Aula-10

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Parte 2 - Espaços Vetoriais
Espaços Vetoriais & Subespaços Vetoriais
Prof. Dr. Ricardo Puziol de Oliveira
24/03/2021
Sumário
1 Espaço Vetorial
Definição
Exemplos
2 Sub-espaço Vetorial
Definição
Exemplos
3 Resultados Importantes
4 Lista de Exercícios
5 Referências
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Espaço Vetorial
Definição (Espaço Vetorial)
Dizemos que um conjunto V é um espaço vetorial sobre R se, e
somente se,
I - Existe uma operação de soma, (u, v)→ u + v em V, com as
propriedades:
(a) Dados u, v ∈ V , tem-se que u + v = v + u.
(b) Dados u, v ,w ∈ V , tem-se que u + (v + w) = (u + v) + w .
(c) Existe um único vetor 0 ∈ V , chamado de elemento neutro, tal
que u + 0 = u para todo u ∈ V .
(d) Para cada vetor u ∈ V , existe um único vetor −u ∈ V , chamado
elemento oposto, tal que u + (−u) = 0.
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Espaço Vetorial
Definição (Espaço Vetorial)
(Cont.)
II - Existe uma operação de multiplicação por escalar, (α, u)→ αu
em V, com as propriedades:
(a) Dados α,β ∈ R e u ∈ V , tem-se que α(βu) = (αβ)u.
(b) Dados α,β ∈ R e u ∈ V , tem-se que (α+ β)u = αu + βu.
(c) Dados α ∈ R e u, v ∈ V , tem-se que α(u + v) = αu + αv .
(d) Existe um único escalar 1 ∈ R, chamado de elemento neutro,
tal que 1u = u para todo u ∈ V .
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Importante!
Em Álgebra Linear, usaremos vetor para designar um elemento de
um espaço vetorial. Por exemplo, se considerarmos o espaço vetorial
de todas as matrizes de ordem 2 × 2, V = M(2,2), os vetores serão
matrizes.
Reflita
O conjunto de todas as matrizes de ordem n × n, V = M(n,n) é, de
fato, um espaço vetorial?
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Exemplos
Exemplo 1
Vamos verificar que o conjunto dos vetores do espaço V = R3 =
{(x1, x2, x3); xi ∈ R} com as operações usuais de R3 é, de fato, um
espaço vetorial.
Solução.
Para verificarmos que o conjunto dado é, de fato, um espaço vetorial,
devemos verificar as oito propriedades descritas na definição anterior.
Isto é,
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Exemplos
Solução. (Cont.)
I - Soma:
(a) Dados u = (u1,u2,u3), v = (v1, v2, v3) ∈ R3, temos que:
u + v = (u1,u2,u3) + (v1, v2, v3)
= (u1 + v1,u2 + v2,u3 + v3)
= (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3)
= (v1, v2, v3) + (u1,u2,u3)
= v + u
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Exemplos
Solução. (Cont.)
(b) Dados u = (u1,u2,u3), v = (v1, v2, v3),w = (w1,w2,w3) ∈ R3,
temos que:
u + (v + w) = (u1,u2,u3) + [(v1, v2, v3) + (w1,w2,w3)]
= (u1,u2,u3) + (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)
= (u1 + v1 + w1,u2 + v2 + w2,u3 + v3 + w3)
= (u1 + v1,u2 + v2,u3 + v3) + (w1,w2,w3)
= [(u1,u2,u3) + (v1, v2, v3)] + (w1,w2,w3)
= (u + v) + w
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Exemplos
Solução. (Cont.)
(c) Dados u = (u1,u2,u3) ∈ R3 e 0 = (0,0,0) ∈ R3, temos que:
u + 0 = (u1,u2,u3) + (0,0,0)
= (u1 + 0,u2 + 0,u3 + 0)
= (u1,u2,u3)
= u
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Exemplos
Solução. (Cont.)
(d) Dados u = (u1,u2,u3),−u = (−u1,−u2,−u3) ∈ R3, temos
que:
u + (−u) = (u1,u2,u3) + (−u1,−u2,−u3)
= (u1 − u1,u2 − u2,u3 − u3)
= (0,0,0)
= 0
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Exemplos
Solução. (Cont.)
II - Multiplicação por Escalar:
(a) Dados u = (u1,u2,u3) ∈ R3 e α,β ∈ R, temos que:
α(βu) = α(βu1,βu2,βu3)
= (αβu1,αβu2,αβu3)
= (αβ)(u1,u2,u3)
= (αβ)u
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Exemplos
Solução. (Cont.)
(b) Dados u = (u1,u2,u3) ∈ R3 e α,β ∈ R, temos que:
(α+ β)u = ((α+ β)u1, (α+ β)u2, (α+ β)u3)
= (αu1 + βu1,αu2 + βu2,αu3 + βu3)
= (αu1,αu2,αu3) + (βu1,βu2,βu3)
= αu + βu
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Exemplos
Solução. (Cont.)
(c) Dados u = (u1,u2,u3), v = (v1, v2, v3) ∈ R3 e α ∈ R, temos
que:
α(u + v) = α(u1 + v1,u2 + v2,u3 + v3)
= (α(u1 + v1),α(u2 + v2),α(u3 + v3))
= (αu1 + αv1,αu2 + αv2,αu3 + αv3)
= (αu1,αu2,αu3) + (αv1,αv2,αv3)
= αu + αv
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Exemplos
Solução. (Cont.)
(d) Dados u = (u1,u2,u3) ∈ R3 e 1 ∈ R, temos que:
1 · u = (1 · u1,1 · u2,1 · u3)
= (u1,u2,u3)
= u
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Exemplos
Exemplo 2
Vamos verificar que o conjunto dos vetores do espaço V = P2(R) =
{a0 + a1x + a2x2);ai ∈ R} com as operações usuais de soma de
polinômios e multiplicação de polinômios por números reais é, de fato,
um espaço vetorial.
Solução.
Para verificarmos que o conjunto dado é, de fato, um espaço vetorial,
devemos verificar as oito propriedades descritas na definição anterior.
Isto é,
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Exemplos
Solução. (Cont.)
I - Soma:
(a) Dados u = a0 +a1x +a2x2, v = b0 +b1x +b2x2 ∈ P2(R), temos
que:
u + v = (a0 + a1x + a2x2) + (b0 + b1x + b2x2)
= (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2
= (b0 + a0) + (b1 + a1)x + (b2 + a2)x2
= (b0 + b1x + b2x2) + (a0 + a1x + a2x2)
= v + u
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Exemplos
Solução. (Cont.)
(b) Dados u = a0 + a1x + a2x2, v = b0 + b1x + b2x2,w = c0 +
c1x + c2x2 ∈ P2(R), temos que:
u + (v + w) = (a0 + a1x + a2x2) + [(b0 + b1x + b2x2) + (c0 + c1x + c2x2)]
= (a0 + a1x + a2x2) + [(b0 + c0) + (b1 + c1)x + (b2 + c2)x2]]
= (a0 + b0 + c0) + (a1 + b1 + c1)x + (a2 + b2 + c2)x2
= [(a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2] + (c0 + c1x + c2x2)
= [(a0 + a1x + a2x2) + (b0 + b1x + b2x2)] + (c0 + c1x + c2x2)
= (u + v) + w
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Exemplos
Solução. (Cont.)
(c) Dados u = a0 + a1x + a2x2,0 = 0 + 0 · x + 0 · x2 ∈ P2(R),
temos que:
u + 0 = (a0 + a1x + a2x2) + (0 + 0 · x + 0 · x2)
= (a0 + 0) + (a1 + 0)x + (a2 + 0)x2
= a0 + a1x + a2x2
= u
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Exemplos
Solução. (Cont.)
(d) Dados u = a0 +a1x +a2x2,−u = (−a1)+ (−a1)x +(−a2)x2 ∈
P2(R), temos que:
u + (−u) = (a0 + a1x + a2x2) + ((−a1) + (−a1)x + (−a2)x2)
= (a0 − a0) + (a1 − a1)x + (a2 − a2)x2
= 0 + 0 · x + 0 · x2
= 0
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Exemplos
Solução. (Cont.)
II - Multiplicação por Escalar:
(a) Dados u = a0 + a1x + a2x2 ∈ P2(R) e α,β ∈ R, temos que:
α(βu) = α[β(a0 + a1x + a2x2)]
= α(βa0 + βa1x + βa2x2)
= αβa0 + αβa1x + αβa2x2
= (αβ)a0 + (αβ)a1x + (αβ)a2x2
= (αβ)u
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Exemplos
Solução. (Cont.)
(b) Dados u = a0 + a1x + a2x2 ∈ P2(R) e α,β ∈ R, temos que:
(α+ β)u = (α+ β)a0 + (α+ β)a1x + (α+ β)a2x2
= (αa0 + βa0) + (αa1x + βa1x) + (αa2x2 + βa2x2)
= (αa0 + αa1x + αa2x2) + (βa0 + βa1x + βa2x2)
= αu + βu
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Exemplos
Solução. (Cont.)
(c) Dados u = a0 + a1x + a2x2, v = b0 + b1x + b2x2 ∈ P2(R) e
α ∈ R, temos que:
α(u + v) = α[(a0 + a1x + a2x2) + (b0 + b1x + b2x2)]
= α(a0 + b0) + α(a1 + b1)x + α(c1 + c2)x2
= αa0 + αb0 + αa1x + αb1x + αa2x2 + αb2x2
= (αa0 + αa1x + αa2x2) + (αb0 + αb1x + αb2x2)
= α(a0 + a1x + a2x2) + α(b0 + b1x + b2x2)
= αu + αv
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Exemplos
Solução. (Cont.)
(d) Dados u = a0 + a1x + a2x2 ∈ P2(R) e 1 ∈ R, temos que:
1 · u = 1 · (a0 + a1x + a2x2)
= 1 · a0 + 1 · a1x + 1 · a2x2
= a0 + a1x + a2x2
= u
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Sub-espaço VetorialÀs vezes, dentro de um espaço vetorial V, podemos “encontrar” subcon-
juntos W de V que são espaços vetoriais “menores”. Tais conjuntos são
chamados de sub-espaços vetoriais de V e são definidos como:
Definição (Sub-espaço Vetorial)
Seja V um espaço vetorial sobre R. Dizemos que um subconjunto
W ⊂ V é um sub-espaço vetorial se:
(a) 0 ∈W .
(b) Para todo u, v ∈W , tem-se que u + v .
(c) Para todo α ∈ R e para todo u ∈W , tem-se que αu ∈W .
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Sub-espaço Vetorial
Pela definição anterior, podemos fazer três observações importantes:
(Boldrini, 1980)
1 As condições da definição garantem que ao operarmos ele-
mentos em W (soma e multiplicação por escalar), não ob-
teremos um vetor fora de W.
2 Qualquer sub-espaço vetorial W de V deve, necessariamente,
conter o vetor nulo.
3 Todo espaço vetorial admite pelo menos dois sub-espaços
vetoriais (chamados de triviais): o conjunto formato pelo vetor
nulo, e o próprio espaço vetorial.
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Exemplos
Exemplo 1
O conjunto W = {(x , y , z) ∈ R3 | x + y = 0} é um sub-espaço vetorial
de R3?
Solução.
Para verificarmos que o conjunto dado é, de fato, um sub-espaço
vetorial, devemos verificar as três propriedades descritas na definição
anterior. Isto é,
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Exemplos
Solução. (Cont.)
(a) Seja 0 = (0,0,0) ∈ W . Note que qualquer vetor de W, tem a
forma x + y = 0, assim, temos que 0 + 0 = 0. Como a soma
0 + 0 resulta em 0, pois 0 ∈ R, então 0 ∈W .
(b) Se u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z3) estão em W, então temos
que x1 + y1 = x2 + y2 = 0. Como, em R3, temos que u + v =
(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e (x1 + x2) + (y1 + y2) = (x1 + y1) +
(x2 + y2) = 0 + 0 = 0, então u + v ∈W .
(c) Se α ∈ R e u = (x , y , z) ∈W , então x + y = 0→ α(x + y) =
α · 0→ αx + αy = 0. Isto é, αu ∈W .
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Exemplos
Exemplo 2
O conjunto W = {(0, x2, x3, x4, x5); xi ∈ R} é um sub-espaço vetorial
de R5?
Solução.
Para verificarmos que o conjunto dado é, de fato, um sub-espaço
vetorial, devemos verificar as três propriedades descritas na definição
anterior. Isto é,
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Exemplos
Solução. (Cont.)
(a) Imediato uma vez que o vetor 0 = (0,0,0,0,0) pertence a W
já que a primeira coordenada é 0.
(b) Se u = (0, x2, x3, x4, x5) e v = (0, y2, y3, y4, y5) estão em W,
então u + v = (0 + 0, x2 + y2, x3 + y3, x4 + y4, x5 + y5) =
(0, x2+y2, x3+y3, x4+y4, x5+y5) pertence a W, pois a primeira
coordenada é nula.
(c) Se α ∈ R e u = (0, x2, x3, x4, x5) ∈ W , então αu =
(0,αx2,αx3,αx4,αx5) que pertence a W, pois a primeira co-
ordenada é nula para todo α ∈ R.
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Exemplos
Exemplo 3
O conjunto W = {(x , x2); x ∈ R} é um sub-espaço vetorial de R2?
Solução.
Para verificarmos que o conjunto dado é, de fato, um sub-espaço
vetorial, devemos verificar as três propriedades descritas na definição
anterior. Isto é,
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Exemplos
Solução. (Cont.)
(a) Imediato, basta tomar o vetor 0 = (0,0) ∈W ⊂ R2.
(b) Note que se escolhermos u = (1, 1) e v = (2, 4) pertencentes
a W, temos que u + v = (1,1) + (2,4) = (3,5) /∈ W , pois
5 6= 32. Como W não é fechado para a soma, então W não é
sub-espaço vetorial de R2.
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Resultados Importantes
Teorema (Intersecção de Sub-espaços)
Dados W1 e W2 sub-espaços de um espaço vetorial V, a intersecção
W1 ∩W2 é um sub-espaço de V.
Prova.
Inicialmente, notamos que W1 ∩ W2 6= ∅, pois W1 e W2 contêm o
vetor nulo de V. Agora, dados x , y ∈W1 ∩W2, temos que x , y ∈W1 e
x , y ∈ W2, e então, x + y ∈ W1 e x + y ∈ W2. Logo, x + y ∈ W1 ∩W2.
Por fim, se α ∈ R e x ∈ W1 ∩W2, então temos αx ∈ W1 e αx ∈ W2.
Assim, αx ∈W1 ∩W2 e, portanto, W1 ∩W2 é um sub-espaço vetorial
de V.
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Resultados Importantes
Teorema (Soma de Sub-espaços)
Sejam U e V sub-espaços de um espaço vetorial W , o conjunto
U + V = {u + v | u ∈ U e v ∈ V} é um sub-espaço de W .
Prova.
Inicialmente, como 0U+V = 0U + 0V com 0U ∈ U e 0V ∈ V , então
0U+V ∈ U + V . Agora, sejam x = u1 + v1 e y = u2 + v2 elementos de
U + V . Temos que x + y = (u1 + v1)(u2 + v2) = (u1 + u2) + (v1 + v2)
e, como u1 + u2 ∈ U e v1 + v2 ∈ V , então x + y ∈ U + V . Por outro
lado, como αu ∈ U e αv ∈ V , então αu + αv ∈ U + V e, portanto,
W1 ∩W2 é um sub-espaço vetorial de V.
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Resultados Importantes
Definição (Soma Direta)
Sejam U e V sub-espaços de um espaço vetorial W tal que U ∩ V =
{0}. Neste caso, diremos que o conjunto U+V = {u+v | u ∈ U e v ∈
V} é soma direta dos sub-espaços vetoriais U e V . A notação de
soma direta será indicada por U ⊕ V .
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Resultados Importantes
Exemplo
O espaço vetorial R3 é soma direta dos sub-espaços:
U = {(x ,0,0) | x ∈ R
V = {(0, y , z) | y , z ∈ R
É imediato que:
U ∩ V = {(0,0,0)}
Além disso, para todo (x , y , z) ∈ R3, tem-se que (x , y , z) = (x ,0,0) +
(0, y , z) ∈ U + V .
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Lista de Exercícios
1 Livro: Callioli - Exercícios: 2, 3, 4 (Pág. 49), 5, 6 (Pág. 50); 1,
2 (Pág. 63), 3, 4, 7 (Pág. 64).
2 Livro: Boldrini - Exercícios: 1, 2 (Pág. 129).
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Referências
Domingues, H. H., Callioli, C. A. & Costa, R. C. F.
Álgebra Linear e Aplicações.
Atual, 1982.
Boldrini, J. L., Costa, S. I., Figueredo, V. L. & Wetzler, H. G.
Álgebra Linear.
Harper & Row, 1980.
Hoffman, K., Kunze, R. & Finsterbusch, H. E.
Linear Algebra.
Prentice-Hall Internacional, 1973.
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Prof. Dr. Ricardo Puziol de Oliveira
Contato: prof.rpuziol@gmail.com
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Espaços Vetoriais & Subespaços Vetoriais
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	Definição
	Exemplos
	Sub-espaço Vetorial
	Definição
	Exemplos
	Resultados Importantes
	Lista de Exercícios
	Referências