A5 - Prova Final - Cálculo Aplicado - Uma Variável

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 Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 
 Para derivar funções, é necessário conhecer e saber utilizar as suas regras 
operatórias: deriva da soma entre duas funções, derivada do produto entre duas 
ou mais funções, derivada do quociente entre duas funções, derivada da cadeia, 
para derivar as funções constantes. Neste contexto, associe tais regras com suas 
fórmulas: 
 
1 - Derivada do Produto. 
2 - Derivada do Quociente. 
3 - Derivada da Soma. 
4 - Derivada da Cadeia. 
 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
 
A partir das relações feitas anteriormente, assinale a alternativa que apresenta a 
sequência 
correta. 
 
Resposta Selecionada: 
2, 3, 1, 4. 
Resposta Correta: 
2, 3, 1, 4. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. De acordo com as regras estudadas, temos 
que = Derivada do Quociente. = Derivada da 
Soma. = Derivada do Produto. = Derivada da Cadeia. 
 
 
 Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
 É possível, por meio a análise gráfica, identificar pontos importantes para 
determinar a lei que rege a função do gráfico em estudo. Para tanto, é necessário 
identificar o tipo de função elementar. Além disso, é possível identificar 
ferramentas de suporte para o cálculo da área de regiões planas limitadas pelo 
gráfico da função e pelos eixos coordenados. 
 
Fonte: Elaborada pela autora. 
 
Considerando o contexto apresentado e utilizando como suporte a figura anterior, 
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) 
 
Falsa(s) 
 
I. ( ) A equação da parábola é dada por . 
II. ( ) A área da região hachurada é igual a 
III. ( ) a área da região interna da parábola é igual a 
IV. ( ) A área hachurada no primeiro quadrante é igual a 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
 
Resposta Selecionada: 
V, F, V, F. 
Resposta Correta: 
V, F, V, F. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A resposta está correta, pois a alternativa I é 
verdadeira, desde quando ao substituir os ponto visualizados no 
gráfico na lei genérica da parábola , ; portanto, a lei 
da função é dada por . A alternativa II é falsa já que a área 
hachurada é dada por . A alternativa III é verdadeira, e a conta 
pode ser feita rapidamente diminuindo-se a área do retângulo 
menos a área hachurada determinada no item II; portanto, a área 
solicitada é Finalmente, a alternativa IV é falsa pois a área 
hachurada do primeiro quadrante é igual a . 
 
 
 Pergunta 3 
0 em 1 pontos 
 
 Os pontos críticos e pontos de inflexão de um gráfico podem ser identificados 
através do estudo de sinal da primeira e da segunda derivada da função. Sendo 
assim, através da análise gráfica dos gráficos da primeira e da segunda derivada 
é possível chegar a algumas conclusões. 
 
Nesse contexto, observe os gráficos da Figura 3.5 e Figura 3.6. 
 
Assinale a alternativa que indique a análise correta para pontos críticos e de 
inflexão. 
 
 
Resposta Selecionada: 
são as abscissas dos pontos de inflexão. 
Resposta Correta: 
é a abscissa do ponto de inflexão. 
Comentário da 
resposta: 
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois 
em a função da 2ª derivada f’’(x) muda de sinal, portanto, há 
mudança de concavidade, que comprova a existência do ponto de 
inflexão. 
 
 Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
 A regra de L’Hospital pode ser aplicada diretamente quando as indeterminações 
são do tipo ou . Portanto, é necessário, inicialmente, avaliar o tipo de 
indeterminação. Após essa verificação deve-se aplicar a regra de L’Hospital para 
obter o valor do limite. Se a indeterminação persistir deve-se aplicar a regra 
sucessivamente até obter um valor real. 
 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido ao 
calcular . 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois inicialmente foi 
verificado que o tipo de indeterminação é . Logo após aplicou-
se a regra de L’Hospital, derivando-se o numerador e 
denominador, separadamente, e assim obteve-se o valor 
de para o limite. Verifique os cálculos a seguir: . 
 
 
 Pergunta 5 
0 em 1 pontos 
 
 Para determinarmos o seno de um ângulo qualquer, devemos inicialmente 
localizá-lo no círculo trigonométrico, e quando este ângulo não está localizado no 
primeiro quadrante, devemos fazer o seu rebatimento ao primeiro quadrante. 
Assim, encontramos o seno do ângulo no primeiro quadrante, em valor absoluto e 
associamos o sinal que o seno assume no quadrante de origem. Nesse contexto, 
analisando o círculo trigonométrico, mostrado na figura, determine o valor de 
 
 
 
Fonte: elaborada pela autora 
O valor encontrado é: 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Comentário da 
resposta: 
Sua resposta está incorreta. Os cálculos mostram que o valor 
correta é -1. As demais estão incorretas. 
 
 
 Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 
 Ao calcular limites, pode ocorrer uma indeterminação matemática do tipo 0/0. 
Nesse caso, para determinar o limite, devemos utilizar artifícios matemáticos para 
simplificar a função. Para funções racionais polinomiais de grau 2, é 
recomendável utilizar a fatoração do polinômio, através da regra prática em 
que . Assim, basta encontrar as raízes do polinômio por Bhaskara. Isso 
facilita bastante os cálculos. Nesse sentido, encontre o limite e assinale a 
alternativa que indique qual é o resultado obtido para o limite. 
 
Resposta Selecionada: 
-2. 
Resposta Correta: 
-2. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a -2 . Para 
fatorar o polinômio , utiliza-se o quadrado da diferença, 
portanto: . Para fatorar o polinômio de grau 2, por Bhaskara, 
as raízes são -1 e -2, portanto . Assim, . 
 
 
 Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 
 O deslocamento depende apenas das condições finais e iniciais de uma partícula 
em movimento, pois o deslocamento é a medida da linha reta que une a posição 
inicial e a posição final em que a partícula se encontra nesses instantes. 
Portanto, o valor do deslocamento só depende dessas posições, não depende da 
trajetória. Tomando-se como base essa informação, resolva a situação problema 
a seguir. 
Considere a função velocidade de um ponto material que se desloca ao 
longo de uma reta, em que a velocidade é expressa em metros por segundo e o 
 
tempo em segundos. A condição inicial do espaço-tempo é . Com essas 
informações e o gráfico da figura a seguir, analise as asserções e a relação 
proposta entre elas. 
 
Fonte: Elaborada pela autora. 
 
I. O deslocamento do ponto material do tempo inicial até é igual a - 
60 m 
Pois: 
II. O deslocamento é igual a integral a 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma 
justificativa correta da I. 
Resposta Correta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma 
justificativa correta da I. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a asserção I é 
uma proposição verdadeira, uma vez que o deslocamento do 
ponto material é dado por: 
 Consequentemente, a asserção II é verdadeira e justifica a I. 
 
 
 Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
 
A derivada de uma função aplicada a um ponto P é igual ao coeficiente 
angular da reta tangente à curva no ponto P. Sendo assim, é possível 
encontrar as equações da reta tangente e da reta normal . Nesse contexto, 
encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva , no 
ponto e analise as afirmativas a seguir. 
 
I. A equação da reta tangente é igual a 
II. A equação da reta normal é igual a 
III. O coeficiente angular da reta normal é o valor inverso do coeficiente angular da 
reta normal. 
IV. A derivada da função é igual à , portanto, o coeficiente angular da 
 
reta normal é igual a . 
 
Está correto o que se afirmaem: 
Resposta Selecionada: 
I e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
I e IV, apenas. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. De acordo com os cálculos a seguir: 
, a equação da reta tangente é igual a Como o 
coeficiente da reta normal é igual ao valor oposto inverso do valor 
do coeficiente angular da reta tangente, a equação da reta normal 
é igual a 
 
 
 Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
 Em relação à limite e continuidade de uma função f(x) , sabemos que uma função 
é contínua num ponto P quando o valor do limite dessa função, quando x tende a 
esse ponto é igual ao valor da função no ponto P. Podemos fazer essa verificação 
analisando o gráfico da função. 
Nesse contexto, em relação a limite e continuidade de função, observe o gráfico 
da função f(x) , a seguir, e avalie as afirmativas a seguir: 
 
Fonte: elaborada pela autora 
 
 
 O limite lateral à direita de 2 é igual a 1. 
 A função f(x) é contínua em x = 2. 
 O limites laterais em x = 2 existem e são iguais. 
 A função f(x) é contínua em x=0. 
 
 
É correto o que se afirma em: 
 
Resposta Selecionada: 
I e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
I e IV, apenas. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. 
(Verdadeira) O limite lateral à direita de 2 é igual a 1. Vê-se 
graficamente. 
(Verdadeira) A função f(x) é contínua em x=0. Vê-se 
graficamente que , portanto a função é contínua nesse 
ponto. 
 
 
 Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
 Para usar a regra de L’Hospital diretamente, é necessário que a indeterminação 
seja do tipo ou . Quando isso não ocorre, devemos aplicar artifícios 
matemáticos para preparar a função e obter as indeterminações adequadas para 
aplicação da regra de L’Hospital. 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido ao 
calcular . 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois após preparar a 
função e utilizar a regra de L’Hospital, obteve-se o valor de -3 
para o limite, como mostra os cálculos a seguir. 
 . 
.