APOL2 ANALISE MATEMATICA 4

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Questão 1/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte função definida por partes:
        
                                                                      f(x)={3x,x<1x+2x≥1f(x)={3x,x<1x+2x≥1
Considerando a função dada e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Derivadas, assinale a única alternativa correta:
Nota: 0.0
	
	A
	A derivadas laterais são iguais a 1.
	
	B
	  
f′(1−)=3f′(1−)=3   e    f′(1+)=1f′(1+)=1
Temos que f′(1−)=limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−3x−3x−1=3f′(1−)=limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−3x−3x−1=3 e f′(1+)=limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+x+2−3x−1=1f′(1+)=limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+x+2−3x−1=1 (livro-base, p. 128-129).
	
	C
	A função não tem derivadas laterais.
	
	D
	As derivadas laterais têm valores iguais.
	
	E
	Não existem os limites laterais de ff em x=1x=1.
Questão 2/10 - Análise Matemática
Consideremos a função f:R→Rf:R→R dada por f(x)={x2+1, x≤12x, x>1f(x)={x2+1, x≤12x, x>1.
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de funções contínuas e deriváveis, é correto afirmar que:
 
Nota: 10.0
	
	A
	Em x=1x=1, ff é contínua, mas não é derivável.
	
	B
	Em x=1x=1, ff é derivável, mas não é contínua.
	
	C
	Em x=1x=1, ff possui limites laterais, mas são diferentes.
	
	D
	Em x=1x=1, ff é contínua e é derivável.
Você acertou!
Temos que limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1)limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1) e limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1)limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1). Portanto, ff é contínua em x=1x=1. Além disso, temos que limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2 e limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2 Logo, ff é derivável em x=1x=1 e f′(1)=2f′(1)=2 (livro-base, Capítulo 4).
	
	E
	Em x=1x=1, ff não é contínua nem é derivável.
 
Questão 3/10 - Análise Matemática
Atente para o gráfico da função f:R→Rf:R→R representado abaixo.
Observando o gráfico dado e com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas abaixo e marque V para as afirmativa verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
I.   ( ) limx→3f(x)=5limx→3f(x)=5.
II.  ( ) A função ff  é contínua no ponto x=3x=3.
III. ( ) limx→1+f(x)=5.limx→1+f(x)=5.
IV.  ( ) ff é descontínua no ponto x=1x=1.
V.   ( ) f(1)=3f(1)=3
Assinale a alternativa que possui a seqûencia correta.
Nota: 0.0
	
	A
	V-F-V-F-V
	
	B
	F-F-V-V-V
	
	C
	V-F-V-V-V
A alternativa que possui a sequência correta é a letra c). A afirmativa I é verdadeira porque os limites laterais são iguais limx→5−f(x)=5=limx→5+f(x)limx→5−f(x)=5=limx→5+f(x). A afirmativa II é falsa porque limx→3f(x)=5≠f(3)limx→3f(x)=5≠f(3). A afirmativa III é verdadeira porque quando xx se aproxima de 1 pela direita, a função se aproxima de 5. A afirmativa IV é verdadeira porque os limites laterais são diferentes. A afirmativa V é verdadeira, pois f(1)=f(1)=3  (livro-base, 99-102).
	
	D
	V-V-V-V-V
	
	E
	F-V-V-V-F
Questão 4/10 - Análise Matemática
Observe o gráfico da função f(x)=x2f(x)=x2 e da sua reta tangente no ponto x=1x=1.
Fonte: Imagem produzida pelo autor da questão.
 
Considerando as informações dadas e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Derivadas, assinale a alternativa que contém a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)f(x) no ponto x=1x=1:
Nota: 10.0
	
	A
	y=−2x+1y=−2x+1
	
	B
	y=3x–32y=3x–32
	
	C
	y=2x–1y=2x–1
Você acertou!
A alternativa correta é letra c. Temos que f′(x)=2xf′(x)=2x, logo, f′(1)=2f′(1)=2 é a inclinação da reta tangente. No ponto x=1x=1 temos y=f(1)=1y=f(1)=1. Assim a equação da reta tangente é: (y−1)=2(x−1)(y−1)=2(x−1), isto é: y=2x−1y=2x−1. (livro-base, p. 111-113).
	
	D
	y=−x+3y=−x+3
	
	E
	y=−x+4y=−x+4
Questão 5/10 - Análise Matemática
Atente para a seguinte citação:
 
“Aplicando a Regra de L’Hôpital
Passo 1: Verifique que lim f(x)g(x)f(x)g(x) é uma forma indeterminada do tipo 0000.
Passo 2: Diferencie separadamente ff e gg.
Passo 3: Encontre o limite de f′(x)g′(x)f′(x)g′(x). Se esse limite for finito, +∞+∞ ou −∞−∞, então ele é igual ao limite de f(x)g(x)f(x)g(x)”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen; Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v. I. p. 257.
 
Considerando as informações dadas e os conteúdos do livro-base Análise Matemática , podemos dizer que limx→2x2−4x−2limx→2x2−4x−2 é igual a:
Nota: 0.0
	
	A
	1717
	
	B
	1212
	
	C
	4
Temos , pela regra de L'Hôpital, que   limx→2x2−4x−2=limx→22x1=2.2=4limx→2x2−4x−2=limx→22x1=2.2=4
Livro (p128 e p129).
	
	D
	8
	
	E
	1
Questão 6/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto:
 
“Diz-se que uma função ff, definida num intervalo aberto II, é derivável em x0∈Ix0∈I se existe e é finito o limite da razão incremental
                                                         f(x)−f(x0)x−x0f(x)−f(x0)x−x0
com x→x0x→x0. Esse limite é, por definição, a derivada da função ff no ponto x0x0. Para indicar esse limite, usam-se as notações
                                              f′(x0),   (∂f)(x0)  e  dfdx(x0),f′(x0),   (∂f)(x0)  e  dfdx(x0),
esta última sendo o quociente de diferenciais”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ÁVILA, G. Ánálise Matemática para Licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2006. p. 175-176.
 
De acordo com o fragmento de texto dado e com os conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito das derivadas de funções reais, analise as assertivas a seguir e marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas.
 
I. ( ) Uma função que é contínua em um ponto x0x0 do seu domínio possui derivada neste ponto.
II. ( ) Se duas funções f,g:I→Rf,g:I→R possuem derivada num ponto x0∈Ix0∈I, então a derivada da soma é igual à soma das derivadas.
III. ( ) Uma função f:I→Rf:I→R possui derivada num ponto de acumulação x0x0 do seu domínio se, e somente se, existe e é finito o limite limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0.
IV. ( ) Informalmente, o valor da derivada em um ponto x0x0 de uma curva indica a inclinação da reta tangente à curva em x0x0.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V-F-V-F
	
	B
	F-V-F-V
	
	C
	V-V-V-F
	
	D
	F-V-V-F
	
	E
	F-V-V-V
Você acertou!
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra e). A afirmativa I é falsa, basta observar a função f(x)=|x|f(x)=|x|. Essa função é contínua em x=0x=0, porém, não é derivável em x=0x=0. A afirmativa II é verdadeira pela regra da soma. A afirmativa III é verdadeira, pois é a definição de derivada. A afirmativa IV é verdadeira, pois é a noção geométrica de derivada (livro-base, p. 112-121).
Questão 7/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte informação:
 
Seja  uma função definida por partes da seguinte forma:
 f(x)=⎧⎨⎩x2−3x+2x−2,x≠2kx=2f(x)={x2−3x+2x−2,x≠2kx=2
 
Fonte: texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando a função dada no texto e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre limite e continuidade, assinale qual valor deve ser dado para que a função dada seja contínua em x = 2:
Nota: 0.0
	
	A
	k=2k=2
	
	B
	k=0k=0
	
	C
	k=1k=1
Para que a função seja contínua em x=2x=2 devemos ter: limx→2f(x)=f(2)limx→2f(x)=f(2). Temos que limx→2f(x)=limx→2x2−3x+2x−2=limx→2(x−2)(x−1)x−2=limx→2(x−1)=1limx→2f(x)=limx→2x2−3x+2x−2=limx→2(x−2)(x−1)x−2=limx→2(x−1)=1. Portanto, devemos definir f(2)=1f(2)=1. (livro-base, p. 99).
	
	D
	k=−1k=−1
	
	E
	k=−2k=−2
Questão 8/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto: 
“Historicamente os inteiros negativos não foram os primeiros números a surgir dos naturais – as frações positivas vieram antes. Nem foram introduzidos de maneira estruturada e com bom acabamento matemático. Muito pelo contrário. Simplesmente surgiram”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna, 4. ed. reform. São Paulo: Atual, 2003. p. 29.
De acordocom os conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito dos números racionais, assinale a alternativa correta.
Nota: 0.0
	
	A
	O conjunto dos números racionais, com as operações de adição e multiplicação usuais, é um corpo ordenado completo.
	
	B
	Existe uma bijeção entre o conjunto Nn= {1,2,...,n}  e o conjunto Q para algum nϵNnϵN.
	
	C
	Os cortes de Dedekind são subconjuntos do conjunto de números racionais.
	
	D
	O conjunto dos números racionais não é enumerável.
	
	E
	O número que satisfaz a equação  X2 = 2 é racional.
Questão 9/10 - Análise Matemática
 Veja esta informação sobre relação de equivalência.
“O conceito de relação de equivalência é relevante para todos os ramos da Matemática. Em linhas gerais, tal conceito surge como uma forma de generalizar a relação de igualdade, no sentido de que, elementos de um dado conjunto, mesmo distintos, cumprem papel equivalente”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: VIEIRA, V. L. Álgebra Abstrata para Licenciatura. Campina Grande: EDUEPB, 2013. p. 18.
 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre as relações entre conjunto, assinale a única alternativa que contém uma relação de equivalência do conjunto A={1,2,3,4,5}A={1,2,3,4,5}:
Nota: 10.0
	
	A
	R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(3,1)}R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(3,1)}
Você acertou!
Essa relação é reflexiva, pois (x,x)∈R, ∀x∈A(x,x)∈R, ∀x∈A. É simétrica pois para cada par (x,y)(x,y)que pertence à RR o seu simétrico (y,x)(y,x) também pertence à RR. E essa relação é transitiva, pois se os pares (x,y)(x,y) e (y,z)(y,z), então, o par (x,z)(x,z) também pertence à RR (livro-base, capítulo 1).
	
	B
	R={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,5)}R={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,5)}
	
	C
	R={(2,2),(3,3)}R={(2,2),(3,3)}
	
	D
	R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(2,4)}R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(2,4)}
	
	E
	R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(1,3),(1,4)}R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(1,3),(1,4)}
Questão 10/10 - Análise Matemática
Considere o seguinte subconjunto do conjunto dos números reais:
X={1,12,13,14,15,⋯1n,⋯}X={1,12,13,14,15,⋯1n,⋯}
 
Levando em consideração o conjunto dado e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas, analise as assertivas a seguir e marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas.
 
I.   ( ) XX é um conjunto aberto.
II.  ( ) 00 é um ponto de acumulação do conjunto XX.
III. ( )  XX é um conjunto limitado.
IV.  ( ) O ponto x=1x=1 é um ponto de aderência do conjunto XX.
V.   ( ) O conjunto XX é compacto.
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-V-F-F
	
	B
	F-F-V-V-V
	
	C
	F-V-V-V-F
Você acertou!
A alternativa que apresenta a sequencia correta é a letra c). A afirmativa I é falsa porque os pontos do conjunto XX não são interiores de XX. A afirmativa II é verdadeira porque dado ε>0ε>0 existe um natural n>1εn>1ε tal que 1ε∈(−ε,ε)∩X−{0}1ε∈(−ε,ε)∩X−{0}. A afirmativa III é verdadeira porque |x|≤1|x|≤1, para todo x∈Xx∈X. A afirmativa IV é verdadeira porque a sequencia constante (1)n∈N(1)n∈N converge para 1 e é formada por pontos do conjunto XX. A afirmativa V é falsa pois XX não é um conjunto fechado. De fato, 0 é um ponto de aderência do conjunto XX, mas 0 não pertence à XX. (livro-base, Capítulo 3).
	
	D
	V-V-F-F-F
	
	E
	F-V-V-V-V