ROTERIRO-CILINDRO 2

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V. Experimento Uma empresa deseja confeccionar um recipiente, sem tampa, em forma de cilindro e com capacidade para 1 litro de determinado líquido. Com objetivo de minimizar o custo do fabricante para industrializar a peça, usando Cálculo Diferencial, deseja-se calcular as dimensões do cilindro, de modo que seja usado o mínimo de material para construção do recipiente. Para tanto, siga os seguintes passos e responda a solicitação em cada um dos itens. 
1.1. Faça um esboço de um recipiente genérico e indique as variáveis na figura.
 
 
1.2. Faça um esboço da planificação do recipiente, indicando as variáveis na figura.
1.3. Indique a expressão que define a área superficial, , de um recipiente genérico, em função de duas dimensões da figura (raio da base e altura).
1.4. A tabela a seguir deve ser preenchida com os pares de valores para as dimensões das superfícies cujos volumes são iguais a 1 litro. Preencha a tabela e assinale um X no item correspondente ao recipiente que possui menor área superficial dentre os listados. As discrepâncias relativas ao volume devem ser inferiores a 5%. Use duas casas decimais para cada um dos dados.
	
	Raio (cm)
	Altura (cm)
	Volume calculado (cm3 )
	Volume real (cm3 )
	Discrepância relativa (∆)
	Área Superficial (cm2 )
	Superfície 1
	6
	9
	1.017,36
	1000
	1,76%
	565,2
	Superfície 2
	8
	5
	1.004,8
	1000
	0,48%
	653,12
	Superfície 3
	
	
	
	1000
	
	
1.5. Quais as fontes de erro que levaram ao resultado obtido com referência à discrepância relativa?
1.6. Usando o valor do volume dado (1 litro = 1000 cm3), escreva uma relação entre as variáveis.
1.7. Use a expressão obtida no item 1.6 para expressar a área total do recipiente (A) em função de apenas uma das variáreis.
1.8. Calcule a primeira derivada da função obtida no item 1.7.
1.9. Determine os pontos críticos da função A, ou seja, os pontos em que a derivada da função da área obtida anteriormente se anula ou não existe.
1.10. Calcule a segunda derivada da função A e verifique, usando o Teste da Segunda Derivada, se cada ponto crítico encontrado representa um ponto de máximo ou um ponto de mínimo para o problema. Caso não seja possível obter o resultado com o teste da segunda derivada, verifique o sinal da função na vizinhança do ponto e avalie pelo Teste da Primeira Derivada.
1.11. Usando a expressão obtida no item 1.6 e o resultado encontrado no item 1.10, determine o valor da segunda variável que minimiza o problema.
1.12. Verifique se os resultados encontrados para r e ℎ, de fato, são dimensões de um cilindro de volume igual a 1 litro (assumindo-se um erro inferior a 0,05).
Resposta: △= 0,48
1.13. Preencha a tabela a seguir, usando números na forma decimal com uma aproximação de duas casas decimais, com os resultados encontrados para o recipiente de custo mínimo de material.
	Raio/ lado da base (cm)
	251,2
	(cm) Altura
	5
	Volume (cm3 )
	1.004,8
	Área Superficial (cm2 )
	653,12