números inteiros - Mat 7° ano21

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 Escola Municipal Vereador Dimas Monteiro Nogueira 
 Itaboraí, 05 de abril de 2021. 
 Disciplina: Matemática 7° ano, turma:________ 
 Professora: Neilane Rodrigues 
 Aluno(a):________________________________________ 
 
 
NÚMEROS INTEIROS (ℤ) 
Vamos conhecer os opostos dos números naturais que, junto a eles, compõem o 
conjunto dos números inteiros. Podemos notar no nosso cotidiano, principalmente 
quando se trata de dívidas, o uso dos números inteiros. Mas qual é o sentido de 
dividirmos números negativos e resultar em um número positivo?! Nessa unidade, 
vamos entender de onde surgiram essas ideias de operações com número inteiros, 
como localizá-los em uma reta numérica, além de praticarmos nossos 
conhecimentos nos exercícios. 
Os números inteiros são os números positivos e negativos. Estes números formam 
o conjunto dos números inteiros, indicado por ℤ. 
Vocês já ouviram falar em meio edifício? ¼ de edifício? Não né? Não é comum nos referirmos a 
meio edifício, ou a qualquer outra fração de edifício. Da mesma forma, não é natural existirem 
– 4 edifícios, ou –2 frutas. Por isso, a princípio, os números naturais seriam suficientes para 
representar toda e qualquer grandeza existente. Contudo, eis que surgiu um dilema! 
 
 
 
 
 
Quando adições ou multiplicações entre números naturais são realizadas, verifica-se que o 
resultado é um número natural também. Mas como mostram os exemplos acima, quando são 
realizadas subtrações, duas situações são recorrentes. Uma delas, acaba comprometendo a 
existência somente dos números naturais. Ao subtrairmos de um número um valor maior do 
que ele, encontramos sempre um resultado negativo. Mas não havia como representar tal 
evento através dos números naturais. Por esse motivo, é que se deu a criação do conjunto dos 
números inteiros. A imagem abaixo não deixa dúvidas de que esse novo conjunto é composto 
por elementos inteiros que vem de menos infinito, e que de uma em uma unidade, se 
direcionam ao mais infinito. 
 
 
 
 
 
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Os números inteiros negativos são sempre acompanhados pelo sinal (-), enquanto os números 
inteiros positivos podem vir ou não acompanhados de sinal (+). 
O zero é um número neutro, ou seja, não é um número nem positivo e nem negativo. 
Interessante não é mesmo? E o melhor de tudo, é que do elemento zero em diante, ou seja, 
rumo ao mais infinito, todos os elementos que pertencem ao conjunto dos números 
inteiros, também pertencem ao conjunto dos números naturais (ℕ)! Assim, podemos dizer que 
o conjunto dos números naturais “é parte” do conjunto dos números inteiros, ou que ele é 
um subconjunto dos números inteiros. Também é possível descrever o caso, dizendo que o 
conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros (⊂). 
 
 
 
 
 
 
Oposto ou Simétrico de um Número 
 
 
 
 
 
 
Os números opostos também são denominados simétricos, isto é, números que quando 
representados na reta numérica possuem a mesma distância da origem. O surgimento dos 
números opostos estão diretamente ligados a formulação do conjunto dos números inteiros. 
Nesse conjunto cada número inteiro positivo possui um número inteiro negativo 
correspondente. Quando colocados na reta numérica os números inteiros são distribuídos da 
seguinte forma: 
 
http://www.professorferretto.com.br/subconjuntos-e-conjunto-das-partes/
http://www.professorferretto.com.br/subconjuntos-e-conjunto-das-partes/
http://www.professorferretto.com.br/subconjuntos-e-conjunto-das-partes/
 
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A direita do número zero temos os números positivos e a esquerda os números negativos. Sendo 
assim os números negativos ficam antes do zero e os números positivos depois do zero. 
Analisando a reta e fixando o numeral zero como a origem, podemos notar que a distância entre 
um número e seu oposto, com relação a origem é a mesma. 
 
Observe que a distância entre os números 6 e –6 até a origem (zero) é correspondente a 6 
unidades. A esse fato damos o nome de valor absoluto ou módulo do número. Por exemplo, o 
modulo dos números 6 e –6 são representados da seguinte forma: 
| 6 | = 6 e | –6 | = 6 
Considerando que a distância entre 0 ↔ 6 e 0 ↔ –6 são as mesmas e que o módulo de –6 é 
o mesmo que o de 6, dizemos que esses números são opostos ou simétricos. 
Vejamos esse exemplo, o -4 é o simétrico de 4, pois estão a uma mesma distância do zero, 
conforme assinalado na figura abaixo: 
 
Para determinarmos o oposto ou simétrico de um número qualquer, basta colocarmos o sinal 
de – (menos), anterior ao número. Observe: 
 
 O oposto do número + 14 é dado por: – (+14) → – 14. 
 
 O oposto de – 6 é dado por: – (– 6) → + 6. 
 
 O oposto de + 3 é: – (+ 3) → – 3 
 
 O oposto de – 25 é: – (–25) → +25 
 
 O oposto de + 232 é: – (+232) → – 232 
 
Observação: A adição entre dois números opostos é igual a zero. 
https://conhecimentocientifico.r7.com/regras-de-sinais/
 
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Chamamos por números opostos ou simétricos aqueles números que possuem mesmo módulo 
ou valor absoluto, isto é, aqueles números que estão a mesma distância da origem, porém em 
sentidos opostos. Sendo assim, podemos afirmar que: 
 
– 2 e + 2 são opostos ou simétricos 
– 9 e + 9 são opostos ou simétricos 
 
Módulo ou Valor Absoluto 
O conjunto dos números inteiros, representado por ℤ, inclui os números naturais e exclui os 
números exclusivamente racionais ou irracionais. Portanto, dentro dos inteiros, há todos os 
números positivos e negativos desde que não sejam decimais. Para demonstrar a distribuição 
dos números inteiros, nós utilizamos a reta numérica: 
 
O (+3) e o (-3) possuem o mesmo módulo, pois ambos estão três unidades distantes da origem 
 
Nessa reta estão destacados os números – 3 e +3. Queremos verificar a distância desses 
números em relação ao ponto zero, que podemos chamar de origem. Se considerarmos que os 
espaços entre um número e outro possuem o mesmo tamanho, podemos chamar essa distância 
de “uma unidade”. Logo, no desenho, cada seta representa uma unidade. 
Analisando a imagem, vemos que o – 3 está a três unidades da origem, e que o +3 também está 
a três unidades da origem, mas em sentido oposto ao – 3. 
Essa distância de um número à origem é chamada de módulo ou valor absoluto de um número 
e é representada da seguinte forma: módulo de – a = |– a| = a. O módulo de um número sempre 
será positivo, pois ele representa uma distância variável positiva. Portanto, vejamos alguns 
exemplos de módulos: 
|– 3| = 3 
|+ 2| = 2 
| 0 | = 0 
|– 9| = 9 
|+10| = 10 
|– a|= a 
|+ a| = a 
 
Tranquilo até aqui? Agora que já conhecemos a essência do conjunto dos números inteiros, 
vamos falar um pouquinho sobre 5 de seus subconjuntos. Sigam comigo aqui! 
 
Subconjuntos notáveis dos números inteiros 
Para estudarmos os subconjuntos notáveis do conjunto dos 
números inteiros, precisamos entender direitinho o que essas duas 
palavras querem nos dizer. Assim, vamos partir para um exemplo 
real. Em uma mesma turma de escola, existem alunos que preferem 
as ciências exatas e outros que preferem as ciências humanas. Se 
nós formarmos um grupo com as pessoas que preferem as ciências 
 
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exatas e outro grupo com os alunos que preferem as ciências humanas, certamente a 
quantidade de pessoas de cada grupo será menor que o total de alunos da turma. Mesmo assim, 
independente do grupo que escolheram, cada um dos alunos continua fazendo parte da turma. 
Trazendo esse contexto aqui para a matemática, podemos dizer que o grupo de ciências exatas 
e o grupo de ciências humanas são subconjuntos do conjunto turma. 
Entenderam a ideia de subconjunto? Agora, nós vamos fazer exatamente o mesmo com os 
elementos do conjunto dos números inteiros. Vamos reunir alguns de seus elementos que 
possuem características ainda mais semelhantes em pequenos grupos, ou subconjuntos! Mas 
como esses subconjuntos são muito conhecidos, e muito importantes para o estudo da 
matemática, eles serão chamados de notáveis. Bom,chega de papo, vamos logo conhecer cada 
um deles! 
 
 
1 Inteiros não nulos 
Lembram do que eu disse sobre o asterisco? Pois é, 
quando o símbolo de um conjunto numérico é 
apresentado juntamente a ele, significa que o elemento 
zero não pertence ao subconjunto formado. Assim, 
como o próprio nome sugere, o subconjunto dos 
números inteiros não nulos é formado por todos os 
números inteiros, desde menos infinito a mais infinito, 
excluindo-se o elemento zero. 
 
2 Inteiros não negativos 
Se algo é não negativo, significa que é positivo, certo? 
Então por que não chamar logo esse subconjunto de 
subconjunto dos números inteiros positivos? A resposta 
é simples, e está no próprio símbolo deste 
subconjunto. 
Reparem que não há a presença do asterisco no 
símbolo, o que significa que o zero pertence ao 
subconjunto! E o zero, lembrem, não é positivo e nem 
negativo! Portanto, esse subconjunto deve ser mesmo 
chamado de subconjunto dos números inteiros não 
negativos, já que é formado por todos os números 
inteiros positivos rumo ao mais infinito, e também pelo elemento zero. 
Que coisa estranha, esse subconjunto não parece tão familiar? Não só parece como é! Se vocês 
olharem a figura acima com mais atenção, verão que o subconjunto dos números inteiros não 
negativos possui os mesmos elementos que o conjunto dos números naturais. Assim, podemos 
afirmar que: 
 
 
 
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3 Inteiros positivos 
Agora sim, se trata de fato do subconjunto dos 
números inteiros positivos! Por isso, ele é 
formado somente por números inteiros positivos, 
rumo ao mais infinito, fato que exclui o elemento 
zero, que como sabemos, é um elemento neutro. Isso 
fica ainda mais evidente no símbolo do conjunto, 
que contém um asterisco! 
E novamente, para a nossa felicidade, os elementos 
desse subconjunto também pertencem 
ao subconjunto dos números naturais não nulos. 
Assim, resta-nos afirmar que: 
 
 
 
4 Inteiros não positivos 
Neste caso, a mesma lógica utilizada para nomear 
o subconjunto dos números inteiros não 
negativos está valendo. Se são elementos não 
positivos, significa que vamos excluir todos os 
números inteiros positivos, mas que incluiremos 
o zero, porque ele não é positivo também. É por 
isso que no símbolo do subconjunto dos 
números inteiros não positivos não há a 
presença do asterisco, e seus elementos 
começam em menos infinito e terminam em 
zero. 
 
5 Inteiros negativos 
O subconjunto dos números inteiros negativos, 
como o próprio nome sugere, é formado apenas 
por elementos inteiros negativos, desde menos 
infinito até o elemento -1. Assim, nesse caso, os 
números inteiros positivos e o elemento zero, que 
também não é negativo, não pertencem ao 
subconjunto, e isso motiva o aparecimento, 
novamente, do asterisco em seu símbolo. 
 
 
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 Escola Municipal Vereador Dimas Monteiro Nogueira 
 Itaboraí, 05 de abril de 2021. 
 Disciplina: Matemática 7° ano, turma:________ 
 Professora: Neilane Rodrigues 
 Aluno(a):________________________________________ 
 
 
 
1. Qual das opções abaixo é o conjunto de números naturais? 
a) N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
b) Z = {1, 2, 3, 4, ...} 
c) N = {1, 2, 3, 4, ...} 
 
2. Qual opções é a correta? 
a) O zero é um número neutro. 
b) O zero é negativo. 
c) O zero é positivo. 
 
3. Qual opções está correta? 
a) O oposto de 1 é -1. 
b) O oposto de -10 é -10. 
c) O oposto de 1 é 0. 
 
4. Como se lê essa sentença |– 9| = 9? 
a) Oposto de menos zero igual a nove. 
b) Módulo de menos nove igual a nove. 
c) Menos nove igual a nove. 
 
5. Qual é o subconjunto de Inteiros não nulos? 
 a) Z = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} 
b) Z* = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
c) Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} 
 
6. O que é números inteiros? 
a) Os números inteiros são os números positivos e negativos. Estes números formam 
o conjunto dos números inteiros, indicado por ℤ. 
b) Os números inteiros também são denominados simétricos, isto é, números que 
quando representados na reta numérica possuem a mesma distância da origem. 
c) Os números inteiros são os números positivos. 
 
 
 
 
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7. Qual o número simétrico de - 100? 
 a) - 50 
b) 0 
 c) +100 
 
8. Qual das opções abaixo é o conjunto de números inteiros? 
 a) N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
 b) Z = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 
 c) N = {1, 2, 3, 4, ...} 
 
9. Qual o resultado desta operação? 30 x 12 = ? 
a) 360 
b) 260 
c) 160 
 
10. Qual o resultado desta operação? 130 x 10 = ? 
a) 13 
b) 25 
c) 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. A 
112 apartamentos. 
Note que, se em um andar possui 4 apartamentos, então em dois andares terão 4+4 
apartamentos = 8 apartamentos = 4x2 apartamentos. 
Em três andares terão 4 apartamentos + 4 apartamentos + 4 apartamentos = 12 apartamentos 
= 4x3 apartamentos. 
Logo, continuando esse processo, em 28 andares terão 28x4 apartamentos. 
2. B 
480 lugares. 
Note que, em uma fila há 32 poltronas, então em 2 filas haverão 32 poltronas + 32 
poltronas = 64 poltronas = 32x2 poltronas. 
Em três filas haverão 32 poltronas + 32 poltronas + 32 poltronas = 96 poltronas = 32x3 
poltronas. 
Logo, continuando esse processo, em 15 fileiras terão 32x15 poltronas.