AOL-3 Cálculo Diferencial

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Pergunta 1
O estudo dos limites e de suas propriedades tem fundamental importância para o Cálculo, pois com esse conceito definimos a noção da 
derivada de uma função em um ponto por meio da aproximação de um intervalo infinitesimal em torno desse ponto, analisando sua taxa de 
variação. 
De acordo com essas informações e com seus conhecimentos sobre o significado da derivada como limite, seu uso em problemas da reta 
tangente e de velocidade instantânea, analise as afirmativas a seguir. 
 
I. A velocidade instantânea de um corpo em movimento uniformemente variado em determinado ponto de sua trajetória é sempre igual à sua 
velocidade média. 
II. A reta tangente à curva da função f(x) no ponto P(a,f(a)) tem seu coeficiente angular dado pelo limite de [f(x+h)−f(a)]/(x−a) quando x≥a. 
 
III. O limite citado no item II pode ser entendido como uma taxa de variação, e no caso de um gráfico de velocidade por tempo, em seus 
pontos de máximo ou mínimo temos que a taxa de variação (aceleração) vale zero. 
 
IV. Em regiões crescentes de um gráfico, a derivada da função é maior que zero, e em regiões decrescentes, a derivada da função é 
negativa. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 II e IV. 
 I, e IV.
 II e III. 
 I, II e III. 
Resposta correta
Correta: 
 II, III e IV. 
Pergunta 2
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O Cálculo Diferencial é aplicado em diversas situações do cotidiano e serve como ferramenta nas diferentes ciências. 
 
Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das derivadas, analise as afirmações a seguir, referentes às suas aplicações. 
 
I. As derivadas podem ser aplicadas para interpretar a taxa de variação de custos de produção. 
 
II. As derivadas em pontos extremos da função são nulas, pois a reta tangente nesses pontos é horizontal. 
 
III. A derivada muito utilizada em problemas que envolvem movimento de objetos em queda livre. 
 
IV. Consegue-se mensurar a área sob a curva de uma função com base em sua derivada. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 II e III. 
 II, III e IV. 
Resposta correta
Correta: 
 I, II e III. 
 I e IV. 
 I, III e IV. 
Pergunta 3
O estudo das funções polinomiais é muito importante devido a uma série de aplicações que possui na vida real, como em funções que 
modelam custos de mercadorias, contas de energia e água, movimento de corpos e etc. 
Dessa forma, considerando a importância dessas funções e seus conhecimentos sobre a regra da derivada da potência de base x, analise as 
afirmativas a seguir. 
I. A derivada de uma função constante sempre é igual a zero. 
II. Dada uma função f (x ) =x n , sua derivada é f ' (x ) = ( n − 1) x n − 1 . 
III. A derivada de uma função vezes uma constante é igual à derivada da função vezes a derivada da constante. 
IV. Dada a função f(x)=5(x³+2x²+5x), f’(x)=5(3x²+4x+5). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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 II e IV. 
 I, e IV. 
 I, II e III. 
II e III. 
Resposta correta
Correta: 
I e IV. 
Pergunta 4
Diversas são as regras de derivação, que podem variar conforme a categoria da função, algébrica ou não, ou até mesmo por estaren 
explícitas ou não. Entre essas regras de derivação, há a regra do quociente. 
 
Acerca dessa regra de derivação, e considerando os conteúdos estudados, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. Essa regra considera funções racionais. 
 
II. Essa regra não considera funções algébricas. 
 
III. Essa regra não considera funções constantes, pois a derivada dessa função é igual a zero. 
 
IV. A derivada do quociente entre duas funções é definida por [f(x)/g(x)]’=[f’(x)g(x)–f(x)g’(x)]/[g(x)]2. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 I e III. 
Resposta correta
Correta: 
 I e IV. 
 II e IV. 
 I e II. 
 III e IV 
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Pergunta 5
As aplicações da derivada de uma função são inúmeras dentro da física, sendo que nosso primeiro contato com esses conceitos em física 
ocorre no estudo das velocidades instantâneas e sua relação com as equações horárias do espaço, velocidade (que é a taxa de variação da 
posição) e aceleração (que é a taxa de variação da velocidade). 
 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da derivada pelo limite e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, 
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A derivada de uma função sempre é calculável em um ponto no qual os limites laterais coincidirem. 
 
II. ( ) A função f(x)=tgx é diferenciável para qualquer valor real de x. 
 
III. ( ) A derivada da função g(x)=3x³+3x²+x, no ponto onde x=a, é g’(a)=(3a+1)². 
 
IV. ( ) Um objeto disparado ao ar tem altura dada por y=10t−5t². Assim sua velocidade quando t=2 é de -10m/s. 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
 F, V, F, V. 
 V, F, F, V.
 F, F, V, F. 
V, V, F, F. 
Resposta correta
Correta: 
 F, F, V, V. 
Pergunta 6
O estudo do Cálculo Diferencial é repleto de interpretações geométricas acerca das curvas de funções. 
 
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Considerando as funções f (x ) =x 2+
x
2
+ 3 e g(x)=x³−3 e com base nos seus conhecimentos acerca de funções compostas, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em x=½ é igual a 3/2. 
 
II. ( ) O gráfico de 3.f(x) é alongado verticalmente em relação ao gráfico de f(x). 
 
III. ( ) A derivada de c.g(x), onde c é constante, é igual a cx². 
 
IV. ( ) f(g(x)) possui derivada igual a f’(x)g(x)+f(x)g’(x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
F, F, F, V. 
 V, V, V, F. 
Resposta correta
Correta: 
V, V, F, F. 
 V, F, F, V. 
 V, V, V, F. 
Pergunta 7
Funções trigonométricas são aquelas definidas a partir do círculo unitário, e podem ser categorizadas entre dois grupos: aquelas que são 
diretas e aquelas que são inversas. As funções inversas referem-se ao arco seno, arco cosseno, arco tangente, entre outros. Cada uma 
dessas funções possui uma derivada particular, que seguem as suas propriedades específicas. 
Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das trigonométricas inversas e suas derivadas, analise as afirmações a 
seguir: 
I. Dada f (x ) = sen −1x , tem se que f ' (x ) =
1
1− x 2
 .
II. sen −1x ≠ arcsenx . 
III. Todas as funções inversas são funções trigonométricas. 
IV. Dada f (x ) =cos −1x tem-se que f ' (x ) =
− 1
1− x 2
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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 I e II. 
 I e III. 
 II, III e IV. 
Resposta correta
Correta: 
 I e IV. 
 II e III. 
Pergunta 8
O estudo das funções trigonométricas é muito importante dentro do cálculo, sendo inclusive feitas substituições de variáveis por variáveis 
trigonométricas em cálculos de integrais muito complexas. Dessa forma, conhecer as regras de derivação para funções trigonométricas é 
essencial no estudo de Cálculo Diferencial e Integral. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada de funções trigonométricas, associe as funções a seguir com 
suas respectivas derivadas. 
1) v =cosx 
2) u =x 2cosx 
3) w = − senx 
4) y =x 2senx 
( ) − senx 
( ) −cosx 
( ) x 2cosx + 2xsenx 
( ) −x 2senx + 2xcosx 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
1, 3, 2, 4. 
 3, 1, 2, 4. 
Resposta correta
Correta: 
 1, 3, 4, 2. 
 1, 2, 4, 3. 
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 3, 1, 4, 2. 
Pergunta 9
 A estudo de taxas de variação tem importantes aplicações em fenômenos físicos, como o do movimento de corpos, o do escoamento de 
líquidos, o do fluxo de campos magnéticos, entre outros. 
Considerando a relevância dessas informações e dos seus conhecimentos sobre o significado das taxas de variação e sua relação com o 
estudo do Cálculo, analise as afirmativas a seguir. 
I. O limite de 
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥⎦
f ( a + h) − f ( a) ]
h
 , quando x≥h, é conhecido como a derivada da função f em x=a, caso a função seja diferenciável nesse 
ponto. 
II. Encontrando a derivada da função em um ponto P(a,f(a)), para encontrar uma equação da reta tangente é possível substituir as 
coordenadas dos pontos e o valor da derivada na equação da reta, que pode ser escrita como y−f(a)=f’(a)(x−a). 
III. É impossível entender a derivada como uma função, pois ela é apenas uma taxa de variação da função no ponto que representa o ângulo 
de inclinação da reta tangente à função nesse mesmo ponto. 
IV. A reta tangente a f(x), que passa pelo ponto P(a,f(a)), tem inclinação igual a f’(a), que é a derivada de f(x), onde x=a. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 II e III.
Resposta correta
Correta: 
I, II e IV. 
 I, e IV. 
II e IV. 
 I, II e III. 
Pergunta 10
As regras de derivação permitem uma manipulação algébrica mais rápida das expressões, tornando-se ferramentas importantes para o 
estudo do Cálculo Diferencial. 
 
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Considerando essas informações e os conteúdos estudados a respeito da regra de derivação da diferença entre funções, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A derivada de uma função f(x)=x²−x−1 é f’(x)=2x−1. 
 
II. ( ) A regra é aplicável às funções algébricas e não algébricas. 
 
III. ( ) A função trigonométrica f(x)=cosx−2senx não é diferenciável pela regra de derivação da diferença entre funções. 
 
IV. ( ) Essa regra é representada pela relação [f(x)−g(x)]’=f’(x)–g’(x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
 V, F, F, F. 
Resposta correta
Correta: 
 V, V, F, V. 
 V, V, V, F. 
 F, F, V, V. 
 V, F, V, V.