VGA - Slides da Aula 6

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Dados um ponto 𝑃0 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 e um vetor
𝑢 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 , a reta 𝑟 que passa por 𝑃0 e que tem a
direção de 𝑢 é o conjunto dos pontos 𝑃 = 𝑥, 𝑦, 𝑧
tais que 𝑃0𝑃 // 𝑢 , ou seja, é o conjunto dos
pontos 𝑃 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 que satisfazem a equação
vetorial 𝑃0𝑃 = 𝑡𝑢 , onde 𝑡 ∈ ℝ.
Equações da Reta
Neste caso, dizemos que 𝑢 é um vetor
diretor da reta 𝑟 e que t é o parâmetro.
A equação vetorial
𝑃0𝑃 = 𝑡𝑢
equivale às duas equações vetoriais abaixo:
𝑃 = 𝑃0 + 𝑡𝑢 e 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + 𝑡 𝑎, 𝑏, 𝑐 ,
onde 𝑡 ∈ ℝ. Qualquer uma dessas três equações
é chamada de equação vetorial da reta 𝑟.
Esse raciocínio vale também para retas em
ℝ2.
Exemplo 1: Consideremos 𝑃0 = 2,−4, 3 e
𝑢 = 0, 5, −1 .
a) Determine uma equação da reta 𝑟 que pas-
sa por 𝑃0 e que possui a direção do vetor 𝑢 .
b) Determine três pontos que pertencem a 𝑟.
c) A reta 𝑟 passa pela origem?
Equações da Reta
Equações da Reta
Exemplo 2: Determine uma equação da reta
𝑠 que passa pela origem e que é paralela ao
vetor 𝑣 = 3, 0, 1/2 e em seguida responda:
o ponto 1,2,3 pertence a 𝑠?
Equações da Reta
Exemplo 3: Sejam 𝐴 = −5, 1, 2 e 𝐵 = 0, 1, 6 .
a) Determine a equação da reta 𝑚 que contém
os pontos 𝐴 e 𝐵.
b) Determine dois vetores diretores de 𝑚.
c) Prove que o ponto médio do segmento 𝐴𝐵
pertence a 𝑚.
Equações da Reta
A esta altura já percebemos que
i) para cada valor real do parâmetro, temos
um único ponto da reta e para cada ponto da
reta, temos um único valor do parâmetro;
ii) “o” vetor diretor de uma reta não é único
(qualquer vetor paralelo a um vetor diretor de
uma reta é também vetor diretor desta reta);
iii) “a” equação vetorial de uma reta não é
única (para cada ponto e cada vetor diretor
fixado, temos uma equação diferente para a
mesma reta).
A partir da equação vetorial de uma reta 𝑟,
obtemos um sistema de equações paramétricas
para a reta 𝑟, se considerarmos separadamente,
as equações originadas pelas coordenadas.
Isto é, se 𝑃 = 𝑃0 + 𝑡𝑢 , 𝑡 ∈ ℝ, é uma equação
vetorial de 𝑟, onde 𝑃0 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 e 𝑢 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 ,
então podemos reescrever a equação 𝑃 = 𝑃0 + 𝑡𝑢
na forma 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + 𝑡 𝑎, 𝑏, 𝑐 , para
concluir que
𝑟: ቐ
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡
𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡 , onde 𝑡 ∈ ℝ.
As três equações anteriores formam um
sistema de equações paramétricas para a reta
𝑟, ou, simplesmente, as equações paramétri-
cas da reta 𝑟.
Exemplo 4: a) Determine as equações
paramétricas da reta 𝑘 que passa pelo ponto
−10, 2 , 7 e que é paralela ao eixo 𝑦.
b) Determine dois pontos pertencentes a 𝑘.
c) O ponto 0, 2 , 1 pertence a 𝑘?
A partir de um sistema de equações paramé-
tricas da reta 𝑟 que passa por 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 e que
possui a direção de 𝑢 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 , se a, b e c forem
não nulos, então podemos isolar o parâmetro nas
três equações (como feito abaixo)
𝑟: ቐ
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡
𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡
⇒
𝑡 =
𝑥 − 𝑥0
𝑎
𝑡 =
𝑦 − 𝑦0
𝑏
𝑡 =
𝑧 − 𝑧0
𝑐
para concluir que
𝑥 − 𝑥0
𝑎
=
𝑦 − 𝑦0
𝑏
=
𝑧 − 𝑧0
𝑐
O sistema de equações imediatamente
anterior é um sistema de equações simétricas
da reta 𝑟 , ou, simplesmente, as equações
simétricas da reta 𝑟.
Exemplo 5: a) Determine as equações
simétricas da reta 𝑛 que passa pelo ponto
0, 5 ,−1 e que tem a direção de 𝑣 = 3,−2 , 7 .
b) Determine dois pontos pertencentes a 𝑛.
c) O ponto −1,−2 ,−3 pertence a 𝑛?
Vale a pena ressaltar que assim como a
equação vetorial de uma reta não é única, as
equações paramétricas e as equações
simétricas também não são.
Como existem infinitas possibilidades de
escolha de um vetor diretor para uma reta e
infinitas possibilidades de escolha de um
ponto por onde esta reta passe, para cada par
escolhido (um vetor diretor e um ponto),
temos uma equação vetorial, um sistema de
equações paramétricas e um sistema de
equações simétricas para aquela reta.