Escreva uma expressão para o vetor velocidade ao longo de uma curva.
→ REsolução:
Lembrando que a velocidade vetorial é definida por 
 9.10 
e levando em conta que, agora, estamos considerando as coordenadas como dependentes do parâ-
metro s, podemos escrever a velocidade sob a forma:
 9.11 
Lembrando a definição 9.10, vemos que a velocidade, de acordo com 9.6, é dada por:
 9.12 
donde se infere que a velocidade é tangente à curva e o módulo dela é a velocidade escalar. 
ds dx dy dz= + +2 2 2


 

t s dr
ds
dx s
ds
i
dy s
ds
j
dz s
ds
k( ) = = ( ) + ( ) + ( )


t s dr
ds
2
2
2 1( ) = =


 

v dr
dt
dx s
dt
i
dy s
dt
j
dz s
dt
k= =
( )
+
( )
+
( )

 

v
dx s
ds
i
dy s
ds
j
dz s
ds
k ds
dt
=
( )
+
( )
+
( )









v ds
dt
t=
170
9 Aplicações à Geometria Diferencial
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9.2.1 Vetores Normais a uma Curva e Raio de Curvatura
No espaço tridimensional, existem infinitos vetores normais a uma curva passando por um ponto 
dessa curva. No entanto, a seguir estaremos interessados pelo vetor normal que passa pelo 
centro da circunferência osculadora. Uma circunferência osculadora de uma curva, na geometria 
diferencial, é uma circunferência que tangencia a curva por aquele ponto. Ósculo é quase um 
sinônimo para beijo. Assim, a circunferência osculadora toca - ou beija - a curva em um deter-
minado ponto. Daí a razão para o termo.
Para construir tal circunferência consideramos, primeiramente, 
três pontos suficientemente próximos e por eles traçamos uma 
circunferência. Ela sempre existe e é univocamente determinada. 
Em seguida, tomamos o limite em que os três pontos coincidam.
O vetor tangente à circunferência osculadora é igual ao vetor 
tangente à curva por aquele ponto.
O raio de curvatura num determinado ponto da curva é igual ao 
raio da circunferência osculadora.
Introduzimos agora o conceito de vetor normal à curva por um 
ponto dessa curva. É um vetor tal que aponta para o centro da circun-
ferência osculadora. Naturalmente, esse vetor será perpendicular ao 
vetor tangente à curva.
Um vetor normal é obtido a partir do vetor 

t (s) derivando-o mais uma vez com respeito ao 
parâmetro s. Efetuando tal derivada obtemos o vetor 

N (s), o qual é dado por:
 9.13 
Tendo em vista que o versor 

t (s) tem módulo igual a 1, obtém-se:
 9.14 
Figura 9.2: A circunferência 
osculadora no ponto P.


 

N s
dt s
ds
d x s
ds
i
d y s
ds
j
d z s
ds
k( ) = ( ) = ( ) + ( ) + ( )
2
2
2
2
2
2
d t t
ds
 
.( )
= 0
171
Fundamentos de Matemática II
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Consequentemente, de 9.14 obtemos:
 9.15 
daí ficando constatado que o vetor 

N (s) definido por:
 9.16 
é um vetor perpendicular ao vetor 

t (s). Assim, o versor n(s) indicando a direção normal à curva 
é dado por:
 9.17 
Define-se a curvatura (κ(s)) de uma curva como igual ao módulo do vetor 

N (s). Dessa forma, 
podemos verificar que a curvatura se escreve como:
 9.18 
O raio de curvatura da circunferência osculadora (R(s)) é dado pelo inverso da curvatura:
 9.19 
e, portanto, uma vez conhecida a forma da curva dada pela funções x, y e z como funções do 
parâmetro s, podemos determinar o raio de curvatura em cada ponto. De 9.18 resulta que:
 9.20 
Os centros das circunferências oscu-
ladoras formam a evoluta da curva.
d t
ds
t N t



( )
⋅ = ⋅ = 0


N sd t
ds
( ) = ( )




n s
N s
N s
s N s( ) = ( )
( )
= ( ) ( )κ
Figura 9.3: Vetores tangente e normal a uma curva em cada ponto.
κ s N s
d x s
ds
d y s
ds
d z s
ds
( ) = ( ) = ( )





 +
( )




 + +
( )



2
2
2 2
2
2 2
2



2
R s
s
( ) = ( )
1
κ
1 2
2
2 2
2
2 2
2R s
d x s
ds
d y s
ds
d z s
ds( )
=
( )




 +
( )




 +
( )





2
172
9 Aplicações à Geometria Diferencial
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• ExEmplo 2
Determine os vetores tangente e normal a uma circunferência. Determine também a sua curvatura.
→ REsolução:
Uma circunferência é tal que todos os pontos ao longo dela podem ser escritos em termos de uma 
função vetorial da variável espaço, s, da forma:
 9.21 
onde R é o raio da circunferência.
Portanto, o vetor cuja direção é a da tangente a cada ponto da circunferência é
 9.22 
enquanto o vetor normal a ela, em cada ponto, é:
 9.23 
O vetor normal sempre aponta para o centro da circunferência osculadora. No caso em apreço, ele 
aponta para o centro da circunferência considerada. 
A curvatura da circunferência é constante e, de acordo com 9.18 e 9.23, ela é dada pelo inverso do 
raio dessa circunferência:
 9.24 
9.3 Diferencial total de uma função escalar
A diferencial total de uma função de três variáveis V = V(x,y,z) é definida como 
 9.25 

 
r s R s
R
i s
R
j( ) = 




 +











cos sen


 
t s
dr s
ds
s
R
i s
R
j( ) = ( ) = − 




 +





sen cos


 
N s
d r s
ds R
s
R
i s
R
j( ) = ( ) = − 




 +












2
2
1 cos sen
κ s
R
( ) = 1
dV
V x y z
x
dx
V x y z
y
dy
V x y z
z
dz=
∂ ( )
∂
+
∂ ( )
∂
+
∂ ( )
∂
, , , , , ,
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• ExEmplo 3:
Seja V x y x y,( ) = 1
3
2 2. Utilizando a diferencial da função V, vamos encontrar um valor aproximado 
para a variação ΔV quando passamos do ponto (1, 2) para o ponto (1,03; 2,01); em seguida, vamos 
avaliar o erro cometido nessa aproximação. 
Temos:
 9.26 
e, portanto, 
 9.27 
Fazendo x = 1, y = 2, dx = 0,03 e dy = 0,01, temos 
 9.28 
Por outro lado, 
 9.29 
Fazendo x = 1, y = 2, dx = 0,03 e dy = 0,01, obtemos
 9.30 
o que nos leva à conclusão de que se trata de uma boa aproximação quando dizemos que ΔV é bem 
aproximado por dV.
• ExEmplo 4:
Vamos calcular um valor aproximado para (1,02)2,01. 
Em primeiro lugar, consideremos a função V(x, y) = xy e então temos:
 9.31 
e
 9.32 
e, portanto, 
 9.33 
∂
∂
=
∂
∂
=
V
x
xy V
y
x y2
3
2
3
2 2 e 
dV xy dx x ydy= +2
3
2
3
2 2
dV ≅ 0 09,
∆ = + + −V x dx x dy x y1
3
1
3
2 2 2 2( ) ( )
∆ ≅V 0 09,
∂
∂
= −
V
x
y x y. 1 (fazendo y constante)
∂
∂
=
V
y
x xy ln (fazendo x constante) 
dV y x dx x x dyy y= +−. ln1 
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Fazendo x = 1, y = 2, dx = 0,02 e dy = 0,01, temos 
 9.34 
Por outro lado, 
 9.35 
• ExEmplo 5: 
Calcule aproximadamente 2 01 4 02 1 97, . , . , .
Vamos considerar a função V x y z xyz( , , ) = e suas derivadas parciais:
 9.36 
 9.37 
 9.38 
e, portanto, 
 9.39 
Fazendo x = 1, y = 4, z = 2, dx = 0,01, dy = 0,02 e dz = −0,03 temos
 9.40 
(Verifique!)
Logo,
 9.41 
dV ≅ 0 04,
∆ = − ≅ − =V ( , ) , ,,1 02 1 1 0406 1 0 04062 01 2
∂
∂
=
V
x
yz
xyz2
∂
∂
=
V
y
xz
xyz2
∂
∂
=
V
z
xy
xyz2
dV yz
xyz
dx xz
xyz
dy xy
xyz
dz= + +
2 2 2
dV ≅ −0 01,
2 01 4 02 1 97 3 99, . , . , ,≅
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9.4 Derivada numa Direção e 
Máxima Derivada Direcional
Consideremos uma direção e sentido especificados pelo versor:
 9.42 
isto é, um vetor que tem módulo unitário (para esses vetores colocamos um acento circunflexo 
a fim de denotar tal fato). Assim,
 9.43 
Um vetor derivado desse mediante a multiplicação por uma constante h,
 9.44 
tem a mesma direção e sentido do versor â, se h > 0, e tem sentido contrário se h < 0. 
O módulo desse vetor é, evidentemente, igual a |h|, uma vez que |â| = 1.
Sendo V = V(x, y, z), (x0, y0, z0) um ponto do domínio de V, e h tal que os pontos 
(x0 + axh, y0 + ayh, z0 + azh) também pertencem ao domínio de V, definimos a derivada 
direcional de V, no ponto (x0, y0, z0) e na direção de
 9.45 
como 
 9.46 
se tal limite existe e é finito.
Denotamos a derivada direcional definida acima como 
 9.47 

x y za a i a j a k= + +

 

�� ��a a a a ax y z⋅ = ⇒ ( ) + ( ) + ( ) =1 12
2 2
ha ha i ha j ha kx y z

 

= + +

x y za a i a j a k= + +

 

lim
, , , ,
h
x y zV x a h y a h z a h V x y z
h→
+ + +( ) − ( )
0
0 0 0 0 0 0
D V x y z
V x a h y a h z a h V x y z
ha h
x y z
 ( , , ) lim
( , , ) ( , , )
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0=
+ + + −
→
176
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Se a função V e suas derivadas parciais forem contínuas então a derivada direcional definida 
em 9.47 é dada por:
 9.48 
 9.49 
Observamos assim que a derivada direcional de V, no ponto (x0, y0, z0) e na direção de â

, 
é igual ao produto escalar do vetor ˆ x y za a i a j a k= + +

 

 pelo vetor cujas componentes são as 
derivadas parciais da função V no ponto (x0, y0, z0). Este último vetor é denominado vetor 
gradiente da função V no ponto (x0, y0, z0) e é indicado com a seguinte notação:
 9.50 
Assim, escrevemos
 9.51 
Consequentemente, a derivada direcional de uma função pode ser escrita em função do 
ângulo θ entre o vetor unitário â e o gradiente da função (definido em 9.51), como:
 9.52 
E, assim, a direção e sentido, para os quais a deri-
vada direcional de uma função V é máxima, são os do 
vetor gradiente de V, pois nesse caso cosθ = 1.
Lembrando que a variação infinitesimal do vetor de 
posição ou, ainda, o vetor deslocamento infinitesimal 
é dado pela expressão:
 9.53 
D V a V
x
a V
y
a V
z
a Va x y z


=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= ⋅∇
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ˆ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )a x y z
V V VD V x y z a x y z a x y z a x y z a V
x y z
∂ ∂ ∂
= + + = ⋅∇
∂ ∂ ∂



  
∇ =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
V x y z V
x
x y z i V
y
x y z j V
z
x( , , ) ( , , ). ( , , ). ( ,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 yy z k0 0, ).

ˆ 0 0 0 0 0 0
ˆ( , , ) ( , , )aD V x y z a V x y z= ⋅∇


Figura 9.4: O gradiente de uma função determina a normal 
à superfície associada a valores constantes da mesma.

 cos
a
D V V a V= ∇ ⋅ = ∇ θ

 

dr dxi dyj dzk
 

= + +
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podemos observar que a variação infinitesimal de uma função escalar V, sua diferencial, pode 
ser escrita sob a forma do produto escalar de dois vetores: 
 9.54 
pois o vetor gradiente 

∇V é, por definição, 
 9.55 
• ExEmplo 6: 
Encontre o vetor 

∇u no ponto (5,3,−1), sendo u(x, y, z) = 3x2 − 3y2 + z2.
Temos 
 9.56 
Como
 9.57 
obtemos 
 9.58 
• ExEmplo 7:
Sendo V(x, y, z) = x2 + y2 + z2, vamos encontrar a derivada direcional D V x y za ( , , )0 0 0 em 
(x0, y0, z0) = (1, 2, 3) na direção do vetor 

 

u i j k= + −2 2 2 13 .
Sabemos que 
 9.59 
Temos
 9.60 
dV x y z V dr, ,( ) = ∇ ⋅


  

∇ =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
V V
x
i V
y
j V
z
k
∂
∂
=
∂
∂
= −
∂
∂
=
u
x
x u
y
y u
z
z6 6 2, e 
  
∇ =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
u x y z u
x
x y z i u
y
x y z j u
z
x( , , ) ( , , ). ( , , ). ( ,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 yy z k0 0, ).

  

∇ − =
∂
∂
− +
∂
∂
− +
∂
∂
−u u
x
i u
y
j u
z
( , , ) ( , , ). ( , , ). ( , , ).5 3 1 5 3 1 5 3 1 5 3 1 kk i j k= − −30 18 2
 

D V x y z a V
x
x y z a V
y
x y z a V
z
xa x y z ( , , ) ( , , ) ( , , ) (0 0 0 0 0 0 0 0 0 0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
,, , )y z0 0
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
V
x
x V
y
y V
z
z2 2 2, e 
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Logo,
 9.61 
Como â é um vetor unitário, versor do vetor u dado, vamos encontrar o módulo do vetor u:
 9.62 
Assim, 
 9.63 
Logo,
 9.64 
• ExEmplo 8: 
Sendo
 9.65 
determine o vetor em que a derivada direcional no ponto (1,1,1) é máxima e encontre esse valor máximo.
Em primeiro lugar, temos o vetor gradiente
 9.66 
e, portanto, como
 9.67 
 9.68 
A direção e sentido, segundo os quais a derivada direcional da função V é máxima, são os do vetor 
gradiente de V; logo, segundo o versor, 
 9.69 
Como 
 9.70 
o valor máximo procurado da derivada direcional é 6.
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
V
x
V
y
V
x
( , , ) ( , , ) ( , , )1 2 3 2 1 2 3 4 1 2 3 6, e 
| |u = + + =4 8 13 5
2 2 2 13ˆ 
5 5 5
a i j k= + −

 

ˆ
2 2 2 13 4 8 2 6 13(1,2,3) 2 4 6
5 5 5 5a
D V + −= ⋅ + ⋅ − ⋅ =

V x y z xyz( , , ) = 2
  

 

∇ =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= + +V V
x
i V
y
j V
z
k yz i xz j xyz k2 2 2 
  
∇ =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
V x y z V
x
x y z i V
y
x y z j V
z
x( , , ) ( , , ). ( , , ). ( ,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 yy z k0 0, ).

  

∇ = + +V i j k( , , )1 1 1 2
(1,1,1) 1 1 2ˆ
6 6 6 6
Va i j k∇= = + +


 

ˆ
ˆ ˆ| | . | | | |aD V V a V a V= ∇ ⋅ = ∇ = ∇
  
 
179
Fundamentos de Matemática II
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
• ExEmplo 9: 
Seja f(x,y) = 3x2 − 2y2. Encontre a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção que forma um 
ângulo de 120° com o eixo horizontal.
Sendo f(x,y) = 3x2 − 2y2, temos:
 9.71 
Logo, 
 9.72 
O vetor unitário que tenha a direção que forma um ângulo de 120° com o eixo horizontal é 
 9.73 
Logo, 
 9.74 
e, portanto, como
 9.75 
 9.76 
9.5 Perpendicular a uma superfície
Consideremos uma função escalar de três variáveis 
 9.77 
A equação 
 9.78 
onde wi é uma constante, para cada i é a equação de uma superfície.
    
∇ =
∂
∂
+
∂
∂
= −f f
x
i f
y
j x i y j6 4 
  
∇ = −f i j( , )1 1 6 4 
ˆ cos120 sen120a i j= ° + °
 

1 3ˆ
2 2
a i j= − +
 

ˆ
ˆ
aD f f a= ∇ ⋅


ˆ
1 3ˆ(1,1) (1,1) 6. ( 4). 3 2 3
2 2a
D f f a
  = ∇ ⋅ = − + − = − −  
   



W W x y z= ( , , )
w W x y zi = ( , , )
180
9 Aplicações à Geometria Diferencial
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
Sendo wi uma constante, sua diferencial é nula. Escrevemos:
 9.79 
Tendo em vista que o vetor deslocamento pertence à superfície aludida, definida por 9.78 
concluímos, de 9.79, que o gradiente de uma função escalar da forma 9.77 é tal que ele é 
perpendicular à superfície definida em 9.78.
Assim, podemos dizer que a normal tem a direção do vetor
 9.80 
Em cada ponto P0 = (x0, y0, z0) pertencente a uma superfície, 
podemos determinar o vetor normal a ela passando pelo ponto P0. 
Esse vetor é dado por:
 9.81 
9.6 Plano tangente a uma superfície por um ponto
Dada a função
 9.82 
que admite derivadas parciais contínuas no ponto P0 = (x0, y0), o plano de equação 
 9.83 
é denominado plano tangente à superfície, que é o gráfico de f, no ponto (x0, y0, f(x0, y0)). 
dw W dri W wi
= ∇ ⋅ =
=

 0
Figura 9.5: Direção da 
normal em pontos de uma 
superfície.


n W
W wi
= ∇
=


n x y z W x y z
W wi
0 0 0 0 0 0, , , ,( ) = ∇ ( )=
z f x y= ( , )
z f x y f
x
x y x x f
y
x y y y− = ∂
∂
− +
∂
∂
−( , ) ( , )( ) ( , )( )0 0 0 0 0 0 0 0
181
Fundamentos de Matemática II
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
Convém observar que a equação do plano tangente acima pode ser entendida como o 
resultado do produto escalar
 9.84 
onde o vetor 
∂
∂
+
∂
∂
−






f
x
x y i f
y
x y j k( , ). ( , ).0 0 0 0
 

 é o vetor normal à superfície no ponto 
(x0, y0, f(x0, y0)).
No caso de W = W(x, y, z), já vimos que 

∇W x y z( , , )0 0 0 é normal à superfície de nível 
 9.85 
no ponto (x0, y0, z0). O plano que passa por esse ponto e é perpen-
dicular ao vetor 

∇W x y z( , , )0 0 0 denomina-se plano tangente à 
superfície W(x, y, z) = wi no ponto (x0, y0, z0).
A equação desse plano é obtida tomando o produto escalar 
 9.86 
• ExEmplo 10: 
A equação do plano tangente à superfície dada por z = f(x, y) = x2 − y2 no ponto 
(x0, y0, f(x0, y0)) = (1, 2, −3) é:
 9.87 
isto é,
 9.88 
Agora 
 9.89 
∂
∂
+
∂
∂
−





 ⋅ − + −
f
x
x y i f
y
x y j k x x i y y j( , ). ( , ). ( ). ( ).0 0 0 0 0 0
 

 
++ −( ) =( ( , ).z f x y k0 0 0

Figura 9.6: Plano tangente 
a uma superfície.
W x y z wi( , , ) =

∇ ⋅ −( ) =W x y z x y z x y z( , , ) ( , , ) ( , , )0 0 0 0 0 0 0
z f x y f
x
x y x x f
y
x y y y− = ∂
∂
− +
∂
∂
−( , ) ( , )( ) ( , )( )0 0 0 0 0 0 0 0
z f
x
x f
y
y+ = ∂
∂
− +
∂
∂
−3 1 2 1 1 2 2( , ).( ) ( , ).( )
∂
∂
=
∂
∂
= −
f
x
f
y
( , ) ( , )1 2 2 1 2 4 e 
182
9 Aplicações à Geometria Diferencial
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
Logo, 
 9.90 
de onde z − 2x + 4y − 3 = 0 é a equação do plano tangente à superfície dada no ponto (1,2,−3).
Por outro lado, 

 

n i j k= − −2 4 é o vetor normal à superfície no ponto (1, 2, -3). Logo, a equação 
da reta normal é:
 9.91 
ou seja,
 9.92 
que são as equações paramétricas da reta normal procurada.
• ExEmplo 11: 
Suponha que z = z(x, y) é uma função contínua que admite derivadas parciais contínuas e que é 
dada implicitamente pela equação 
x
a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
2 1+ + = . Mostre que 
x x
a
y y
b
z z
c
0
2
0
2
0
2 1+ + = é a equação 
do plano tangente no ponto (x0, y0, z0), z0 ≠ 0.
Vejamos:
 9.93 
acarreta, por derivação implícita, que:
 9.94 
derivando implicitamente com relação a x. Por outro lado,
 9.95 
derivando, agora, implicitamente com relação a y.
Mas, então,
 9.96 
z x y+ = − − −3 2 1 4 2.( ) .( )
( , , ) ( , , ) ( , , )x y z = − + − −1 2 3 2 4 1λ
x
y
z
= +
= −
= − −




1 2
2 4
3
λ
λ
λ
x
a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
2 1+ + =
2 2 02 2
x
a
z
c
z
x
+ ⋅
∂
∂
=
2 2 02 2
y
b
z
c
z
y
+ ⋅
∂
∂
=
∂
∂
= − ⋅ = − ⋅
∂
∂
= − ⋅ = − ⋅
z
x
x
a
c
z
c
a
x
z
z
y
y
b
c
z
c
b
y
z
2
2
2
22
2 2
2 2
2 2
2 e 
183
Fundamentos de Matemática II
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
Logo, a equação do plano tangente no ponto (x0, y0, z0) é: 
 9.97 
de onde
 9.98 
isto é,
 9.99 
e, portanto,
 9.100 
9.7 Direções Normais a Superfícies e 
Tangenciais a Curvas 
Tomando um conjunto de três coordenadas Q1(x, y, z), Q2(x, y, z) e Q3(x, y, z) adotadas aqui 
como se fossem as mais gerais possíveis, consideremos o problema de determinar vetores normais 
a cada uma delas. Para cada superfície associada a um valor constante das coordenadas generalizadas, 
dada pela condição 9.2, podemos introduzir um vetor indicando a direção 
normal a essas superfícies. Temos, portanto, três direções normais a cada super-
fície passando por um determinado ponto do espaço. 
 9.101 
z z c
a
x
z
x x c
b
y
z
y y− = − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ −0
2
2
0
0
0
2
2
0
0
0( ) ( )
z z
c
z
c
x
a
x x y
b
y y. ( ) ( )02
0
2
2
0
2 0
0
2 0− = − − − −
z z
c
z
c
x x
a
x
a
y y
b
y
b
. . .0
2
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
2− = − + − +
z z
c
x x
a
y y
b
x
a
y
b
z
b
. . .0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
21 1+ + = + + = pois 
Figura 9.7: Vetores 

b1, 

b2 e 

b3 normais 
às três superfícies.






b x y z Q x y z
b x y z Q x y z
b x y z Q
1 1
2 2
3
, , , ,
, , , ,
, ,
( ) = ∇ ( )
( ) = ∇ ( )
( ) = ∇ 33
1 1
x y z
b x y z i
x
j
y
k
z
Q x y z
, ,
, , , ,
( )






⇔
( ) = ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂







 

(( )
( ) = ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂





 ( )
( ) =

 



b x y z i
x
j
y
k
z
Q x y z
b x y z
2 2
3
, , , ,
, , ii
x
j
y
k
z
Q x y z∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂





 ( )












3 , ,
184
9 Aplicações à Geometria Diferencial
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
A curva representada pelo encontro de duas superfícies tem vetores tangentes a ela em cada 
ponto, vetoresesses dados por:
 9.102 
onde fica subentendida pela notação, que, por exemplo, 

b∗1(x, y, z) é um vetor tangente às curvas 
definidas pelas condições:
 9.103 
e que, ademais, esse vetor indica a direção de valores crescentes, ao longo da curva, da coordenada Q1.
De acordo com as definições acima, verificamos que os vetores normais a superfícies são 
perpendiculares aos vetores tangentes e isso porque, como se pode verificar, a seguinte identi-
dade é satisfeita:
 9.104 
Cada direção indica, por outro lado, a direção de máxima variação de cada coordenada. 
Tais vetores normais, no entanto, não são vetores unitários. Escrevemos, geralmente:
 9.105 
donde inferimos que os fatores hi são dados por:
 9.106 

 



b x y z x
Q
i y
Q
j z
Q
k r
Q
b x y z x
Q
1
1 1 1 1
2
*
*
, ,
, ,
( ) = ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
( ) = ∂
∂ 22 2 2 2
3
3 3
 



 
i y
Q
j z
Q
k r
Q
b x y z x
Q
i y
Q
j z
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
( ) = ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
* , ,
QQ
k r
Q3 3


=
∂
∂
Q x y z Q
Q x y z Q
2 20
3 30
, ,
, ,
( ) =
( ) =
 
b b Q
Qi j
i
j
ij⋅ =
∂
∂
=* δ






b h e
b h e
b h e
1 1 1
2 2 2
3 3 3
*
*
*
=
=
=
h bi i=

* para i = 1,2,3. 
185
Fundamentos de Matemática II
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
E os versores 
ei são definidos, portanto, como:
 9.107 
9.8 Elementos de volume e de superfície
O vetor deslocamento infinitesimal, escrito em termos das coordenadas generalizadas, é 
dado pela soma:
 9.108 
Assim, o vetor deslocamento infinitesimal para a curva associada à intersecção das superfícies 
de valores constantes das variáveis Q1 e Q2 constantes é dado por:
 9.109 
Portanto, o elemento de comprimento infinitesimal ao longo dessa curva será dado por:
 9.110 
Temos, assim, três elementos de comprimento infinitesimais:
 9.111 

 
e b
h
b
bi
i
i
i
i
= =
* *
*
Figura 9.8: Vetores tangentes a curvas resultantes da intersecção de três superfícies.
dr r
Q
dQ b dQ
ii
i i
i
i



=
∂
∂
=
= =
∑ ∑
1
3
1
3
*
dr b dQ

3 3 3=
*
dl dr b dQ h dQ3 3 3 3 3 3= = =


*
dl h dQ
dl h dQ
dl h dQ
1 1 1
2 2 2
3 3 3
=
=
=
186
9 Aplicações à Geometria Diferencial
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
O elemento de volume infinitesimal, associado a volumes nos quais as coordenadas variam dQ, 
é dado por:
 9.112 
O elemento de superfície quando esta se encontra inteiramente na superfície Q3 = Q30 é:
 9.113 
Analogamente, podemos introduzir os elementos de superfície associados às superfícies Q1 = Q10 
e Q2 = Q20. Eles são dados, respectivamente, por:
 9.114 
 9.115 
Assim, temos formas simples de determinar áreas contidas em superfícies e integrar sobre 
volumes delimitados por superfícies cujas formas são conhecidas.
9.8.1 Exemplo: Coordenadas Esféricas
Definimos as coordenadas esféricas a partir das expressões:
 9.116 
Invertendo as relações acima, obtemos:
 9.117 
dV dl dl dl h h h dQ dQ dQ= =1 2 3 1 2 3 1 2 3
dS dl dl h h dQ dQ3 1 2 1 2 1 2= =
dS dl dl h h dQ dQ1 2 3 3 2 3 2= =
dS dl dl h h dQ dQ2 1 3 3 1 3 1= =
x r
y r
z r
=
=
=
sen cos
sen sen
cos
θ ϕ
θ ϕ
θ
r x y z= + +2 2 2
ϕ
θ
= 





=
+







arctg
arctg
y
x
x y
z
2 2
187
Fundamentos de Matemática II
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
A superfície
r = R (constante)
Ou, equivalentemente,
 9.118 
corresponde a uma esfera de raio R.
A superfície descrita por
 9.119 
Ou, equivalentemente,
 9.120 
descreve um semiplano, enquanto a equação
 9.121 
que implica a relação
 9.122 
descreve um cone de ângulo θ0.
O encontro das três superfícies determina um ponto no espaço especificado pelas coorde-
nadas (r0, θ0, φ0).
x y z R2 2 2+ + =
ϕ ϕ= 0
y x= tan ϕ0
θ θ= 0
x y z2 2 0+ = tgθ
Figura 9.9: Superfícies associadas a valores constantes das coordenadas esféricas. Figura 9.10: Normais às superfícies 
esférica, cônica e semiplana.
188
9 Aplicações à Geometria Diferencial
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
Os vetores 

bi(x, y, z), em coordenadas esféricas, são dados por:
 9.123 
Os vetores tangentes à curva determinada pela intersecção de duas superfícies são:
 9.124 
Donde inferimos que:
 9.125 
Nesse caso, os vetores normais e tangentes são vetores paralelos. Diferem apenas no valor 
do módulo. Por essa razão, é muito mais prático fazer uso de apenas um conjunto de vetores 
ortonormalizados. A esse conjunto de vetores denominamos 
er, 
eθ, 
eϕ.
 9.126 


 


b x y z r x y z i j k
b x y z
r , , , , sen cos sen sen cos
, ,
( ) = ∇ ( ) = + +θ ϕ θ ϕ θ
θ (( ) = ∇ ( ) = + −( )
( ) =

 


θ θ ϕ θ ϕ θ
ϕ
x y z
r
i j k
b x y z
, , cos cos cos sen sen
, ,
1

 
∇ ( ) = − +( )ϕ
θ
θ ϕ θ ϕx y z
r
i j, ,
sen
sen sen sen cos1
Figura 9.11: Tangentes a curvas determinadas pela intersecção de duas superfícies.


 


b x y z r
r
i j k
b x y z
r
*
*
, , sen cos sen sen cos
, ,
( ) = ∂
∂
= + +
( ) =
θ ϕ θ ϕ θ
θ
∂∂
∂
= + −
( ) = ∂
∂
= −

 



r r i r j r k
b x y z r r
θ
θ ϕ θ ϕ θ
ϕϕ
cos cos cos sen sen
, ,* ssen sen sen cosθ ϕ θ ϕ
 
i r j+
h
h r
h r
r =
=
=
1
θ
ϕ θsen



 




e
b
b
i j k
e
b
b
r
r
r
= = + +
= = +
sen cos sen cos
cos cos cos
θ ϕ θ θ
θ ϕθ
θ
θ
θθ ϕ θ
θ ϕ θ ϕϕ
ϕ
ϕ
sen sen
sen sen sen cos





 
j k
e
b
b
i j
−( )
= = − +( )
189
Fundamentos de Matemática II
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
Esses vetores se constituem numa base ortonormal em coordenadas esféricas.
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
 9.127 
O elemento de superfície inteiramente contida numa esfera descrita por r = R é
 9.128 
Analogamente, o elemento infinitesimal de uma superfície contida no cone (superfície θ = θ0) é:
 9.129 
Assim, temos formas simples de determinar áreas contidas em superfícies planas, cônicas e esféricas.
• ExEmplo 12
Determinar o volume delimitado pelas superfícies r = r1 e θ = θ1, θ = θ2 e φ = φ1, φ = φ2 (vide 
Figura 9.12). 
→ REsolução:
O volume solicitado é obtido a partir do produto de três integrais de funções de uma variável:
 9.130 
dV h h h drd d r drd dr= =θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ
2 sen
dS h h d d R d dr = =θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ
2 sen
dS h h drd r drdrθ ϕ ϕ θ ϕ= =
2
0sen
Figura 9.12: Volume solicitado no 
exemplo 12.
V r d d dr r dr d
r
r
r
r
= = −( ) =∫∫∫ ∫ ∫2 2 1 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
ϕ
ϕ
θ
θ
θ
θ
θ θ ϕ ϕ ϕ θ θsen sen ϕϕ ϕ θ θ
θ
θ
2 1
2
1
2
1
2
−( ) ∫ ∫r dr d
r
r
sen
190
9 Aplicações à Geometria Diferencial
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
Integrando em r e θ entre os limites propostos, encontramos:
 9.131 
Assim, o volume delimitado por uma superfície esférica de raio R e de abertura θ0 é:
 9.132 
• ExEmplo 13 
Determine a área de uma superfície inteiramente contida numa esfera de raio R delimitada pelas 
superfícies θ = θ1 e θ = θ2, bem como pelas superfícies φ = φ1 e φ = φ2 (veja Figura 9.13).
→ REsolução:
Tal área é dada pelo produto de duas integrais:
 9.133 
Assim, a área de uma calota delimitada pelo cone descrito pela condição θ = θ0 é:
 9.134 
Donde concluímos que a área de um hemisfério é A0 = 2πR
2 e que a área da superfície esférica é 
igual a 4πR2, resultados esses bastante conhecidos.
V r r= −( ) −( ) −( )1
3 2 1 2
3
1
3
1 2ϕ ϕ θ θcos cos
V R= ( ) −( )2
3
13 0
π
θcos
Figura 9.13: Área sobre uma esfera.
A R d d R= = −( ) −( )∫∫ 2 2 2 1 1 2
1
2
1
2
ϕ
ϕ
θ
θ
θ θ ϕ ϕ ϕ θ θsen cos cos
A R0
2
02 1= −( )π θcos
191
Fundamentos de Matemática II
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
9.9 Bases de Vetores
Os vetores 

bi
∗ e 

bi, para i variando de 1 a 3, constituem-se em dois referenciais muito úteis. 
Assim, um vetor qualquer pode ser expresso em termos dos vetores de uma base - a base 

bi - da 
seguinte forma:
 9.135 
Podemos igualmente utilizar outros vetores - a base
bi
∗ - denominada base dual. Utilizando 
essa base, escrevemos:
 9.136 
As duas bases definem dois tipos de componentes de um vetor.
As componentes contravariantes (V i) e covariantes (Vi) são obtidas a partir das projeções:
 9.137 
e
 9.138 
Observe que os vetores 

bi e 

bi
∗ não são, necessariamente, versores. Podemos construir dois 
tipos de versores dividindo cada vetor pelo seu respectivo módulo.


V V bi i
i
=
=
∑
1
3


V V bi i
i
=
=
∑ *
1
3
V V bi i= ⋅


*
V V bi i= ⋅


Agora é a sua vez...
Continue explorando os recursos de aprendizagem 
disponíveis no Ambiente Virtual de Aprendizagem 
e realize a(s) atividade(s) proposta(s).
	9.1 Introdução
	9.2 Tangentes e perpendiculares a Curvas
	9.2.1 Vetores Normais a uma Curva e Raio de Curvatura
	9.3 Diferencial total de uma função escalar
	9.4 Derivada numa Direção e Máxima 
Derivada Direcional
	9.5 Perpendicular a uma superfície
	9.6 Plano tangente a uma superfície por um ponto
	9.7 Direções Normais a Superfícies e Tangenciais a Curvas 
	9.8 Elementos de volume e de superfície
	9.8.1 Exemplo: Coordenadas Esféricas
	9.9 Bases de Vetores