Geometria Analítica e Álgebra Vetorial - Avaliação IV

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Acadêmico:
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Vetorial 
Avaliação:
Avaliação Final (Objetiva) - Individual Semipresencial 
Prova:
Nota da Prova: 10,00
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada
1. Utilizando as mais diversas formas de representação da reta, podemos apenas, ao analisá-
las, tirar diversas conclusões sobre ela. É possível destacar, por exemplo, a inclinação da reta
e o ponto de intercepto com o eixo das ordenadas (eixo y). Os indicadores para tal ação são
os coeficientes linear e angular da reta. Baseado nisto, assinale a alternativa CORRETA que
apresenta o coeficiente angular e linear da reta 2y = 8x, respectivamente:
 a) 4 e zero.
 b) 2 e 1.
 c) 2 e 8.
 d) Zero e 4.
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2. Ao analisar vetorialmente o conceito de reta em um plano ou no espaço, devemos conhecer a
direção que esta dada reta terá. Além disso, devemos conhecer um ponto de referência por
onde esta reta passa. Este ponto pode ser discriminado nas formas de representação das
equações das retas. Assim, dadas as retas a seguir, podemos afirmar que elas passam,
respectivamente, pelos pontos:
 a) (2,7,0) e (-3,1,1).
 b) (-2,0,3) e (0,6,-1).
 c) (-3,1,1) e (2,7,0).
 d) (-1,1,-2) e (2,2,1).
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3. Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito
mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio
característico de uma transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que
é absolutamente essencial para a compreensão e a análise de estruturas simples, tais como
treliças, vigas, pórticos, placas etc., como também de sistemas estruturais mais complexos,
dentre os quais podem ser citados os seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de
aço de telecomunicações e de transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas de
pedestres, edificações residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Sobre a soma
dos autovalores da transformação apresentada a seguir, classifique V para as opções
verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a
sequência CORRETA:
 a) V - F - F - F.
 b) F - F - V - F.
 c) F - V - F - F.
 d) V - V - F - V.
4. Quando trabalhamos em geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como
estas retas estão situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples
visualização. No entanto, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores
representados por coordenadas, determinar a posição dessas retas não é uma tarefa tão
simples. Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores apresentados, com relação aos
ângulos agudos, analise as opções a seguir:
I- u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2).
II- u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1).
III- u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3).
IV- u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4).
V- u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3).
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) As opções III e V estão corretas.
 b) As opções I e IV estão corretas.
 c) Somente a opção II está correta.
 d) As opções I, III e IV estão corretas.
5. As operações de adição, subtração e multiplicação também podem ser aplicadas às matrizes,
desde que preenchidos certos requisitos. Para que duas ou mais matrizes possam ser
somadas ou subtraídas, por exemplo, é necessário que elas sejam de mesma ordem. Cada
elemento da matriz resultante corresponderá à soma ou à subtração, conforme o caso, dos
elementos correspondentes das matrizes originárias. Dadas as matrizes a seguir, analise as
respostas para a operação C = A - B, classifique V para as opções verdadeiras e F para as
falsas e, em seguida, assinale alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
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 a) F - F - V - F.
 b) V - F - F - F.
 c) F - V - F - F.
 d) F - F - F - V.
6. Quando trabalha-se com vetores do espaço vetorial R³, pode-se combinar o produto escalar
com o produto vetorial para definir uma nova operação entre três vetores. A esta operação
damos o nome de produto misto, porque o resultado é uma quantidade escalar. Em particular,
o módulo deste resultado nos calcula o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.
Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 19.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 38.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 15.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 12.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - F - F - F.
 b) F - F - F - V.
 c) F - V - F - F.
 d) F - F - V - F.
7. Leonardo, Luiz, Cris e Jaque moram em uma pequena cidade plana, onde há uma praça
central. Leonardo mora 2 km ao norte e 3 km ao oeste da praça central. Luiz mora 1 km ao
sul e 2 km ao leste da praça central. Cris mora 3 km ao norte e 4 km ao leste da praça central
e Jaque mora 2 km ao sul e 2 km ao oeste da praça central. Sobre os dados referenciais,
assinale a alternativa CORRETA:
 a) Leonardo mora a 4 km, norte e a 4 km, oeste de Jaque.
 b) Jaque mora a 1 km, sul e a 4 km, oeste de Luiz.
 c) Luiz mora a 3 km, sul e a 4 km, leste de Cris.
 d) Cris mora a 5 km, norte e a 2 km, leste de Jaque.
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8. As rotas de dois aviões A e B são lineares e dadas, respectivamente, pelas retas r1 e r2,
descritas a seguir. Com base no exposto, analise as seguintes opções:
I- As retas r1 e r2 são concorrentes, e os aviões podem se chocar.
II- As retas r1 e r2 são coincidentes, e os aviões podem se chocar.
III- As retas r1 e r2 são paralelas, e os aviões não se chocam.
IV- O ponto P(3, 1, 4) pertence às r1 e r2, e é o ponto em que os aviões se chocarão.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção III está correta.
 b) Somente a opção I está correta.
 c) Somente a opção II está correta.
 d) Somente a opção IV está correta.
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9. Matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.
Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos a resolução de alguns
tipos de sistemas de equações lineares ou, ainda, o cálculo da área de um triângulo situado
no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices. Baseado nas
propriedades dos determinantes, analise as sentenças a seguir:
I- Se uma matriz possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, então seu determinante será
nulo.
II- O determinante de uma matriz quadrada é sempre positivo.
III- O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta AT.
IV- Se uma matriz não for quadrada seu determinante será igual a zero.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a sentença III está correta.
 b) As sentenças I e II estão corretas.
 c) As sentenças II e IV estão corretas.
 d) As sentenças I e III estão corretas.
10.Ao se falar dos determinantes associados a uma matriz, não nos vem à mente uma aplicação
prática de seu uso. No entanto, isto é uma ideia apenas inicial, pois os determinantes foram
(e são) uma ferramenta poderosíssima no processo de cálculo e discussão dos sistemas
lineares, estes cuja gama de aplicações é gigantesca. Visto isto, calcule o determinante dos
coeficientes numéricos das incógnitas do sistema linear a seguir (det(A)). Quanto ao seu
valor, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a
alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
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 a) V - F - F - F.
 b) F - F - F - V.
 c) F - V - F - F.
 d) F - F - V - F.
11.(ENADE, 2014) Em uma loja de material escolar, as mercadorias caneta, lápis e borracha, de
um único tipo cada uma, são vendidas para três estudantes. O primeiro comprou uma caneta,
três lápis e duas borrachas pagando R$10,00; o segundo adquiriu duas canetas, um lápis e
uma borracha pagando R$ 9,00; o terceiro comprou três canetas, quatro lápis e três
borrachas pagando R$ 19,00.
Os estudantes, após as compras, sem verificarem os valores de cada mercadoria,
procuraram resolver o problema: A partir das compras efetuadas e dos respectivos valores
totais pagos por eles, qual o preço da caneta, do lápis e da borracha? Para isso, montaram
um sistema de equações lineares cujas incógnitas são os preços das mercadorias. Esse
sistema de equações é:
 a) Possível indeterminado, de forma que a soma dos valores possíveis da caneta, do lápis e
da borracha é igual a 1/5 da adição do preço da borracha com R$ 28,00.
 b) Impossível, pois saber os totais das compras não garante a existência de solução.
 c) Possível determinado, podendo admitir como solução o valor do preço da caneta, do lápis
e da borracha.
 d) Possível determinado, sendo o preço da borracha mais caro que o do lápis.
12.(ENADE, 2005) A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande
interesse. Questionam-se, entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, o elevado
custo do empreendimento relativamente à população beneficiada e a quantidade de água a
ser retirada, o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 m3/s.
Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de
matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do
Ministério da Integração Nacional.
Considere que o projeto prevê a retirada de x m3/s de água.
Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais, e por z o número, em
milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas
quantidades, obtém-se o sistema de equações lineares AX = B, em que:
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 a) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.
 b) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes.
 c) Mais de 2% da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode
provocar sérios danos ambientais.
 d) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(A) = 0.
Prova finalizada com 10 acertos e 2 questões erradas.
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