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Atividades complementares 1) Calcule a integral tripla: ∫ ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑧 𝐺 𝑑𝑉 onde G é o sólido do primeiro octante limitado pelo cilindro parabólico 𝑧 = 2 − 𝑥2, 𝑧 = 0, 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 0. Solução: A região de integração será dada por: 0 ≤ 𝑧 ≤ 2 − 𝑥2 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 De 𝑧 = 2 − 𝑥2 e 𝑧 = 0 temos que 2 − 𝑥2 = 0 → 𝑥2 = 2 → 𝑥 = ±√2 De 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = 0 temos que 𝑥 = 0, logo a variação de 𝑥 é dada por: 0 ≤ 𝑥 ≤ √2 Assim temos: ∫ ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑧 2−𝑥2 0 𝑑𝑧 𝑥 0 𝑑𝑦 √2 0 𝑑𝑥 = ∫ ∫ [ 𝑥𝑦𝑧2 2 ] 0 2−𝑥2𝑥 0 𝑑𝑦 √2 0 𝑑𝑥 = ∫ ∫ [ 𝑥𝑦(2 − 𝑥2)2 2 ] 0 2−𝑥2𝑥 0 𝑑𝑦 √2 0 𝑑𝑥 = 1 2 ∫ ∫ 𝑥𝑦(4 − 4𝑥2 + 𝑥4) 𝑥 0 𝑑𝑦 √2 0 𝑑𝑥 = 1 2 ∫ ∫ 4𝑥𝑦 − 4𝑥3𝑦 + 𝑥5𝑦 𝑥 0 𝑑𝑦 √2 0 𝑑𝑥 = 1 2 ∫ [2𝑥𝑦2 − 2𝑥3𝑦2 + 𝑥5𝑦2 2 ] 0 𝑥√2 0 𝑑𝑥 1 2 ∫ 2𝑥𝑥2 − 2𝑥3𝑥2 + 𝑥5𝑥2 2 √2 0 𝑑𝑥 = 1 2 ∫ 2𝑥3 − 2𝑥5 + 𝑥7 2 √2 0 𝑑𝑥 = 1 2 [ 2𝑥4 4 − 2𝑥6 6 + 𝑥8 16 ] 0 √2 = 1 2 [ 2 4 (√2) 4 − 2 6 (√2) 6 + 1 16 (√2) 8 ] = 1 2 (3 − 8 3 ) = 1 6 2) Calcule a integral ∫ ∫ ∫ 𝑧𝑠𝑒𝑛(𝑥) √1−𝑧2 0 𝑑𝑦 1 0 𝑑𝑧 𝜋 0 𝑑𝑥 = ∫ ∫ [𝑧𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⋅ 𝑦]0 √1−𝑧2 1 0 𝑑𝑧 𝜋 0 𝑑𝑥 = ∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⋅ 𝑧 ⋅ √1 − 𝑧2 1 0 𝑑𝑧 𝜋 0 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) [− 1 3 √(1 − 𝑧2)3] 0 1𝜋 0 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) (− 1 3 √0 + 1 3 √1) 𝑑𝑥 𝜋 0 = ∫ 1 3 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝜋 0 𝑑𝑥 = 1 3 [− cos(𝑥)]0 𝜋 = 1 3 [(− cos(𝜋) + cos(0)] = 1 3 ⋅ 2 = 2 3 3) Calcule a integral ∫ ∫ ∫ cos(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) 𝑥 0 𝑑𝑧 𝑦 0 𝑑𝑥 𝜋 2 0 𝑑𝑦 = ∫ ∫ [ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) 1 ] 0 𝑥𝑦 0 𝑑𝑥 𝜋 2 0 𝑑𝑦 = ∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 𝑦) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) 𝑦 0 𝑑𝑥 𝜋 2 0 𝑑𝑦 = ∫ [− cos(2𝑥 + 𝑦) 2 + cos(𝑥 + 𝑦) 1 ] 0 𝑦𝜋 2 0 𝑑𝑦 = ∫ [− 1 2 cos(3𝑦) + cos(2𝑦) + 1 2 cos(𝑦) − cos(𝑦)] 𝜋 2 0 𝑑𝑦 = ∫ [− 1 2 cos(3𝑦) + cos(2𝑦) − 1 2 cos(𝑦)] 𝜋 2 0 𝑑𝑦 = [− 1 2 𝑠𝑒𝑛(3𝑦) 3 − 𝑠𝑒𝑛(2𝑦) 2 − 1 2 𝑠𝑒𝑛(𝑦)] 0 𝜋 2 = (− 1 6 ⋅ −1 − 0 − 1 2 ) − 0 = 1 6 − 1 2 = 1 − 3 6 = − 2 6 = − 1 3 4) Calcule, em coordenadas cilíndricas, ∭ √(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑉 𝐸 , onde 𝐸 é a região contida dentro do cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 9 e entre os planos 𝑧 = −1 e 𝑧 = 4. ∫ ∫ ∫ 𝑟2 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 4 −1 = 3 0 2𝜋 0 ∫ ∫ [𝑧]−1 4 𝑟2 𝑑𝑟𝑑𝜃 = 3 0 2𝜋 0 5 ∫ [ 𝑟3 3 ] 0 3 𝑑𝜃 2𝜋 0 = 45 ∫ 𝑑𝜃 2𝜋 0 = 45 [𝜃]0 2𝜋 = 90𝜋 5) Calcule, em coordenadas esféricas, ∭ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑉 𝐵 , onde 𝐵 é a bola unitária 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 1. Essa integral é resolvida utilizando o método da substituição. Fazendo 𝑢 = 1 − 𝑧2 temos: ∫ 𝑧 ⋅ √1 − 𝑧2𝑑𝑧 = ∫ 𝑢 1 2 ⋅ − 1 2 𝑑𝑢 = − 1 2 ⋅ 2 3 √𝑢3 = − 1 3 √(1 − 𝑧2)3 ∫ ∫ ∫ 𝜌4 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜙 1 0 2𝜋 0 𝜋 0 = ∫ ∫ [ 𝜌5 5 ] 0 1 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜃𝑑ϕ 2𝜋 0 𝜋 0 = 1 5 ∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜃𝑑𝜙 2𝜋 0 𝜋 0 = 1 5 ∫ [𝜃]0 2𝜋 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜙 𝜋 0 = 2𝜋 5 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜙 𝜋 0 = −2𝜋 5 [𝑐𝑜𝑠𝜙 ]0 𝜋 = 4𝜋 5 6) Quando precisamos avaliar a integral tripla de uma função f(x,y,z), podemos lançar mão do teorema de Fubini, pois ele fornece condições sob as quais é possível calcular a integral por meio de integrais iteradas. Considere a integral tripla da função f(x,y,z) = xyz2 na região E, onde E é a caixa retangular dada por 𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|0 ≤ 𝑥 ≤ 1, −1 ≤ 𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑧 ≤ 3}. Qual a representação correta da integral? ∫ ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑧2𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 3 0 2 −1 1 0 . 7) O plano tangente ao gráfico de uma função f(x,y) num ponto é o plano que contém todas as retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto. Determine a equação do plano tangente que toca a superfície z = x2 + 2x + y2 + 4 no ponto P(2,1,1). 𝑥2 + 2𝑥 + 𝑦2 + 4 − 𝑧 = 0 𝑃(1,2,1) 𝜕𝑓 𝜕𝑥 | 𝑥0 (𝑥 − 𝑥0) + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 | 𝑦0 (𝑦 − 𝑦0) + 𝜕𝑓 𝜕𝑧 | 𝑧0 (𝑧 − 𝑧0) = 0 (2𝑥 + 2)|2(𝑥 − 2) + (2𝑦)|1(𝑦 − 1) + (−1)|1(𝑧 − 1) = 0 6(𝑥 − 2) + 2(𝑦 − 1) − 1(𝑧 − 1) = 0 6𝑥 − 12 + 2𝑦 − 2 − 𝑧 + 1 = 0 6𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 13 = 0 8) Suponha que um pesquisador, na resolução de um problema físico, precisa calcular a integral tripla da função 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑦 sobre a região R, limitada pelos planos coordenados e pelos planos de equações x = 1, y = 2 e z = 1. A respeito dessa situação, responda aos seguintes itens: a) Quais os limites de integração que precisam ser adotados na resolução desse problema? b) Apresente a integral tripla que caracteriza o problema em questão, considerando os limites de integração apresentados no item a e selecionando uma das ordens de integração possível. c) Calcule a integral tripla apresentada no item b. Gabarito: a) Os limites de integração são dados por: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 e 0 ≤ z ≤ 1. b) A integral tripla que caracteriza a situação descrita é dada por 𝐼 = ∫ ∫ ∫ 2𝑥𝑦 1 0 𝑑𝑧 2 0 𝑑𝑦 1 0 𝑑𝑥 Pode-se adotar, ainda, outras cinco ordens de integração diferentes da apresentada anteriormente, desde que os limites sejam indicados corretamente. c) Calculando a integral tripla obtemos 𝐼 = ∫ ∫ ∫ 2𝑥𝑦 1 0 𝑑𝑧 2 0 𝑑𝑦 1 0 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥 ∫ 𝑦 ∫ 𝑑𝑧 1 0 2 0 𝑑𝑦 1 0 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥 ∫ 𝑦[𝑧]0 1 2 0 𝑑𝑦 1 0 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥 ∫ 𝑦 2 0 𝑑𝑦 1 0 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥 [ 1 2 𝑦2] 0 2 1 0 𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑥 1 0 𝑑𝑥 = 4 [ 1 2 𝑥2] 0 1 = 2 9) Escreva as funções em coordenadas esféricas: a) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦² b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² Gabarito: a) 𝑓(𝜌, 𝜙, 𝜃) = 𝜌2 sen2(𝜙) sen2(𝜃) b) 𝑓(𝜌, 𝜙, 𝜃) = 𝜌2
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