AD1-ALI-2012-2-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de 
Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Primeira Avaliação a Distância de Álgebra Linear I - 20/08/2012 
Gabarito 
Nome: ___________________________________________________ 
Pólo: _____________________________________________________ 
 
1ª Questão. (2,0) A multiplicação de matrizes pode ser usada na codificação de 
mensagens. Para isso, as letras do alfabeto são associadas a números de acordo com a 
correspondência abaixo: 
 
A B C D E F G H I J K L M N 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
 
O P Q R S T U V W X Y Z 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 
 
Suponha que você deseje enviar a mensagem BOA SORTE. Essa mensagem é 
associada à matriz 3x3: 










−
ETR
OS
AOB
 
Usando a correspondência numérica indicada na tabela, obtemos: 










=
52018
15190
1152
M 
Espaços em branco e outros símbolos, como hífen, serão representados por traços na 
matriz com as letras e serão associados ao número 0. 
Seja C uma matriz inversível 3x3 - denominada matriz chave, por exemplo: 










−=
120
010
011
C 
Multiplicamos a matriz M pela matriz chave C , obtendo o produto MCP = : 
×










52018
15190
1152
=










−
120
010
011









 −
5818
15110
1112
 
A mensagem secreta é transmitida através da cadeia de números 
( )5818151101112 − obtida através da matriz acima. 
 
a) Você recebeu a seguinte mensagem ( )014190813951 . Utilizando a 
mesma chave fornecida acima, traduza a mensagem. 
Solução: 
A mensagem recebida corresponde à matriz 










=
01419
0813
951
P , usando a notação acima. 
Para traduzir a mensagem, precisamos determinar a matriz M acima, de modo que: 
MCP = ou 1−= PCM . Vamos primeiro, determinar a inversa de C . 
⇒−←










− 22
100
010
001
120
010
011
LL ⇒
−←
−←










−
233
211
2100
010
001
120
010
011
LLL
LLL
 










−
120
010
011
100
010
001
 
Assim, 










−=
−
120
010
011
1C e 1−= PCM .
01419
0813
951










=










=










−
0519
0513
9141
120
010
011
. 
A matriz obtida corresponde à mensagem ANIME-SE. 
b) O inimigo descobriu a matriz chave que você estava usando, o seu comandante 
ordenou que você a alterasse para









 −
200
011
111
. Você transmite a mensagem 
CUIDADO. O receptor conseguirá decodificar a sua mensagem? Justifique. 
Solução: 
A mensagem não poderá ser decodificada, pois a matriz chave não é inversível. A 
primeira linha é combinação linear das segunda e terceira linhas. Uma outra maneira de 
verificar que a matriz dada não é inversível é calculando o determinante, que no caso 
acima, é nulo. 
 
c) Escolha uma matriz chave que possibilite codificar mensagens de até 16 letras. 
Justifique sua resposta. 
Solução: 
Basta escolher qualquer matriz inversível de ordem 4, por exemplo: 












−
−
−
=
5000
4100
1230
1321
C 
Como a matriz é triangular, o seu determinante pode ser obtido multiplicando-se os 
elementos da diagonal principal: det( C ) = 1.3.(-1).5 = -15. Logo a matriz escolhida é 
inversível. 
 
2ª Questão. (3,0) Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, 
justificando sua resposta: 
 
a) 22))(( BABABA −=+− quaisquer que sejam A e B matrizes quadradas de mesma 
ordem. 
Solução: A igualdade é falsa. 
Observe que: 
22 BBAABA)BA)(BA( −−+=+− , logo a igualdade acima será válida se 
BAAB = , o que nem sempre é verdadeiro. 
Mas para mostrar que uma afirmação é falsa, é suficiente exibir pelo menos um 
exemplo onde esta afirmação falha, ou seja, apresentar um contra exemplo. 
Então, considere 




−
=





=
11
01
10
21
BeA . 
Verificamos que =





≠





−−
=+−
00
40
21
82)BA)(BA( .BA 22 − 
 
 
b) Sejam A , B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Se B é inversível e 
CBAB = , então CA = . 
Solução: A afirmação é verdadeira. 
Neste caso, não é suficiente apresentar um exemplo que verifique, pois para mostrar que 
a implicação é verdadeira, precisamos mostrar que é válida para quaisquer matrizes A , 
B e C nas condições acima. 
Seja 1−B a inversa de B, 
.).().()()( 1111 CABBCBBABCBBABCBAB =⇒=⇒=⇒= −−−− 
 
c) )det()det()det( BABA +=+ quaisquer que sejam A e B matrizes quadradas de 
mesma ordem. 
Solução: A afirmação é falsa. 
Sejam 





=
10
01
A e 





−
−
=
10
01
B . 






=+
00
00
BA , 0)det( =+ BA e .211)det()det( =+=+ BA 
 
d) Considere um triângulo ABC eqüilátero. Um sistema formado pelas três retas que 
contém os três lados de ABC possui três soluções. 
Solução: 
Cada par de retas que contém dois lados de ABC tem um ponto de interseção, um 
vértice do triângulo. Porém, as três retas não têm um ponto em comum, logo o sistema 
formado por elas não possui solução. 
 
3ª Questão. (2,0) Considere a matriz 










−
−
=
331
422
121
A . 
a) Determine a inversa de A . Verifique sua resposta utilizando a definição de inversa. 
Solução: 
Vamos aplicar as operações elementares ao esquema [A|I]: 
⇒
−←
−←










−
−
133
122 2
100
010
001
331
422
121
LLL
LLL ⇒−←










−
−
−
−
−
22 2
1
101
012
001
210
620
121
LL 
⇒
−←









−
−
−
−
−
133101
0
2
11
001
210
310
121
LLL
⇒+←
+←












−
−−
−
322
311
3
12
12
02
11
001
100
310
121
LLL
LLL
 
⇒
−←












−
−
− 211 2
12
12
315
12
11
100
010
021 LLL












−
−
−−
12
12
315
52
39
100
010
001
 
Logo, A possui inversa e










−
−
−−
=
−
12
12
315
52
39
1A . 
Note que 










−
−
=
−
331
422
121
.
1AA










=










−
−
−−
100
010
001
12
12
315
52
39
. 
 
b) É sempre possível resolver o sistema BAX = em que A é a matriz do enunciado, 










=
z
y
x
X e 










=
c
b
a
B , qualquer que seja B )(31 ℜ∈ xM ? Justifique sua resposta. 
Solução: 
Sendo A inversível e BAX = , BAXBAAXA 111 ).( −−− =⇒= . 
Assim, para determinar X , basta multiplicar a inversa de A por B , na ordem acima. 
 
4ª Questão. (1,5) Considere o subconjunto 






=+++ℜ∈





= 0|)(22 dcbaMdc
ba
M x . 
Mostre que M é um subespaço de )(22 ℜxM . 
Solução. 
1. ∅≠M , pois M∈





00
00
. 
2. Sejam M
dc
ba
∈





 e M
dc
ba
∈





''
''
, então, 0'''' =+++=+++ dcbadcba . 





dc
ba
+ 





''
''
dc
ba
= 





++
++
''
''
ddcc
bbaa
∈ M, pois 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0'''''''' =+++++++=+++++++ dcbadcbaddccbbaa . 
3. Dada 





dc
ba
∈ M e ℜ∈k , M
kdkc
kbka
dc
ba
k ∈





=





, pois 
.00.)( ==+++=+++ kdcbakkdkckbka 
Logo M é um subespaço de )(22 ℜxM . 
 
 
5ª Questão. (1,5) Crie um exemplo de um sistema linear possível, indeterminado, com 4 
incógnitas e que possua 2 variáveis livres. Resolva o sistema e apresente o conjunto 
Solução: 
Para criar o exemplo, é mais fácil partir da configuração da matriz escalonada. Se o 
sistema possui 4 incógnitas e deve possuir 2 variáveis livres, então serão 2 as variáveis 
dependentes. Vamos apresentar um exemplo de um sistema homogêneo. 
A matriz escalonada 












−
0000
0000
2110
1111
 corresponde ao sistema 



=+−
=+++
02
0
tzy
tzyx
. 
Suas soluções podem ser expressas por: 
 





 ℜ∈
−=
−−=
⇒
−=
−−−−=
⇒



−=
−−−=
.,,
2
32
2
)2(
2
tz
tzy
tzx
tzy
tztzx
tzy
tzyx
 
Logo o conjunto solução é dado pelo conjunto }t,z|)t,z,t2z,t3z2{(S ℜ∈−−−= .