Resolução lista 16 - Funções deriváveis

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Análise Real I
Resolução lista 16 - Funções deriváveis.
1. Seja f : I → R uma função definida em um intervalo I e c ∈ I. Defina derivada de
f à direita de c.
Solução: Consideremos a função q : I�{c} → R definida por q(x) = f(x)−f(c)
x−c , (1).
Se a função q tem limite à direita no ponto c, então dezemos que a função f é
derivável à direita no ponto c. O limite à direita de q no ponto c, que se designa
por f ′+(c), é chamado a derivada lateral direita de f no ponto c.
Notação: f ′+(c) = lim
x→c+
f(x)− f(c)
x− c
.
2. Seja f : I → R uma função definida em um intervalo I e c ∈ I. Defina derivada de
f à direita de c.
Solução: Se a função q definida em (1) tem limite à esquerda em c, então diz-se que
a função f é derivável à esquerda no ponto c. O limite à esquerda de q no ponto c,
que se designa por f ′−(c), é chamado a derivada lateral esquerda de f no ponto c.
Notação: f ′−(c) = lim
x→c−
f(x)− f(c)
x− c
.
3. Seja f : I → R uma função definida em um intervalo I e c ∈ I. Defina derivada de
f em c.
Solução: Seja agora c um ponto do interior de I. Se a função f for derivável à
direita e à esquerda em c, e as derivadas laterais em c forem iguais, diremos que f é
derivável em c. O valor comum das derivadas laterais em c, é chamado a derivada
de f em c, e se designa por f ′(c).
4. Seja f : I → R uma função definida em um intervalo I e c ∈ I. Prove que se f é
derivável à direita em c então f é cont́ınua à direita em c.
Demonstração: Suponhamos, por contradição, que f não seja cont́ınua à direita em
c. Logo, ou f(c+) não existe ou, se existe, f(c) 6= f(c+). Em qualquer caso, segue-se
que existe uma sucessão (xn) decrescente convergindo para c e tal que f(xn) não
converge para f(c). Então, existe d > 0 e uma subsucessão (xnj) de (xn) tal que
|f(xnj)− f(c)| > d. Dáı decorre que
|q(xnj)| =
∣∣∣∣f(xnj)− f(c)(xnj)− c
∣∣∣∣ .
Portanto, temos xnj → c e |q(xnj)| → +∞, o que contradiz a hipótese de que q(xn)
converge para f ′+(c).
5. Seja f : I → R uma função definida em um intervalo I e c ∈ I. Prove que se f é
derivável à esquerda em c então f é cont́ınua à esquerda em c.
Demonstração: Suponhamos, por contradição, que f não seja cont́ınua à esquerda
em c. Logo, ou f(c−) não existe ou, se existe, f(c) 6= f(c−). Em qualquer caso,
segue-se que existe uma sucessão (xn) decrescente convergindo para c e tal que f(xn)
não converge para f(c). Então, existe d < 0 e uma subsucessão (xnj) de (xn) tal
que |f(xnj)− f(c)| < d. Dáı decorre que
|q(xnj)| =
∣∣∣∣f(xnj)− f(c)(xnj)− c
∣∣∣∣ .
1
Portanto, temos xnj → c e |q(xnj)| → −∞, o que contradiz a hipótese de que q(xn)
converge para f ′−(c).
6. Seja f : I → R uma função definida em um intervalo I e c ∈ I. Prove que se f é
derivável em c então f é cont́ınua em c.
Demonstração: Provamos nas questões 4 e 5, respectivamente, que se f é derivável
à direita e à esquerda no ponto c então f é cont́ınua à direita e à esquerda em c.
Logo pelo estudos de continuidade anteriores, temos que f é cont́ınua em c.
7. Prove que se f e g são deriváveis em c então f + g também é derivável em c e vale
(f + g)′(c) = f ′(c) + g′(c).
Demonstração: Escrevendo a razão incremental de f + g:
(f + g)(x)− (f + g)(c)
x− c
=
f(x)− f(c)
x− c
+
g(x)− g(c)
x− c
. (1)
Usando o que já sabemos sobre limite de funções e a hipótese de que as duas razões
incrementais no segundo membro de (1) têm limite no ponto c, segue-se que o
primeiro membro também tem limite áı, o qual é igual a (f + g)′(c).
8. Prove que se f e g são deriváveis em c então f · g também é derivável em c e vale
(f · g)′(c) = f ′(c) · g(c) + f(c) · g′(c). (2)
Demonstração: Temos a seguinte identidade para a razão incremental de f · g:
(f · g)(x)− (f · g)(c)
x− c
=
f(x)− f(c)
x− c
· g(x) + g(x)− g(c)
x− c
· f(c) (2′).
Como, por hipótese, f e g são deriváveis em c, temos que as razões incrementais de
f e g têm limite em c e, pelas questões acima, vê-se que g é cont́ınua em c. Logo,
usando as propriedades de limites de funções, segue-se que o primeiro membro de
(2′) tem limite em c.
9. Se f é derivável em c e f(c) 6= 0 então
(
1
f
)
(x) é derivável e vale(
1
f
)′
(x) = − f
′(c)
(f(c))2
.
Demonstração; Consideremos a identidade:
1
f(x)
− 1
f(c)
x− c
= −f(x)− f(c)
x− c
· 1
f(x)f(c)
(4).
Vemos que (4) não é válida para todo x em I�{c}, pois f(x) pode se anular em
alguns pontos. Mas pelo Lema 1 abaixo, f(x) 6= 0 em um intervalo (c − �, c + �).
Logo, a identidade (4) é válida para todo x nesse intervalo. Por propriedades dos
limites de funções e pela hipótese sobre f , segue-se que o limite do segundo membro
de (4) existe, e é igual a −f ′(c)/[f(c)]2. Como queŕıamos demonstrar.
Lema 1. Seja f : I → R uma função cont́ınua em um intervalo I tal que f(c) 6= 0
para uma ponto c ∈ I. Então, existe um � > 0 tal que f(x) 6= 0 para todo x ∈ I tal
que |x− c| 6 �.
Demonstração: Se f(c) < 0, use a questão 1 da lista 14. Se f(c) > 0, use a questão
4 da lista 14.
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