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Atividades complementares 
 
1) Calcule a integral tripla: 
∫ ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑧
𝐺
𝑑𝑉 
onde G é o sólido do primeiro octante limitado pelo cilindro parabólico 𝑧 = 2 −
𝑥2, 𝑧 = 0, 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 0. 
Solução: 
A região de integração será dada por: 
0 ≤ 𝑧 ≤ 2 − 𝑥2 
0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 
De 𝑧 = 2 − 𝑥2 e 𝑧 = 0 temos que 2 − 𝑥2 = 0 → 𝑥2 = 2 → 𝑥 = ±√2 
De 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = 0 temos que 𝑥 = 0, logo a variação de 𝑥 é dada por: 
0 ≤ 𝑥 ≤ √2 
Assim temos: 
∫ ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑧
2−𝑥2
0
𝑑𝑧
𝑥
0
𝑑𝑦
√2
0
𝑑𝑥 = ∫ ∫ [
𝑥𝑦𝑧2
2
]
0
2−𝑥2𝑥
0
𝑑𝑦
√2
0
𝑑𝑥 = 
∫ ∫ [
𝑥𝑦(2 − 𝑥2)2
2
]
0
2−𝑥2𝑥
0
𝑑𝑦
√2
0
𝑑𝑥 =
1
2
∫ ∫ 𝑥𝑦(4 − 4𝑥2 + 𝑥4)
𝑥
0
𝑑𝑦
√2
0
𝑑𝑥 
=
1
2
∫ ∫ 4𝑥𝑦 − 4𝑥3𝑦 + 𝑥5𝑦
𝑥
0
𝑑𝑦
√2
0
𝑑𝑥 =
1
2
∫ [2𝑥𝑦2 − 2𝑥3𝑦2 +
𝑥5𝑦2
2
]
0
𝑥√2
0
𝑑𝑥 
1
2
∫ 2𝑥𝑥2 − 2𝑥3𝑥2 +
𝑥5𝑥2
2
√2
0
𝑑𝑥 =
1
2
∫ 2𝑥3 − 2𝑥5 +
𝑥7
2
√2
0
𝑑𝑥 
=
1
2
[
2𝑥4
4
−
2𝑥6
6
+
𝑥8
16
]
0
√2
=
1
2
[
2
4
(√2)
4
−
2
6
(√2)
6
+
1
16
(√2)
8
] =
1
2
(3 −
8
3
)
=
1
6
 
2) Calcule a integral 
∫ ∫ ∫ 𝑧𝑠𝑒𝑛(𝑥)
√1−𝑧2
0
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑧
𝜋
0
𝑑𝑥 
= ∫ ∫ [𝑧𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⋅ 𝑦]0
√1−𝑧2
1
0
𝑑𝑧
𝜋
0
𝑑𝑥 
= ∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⋅ 𝑧 ⋅ √1 − 𝑧2
1
0
𝑑𝑧
𝜋
0
𝑑𝑥 
= ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) [−
1
3
√(1 − 𝑧2)3]
0
1𝜋
0
𝑑𝑥 
= ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) (−
1
3
√0 +
1
3
√1) 𝑑𝑥
𝜋
0
 
= ∫
1
3
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝜋
0
𝑑𝑥 =
1
3
[− cos(𝑥)]0
𝜋 =
1
3
[(− cos(𝜋) + cos(0)] =
1
3
⋅ 2 =
2
3
 
 
3) Calcule a integral 
∫ ∫ ∫ cos(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
𝑥
0
𝑑𝑧
𝑦
0
𝑑𝑥
𝜋
2
0
𝑑𝑦 
 
= ∫ ∫ [
𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
1
]
0
𝑥𝑦
0
𝑑𝑥
𝜋
2
0
𝑑𝑦 = ∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 𝑦) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦)
𝑦
0
𝑑𝑥
𝜋
2
0
𝑑𝑦 
 
= ∫ [−
cos(2𝑥 + 𝑦)
2
+
cos(𝑥 + 𝑦)
1
]
0
𝑦𝜋
2
0
𝑑𝑦 
= ∫ [−
1
2
cos(3𝑦) + cos(2𝑦) +
1
2
cos(𝑦) − cos(𝑦)]
𝜋
2
0
𝑑𝑦 
= ∫ [−
1
2
cos(3𝑦) + cos(2𝑦) −
1
2
cos(𝑦)]
𝜋
2
0
𝑑𝑦 
= [−
1
2
𝑠𝑒𝑛(3𝑦)
3
−
𝑠𝑒𝑛(2𝑦)
2
−
1
2
𝑠𝑒𝑛(𝑦)]
0
𝜋
2
= (−
1
6
⋅ −1 − 0 −
1
2
) − 0 
=
1
6
−
1
2
=
1 − 3
6
= −
2
6
= −
1
3
 
4) Calcule, em coordenadas cilíndricas, ∭ √(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑉
𝐸
, onde 𝐸 é a região 
contida dentro do cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 9 e entre os planos 𝑧 = −1 e 𝑧 = 4. 
∫ ∫ ∫ 𝑟2 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃
4
−1
=
3
0
2𝜋
0
∫ ∫ [𝑧]−1
4 𝑟2 𝑑𝑟𝑑𝜃 =
3
0
2𝜋
0
5 ∫ [
𝑟3
3
]
0
3
 𝑑𝜃
2𝜋
0
= 45 ∫ 𝑑𝜃
2𝜋
0
 
= 45 [𝜃]0
2𝜋 = 90𝜋 
5) Calcule, em coordenadas esféricas, ∭ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑉
𝐵
, onde 𝐵 é a bola 
unitária 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 1. 
Essa integral é resolvida utilizando o método da 
substituição. Fazendo 𝑢 = 1 − 𝑧2 temos: 
∫ 𝑧 ⋅ √1 − 𝑧2𝑑𝑧 = ∫ 𝑢
1
2 ⋅ −
1
2
𝑑𝑢 = −
1
2
⋅
2
3
√𝑢3
= −
1
3
√(1 − 𝑧2)3 
∫ ∫ ∫ 𝜌4 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜙
1
0
2𝜋
0
𝜋
0
= ∫ ∫ [
𝜌5
5
]
0
1
𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜃𝑑ϕ
2𝜋
0
𝜋
0
=
1
5
∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜃𝑑𝜙
2𝜋
0
𝜋
0
 
=
1
5
∫ [𝜃]0
2𝜋 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜙
𝜋
0
=
2𝜋
5
∫ 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜙
𝜋
0
=
−2𝜋
5
[𝑐𝑜𝑠𝜙 ]0
𝜋 =
4𝜋
5
 
6) Quando precisamos avaliar a integral tripla de uma função f(x,y,z), podemos lançar 
mão do teorema de Fubini, pois ele fornece condições sob as quais é possível calcular 
a integral por meio de integrais iteradas. Considere a integral tripla da função f(x,y,z) 
= xyz2 na região E, onde E é a caixa retangular dada por 
𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|0 ≤ 𝑥 ≤ 1, −1 ≤ 𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑧 ≤ 3}. 
Qual a representação correta da integral? 
 ∫ ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑧2𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
3
0
2
−1
1
0
. 
7) O plano tangente ao gráfico de uma função f(x,y) num ponto é o plano que contém 
todas as retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto. Determine a equação 
do plano tangente que toca a superfície z = x2 + 2x + y2 + 4 no ponto P(2,1,1). 
𝑥2 + 2𝑥 + 𝑦2 + 4 − 𝑧 = 0 𝑃(1,2,1) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
|
𝑥0
(𝑥 − 𝑥0) +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
|
𝑦0
(𝑦 − 𝑦0) +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
|
𝑧0
(𝑧 − 𝑧0) = 0 
(2𝑥 + 2)|2(𝑥 − 2) + (2𝑦)|1(𝑦 − 1) + (−1)|1(𝑧 − 1) = 0 
6(𝑥 − 2) + 2(𝑦 − 1) − 1(𝑧 − 1) = 0 
6𝑥 − 12 + 2𝑦 − 2 − 𝑧 + 1 = 0 
6𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 13 = 0 
8) Suponha que um pesquisador, na resolução de um problema físico, precisa 
calcular a integral tripla da função 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑦 sobre a região R, limitada 
pelos planos coordenados e pelos planos de equações x = 1, y = 2 e z = 1. A 
respeito dessa situação, responda aos seguintes itens: 
a) Quais os limites de integração que precisam ser adotados na resolução desse 
problema? 
b) Apresente a integral tripla que caracteriza o problema em questão, considerando 
os limites de integração apresentados no item a e selecionando uma das ordens de 
integração possível. 
c) Calcule a integral tripla apresentada no item b. 
Gabarito: 
a) Os limites de integração são dados por: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 e 0 ≤ z ≤ 1. 
b) A integral tripla que caracteriza a situação descrita é dada por 
𝐼 = ∫ ∫ ∫ 2𝑥𝑦
1
0
𝑑𝑧
2
0
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑥 
Pode-se adotar, ainda, outras cinco ordens de integração diferentes da apresentada 
anteriormente, desde que os limites sejam indicados corretamente. 
c) Calculando a integral tripla obtemos 
𝐼 = ∫ ∫ ∫ 2𝑥𝑦
1
0
𝑑𝑧
2
0
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥 ∫ 𝑦 ∫ 𝑑𝑧
1
0
2
0
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥 ∫ 𝑦[𝑧]0
1
2
0
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑥
= 2 ∫ 𝑥 ∫ 𝑦
2
0
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥 [
1
2
𝑦2]
0
2
 
1
0
𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑥
1
0
𝑑𝑥 = 4 [
1
2
𝑥2]
0
1
= 2 
9) Escreva as funções em coordenadas esféricas: 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦² 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² 
Gabarito: 
a) 𝑓(𝜌, 𝜙, 𝜃) = 𝜌2 sen2(𝜙) sen2(𝜃) 
b) 𝑓(𝜌, 𝜙, 𝜃) = 𝜌2

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