Taxas de Juros e Conversões

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
TAXA DE JUROS
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Olá!
Ao final desta aula, você deverá saber:
1- Taxa Equivalente.
2- Taxa Nominal e Taxa Proporcional
ou Efetiva.
3- Taxa Real.
4- Taxa Bruta.
5- Taxa Líquida.
6- Taxa Prefixada/ Pós-Fixada.
Seja bem-vindo à disciplina Matemática Financeira!
Você terá oportunidade de desenvolver os conceitos de valor do dinheiro no tempo, taxa de juros simples,
formação da taxa de juros, fluxo de caixa, simbologia, conceitos e convenções básicas.
Unidade de medida da taxa de juros, capitalização, descapitalização.
Convenção de períodos: juros comerciais, juros exatos e juros bancários, série antecipada, série postecipada.
Conceitos de taxas de juros
Taxa equivalente
Taxas equivalentes são aquelas referidas a períodos de tempo diferentes, mas que quando aplicadas a um
mesmo capital, pelo mesmo prazo, geram o mesmo montante.
Seja o capital C aplicado por um ano a uma taxa anual i.
O montante M ao final do período de 1 ano será igual a
Consideremos agora, o mesmo capital M aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im.
O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = C (1 + im)124
Exemplo:
Seja: i,„ = 1% a.m. (Período mês)
Qual a taxa equivalente ao ano (ia % a.a.)? (Período ano)
Logo: ou 12,68% a.a.
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Exemplo 2:
Qual o montante acumulado no final de um ano, a partir de um principal de R$100,00, com uma taxa de juros de
1% a.m., no regime de juros compostos?
C = R$100,00 i = 1% a.m. ou
i = 0,01
t = 1 ano
n = 12 meses
M = ?
Temos: 
M = 100 
M = 100 x 1,126825 (da Tabela)
M = R$112,68
Exemplo 3:
Calcular a taxa ao mês equivalente a 60% ao ano.
 =? % a.m. (Período mês)
? (Período ano)
 (1 ano = 12 meses, logo expoente 12)
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
na linha n = 12, encontramos 1,60 (aproximado)
na coluna i = 4% am.
Exemplo 4:
Calcular a taxa ao trimestre equivalente a 60% ao ano.
 =? % a.t. (Período trimestre)
( = 60% a.a. )? (Período ano)
 (1 ano = 4 trimestres, logo expoente 4)
(
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
na linha n = 4, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna it = 12% a.m.
Exemplo 5
Calcular a taxa ao mês equivalente a 60% ao trimestre.
=? % a.t. (Período mês)
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( = 60% a.t. )? (Período trimestre)
 (1 trimestre = 3 meses, logo expoente 3)
1,6 = ( 1 + im )3
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
na linha n = 3, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna im = 17% am
As conversões das taxas podem ser feitas de acordo com as seguintes fórmulas:
 [porque 1 mês = 30 dias]
 [porque 1 ano = 12 meses]
 [porque 1 ano = 2 semestres]
 [porque 1 semestre = 6 meses]
Todas elas baseadas no mesmo princípio fundamental de que taxas equivalentes aplicadas a um mesmo capital
produzem montantes iguais. Não é necessário memorizar todas as fórmulas. Basta verificar a lei de formação que
é bastante clara.
Por exemplo, se iq = taxa de juro num quadrimestre, poderíamos escrever:
 [porque 1 ano = 3 quadrimestres].
Exemplo
Qual o montante acumulado no final de dois anos, a partir de um principal de R$2.000,00, com taxa de juros de
1% a.m., no regime de juros compostos?
C = R$2.000,00
i = 1% a.m. ou i = 0,01
t = 2 anos
n = 24 meses
M = ?
Saiba mais
Seja:
 = taxa de juros anual
 = taxa de juros semestral
 = taxa de juros mensal
 = taxa de juros diária
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Temos:
 (da Tabela)
Exercícios resolvidos e propostos
1 – Qual a taxa anual equivalente a 5% ao semestre?
Solução:
Teremos:
Como 5% a.s. = 0.05 a.s., vem: 
2 – Qual a taxa mensal equivalente a 48% ao ano?
Solução:
Teremos:
Como 48% = 48/100 = 0,48
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
3 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?
Resp: 6,17% a.a.
4 - Qual a taxa mensal equivalente a 12,62% ao
semestre?
Resp: 2% a.m.
5 - Uma taxa diária de 1%, equivale a que taxa mensal?
Resp.: 37,48%
T
Taxa nominal / taxa proporcional ou efetiva
Taxa nominal é aquela que está definida em período de tempo diferente do período de capitalização.
A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira pode ser calculada pela expressão:
Taxa nominal = 
Assim, por exemplo, se um empréstimo de $100.000,00 deve ser quitado ao final de um ano, pelo valor
monetário de $150.000,00, a taxa de juros nominal será dada por:
Juros pagos = = $150.000 - $100.000 = $50.000,00
Taxa nominal = 
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Exemplo 1:
Se aplicarmos R$10.000,00 à taxa i = 36% ao ano com capitalização mensal, qual o montante (M) obtido ao final
de um ano?
Solução:
Como a taxa i está definida em um período de tempo diferente do período de capitalização (i é anual e a
capitalização, mensal), dizemos que i é uma taxa nominal. Assim, a taxa que será realmente aplicada neste
exemplo é a taxa proporcional mensal = 3% a.m., que será a taxa efetiva.
Obs: o denominador é 12 porque a tava é anual e a capitalização é mensal.i
Logo:
i = 36% a.a. com capitalização mensal i = 3% a.m.
C = 1000
t = 1 ano n = 12 (meses) porque a taxa i está em % ao mês
 (da Tabela Financeira: linha n = 2, coluna 3%)
M = 14257,61 é o montante ao fim de 1 ano.
Exemplo 2:
O capital de R$10.000,00 será aplicado por 1 ano. A que taxa anual deverá ser aplicado para gerar o mesmo
montante da aplicação à taxa composta de 3% ao mês?
Solução:
Obs.: a taxa composta de 3% ao mês indica tratar-se de juros compostos, ou seja, a cada mês será aplicado um
porcentual de 3% sobre o montante.
I = taxa anual
C = 10000
t = 1 ano = 12 meses
i = ?
Vamos calcular o montante à taxa de 3% ao mês.
Vamos calcular o montante à taxa de 1% ao ano:
Igualando:
Pela Tabela:
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1,425761 = 1 + I
l = 0,425761 ou 42,5761% a.a.
Exercícios
1. Determinar as taxas mensal, trimestral e semestral equivalentes a 36% a.a. Compare os valores obtidos com as
respectivas taxas proporcionais.
Solução:
I = 36% a.a.
Taxa mensal
Vamos calcular a taxa mensal:
i = ? a.m.
Pela Tabela Financeira, i=2,5% a.m. aproximadamente.
Taxa trimestral
Vamos calcular a taxa trimestral:
i = ? a.t.
Pela Tabela Financeira, i=8% a.t. aproximadamente.
Taxa semestral
Vamos calcular a taxa semestral:
i = ? a.s.
Pela Tabela Financeira, i=16,5% a.s. aproximadamente.
Agora, vamos calcular as taxas proporcionais:
Partindo da taxa de 36% ao ano:
Taxa proporcional de 36% mensal: 
Taxa proporcional diária: 
Taxa proporcional trimestral: 
Taxa proporcional semestral: 
2. Um capital de $10.000,00 foi aplicado durante 5 anos à taxa de juros de 3% a.a.
Dizer:
(a) Quais os juros totais produzidos
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(b) O valor atingido pelo capital ao final de 5 anos
Resp.:
(a) $1.592,74
(b) $11.592,74
3. Que taxa nominal de juros anual, capitalizada trimestralmente, produz juros totais iguais a 60% do capital ao
final de 5 anos?
Resp.: i.a .= 9,51% a.a.
4. Quanto devo aplicar numa instituição financeira, em caderneta de poupança, que paga uma taxa de juros de
6% a.a., para obter $10.000,00 ao final de 5 anos
Resp.: $7.413,72
Taxa real
Taxa real é a taxa de remuneração do capital, descontada a taxa de inflação.
A taxa real expurga o efeito da inflação.
Um aspecto interessante sobre a taxa real de juros é que ela pode ser negativa!
Vamos encontrar uma relação entre a taxa de juros nominal e real. Para isto, vamos supor que um determinado
capital C é aplicado por um período de tempo unitário, a uma certa taxa nominal . O montante Mi ao final do
período, será dado por 
Consideremos agora que, durante o mesmo período, a taxa de inflação desvalorização da moeda) foi igual a j. O
capital corrigido por esta taxa acarretaria um montante .
Exemplo 1: O capital de R$10.000,00 produziu em 1 ano o montante de $13.500,00. Tendo neste período havido
uma inflação de 30%, qual a taxa real do juro?
Calcular a taxa de remuneração do capital
= 30%
 = taxa real de juros real
J = M - C
J = 13500 - 10000 = 3500
i = 35% (taxa de juros)
Como 
Logo, 
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Exemplo 1:
Numa operação financeira com taxas pré-fixadas, um banco empresta $120.000,00 para ser pagoem um ano
com $150.000,00. Sendo a inflação durante o período do empréstimo igual a 10%, pede-se calcular as taxas
nominal e real deste empréstimo.
Teremos que a taxa nominal será igual a:
Portanto = 25%.
Como a taxa de inflação no período é igual a j = 10% = 0,10, substituindo na fórmula
anterior, vem:
Portanto, 
Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, teríamos para a taxa real de
juros:
Portanto, e, portanto, teríamos uma taxa real de juroa negativa!
Agora resolva este:
$100.000,00 foi emprestado para ser quitado por $150.000,00 ao final de um ano. Se a inflação no período foi de
20%, qual a taxa real do empréstimo?
Resp.: 25%
Observe que se a taxa de inflação for nula no período, isto é, j = 0, teremos que as taxas nominal e real são
coincidentes.
Fique ligado
OBS:
Tr ou r é a taxa real
In ou i é a taxa de juros
Tj ou j é a taxa de inflação
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Denomina-se taxa bruta de uma aplicação financeira a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o
valor do resgate bruto, sem levar em conta o desconto do imposto de renda, que é retido pela instituição
financeira.
Denomina-se taxa líquida de uma aplicação financeira a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e
o valor do resgate líquido, já levando em conta o desconto do imposto de renda, que é retido pela instituição
financeira. Assim, a taxa bruta é sempre maior que a taxa líquida.
Taxa prefixada / pós-fixada
A diferença básica entre ambas as taxas, prefixada e pós-fixada, se concentra na forma de compor a taxa:
enquanto o crédito prefixado opera com juros estáveis, que considera a inflação, o ganho da financeira e mais
uma margem de garantia para qualquer eventualidade, o pós-fixado conta com taxas menores, que equivalem
apenas aos juros. Os outros dois componentes (risco da economia e inflação) ficam por conta do devedor, que,
além do juro, arca com a correção por um indicador de inflação, como TR ou variação cambial.
Portanto, aí está centrado o risco do negócio: mesmo com a estabilidade econômica, tanto o dólar quanto a
inflação podem apresentar variações, o que pode transformar os financiamentos pós-fixados em operações
arriscadas. O consumidor pode sair ganhando na parte fixa da taxa de juros, mas em caso de qualquer oscilação
mais forte na parte variável, pode acabar pagando mais pelo crédito pós-fixado.
Um exemplo de aplicação pós-fixada é a Caderneta de Poupança, que permite ao investidor aplicar pequenas
somas com rendimentos a cada 30 dias. A remuneração é composta por TR (taxa referencial) da data de
aniversário da aplicação + 0,5% ao mês. A caderneta de poupança é uma aplicação pós-fixada.
Os ganhos são isentos de imposto de renda, mas se o aplicador resgatar antes da data de aniversário da
aplicação, perde toda a rentabilidade do período (do montante resgatado e não do saldo).
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Conceitos de Taxas de Juros.
• Taxa equivalente.
• Taxa nominal e taxa proporcional ou efetiva.
• Taxa real.
• Taxa bruta.
• Taxa líquida.
• Taxa prefixada/ pós-fixada.
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