Estatística - Aula 6

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
ANÁLISE COMBINATÓRIA - REVISÃO
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Olá!
Nesta aula, você irá: 1. Conhecer os fundamentos da análise combinatória.
2. Conhecer as propriedades de fatorial de um número natural.
3. Conhecer o princípio fundamental da contagem.
4. Resolver problemas que envolvam Permutação, Combinação e Arranjo.
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de
elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.
1 Diagrama de árvore
Consideremos o seguinte problema:
Uma lanchonete oferece a seus clientes apenas dois tipos de sanduíches: hot dog e hambúrger. Como sobremesa,
há três opções: sorvete, torta ou salada de frutas.
Pergunta-se: quantas são as possibilidades de uma pessoa fazer uma refeição incluindo um sanduíche e uma
sobremesa?
Podemos ter as seguintes refeições
HOT DOG e SORVETE
HOT DOG e TORTA
HOT DOG e SALADA DE FRUTAS
HAMBURGER e SORVETE
HAMBURGER e TORTA
HAMBURGER e SALADA DE FRUTAS
A determinação de tais possibilidades podem ser simplificada através de um diagrama, em que, na 1ª coluna,
representaremos as possibilidades de escolha do sanduíche e, na 2ª coluna, as possibilidades de escolha da
sobremesa.
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Este esquema é conhecido como diagrama de árvore. Fazendo a leitura de todas as “ramificações” da árvore,
obtemos as possíveis refeições.
Notemos que fazer uma refeição completa representa uma ação constituída de duas etapas sucessivas:
1) Escolha do tipo de sanduíche: há duas possibilidades.
2) Escolha da sobremesa: para cada uma das possibilidades anteriores, há três maneiras de escolher a
sobremesa
Assim, a realização da ação (duas etapas sucessivas) pode ser feita assim:
2 x 3 = 6 maneiras distintas de se escolher uma refeição.
2 Princípio Fundamental da Contagem - PFC
Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas. A primeira etapa pode ser realizada de p
maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada de q maneiras distintas.
Então, o número de possibilidades de se efetuar a ação completa é dado por p x q.
Esse princípio pode ser generalizado para ações constituídas de mais de duas etapas sucessivas. Se determinado
acontecimento ocorre em etapas independentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a
segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o
acontecimento, composto por n etapas, é dado por:
T = k1. k2 . k3 . ... . kn
2.1 Exemplos
Exemplo 1
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No Brasil as placas dos veículos possuem 3 letras e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá
ser licenciado? Imaginemos a seguinte situação: Placa ACD – 2172.
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir
que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26
alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4
lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a:
26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175.760.000.
Exemplo 2
No Brasil, antes da alteração do sistema de emplacamento de automóveis, as placas dos veículos eram
confeccionadas usando-se 2 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que podia ser
licenciado nesse sistema?
Imaginemos a seguinte situação: Placa AC – 2172.
Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a:
26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 6.760.000.
Percebe-se que a inclusão de apenas uma letra faz com que sejam licenciados,
aproximadamente, mais 170.000.000 de veículos.
3 Fatorial De Um Número Natural
Para resolver problemas de Análise Combinatória precisamos utilizar uma ferramenta matemática chamada
Fatorial.
Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como sendo:
n! = n . (n-1) . (n-2) . ... . 4 . 3 . 2 . 1 para n ≥ 2.
Se n = 1, então 1! = 1.
Se n = 0, então 0! = 1. (o fatorial de zero é sempre 1)
Resumindo: n! = n . (n-1)! | n ∈ N e n ≥ 2
Exemplos:
a) 6! = 6 . 5! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
b) 4! = 4 . 3! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
c) 7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040
d) 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800
e) 3! = 3 . 2 . 1 = 6
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Perceba que 7! = 7 . 6 . 5 . 4!, ou que 6! = 6 . 5 . 4 . 3!, e assim sucessivamente.
4 Arranjo Simples
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados k a k, a qualquer
seqüência ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n existentes.
Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a posição dos seus
elementos.
Perceba que para formar centenas com algarismos distintos, utilizando apenas os algarismos (1; 3; 5; 7; 9)
teremos as seguintes centenas: 135; 137; 139; 153, 157, e assim sucessivamente.
Se invertermos a posição dos elementos de qualquer uma destas centenas conseguiremos outra centena
diferente: 135 e 351.
Temos então um ARRANJO de cinco elementos tomados de três a três.
Exemplo 1
Dado o conjunto A = (1, 2, 3, 4), vamos escrever todos os arranjos desses quatro elementos tomados dois a dois.
(1,2) (1,3) 11, 4); (2, 1); (2,3); (2, 4); 3, 0; 03,2); 63, 4); (4, 1); (4, 2); (4,3)
Notamos que (2, 3) ≠ (3, 2), isto é, a troca na ordem dos elementos de um possível agrupamento gera um
agrupamento diferente.
Exemplo 2
Um cofre possui um disco marcado com os digitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma sequência de
3 dígitos distintos.
Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo?
As sequências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a
terceira, 8 (lembrando que são dígitos distintos, ou seja, diferentes). Aplicando a fórmula de arranjos pelo PFC,
chegaremos ao mesmo resultado: 10.9.8 = 720.
Observe que 720 = A10,3
5 Cálculo do número de arranjos
Seja um conjunto de n elementos distintos. Vamos encontrar uma expressão para o número de arranjos dos n
elementos tomados k a k:
(A )
n,k
A fórmula do Arranjo é:
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Exemplo
Obter o valor de A + A .
4,2 7,3
Temos
Logo o valor de A + A será: 12 + 210 = 222
4,2 7,3
6 Permutações simples
Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que
diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.
De outro modo, podemos entender permutação simples como um caso especial de arranjo, onde n = k, ou seja:
Portanto, a fórmula da Permutação é: Pn = n!
Notemos que a permutação é um caso particular de arranjo, pois, dado um conjunto de n elementos distintos,
selecionamos exatamente n elementos para forma a sequência ordenada (n = k).
Exemplo 1:
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Escrever todos os anagramas da palavra SOL.
Um anagrama da palavra SOL é qualquer permutação das letras S, O, L de modo que se forme uma palavra com
ou sem sentido.
Assim, temos: SOL, SLO, OSL, OLS, LOS, LSO.
Exemplo 2:
De quantas maneiras cinco pessoas, A, B, C, D e E podem ser dispostas em fila indiana?
Cada maneira de compor a fila é uma permutação das cinco pessoas, pois qualquer fila obtida é uma seqüência
ordenada na qual comparecem sempre as cinco pessoas.
Assim, o resultado esperado é:
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2. 1 = 120
Exemplo 3:
Baseado no exemplo anterior (cinco pessoas, A, B, C, D e E), quantas filas podem ser compostas começando por A
ou por B?
A 1ª posição da fila pode ser escolhida de duas maneiras (tanto A como B pode iniciá-la).
Definido o início da fila, restarão sempre quatro lugares para serem preenchidos pelas quatro pessoas restantes,
num total de:
P4 = 4! = 24 possibilidades.
Pelo PFC, o resultado é: 2 x 24 = 48.
7 Permutação com elementos repetidos
Se entreos n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos
repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por:
Exemplo 1
Determine o número de anagramas da palavra MATEMATICA.
Temos 10 elementos, com repetições.
A letra M está repetida duas vezes, a letra A três, a letra T, duas vezes.
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Pela fórmula anterior, teremos:
n=10
a=2
b=3
c=2.
Exemplo 2
Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra MARIA?
Temos:
n=5 (cinco letras)
a=2 (aletra A se repete duas vezes)
8 Combinações
Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n elementos de A, tomados k a k, a
qualquer subconjunto formado por k elementos; ou seja, temos uma combinação quando os agrupamentos
conseguidos permanecem iguais ao se inverter a posição dos seus elementos.
Observe que de cinco pessoas entre as quais desejamos formar grupos de três, o grupo formado por João, Pedro
e Luís é o mesmo grupo formado por Luís, Pedro e João. Temos, então, uma COMBINAÇÃO de cinco elementos em
grupos de três.
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A fórmula da Combinação é dada por:
Exemplo 1:
Uma turma é formada por 10 alunos. Deseja-se formar uma comissão de três alunos para representação discente
na universidade. De quantas maneiras podemos fazer tal escolha?
Como ao trocar a ordem das pessoas em cada comissão formada não altera em nada o grupo, temos que
trabalhar com combinação.
n = 10
k = 3
Exemplo 2:
Escrever todas as combinações dos cinco elementos do conjunto M = {a, e, i, o, u} tomados dois a dois.
Devemos determinar todos os subconjuntos de M formados por dois elementos.
Lembremos que não importa a ordem dos elementos escolhidos:
{a, e} = {e, a}; portanto é combinação.
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Assim, as combinações pedidas são:
{a, e}; {a, i}; {a, o}; {a, u}; {e, i}; {e, o}; {e, u}; {i, o}; {i, u}; {o, u}
Exemplo 3:
Cinco alunos – Pedro, Luís, José, Abel e Márcio – participam de um concurso onde serão sorteados três livros.
Quais os possíveis resultados do concurso?
Sortear {Pedro, José, Marcio} é o mesmo que sortear {José, Marcio, Pedro}, pois nas duas situações, esses alunos
ganharão os livros.
Desta forma, cada resultado do sorteio é uma combinação dos cinco alunos tomados três a três.
Temos:
n = 5
k = 3
Os possíveis resultados do concurso são:
{P, J, M}; {P, J, A}; {P, M, A}; {P, L, J}; {P, L, M}; {P, L, A}; {L, J, A}; {L, J, M}; {J, A, M}; {L, A M}
9 Quando é Arranjo, quando é Combinação?
Arranjo
É Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a ordem dos elementos.
Combinação
É Combinação quando os agrupamentos conseguidos não se alteram ao se inverter a ordem dos elementos.
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O que vem na próxima aula
Na próxima aula, você vai estudar sobre os assuntos seguintes:
• Histórico e natureza da Probabilidade.
• Evento.
• Análises indutivas ou inferenciais na generalização para o universo de dados.
• Experimento Aleatório.
• Conhecer os conceitos relacionados à teoria das probabilidades e a sua aplicação prática.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Recordou os conceitos de Análise Combinatória, trabalhando com exercícios de Arranjo, Permutação e 
Combinação
Saiba mais
Para esta aula sugiro as seguintes tarefas:
 Leitura o capítulo 6: Probabilidade (pag. 107 a 114), do livro de Estatística Aplicada à Gestão
Empresarial.
 Resolução dos exercícios de 50 até 80 do capítulo 6 do livro Estatística Aplicada à Gestão
Empresarial.
Autor: Adriano Leal Bruni, editora: Atlas, 2010.
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	Olá!
	
	1 Diagrama de árvore
	2 Princípio Fundamental da Contagem - PFC
	2.1 Exemplos
	3 Fatorial De Um Número Natural
	4 Arranjo Simples
	5 Cálculo do número de arranjos
	6 Permutações simples
	7 Permutação com elementos repetidos
	8 Combinações
	9 Quando é Arranjo, quando é Combinação?
	O que vem na próxima aula
	CONCLUSÃO