10 - MCA503_Texto-base - Fundamentos de Matemática II (Capítulo 8)

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Licenciatura em ciências · USP/ Univesp
8.1 Introdução
8.2 Taxas de Variação Instantânea de campos 
8.3 O gradiente de um Campo Escalar
8.3.1 Os Campos elétrico e gravitacional
8.3.2 Movimento de um fluido: Hidrostática
8.3.3 Propagação do Calor
8.3.4 Força e Energia Potencial
8.4 O divergente de um campo Vetorial
8.4.1 Leis de Conservação
8.4.2 Leis do Eletromagnetismo e da Gravitação
8.5 Rotacional de um Campo Vetorial
8.5.1 Aplicações no Eletromagnetismo
8.5.2 Campos com divergente nulo
8.6 Derivadas de Segunda Ordem
8.6.1 O Operador Laplaciano (∇2)
8.6.2 A Equação de Laplace
8.7 Outras Derivadas de Segunda Ordem 
8.7.1 Equação das Ondas
8.7.2 Ondas Eletromagnéticas
8.8 Mecânica Quântica e a Química
Fu
nd
am
en
to
s 
de
 M
at
em
át
ic
a 
II8
Gil da Costa Marques
APLICAÇÕES DAS 
DERIVADAS PARCIAIS
143
Fundamentos de Matemática II
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
8.1 Introdução
As leis físicas são enunciadas a partir de determinadas combinações de taxas de variação. 
Só a elas podemos atribuir um significado físico. O porquê disso tem a ver com a questão da 
isotropia do espaço ou, ainda, com o fato de que, qualquer que seja o referencial, as leis físicas 
devem ter a mesma forma nesse referencial. Isso requer que as grandezas físicas sejam grandezas 
vetoriais ou escalares. Assim, apenas taxas de variação que resultem em grandezas escalares ou 
grandezas vetoriais são relevantes do ponto de vista físico.
Em particular, todas as leis fundamentais das ciências físicas são expressas em termos de taxas 
de variação, quer sejam pontuais ou instantâneas. O fato é que as leis físicas são enunciadas a 
partir de determinadas taxas de variação ou de combinação delas. 
Apenas algumas taxas de variação de campos, ou combinações delas, têm um significado físico. 
E esse significado está associado ao fato de que, qualquer que seja o referencial, as leis físicas devem 
ter a mesma forma nesse referencial. Isso requer, em última análise, que as taxas de variação, isto 
é, as grandezas físicas a elas associadas, sejam grandezas vetoriais ou grandezas escalares. Só tais 
categorias de campos são aceitáveis. Na Mecânica quântica e, portanto, em toda a química, um 
campo escalar denominado função de onda ocupa um papel central.
O fato é que nem todas as derivadas de campos são úteis na formulação das leis físicas. 
Por isso, serão apresentadas, a seguir, as derivadas ou combinações delas, consideradas úteis na 
formulação das leis físicas. 
8.2 Taxas de Variação Instantânea de campos 
No texto anterior, definimos derivadas parciais de componentes de campos vetoriais e de 
campos escalares. Conquanto possamos sempre definir derivadas parciais de campos, com respeito 
às coordenadas, nem sempre elas fazem sentido físico. As derivadas parciais de campos com 
relação ao tempo, no entanto, sempre fazem sentido, e isso independentemente de sua utilidade.
Ao derivarmos um campo com respeito ao tempo, quer seja escalar ou vetorial, tal derivada 
dá a taxa de variação instantânea do campo. Geramos, ao tomar a derivada parcial com respeito 
ao tempo, um novo campo, com sentido físico bem definido. Ele tem a mesma natureza daquele 
que derivamos. 
144
8 Aplicações das Derivadas Parciais
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Por exemplo, definimos um novo campo vetorial 

C(x, y, z, t) obtido a partir da taxa de 
variação instantânea do campo 

E(x, y, z, t), de acordo com a expressão:
 8.1 
O campo 

C(x, y, z, t) definido acima é, assim como o campo 

E(x, y, z, t), um campo vetorial.
Se, por um lado, derivarmos parcialmente com respeito ao tempo um campo escalar, o novo 
campo será igualmente um campo escalar. O campo escalar pode ser complexo (depender de 
números complexos) e sua derivada parcial com respeito ao tempo pode ter uma interpretação 
simples. Por exemplo, na mecânica quântica procuramos campos descrevendo estados estacio-
nários, isto é, estados para os quais vale a seguinte propriedade:
 8.2 
onde /h é a constante de Planck e E é a energia, no caso, a energia da partícula descrita pela 
função de onda Ψ(x, y, z, t).
8.3 O gradiente de um Campo Escalar
Para entendermos a questão do significado físico de taxas de variação, vamos começar com 
a taxa de variação pontual de um campo escalar. Lembrando a definição de diferencial de uma 
função escalar, equação 7.27, vemos que ela pode ser escrita como
 8.3 
onde o símbolo 

∇V representa uma grandeza vetorial, definida por:
 8.4 
Assim, dada uma função escalar, ou campo escalar, V(r, t), podemos construir um campo 
vetorial a partir dele. Basta tomar derivadas parciais desse campo escalar e multiplicar essas 


 

C x y z t
E x y z t
t
E
t
i
E
t
j E
t
kx y z, , ,
, , ,( ) = ∂ ( )
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ih
x y z t
t
E x y z t/
∂ ( )
∂
= ( )Ψ Ψ, , , , , ,
dV V dr= ∇( ) ⋅ 
  

∇ ( ) = ∂ ( )
∂
+
∂ ( )
∂
+
∂ ( )
∂
V x y z
V x y z
x
i
V x y z
y
j
V x y z
z
k, ,
, , , , , ,
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Fundamentos de Matemática II
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derivadas pelos vetores da base cartesiana (os versores dessa base). A essa operação chamamos 
aplicar o operador gradiente à função escalar. Assim, consideramos como operador 
gradiente (símbolo 

∇) aquele que, aplicado a uma função escalar, leva a um campo vetorial 
definido através da identidade acima. Assim, esse novo campo, 

E(x, y, z, t), é definido como:
 8.5 
A seguir, apresentaremos alguns exemplos do uso de derivadas parciais de campos escalares.
8.3.1 Os Campos elétrico e gravitacional
Numa região em que se concentram cargas elétricas o espaço fica alterado. Essa alteração 
pode ser descrita de duas formas interligadas. As duas fazem uso do conceito de campo. 
Assim, pode-se dizer que as cargas elétricas geram um campo escalar conhecido como potencial 
elétrico. O potencial elétrico é um campo escalar que depende do ponto do espaço conside-
rado. No caso em que a distribuição de cargas não se altera com o tempo, o potencial depende 
apenas das coordenadas do ponto do espaço. Escrevemos:
 8.6 
Existem duas consequências desse fato. A primeira é a de que uma partícula dotada de carga 
elétrica Q localizada num ponto dado pelo vetor de posição r adquire uma energia, denomi-
nada energia potencial elétrica, a qual depende do ponto onde ela se encontra, (U(r)). Essa 
energia é dada pelo produto da carga da partícula pelo potencial produzido pelas demais, isto é:
 8.7 
Finalmente, pode-se dizer que existe no mesmo espaço outro campo, de natureza vetorial e 
denominado campo elétrico, o qual é dado pelo gradiente do potencial elétrico:
 8.8 



D r t V r t( , ) ,= ∇ ( )
V V r= ( )
U r QV r( ) ( ) =



E r V r( ) = −∇ ( )
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A seguir, comentaremos a relação entre o campo elétrico e a força sobre uma partícula 
localizada no ponto especificado pelo vetor 
r .
Analogamente, se numa determinada região existem massas distribuídas ao longo da mesma, 
elas dão origem a um campo denominado potencial gravitacional. O potencial gravitacional 
V = V(r) é um campo escalar que depende do ponto espaço:
 8.9 
Como consequência desse fato, uma partícula dotada de massa, uma massa M, localizada 
num ponto dado pelo vetor de posição adquire uma energia, denominada energia potencial 
gravitacional. Essa energia (UG(
r)) é dada pelo produto da massa da partícula pelo potencial 
gravitacional produzido pelas demais, isto é:
 8.10 
Finalmente, pode-se dizer que, como consequência do princípio da conservação da energia, 
existe no mesmo espaço outro campo, denominado campo elétrico, o qual é dado pelo 
gradiente do potencial elétrico:
 8.11 
A seguir, comentaremos a relação entre o campo gravitacional e a força gravitacional agindo 
sobre uma partícula localizada no ponto caracterizado pelo vetor de posição 
r .
As linhasde força dos campos elétrico e magnético são perpendiculares às superfícies equipo-
tenciais. Isso decorre do fato de que, de acordo com sua interpretação geométrica, o gradiente 
de um escalar campo escalar indica a direção normal das superfícies de valor constante desse campo.
 
V V rG G= ( )

U r MV rG G( ) ( )
 
=
 

g r V rG( ) = −∇ ( )
Figura 8.1: As linhas de força são perpendiculares às superfícies equipotenciais.
147
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8.3.2 Movimento de um fluido: Hidrostática
Como exemplo do uso de derivadas sob a forma da equação 8.5, consideremos o caso da 
dinâmica de um fluido. Ele se move como efeito da variação da pressão no interior do fluido. 
Assim, sendo a densidade do fluido dada por ρ(x, y, z, t), a taxa de variação instantânea da 
velocidade de cada elemento de volume desse fluido é dada pela equação:
 8.12 
a qual pode ser pensada como a lei de Newton para um fluido, uma vez que ela pode ser escrita 
como se fosse análoga à lei:
 8.13 
 Portanto, gradientes de pressão dão origem a movimentos do fluido. Eles agem como forças 
impulsionando cada parte do fluido. De acordo com a expressão 8.13, ele flui de regiões de 
altas pressões para regiões de baixas pressões.
No caso da hidrostática em que consideramos a densidade independente do tempo e o 
fluido sob a ação da gravidade, lembrando que agora 
 a g= , a equação 8.13 se reduz à equação:
 8.14 
A equação 8.14 é uma equação fundamental da hidrostática.
Para um campo gravitacional constante na direção do eixo z, a equação 8.14 se escreve como:
Por exemplo, é fácil concluir a partir da equação acima que, para um 
fluido de densidade uniforme e para um campo gravitacional constante 
na direção do eixo z, a pressão varia de acordo com a expressão:
 8.15
ρ x y z t
dV x y z t
dt
P x y z t, , ,
, , ,
, , ,( ) ( ) = ∇ ( )


ρ x y z t a x y z t P x y z t, , , , , , , , ,( ) ( ) = ∇ ( )

Figura 8.2: Num fluido, a 
pressão aumenta linearmente 
com a profundidade.
ρ


g P= ∇
− =ρg dP
dz
− −( ) = −ρg z z P P0 0
148
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8.3.3 Propagação do Calor
Quando existirem gradientes de temperatura, ou seja, quando a temperatura variar de ponto 
a ponto, o calor fluirá ao longo das linhas perpendiculares às isotermas. Esse fluir pode ser mais 
bem caracterizado pelo conceito de fluxo de calor.
Pensando na necessidade de especificarmos o fluxo de calor levando em conta os três aspectos 
citados anteriormente, introduzimos uma grandeza física, de caráter vetorial, denominada fluxo 
de calor, a qual será representada pela letra 

FQ. Ela dá a direção em que o calor flui (a direção 
desse vetor) e a quantidade de calor por unidade de tempo (dQ/dt) que flui através de uma 
superfície. A equação que descreve a condução do calor é a lei de Fourier, que estabelece uma 
relação linear entre o fluxo de calor e o gradiente de temperaturas.
 8.16 
onde 

FQ é um vetor associado ao fluxo de calor e κ é a condutividade térmica do material. 
O sinal negativo assegura que o fluxo de calor se dará da região mais quente para a mais fria.
Existem três aspectos a serem considerados quando abordamos o transporte do calor. 
• Em primeiro lugar, esse transporte se faz através de uma superfície. 
• Em segundo lugar, ele flui a uma determinada taxa,ou seja, o dado importante 
nesse contexto é saber quanto calor passa por uma determinada superfície por 
unidade de tempo. 
• Finalmente, deve-se considerar que esse fluxo de calor tem uma direção.
 
F TQ = − ∇κ
Figura 8.3: O calor flui do objeto mais quente para o 
mais frio. O fluxo de calor é uma medida de quanto calor 
passa por uma superfície de área A. Ele é proporcional 
ao gradiente da temperatura. As temperaturas no globo 
terrestre diferem entre si ponto a ponto.
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8.3.4 Força e Energia Potencial
A força é uma grandeza derivada da energia potencial. Mais especificamente, se a energia 
potencial for uma função dada por:
 8.17 
então, a grandeza física denominada força é uma grandeza derivável desse conceito. Assim, a 
força, no caso das forças fundamentais, pode ser escrita como:
 8.18 
Portanto, as componentes de uma força conservativa (caso geral das forças à distância) são 
dadas como derivadas parciais da energia potencial, isto é, 
 8.19 
onde as derivadas parciais (
∂
∂
∂
∂
∂
∂
U
x
U
y
U
z
, , ) apenas indicam que devemos derivar a função U 
como se ela fosse dependente apenas de x, y ou z em cada um dos casos, respectivamente.
A bem da verdade, deve-se frisar que nem todas as forças podem ser escritas como derivadas 
sob a forma 8.18. Definem-se forças conservativas como aquelas que podem ser escritas sob 
essa forma. Só para tais forças podemos falar em energia associada à interação.
 
Exemplos
• ExEmplo 1
Existe uma forma de energia de uma partícula dotada de massa m, associada à interação gravitacional 
com um objeto esférico de massa M, a qual depende da posição da partícula em relação ao centro 
do objeto esférico (a Terra, por exemplo). Sendo (x, y, z) as coordenadas do ponto em que se situa a 
E U x y z U rP = ( ) = ( ), ,

F x y z U x y z, , , ,( ) = −∇ ( )

F x y z
U x y z
x
F x y z
U x y z
y
F xx y z( , , )
, ,
( , , )
, ,
( ,= −
∂ ( )
∂
= −
∂ ( )
∂
 yy z
U x y z
z
, )
, ,
= −
∂ ( )
∂
150
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partícula e considerando-se que o objeto esférico está na origem, essa energia potencial é dada por:
 8.20
onde V(x, y, z) é o potencial gravitacional gerado pelo objeto esférico.
Determine a força gravitacional exercida pelo objeto de massa M sobre a partícula.
→ REsolução:
De acordo com a expressão 8.18, temos as componentes da força gravitacional dadas por:
 8.21 
Efetuando-se a derivada parcial com respeito à variável x, temos:
 8.22 
U x y z mMG
x y z
mV x y z, , , ,( ) = −
+ +
= ( )
2 2 2
Figura 8.4: Um objeto esférico de massa M 
produz, num ponto P, um Potencial. Uma 
partícula de massa m nesse ponto adquire 
uma energia potencial.
F x y z
x
mMG
x y z
F x y z
y
mMG
x
x
y
( , , )
( , , )
= −
∂
∂
−
+ +








= −
∂
∂
−
+
 
 
2 2 2
2 yy z
F x y z
z
mMG
x y z
z
2 2
2 2 2
+








= −
∂
∂
−
+ +








 
 ( , , )
F x y z
x
mMG
x y z
mMG
x
x y zx ( , , )
/
= −
∂
∂
−
+ +








=
∂
∂
+ +( )( )−2 2 2 2 2 2 1 2 
 = 2 mMG x y z x mMG x
x
( )
/
− + +( )( ) = −
+
− −1
2
2 2 2 1 2 1
2 yy z2 2
3 2
+( )







/
 
151
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Para as demais componentes, encontramos:
 8.23 
Portanto, a força pode ser escrita como:
 8.24 
a qual pode ser escrita, de uma forma simples, como:
 8.25 
• ExEmplo 2
No caso de duas partículas de cargas Q1 e Q2, que estão em posições caracterizadas pelos vetores de 
posição 
r1 e 
r2, respectivamente, a energia potencial eletrostática de interação entre elas, é dada por:
 8.26 
Essa energia potencial elétrica é compartilhada pelas duas partículas. A energia será positiva se as 
cargas elétricas tiverem o mesmo sinal (nesse caso, as forças são repulsivas) ou, quando as cargas 
tiverem sinal oposto (e, portanto, as forças serão atrativas), a energia será negativa.
Determine a força sobre cada uma das partículas.
F x y z mMG y
x y z
F x y z mMG z
x y
y
z
( , , )
( , , )
/ 
 
= −
+ +( )








= −
+
2 2 2 3 2
2 2 ++( )







z2
3 2/ 


F x y z
mMG x
x y z
i mMG y
x y z
, ,
/ /
( ) =
= −
+ +( )
+ −
+ +( )







2 2 2 3 2 2 2 2 3 2


j mMG x
x y z
k+ −
+ +( )







2 2 2 3 2/
  


F x y z mMG
x y z
xi yj zk mMG r
r
, ,/( ) = −
+ +( )
+ +( ) = −1
2 2 2 3 2 3
U QQ
r r
QQ
x x y y z z
=
−
=
−( ) + −( ) + −( )
1
4 4
1
0
1 2
1 2
1 2
0 1 2
2
1 2
2
1 2
2πε πε
 
 =QQ x x y y z z1 2
0
1 2
2
1 2
2
1 24πε
−( ) + −( ) + −(( )( )−2 1 2/
152
8 Aplicações das Derivadas Parciais
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→ REsolução:
A força sobre a partícula 1 (

F1 ) é dada por:
 8.27 
E, portanto, numa notação simplificada, a força 

F1 se escreve como:
 8.28 
que nada mais é do que a lei de Coulomb expressa em notação vetorial.
F
x
QQ
x x y y z z
x1
1
1 2
0 1 2
2
1 2
2
1 2
24
1
( ) = −
∂
∂ −( ) + −( ) + −( )







πε
 
 = −
−( ) + −( ) + −( )( )
= −
QQ x x
x x y y z z
F y
1 2
0
1 2
1 2
2
1 2
2
1 2
2 3 2
1
4πε /
( )
∂∂
∂ −( ) + −( ) + −( )








=
y
QQ
x x y y z z
Q
1
1 2
0 1 2
2
1 2
2
1 2
24
1
πε
 
 11 2
0
1 2
1 2
2
1 2
2
1 2
2 3 2
1
1
1
4
Q y y
x x y y z z
F
z
Q
z
πε
 −
−( ) + −( ) + −( )( )
= −
∂
∂
/
( )
QQ
x x y y z z
QQ
2
0 1 2
2
1 2
2
1 2
2
1 2
4
1
4
πε
πε
 
 
−( ) + −( ) + −( )








=
00
1 2
1 2
2
1 2
2
1 2
2 3 2
 z z
x x y y z z
−
−( ) + −( ) + −( )( ) /

 
 
F QQ r r
r r1
1 2
0
1 2
1 24
=
−
−πε
Figura 8.5: Duas partículas de carga Q1 e Q2 localizadas nos pontos P1 e P2. As forças podem ser 
atrativas ou repulsivas.
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A força sobre a partícula 2 (

F2) é dada por:
 8.29 
E ela pode ser escrita, simplificando, como:
 8.30 
É interessante constatar que as duas expressões 8.28 e 8.30 implicam que:
 8.31 
que é a terceira lei de Newton.
• ExEmplo 3
Para entendermos a estreita relação entre força e energia potencial, consideremos o caso de uma 
força constante. Escrevemos tal força sob a forma:
 8.32 
onde F0x, F0y e F0z são constantes e são componentes da força.
F
x
QQ
x x y y z z
x2
2
1 2
0 1 2
2
1 2
2
1 2
24
1
( ) = −
∂
∂ −( ) + −( ) + −( )







πε
 
 =
− −( )
−( ) + −( ) + −( )( )
QQ x x
x x y y z z
F
1 2
0
1 2
1 2
2
1 2
2
1 2
2 3 2
2
4πε /
( yy y
QQ
x x y y z z
) = −
∂
∂ −( ) + −( ) + −( )







2
1 2
0 1 2
2
1 2
2
1 2
24
1
πε
 
 =
− −( )
−( ) + −( ) + −( )( )
QQ y y
x x y y z z
F z
1 2
0
1 2
1 2
2
1 2
2
1 2
2 3 2
2
4πε /
( ) == −
∂
∂ −( ) + −( ) + −( )







z
QQ
x x y y z z2
1 2
0 1 2
2
1 2
2
1 2
24
1
πε
 
 =
− −( )
−( ) + −( ) + −( )( )
QQ z z
x x y y z z
1 2
0
1 2
1 2
2
1 2
2
1 2
2 3 24πε /

 
 
F QQ r r
r r2
1 2
0
1 2
1 24
= −
−
−πε
 
F F1 2= −
  

F F i F j F kx y z0 0 0 0= + +
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8 Aplicações das Derivadas Parciais
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É muito fácil constatar, por meio de uma derivação muito simples, que a função definida por:
 8.33 
onde C é constante, é tal que a força constante dada em 8.32 pode ser derivada da energia potencial 
dada pela expressão 8.33. A solução 8.33 envolve uma constante arbitrária, C, a qual é determinada 
atribuindo-se o valor da energia potencial num determinado ponto.
Em geral, a energia potencial é determinada de 8.33, com exceção de uma constante, ou seja, a energia 
potencial é definida com exceção de uma constante arbitrária. E essa constante pode ser determinada ao 
especificarmos que o valor da energia num determinado ponto se anula. Assim, se definirmos que a 
energia na origem assume o valor zero, determinamos o valor da constante C. Nesse caso:
 8.34 
No caso do movimento dos projéteis, admitimos que a força gravitacional seja constante. Assim, 
admitindo o eixo z indicando a direção acima da superfície terrestre, escrevemos:
 8.35
E, portanto, a energia potencial gravitacional, admitindo movimentos 
próximos à superfície terrestre, é dada por:
 8.36
8.4 O divergente de um campo Vetorial
Consideremos agora o caso de derivadas parciais de campos vetoriais. Nesse caso, só temos 
duas combinações de derivadas de componentes de campos com significado físico. A primeira 
combinação é aquela mediante a qual tomamos derivadas parciais de componentes de campos 
de tal forma que ela se transforme como um campo escalar. Tal combinação linear de derivadas 
se escreve como:
 8.37 
U x y z xF yF zF Cx y z( , , ) = − − − +0 0 0
Figura 8.6: Num campo gravitacional 
constante, a energia potencial depende 
linearmente da coordenada z.
U C0 0 0 0 0, ,( ) = ⇒ = 


F mgk0 = −
U z mgz( ) =
∂ ( )
∂
+
∂ ( )
∂
+
∂ ( )
∂
E x y z t
x
E x y z t
y
E x y z t
z
x y z, , , , , , , , ,
155
Fundamentos de Matemática II
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
A essa combinação damos o nome de divergente do campo vetorial. Sucintamente, 
escrevemos:
Assim, obtemos uma grandeza escalar, ρ(x, y, z, t), a partir de taxas de variação pontuais. 
Escrevemos tal grandeza escalar como:
 8.38 
Consideramos como o divergente de uma função vetorial 

E(x, y, z, t) a soma das taxas de 
variação definida na equação 3.37, ou seja,
 8.39 
8.4.1 Leis de Conservação
A melhor forma de enunciar o princípio bastante geral de conservação da energia, da carga 
elétrica, da massa, e de outras grandezas que podem fluir, que variam de ponto a ponto, é por 
meio do uso do operador divergente. No caso da lei que expressa a conservação da carga elétrica 
(ou da massa), escrevemos a lei de conservação como uma relação entre o divergente da densi-
dade de corrente (

J ) e a taxa de variação instantânea da densidade de cargas (ou de massas) ρ, 
ou seja, a conservação da massa e da carga elétrica fica assegurada pela expressão:
 8.40 
No caso da carga elétrica ou da massa, a densidade de corrente é dada pelo produto da densi-
dade pela velocidade dos transportadores de carga e/ou massa:
 8.41 
A equação da forma 8.40 tem o nome de equação da continuidade.
�
i
�
∇ ≡
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
E E
x
E
y
E
z
x y z
ρ( , , , ) , , ,x y z t E x y z t= ∇ ( )
�
i
�
Divergente de yx z
EE EE E
x y z
∂∂ ∂
= ∇ = + +
∂ ∂ ∂
 

∇⋅ = −
∂
∂

J
t
ρ
J V= ρ


156
8 Aplicações das Derivadas Parciais
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8.4.2 Leis do Eletromagnetismo e da Gravitação
As leis do eletromagnetismo são formuladas, na Teoria de Maxwell, como relações entre 
taxas de variação de campos e aquilo que lhes dão origem. 
 A primeira lei do eletromagnetismo estipula que existe uma relação entre a densidade de 
carga elétrica ρ e o divergente do campo elétrico a que ela dá origem. Escrevemos:
 8.42 
onde ε é a permissividade do meio. Essa lei é conhecida como Lei de Gauss.
Assim, a interpretação da Lei de Gauss diz que uma distribuição de cargas elétricas ao longo 
do espaço dá origem a um campo elétrico de tal forma que esse campo tem um divergente 
proporcional à densidade de cargas elétricas que lhe dão origem.
Outra lei do eletromagnetismo estabelece que o divergente do campo magnético é nulo, isto é: 
 8.43 
Comparando essa lei com a isso implica que não existem fontes nem sorvedouros de cargas 
magnéticas, ou seja, não existem monopolos magnéticos.
Na teoria da Gravitação vale uma lei análoga a 8.42, ou seja, o divergente do campo gravi-
tacional é proporcional à densidade de massa:
 8.44 
onde G é a constante da gravitação universal.
∇⋅ =

E x y z t x y z t( , , , ) ( , , , )1
ε
ρ
 
∇⋅ =B x y z t( , , , ) 0


∇⋅ = −g x y z G x y z t( , , ) ( , , , )4π ρ
Figura. 8.7 Linhas de força de campos com divergente nulo não exibem fontes ou sorvedouros. Suas linhas de força 
sempre se fecham.
157
Fundamentos de Matemática II
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8.5 Rotacional de um Campo Vetorial
Outras combinações de derivadas de componentes de campo vetorial, e que têm propriedades 
simples de transformações sob rotações, são as dadas a seguir:
 8.45 
a primeira combinaçãose transforma como a componente x de um vetor, a segunda se trans-
forma como a componente y de um vetor e a terceira se transforma como a componente z. 
Assim, podemos formar, a partir de derivadas parciais de uma grandeza vetorial, um novo 
campo vetorial dado por:
 8.46 
Uma notação simplificada para a combinação 8.46 é:
 8.47 
onde 

D é o campo obtido a partir do rotacional do campo 

E.
Assim, a partir das derivadas parciais, podemos construir novos campos vetoriais. São 
campos derivados. Definimos esse novo vetor como o que é dado pelo determinante de uma 
matriz 3 por 3 dada por:
 8.48 
∂
∂
−
∂
∂






∂
∂
−
∂
∂






∂
∂
−
∂
∂






E
y
E
z
E
z
E
x
E
x
E
y
z y
x z
y x
  
D E
y
E
z
i E
z
E
x
j
E
x
E
y
z y x z y x=
∂
∂
−
∂
∂





 +
∂
∂
−
∂
∂





 +
∂
∂
−
∂
∂







k
  
D E= ∇×
det
x y z
i j k
A
x y z
A A A
 
 
∂ ∂ ∂ ∇× =  ∂ ∂ ∂
  
 

 


158
8 Aplicações das Derivadas Parciais
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O operador rotacional ∇× opera sobre campos vetoriais, transformando-os em novos 
campos igualmente vetoriais. Assim, quando aplicado sobre um vetor 

A, o operador rotacional 
leva a um novo vetor (o vetor 

B). Por exemplo, o campo magnético é determinado a partir do 
conhecimento do potencial vetor 

A,ou seja:
 8.49 
Explicitamente, escrevemos:
 8.50 
Um campo 

E é dito irrotacional se o seu rotacional for nulo, isto é, se ele satisfizer a condição:
 8.51 
Todo campo irrotacional pode 
ser escrito como o gradiente de uma 
função escalar V(x, y, z):
 8.52 
8.5.1 Aplicações no Eletromagnetismo
Duas leis do eletromagnetismo são escritas em termos de rotacionais dos campos elétrico e 
magnético.Por exemplo, a lei da indução de Faraday pode ser escrita como uma relação entre o 
rotacional do campo elétrico e a taxa de variação do campo elétrico,ou seja:
 8.53 
Finalmente, a quarta lei se escreve como:
 8.54 
  
B A= ∇×
Figura 8.8: (a) Campoirrotacional. (b) Campo com um rotacional não nulo.
a b
    
B A
A
z
A
y
i A
z
A
x
j
A
x
Ay z x z y x= ∇× =
∂
∂
−
∂
∂





 +
∂
∂
−
∂
∂





 +
∂
∂
−
∂
∂∂





y
k

∇× =
�� �
E 0
 
E x y z V x y z( , , ) ( , , )= ∇
∇× = −
∂
∂


E B
t
∇× = +
∂
∂
 

B J E
t
µ µε
159
Fundamentos de Matemática II
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Ela estabelece que campos magnéticos podem surgir como resultado do movimento de 
cargas elétricas, ou mediante variações do campo elétrico com o tempo. O campo magnético 
é tal que seu rotacional depende linearmente da densidade de corrente mais a taxa de variação 
instantânea do campo elétrico.
8.5.2 Campos com divergente nulo
Sob certas condições, um campo vetorial pode ter um divergente nulo, isto é,
 8.55
Campos que satisfazem a equação 8.55 são caracterizados pelo fato de que suas linhas de 
força sempre se fecham.
Todo campo com divergência zero, como o campo magnético, pode ser escrito como:
 8.56
Assim, o fato de existir um potencial 
vetor satisfazendo 8.56 é assegurado 
pela lei fundamental 8.55.
8.6 Derivadas de Segunda Ordem
8.6.1 O Operador Laplaciano (∇2)
Na física quântica, na ótica, na teoria ondulatória em geral e, especialmente, na química 
quântica, as derivadas de segunda ordem ocupam um papel central. Devemos introduzir agora 
as derivadas de segunda ordem relevantes nas ciências. 
Primeiramente, definimos o operador laplaciano, ∇2, o qual é definido como o divergente 
do gradiente, isto é:
 8.57 
 
∇⋅ =J 0
Figura 8.9: Comportamento típico 
de campos com divergência nula. 
As linhas de força se fecham.
  
B A= ∇×
∇ = ∇⋅ ∇( ) = ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2x y z
160
8 Aplicações das Derivadas Parciais
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Quando aplicado a um campo escalar, o laplaciano nos leva a um novo campo escalar dado por:
 8.58 
Quando aplicado sobre um campo vetorial, o resultado é outro campo vetorial:
 8.59 
Nesse caso, fica entendido que equações análogas a 8.58 são válidas para cada componente 
do campo vetorial.
Assim, quando aplicado sobre uma função escalar ou uma função vetorial, o operador lapla-
ciano preserva o caráter dessas grandezas. 
8.6.2 A Equação de Laplace
A equação de Laplace se escreve como
 8.60 
onde V e ρ são funções escalares.
Ela é, a rigor, a equação fundamental da eletrostática. Isso porque, de acordo com a lei de Gauss:
 8.61 
Além disso, a segunda lei especifica que o campo elétrico produzido pela distribuição está-
tica é tal que uma certa combinação de taxas de variação se anula:
 8.62 
As condições acima podem ser escritas de uma forma resumida como:
 8.63 
∇ ( ) = ∇⋅ ∇( ) ( ) = ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂





 ( )2
2
2
2
2
2
2V x y z V x y z x y z
V x y z, , , , , ,
∇ ( ) = ∇⋅ ∇( ) ( ) = ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂





 (2
2
2
2
2
2
2
  
E x y z E x y z
x y z
E x y z, , , , , , ))
∇ ( ) = ( )2V x y z x y z, , , ,ρ
0
E ρ∇ =
ε


∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
E
x
E
y
E
y
E
z
E
z
E
x
y x z y x z=0 =0 ==0 
∇× =

E 0
161
Fundamentos de Matemática II
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Como consequência da lei 8.63, é fácil concluir que sua “solução” é qualquer função da forma:
 8.64 
onde V é uma função escalar, já identificada com o potencial elétrico. Assim, o conteúdo da 
segunda lei é basicamente estabelecer que o campo eletrostático é um campo conservativo.
A substituição da solução 8.64 em 8.61 nos leva a uma formulação da eletrostática, na qual o 
problema agora passa a ser a determinação do potencial a partir da solução da equação diferencial:
 8.65 
que é, em última analise, a equação que resulta das duas outras, 8.61 e 8.63. A equação de 
Laplace (8.65) engloba as duas leis da eletrostática.
8.7 Outras Derivadas de Segunda Ordem 
8.7.1 Equação das Ondas
Para uma onda que se propaga no espaço tridimensional, a equação das ondas se escreve como:
 8.66 
onde v é a velocidade da onda. As ondas acima são ditas ondas escalares. No eletromagnetismo, 
estudaremos ondas vetoriais.
É bom lembrar que na primeira lei está expressa a ideia de que o efeito da 
presença de cargas numa certa região do espaço leva a produzir campos, cuja taxa 
de variação das diversas componentes do campo são especificadas por 8.61. Esse é 
um conteúdo fundamental da eletrostática. Podemos assim, em principio, deter-
minar o campo gerado pela distribuiçao de carga. 
 
E x y z V x y z, , , ,( ) = −∇ ( )
∇ ( ) = − ( )2
0
V x y z
x y z
, ,
, ,ρ
ε
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
1u
x
u
y
u
z v
u
t
162
8 Aplicações das Derivadas Parciais
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A equação 8.66 pode ser escrita, sucintamente, como 
 8.67 
8.7.2 Ondas Eletromagnéticas
Sem entrar em detalhes, o fato é que se pode deduzir, a partir das equações de Maxwell no espaço 
livre, que o campo elétrico e também o campo magnético satisfazem a equação de ondas, a saber:
 8.68 
Explicitamente, escrevemos:
 8.69 
 8.70 
e, portanto, os campos elétrico e magnético podem se propagar como ondas pelo espaço.
Tais ondas recebem o nome de ondas eletromagnéticas. Os campos elétrico e magnético, 
nesse caso, são os componentes da onda. A razão para a sua propagação mesmo no vácuo está relacio-
nada ao fenômeno conhecido como indução eletromagnética, ou seja, um campo elétrico que varia 
com o tempo induz um 
campo magnético que varia 
com o tempo e este último, 
ao variar com o tempo, 
induz um campo elétrico 
que varia com o tempo, e 
assim sucessivamente.
∇ ( ) = ∂ ( )
∂
2
2
2
2
1u x y z t
v
u x y z t
t
, , ,
, , ,
∇ =
∂
∂
∇ =
∂
∂
2
2
2
2
2
2




E E
t
B B
t
εµ
εµ
∂ ( )
∂
+
∂ ( )
∂
+
∂ ( )
∂
=
∂2
2
2
2
2
2
2
   
E x y z t
x
E x y z t
y
E x y zt
z
E x, , , , , , , , ,
µε
,, , ,y z t
t
( )
∂ 2
∂ ( )
∂
+
∂ ( )
∂
+
∂ ( )
∂
=
∂2
2
2
2
2
2
2
   
H x y z t
x
H x y z t
y
H x y z t
z
H x, , , , , , , , ,
µε
,, , ,y z t
t
( )
∂ 2
Figura 8.10: Propagação de uma onda eletromagnética harmônica ao longo do eixo Z.
163
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8.8 Mecânica Quântica e a Química
A rigor, todas as propriedades associadas aos elétrons nos átomos, moléculas e seus compostos 
podem ser entendidas a partir de uma equação que descreve as propriedades quânticas desses 
sistemas. Tal equação recebe o nome de equação de Schroedinger. 
No caso de um elétron de massa m e para ondas estacionárias, a equação de Schroedinger é 
uma equação para ψE(
r1) da forma:
 8.71 
onde U(r1) é a energia potencial do elétron no átomo e E é a sua energia. Um dos objetivos, ao 
buscarmos soluções para tais equações, é o de determinar as energias possíveis do elétron no átomo.
Uma solução do tipo onda estacionária, no contexto da teoria quântica, tem uma interpretação 
bastante simples: tais soluções estão associadas ao estado de partículas com energias bem definidas.
Na mecânica quântica, a função de onda ψE(
r1) é a amplitude de probabilidade de encon-
trarmos a partícula com energia E, numa posição caracterizada pelo vetor de posição r1.
No contexto quântico, a probabilidade de encontrarmos uma partícula, com energia bem 
definida (E) num pequeno elemento de volume, dV, no entorno do ponto caracterizado pelo 
vetor 
r , é dada por:
 8.72
Como a probabilidade de encontrarmos a partícula independentemente dos pontos do 
espaço é 1, a função de onda deve, obrigatoriamente, satisfazer a condição
 8.73
Nessa interpretação da função de onda, não podemos determinar 
onde exatamente o elétron se encontra. Podemos saber apenas onde 
poderá ser encontrado com maior probabilidade. As regiões para as 
quais há maior probabilidade de encontrar o elétron em torno do 
núcleo são denominadas orbitais.
−
/
∇ + ( )




 ( ) = ( )
h
m
U r r E rE E
2
2
2
  
ψ ψ
Figura 8.11: Orbitais de um 
átomo são regiões do espaço nas 
quais é maior a probabilidade de 
encontrar elétrons.
P r r r d VE E
  ( ) = ( ) ( )∗ψ ψ 3
ψ ψE Er r d V
 ( ) ( ) =∗∫∫∫ 3 1
	8.1 Introdução
	8.2 Taxas de Variação Instantânea de campos 
	8.3 O gradiente de um Campo Escalar
	8.3.1 Os Campos elétrico e gravitacional
	8.3.2 Movimento de um fluido: Hidrostática
	8.3.3 Propagação do Calor
	8.3.4 Força e Energia Potencial
	8.4 O divergente de um campo Vetorial
	8.4.1 Leis de Conservação
	8.4.2 Leis do Eletromagnetismo e da Gravitação
	8.5 Rotacional de um Campo Vetorial
	8.5.1 Aplicações no Eletromagnetismo
	8.5.2 Campos com divergente nulo
	8.6 Derivadas de Segunda Ordem
	8.6.1 O Operador Laplaciano ()
	8.6.2 A Equação de Laplace
	8.7 Outras Derivadas de Segunda Ordem 
	8.7.1 Equação das Ondas
	8.7.2 Ondas Eletromagnéticas
	8.8 Mecânica Quântica e a Química