Como as derivadas afetam a forma de um gráfico? Parte II

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Curso: Licenciatura em Matemática 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II 
Aluno: Sérgio Ferreira Guimarães Júnior – AQ3000311 
 
Atividade IV 
Como as derivadas afetam a forma de um gráfico? – Parte II 
 
ROTEIRO PARA ESBOÇAR UMA CURVA 
A. DOMÍNIO 
Conjunto de valores para os quais a função está definida. 
 
B. INTERSECÇÕES COM OS EIXOS 
Intersecção com o eixo 𝑦: 𝑓(0). 
Intersecção com o eixo 𝑥: 𝑓(𝑥) = 0. 
 
C. SIMETRIA FUNÇÃO PAR, ÍMPAR, PERIÓDICA 
Função par: 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), a curva é simétrica em relação ao eixo 𝑦. 
Função ímpar: 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), a curva é simétrica em relação a origem. 
 
D. ASSÍNTOTAS (HORIZONTAIS E VERTICAIS) 
Assíntotas horizontais 𝑦 = 𝐿: lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 ou lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿. 
Assíntotas verticais x= 𝑎: lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = ±∞ ou lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = ±∞. 
 
E. INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO 
𝑓′(𝑥) > 0 ⇒ 𝑓 é crescente. 
𝑓′(𝑥) < 0 ⇒ 𝑓 é decrescente. 
 
F. VALORES MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS 
Teste da segunda derivada ou teste da primeira derivada. 
 
G. CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO 
𝑓′′(𝑥) > 0 ⇒ concavidade voltada para cima. 
𝑓′′(𝑥) < 0 ⇒ concavidade voltada para baixo. 
Pontos de inflexão: quanto muda a direção da concavidade. 
 
H. ESBOÇO DA CURVA 
Usar as informações supracitadas para esboçar o gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esboce a curva 𝒚 =
𝟐𝒙𝟐
𝒙𝟐−𝟏
 
 
A. DOMÍNIO 
 
𝑥2 − 1 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ ±1 
𝔻 = ℝ − {−1,1} 
 
B. INTERSECÇÕES COM OS EIXOS 
 
Para 𝑓(0): 
𝑦 =
2. 02
02 − 1
⇒ 𝑦 = 0 
 
Para 𝑓(𝑥) = 0: 
2𝑥2
𝑥2 − 1
= 0, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑥2 − 1 ≠ 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜, 2𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 
 
Logo, corta no ponto (0,0), ou seja, na origem. 
 
C. SIMETRIA FUNÇÃO PAR, ÍMPAR, PERIÓDICA 
 
2(−𝑥)2
(−𝑥)2 − 1
=
2𝑥2
𝑥2 − 1
, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) 
 
Portanto, é uma função par, ou seja, simétrica em relação ao eixo 𝑦. 
 
D. ASSÍNTOTAS (HORIZONTAIS E VERTICAIS) 
 
lim
𝑥→−∞
(
2𝑥2
𝑥2 − 1
) = 2 𝑒 lim
𝑥→+∞
(
2𝑥2
𝑥2 − 1
) = 2 
 
Portanto, 𝑦 = 2 é assíntota horizontal da função. 
 
lim
𝑥→1−
(
2𝑥2
𝑥2 − 1
) = −∞ 𝑒 lim
𝑥→1+
(
2𝑥2
𝑥2 − 1
) = +∞ 
lim
𝑥→−1−
(
2𝑥2
𝑥2 − 1
) = +∞ 𝑒 lim
𝑥→−1+
(
2𝑥2
𝑥2 − 1
) = −∞ 
 
Portanto, 𝑥 = −1 e 𝑥 = 1 são assíntotas verticais da função. 
 
E. INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO 
 
𝑦 =
2𝑥2
𝑥2 − 1
⇒ 𝑦′ = −
4𝑥
(𝑥2 − 1)²
 
 
𝑦′ = 0 ⇒ 𝑥 = 0, logo 𝑥 = 0 é ponto crítico. 
 
intervalo (−𝟒𝒙) (𝒙² − 𝟏) (𝒙𝟐 − 𝟏) 𝒚′ conclusão 
𝑥 < −1 + + + + y é crescente ↗ 
−1 < 𝑥 < 0 + − − + y é crescente ↗ 
0 < 𝑥 < 1 − − − − y é decrescente ↘ 
𝑥 > 1 − + + − y é decrescente ↘ 
 
Portanto, a função é crescente nos intervalos (−∞, −1) e (−1,0) e decrescente nos intervalos (0,1) e (1, +∞). 
 
F. VALORES MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS 
 
x antes depois conclusão 
−1 ↗ ↗ - 
0 ↗ ↘ máximo 
1 ↘ ↘ - 
 
Portanto, 𝑥 = 0 é máximo local da função. 
 
G. CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO 
 
𝑦 =
2𝑥2
𝑥2 − 1
⇒ 𝑦′ = −
4𝑥
(𝑥2 − 1)2
⇒ 𝑦′′ =
12𝑥2 + 4
(𝑥2 − 1)3
 
 
intervalo (𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟒) (𝒙² − 𝟏) (𝒙𝟐 − 𝟏) (𝒙𝟐 − 𝟏) 𝒚′′ 
𝑥 < −1 + + + + + 
−1 < 𝑥 < 0 + − − − − 
0 < 𝑥 < 1 + − − − − 
𝑥 > 1 + + + + + 
 
Portanto, concavidade para cima nos intervalos (−∞, −1) e (1, +∞) e concavidade para baixo nos intervalos 
(−1,0) e (0,1). 
 
 
 
H. ESBOÇO DA CURVA 
 
Como conclusão, temos que, o gráfico da função tende a 𝑥 = −1 e 𝑥 = 1 no infinito pela esquerda e direita 
(assíntotas verticais) e tende ao infinito em 𝑦 = 2 (assíntota horizontal). A função é simétrica em relação ao eixo 
𝑦, tem concavidade para cima nos intervalos (−∞, −1) e (1, +∞) e concavidade para baixo nos intervalos (−1,0) 
e (0,1). O ponto 𝑥 = 0 é ponto máximo local da função e corta o eixo na origem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esboce a curva 𝒚 =
𝒙𝟐
√𝒙+𝟏
 
 
A. DOMÍNIO 
 
√𝑓(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≥ 0 𝑙𝑜𝑔𝑜, √𝑥 + 1 ⇒ 𝑥 + 1 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ −1 
𝑒, 𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚 √𝑥 + 1 ≠ 0 ⇒ 𝑥 + 1 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ −1 
Logo 𝑥 > −1. 
𝔻 = (−1, +∞) 
 
B. INTERSECÇÕES COM OS EIXOS 
 
Para 𝑓(0): 
𝑦 =
02
√0 + 1
⇒ 𝑦 = 0 
 
Para 𝑓(𝑥) = 0: 
𝑥2
√𝑥 + 1
= 0, 𝑐𝑜𝑚𝑜 √𝑥 + 1 ≠ 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜, 𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 
 
Logo, corta no ponto (0,0), ou seja, na origem. 
 
C. SIMETRIA FUNÇÃO PAR, ÍMPAR, PERIÓDICA 
 
A função não é simétrica. 
 
D. ASSÍNTOTAS (HORIZONTAIS E VERTICAIS) 
 
A função não está definida para 𝑥 ≤ −1, ou seja, −∞ não está no domínio. 
 
lim
𝑥→+∞
(
𝑥2
√𝑥 + 1
) = +∞ 
 
Portanto, não há assíntota horizontal. 
 
A função não está definida em 𝑥 = −1: 
 
lim
𝑥→1−
(
𝑥2
√𝑥 + 1
) = 𝑛ã𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑒 lim
𝑥→1+
(
𝑥2
√𝑥 + 1
) = +∞ 
 
Portanto, 𝑥 = −1 é assíntota vertical da função. 
 
E. INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO 
 
𝑦 =
𝑥2
√𝑥 + 1
⇒ 𝑦′ =
3𝑥2 + 4𝑥
2√𝑥 + 1(𝑥 + 1)
 
 
𝑦′ = 0 ⇒ 𝑥 = 0, logo 𝑥 = 0 é ponto crítico. 
 
intervalo (𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙) (𝟐√𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟏) 𝒚′ conclusão 
−1 < 𝑥 < 0 − + + − y é decrescente ↘ 
𝑥 > 0 + + + + y é crescente ↗ 
 
Portanto, a função é crescente no intervalo (0, +∞) e decrescente no intervalo (−1,0). 
 
F. VALORES MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS 
 
x antes depois conclusão 
−1 𝑛ã𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 ↘ - 
0 ↘ ↗ mínimo 
 
Portanto, 𝑥 = 0 é mínimo local da função. 
 
G. CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO 
 
𝑦 =
𝑥2
√𝑥 + 1
⇒ 𝑦′ =
3𝑥2 + 4𝑥
2√𝑥 + 1(𝑥 + 1)
⇒ 𝑦′′ =
3𝑥2 + 8𝑥 + 8
4√𝑥 + 1(𝑥 + 1)²
 
 
intervalo (𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟖) (𝟒√𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟏) 𝒚′′ 
−1 < 𝑥 < 0 + + + + + 
𝑥 > 0 + + + + + 
 
Portanto, concavidade para cima no intervalo (−1, +∞). 
 
 
 
 
 
H. ESBOÇO DA CURVA 
 
Como conclusão, temos que, o gráfico da função não está definido para 𝑥 < −1 e tende para 𝑥 = −1 no infinito 
pela direita (assíntota vertical). A função não é simétrica em relação ao eixo 𝑦, tem concavidade para cima no 
intervalo (−1, +∞). O ponto 𝑥 = 0 é ponto mínimo local da função e corta o eixo na origem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esboce a curva 𝒚 = 𝒙𝒆𝟐 
 
A função 𝑦 = 𝑥𝑒² é linear, ou seja, é uma função afim (𝑎𝑥 + 𝑏) onde 𝑏 = 0. 
O gráfico de toda função linear é uma reta que passa pela origem, ou seja, pelo ponto (0,0). 
Como o coeficiente angular (𝑒²) é positivo, a função é crescente.