Solução Avaliação 1 - Tipo 2: Vetores e Geometria Analítica

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1
UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte
ECT - Es
ola de Ciên
ias & Te
nologia
ECT1112 - Álgebra Vetorial - 2014.2 - Turma 01
BCT - Ba
harelado em Ciên
ias & Te
nologia
Professor - Fábio Sperotto Bem�
a
Data: 05 de setembro de 2014
QUEST�O NOTA
Q 1
Q 2
Q 3
Q 4
Q 5
TOTAL
Avaliação 1
Nome: Matrí
ula:
Es
reva de forma legível. Resultados sem o devido desenvolvimento serão des
onsiderados. Pode fazer à lápis.
Simpli�que os termos numéri
os o máximo possível. O resultado pode �
ar em função de raízes e frações neste 
aso.)
Questão 1 (3 pontos)
(a) (1 pt) Es
reva inequações para des
rever a 
aixa retangular sólida no primeiro o
tante limitada pelos planos
x = 1, y = 2 e z = 3.
(b) (1 pt) Determine a equação do 
onjunto de pontos equidistantes dos pontos A(−1, 5, 3) e B(6, 2,−2).
(
) (1 pt) Determine a equação da esfera que tangen
ia o plano xy e tem 
entro em C(2,−4, 6).
Solução:
(a) A região do espaço é
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ 2
0 ≤ z ≤ 3
(b) Para isso devemor 
onsiderar um ponto qualquer P (x, y, z) e exigir que |PA| = |PB|, ou melhor, podemos
eliminar a raiz quadrada que apare
e na fórmula da distân
ia 
al
ulando o quadrado
|PA|2 = |PB|2
(x + 1)2 + (y − 5)2 + (z − 3)2 = (x− 6)2 + (y − 2)2 + (z + 2)2
x2 + y2 + z2 + 2x− 10y − 6z + 35 = x2 + y2 + z2 − 12x− 4y + 4z + 44
14x− 6y − 10z = 9 .
A solução é a região do espaço delimitada pelo plano de equação
14x− 6y − 10z = 9
(
) Se a esfera tangen
ia o plano xy, ou seja, z = 0, então o raio da esfera deve ser a distân
ia do ponto C ao
plano xy, ou seja, r = 6. Sendo assim
(x− 2)2 + (y + 4)2 + (z − 6)2 = 36
2
Questão 2 (2 pontos) Um varal de roupas super elásti
o é estendido entre dois postes 8m distantes um do outro.
O �o do varal está bastante esti
ado, de forma a ser 
onsiderado horizontal. Quando uma 
amisa molhada

om uma massa de 0, 8Kg é pendurada no meio do varal, esse ponto 
entral é deslo
ado para baixo em 3m.
Determine o módulo da tensão em 
ada metade da 
orda do varal. (Considere g ≈ 10m/s2.)
Solução: Após a 
amiseta ser 
olo
ada no varal, 
ada lado do varal formará um triângulo retângulo virado
para baixo, 
om base 4m e altura 3m, tendo uma hipotenusa de 5m, 
omo mostra a �gura 1.
4m
3m
θ
~T
1 ~T2
m~g
5m
Figura 1: Ilustração do varal 
om 
amiseta pendurada no meio.
O ângulo θ que ~T1 faz 
om a horizontal é o mesmo que o vetor ~T2 faz 
om a horizontal. O sistema está em
equilíbrio, portanto
~T1 + ~T2 +m~g = ~0 .
Em 
omponentes temos que
x : −||~T1|| sin θ + ||~T2|| sin θ = 0 ,
y : ||~T1|| cos θ + ||~T2|| cos θ −mg = 0 ,
o que resulta em
||~T2|| = ||~T1||
e
||~T1|| =
mg
2 cos θ
.
Por se tratar de um triângulo retângulo cos θ = 3/5, então
||~T1|| =
20
3
N
3
Questão 3 (1 ponto) Se ~a = (3, 0,−4), determine um vetor ~b paralelo ao vetor (1, 2, 3) tal que comp~a~b = 9.
Solução: Como
~b é paralelo à (1, 2, 3), então ~b = l(1, 2, 3). Sendo assim,
comp~a~b =
(3, 0,−4) · l(1, 2, 3)
||(3, 0,−4)|| =
−9l
5
= 9 =⇒ l = −5 .
Portanto,
~b = −5(1, 2, 3) = (−5,−10,−15)
4
Questão 4 (2 pontos) Determine a distân
ia do ponto (−2, 3) à reta 3x− 4y + 5 = 0. (Di
a: es
olha dois pontos
sobre a reta. Por exemplo, o ponto quando x = 0 e o outro quando y = 0.)
Solução: Pre
isamos primeiro en
ontrar dois pontos sobre a reta 3x− 4y+5 = 0. Se y = 0, então pela equação
da reta x = −5/3 e, portanto, o ponto Q(−5/3, 0) está na reta. Da mesma forma, quando x = 0 a equação
demanda y = 5/4 e então o ponto R(0, 5/4) também é um ponto da reta. De�nindo o vetor paralelo à reta
~a =
−−→
QR =
(
5
3
,
5
4
)
=
5
12
(4, 3)
e o vetor que vai da reta até o ponto P (−2, 3)
~b =
−−→
QP =
(
−1
3
, 3
)
=
1
3
(−1, 9) .
Ilustrado na �gura 2, o triângulo retângulo formado pelos vetores
~b e proj~a~b nos permitem en
ontrar a distân
ia
d =
√
||~b||2 − (comp~a~b)2
=
√
√
√
√
82
9
−
(
1
3
(−1, 9) · 5
12
(4, 3)
5
12
||(4, 3)||
)2
=
√
82
9
− 1
9
(
23
5
)2
=
1
15
√
82(25)− (23)2 quem parou aqui esta bom!
=
1
15
√
1521 =
39
15
=
13
5
.
d =
1
15
√
82(25)− (23)2 = 13
5
Q
R
P
~b =
−→
QP
~a =
−→
QR
L
proj~a~b
d
Figura 2: Ilustração da questão 4.
5
Questão 5 (2 pontos) Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais a ~+ 2~k e ~ı− 2~+ 3~k.
Solução: O vetor ~v ortogonal aos dois vetores a
ima é
~v = (~+ 2~k)× (~ı− 2~+ 3~k) = (0, 1, 2)× (1,−2, 3) = (7, 2,−1) .
Os dois vetores unitários ortogonais aos vetores ~+ 2~k e ~ı− 2~+ 3~k será
~n± = ±
~v
||~v|| = ±
(7, 2,−1)√
54
= ± (7, 2,−1)
3
√
6
.
(7, 2,−1)
3
√
6
e − (7, 2,−1)
3
√
6