Funções Trigonométricas: Estudo da Forma Geral da Função Seno

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Estudo da Forma Geral da Função Seno
Funções Trigonométricas
Função Seno • 
Relembrando:
A função seno é uma função periódica e seu período é . O domínio da função é o conjunto dos números reais, ou seja, é definido para qualquer  real.
A função assume o valor máximo igual a , isso ocorre quando o valor de representa um arco com primeira determinação . E o valor mínimo igual a, quandorepresenta um arco com primeira determinação  . Ou seja, a função seno é uma função periódica que possui imagem dentro do intervalo 
Domínio e Imagem [-1,1] 
Gráfico da Função Seno
Relembrando:
Vamos construir o gráfico da função colocando os valores notáveis no plano cartesiano:
Gráfico da Função Seno
Relembrando:
No círculo trigonométrico a função tem sinal positivo nos quadrantes I e II e sinal negativo nos quadrantes III e IV. 
Pelo gráfico podemos ver quando a função assume valores negativos, positivos e zero:
Forma Geral da Função Seno
Dada uma função, as vezes nem todos os coeficientes aparecem, mas eles estão lá. 
Exemplo:
Assim como a função acima, a função seno também “esconde” coeficientes.
Exemplo:
Ou seja, a função seno, na sua forma geral é dada por:
Os coeficientes da Função Seno
Trabalhando com o GeoGebra:
Com o auxilio do software GeoGebra vamos explorar a influência que cada coeficiente exerce no gráfico da função seno.
Na janela de entrada do GeoGebra, digite a expressão: 
Tecle ENTER e aparecerá controles deslizantes para os coeficientes a, b, c, e d.
Explorando os controles deslizantes, observe e tome nota das alterações que são geradas no gráfico da função quando se altera os coeficientes.
Os coeficientes da Função Seno
Trabalhando com o GeoGebra:
Alguns pontos observados:
O valor de a nos indica a amplitude da função seno; 
O valor de b nos indica o número de ciclos completos que a função seno realiza no período de ;
O valor de c nos dá o deslocamento horizontal da função original seno. Se c for nulo, então a função se situa na posição original;
O valor de d nos dá o deslocamento o vertical da função original seno. Se d for nulo, então a função situa-se na posição original.
Colocando em prática:
Carol e Cláudio, passeando em um parque de diversões, resolvem andar na roda-gigante. Segundo informações que eles leram, a altura que estariam em relação ao solo pode ser aproximadamente descrita pela função h(t) abaixo, em que t é dado em segundos e h em metros.
Qual o raio da roda-gigante?
Qual o tempo necessário para eles darem uma volta completa na roda-gigante?
Qual a altura máxima e mínima que poderão estar em relação ao solo?
Resolvendo através da análise dos coeficientes
Colocando em prática:
Qual o raio da roda-gigante?
Através da análise dos coeficientes da função seno, percebemos que o raio da roda-gigante é dado pelo parâmetro que altera a amplitude. Na função essa alteração é feita pelo coeficiente .
Comparando essa função com a função , concluímos que o raio da roda-gigante mede 19 metros.
Resolvendo através da análise dos coeficientes
Colocando em prática:
Qual o tempo necessário para eles darem uma volta completa na roda-gigante?
O tempo necessário para a roda gigante dar uma volta completa é dado pelo período da função. Para a função , o período é calculado dividindo-se pelo coeficiente , que promove essa variação. No problema apresentado, o coeficiente é igual a . Portanto:
Assim, a roda-gigante dá uma volta completa em 48 segundos.
Resolvendo através da análise dos coeficientes
Colocando em prática:
Qual a altura máxima e mínima que poderão estar em relação ao solo?
A altura máxima e mínima em que poderão estar em relação ao solo pode ser calculado através dos pontos máximo e mínimo da função. Na função esse intervalo pode ser obtido através dos coeficientes . Sendo eles: .
No exercício temos , logo:.
Desse modo, concluímos que a altura máxima é igual a 39 metros e a mínima é de 1 metro.
Concluindo:
Amplitude é a medida da distância entre uma extremidade do gráfico (pico mais alto ou mais baixo) e o eixo x (eixo horizontal). Ou ainda pode-se calcular a amplitude como sendo a diferença entre os valores máximo e mínimo da função dividida por dois.
Na fórmula geral da função tipo seno , a amplitude é representada pela constante a.
Frequência é a quantidade de vezes que a função se repete em determinado intervalo.
Na fórmula geral da função tipo seno , a frequência é dada por .
Relação entre os coeficientes e as
propriedades da Função Seno
Período é a medida que determina o quanto o gráfico da função “demora”, ou seja, quantas unidades são necessárias para completar um ciclo completo.
O período é determinado pela seguinte fórmula: 
Onde representa o período e representa a frequência.
Concluindo:
Relação entre os coeficientes e as
 propriedades da Função Seno
Transladação horizontal é o deslocamento do gráfico da função horizontalmente. Esse movimento não altera o gráfico, mas indica quantas unidades a direita ou a esquerda ele “andou”.
Na fórmula geral da função tipo seno , a transladação horizontal é dada pela constante c.
 
Transladação vertical é o deslocamento do gráfico da função verticalmente. Esse movimento não altera o gráfico, mas indica quantas unidades acima ou abaixo ele “andou”.
Na fórmula geral da função tipo seno , a transladação vertical é dada pela constante d.
Concluindo:
Relação entre os coeficientes e as
propriedades da Função Seno
Referências:
BARBOSA, A. A. Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem relacionadas à razões e às Funções Trigonométricas, visando uma perspectiva construtivista. Dissertação (mestrado em Ensino de Matemática), PUC/SP, 2009.
GRAVINA, M. A.; SANTAROSA, L. M. A aprendizagem da matemática em ambientes informatizados. In: CONGRESSO RIBIE, 4, 1998, Brasília. Anais... Brasília, 1998. Disponível em: Acesso em: 2 nov. 2019.