Exercícios de Matrizes e Produtos Matriciais

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Primeira Lista de Exercícios
Os exercícios abaixo apresentam, cada um, uma dificuldade específica no
tema estudado.
Não pule exercícios. Não os faça de forma automática.
Tente descobrir qual particularidade está sendo trabalhada em cada um
deles.
Exercícios sobre o Produto Matriz-Vetor e o produto
de matrizes
O exercício abaixo mostra que nem sempre é possível
combinar vetores e gerar um outro. Tente descobrir
porque isso acontece. 
Esse resultado possui profunda conexão com o fato
que alguns sistemas lineares de equações não possuem
solução, pois sempre é possível escrever um sistema
linear na forma de um produto matriz x vetor.
1) Encontre números x e y tais que as igualdades abaixo
sejam verdadeiras e observe as conexões com os sistemas lineares
e os produtos matriz x vetor ao lado.
 
A) ou ou 
B) ou ou 
C) ou ou 
D) Qual o sistema correspondente?
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E) Qual a multiplicação matriz x vetor?
F) ou ?
Nos exercícios seguintes, evite utilizar a fórmula
de multiplicação matriz-vetor. Resolva-os sabendo que
multiplicar uma matriz por um vetor é combinar as
colunas da matriz. 
Entender o resultado supracitado é fundamental; não
perca tempo apenas fazendo contas de somar e
multiplicar.
2) Faça as multiplicações matriz-vetor abaixo fazendo as
combinações lineares das colunas das matrizes:
A) ? B) ? C) ?
D) ? E) ?
 
Quando você multiplica uma matriz por um vetor
formado apenas de 1´s, o resultado deve ser a soma das
colunas da matriz; certo? 
E se o vetor possuir apenas 0´s, com exceção de um 1
na segunda entrada, você consegue perceber que o
resultado da multiplicação matriz-vetor deve ser a
segunda coluna da matriz?
E se for um 2?
3) Calcule a multiplicação Av, onde:
3
 e 
A) B) C) D)
4) Sejam A uma matrix 5x4, v uma matriz 4x1 e considere as
seguintes afirmações abaixo:
 I) Quando efetuamos o produto Av, estamos combinando 5
vetores de 4 componentes.
 II) u = Av é um vetor de 5 componentes.
A) I é falsa e II é verdadeira
B) I é verdadeira e II é falsa
C) Ambas são verdadeiras
D) Ambas são falsas
Quando multiplicamos duas matrizes, C=AB, a primeira
coluna de C é o resultado da multiplicação da matriz A
pela primeira coluna de B, e assim por diante. 
Um resultado similar vale para as linhas, mas com a
ordem trocada: A primeira linha de C é o resultado da
multiplicação da primeira linha de A pela matriz B, e o
mesmo vale para as demais linhas de C.
Utilize as informações acima para resolver os
exercícios seguintes.
Não faça muitas contas. Tente encontrar os caminhos
fáceis.
5) Calcule os produtos de matrizes abaixo:
4
A) B) C)
D) E) F)
G) H) 
I)
5
6) Calcule o seguinte produto de matrizes:
7) Calcule o seguinte produto de matrizes:
8) Considere as seguintes matrizes incompletas:
 e 
Assinale aquela que pode ser o resultado da multiplicação
AB:
A) B)
 C) D) 
 
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O objetivo de todos esses exercícios é compreender
que se C=AB, então as colunas de C são combinações
lineares das colunas de A e, ao mesmo tempo, as linhas
de C são combinações lineares das linhas de B.
9) Considere as seguintes afirmações abaixo, onde A é uma
matrix 2x2 e 
:
I) O produto EA troca de lugar as linhas da matriz A
II) O produto AE troca de lugar as colunas da matriz A
A) I é falsa e II é verdadeira
B) I é verdadeira e II é falsa
C) Ambas são verdadeiras
D) Ambas são falsas
10) Seja A uma matriz 3x3 com todas as entradas distintas e
C = EA. Escolha abaixo a matriz E tal que nenhuma linha de C
seja igual à linha correspondente de A:
A) B) C) D)
11) Seja A uma matriz 3x3 e C = EA. Escolha abaixo a matriz
E tal que todas as linhas de C sejam iguais à segunda linha de
A:
A) B) C) D)
12) Seja A uma matriz 2x2 e C = EA. Escolha abaixo a matriz
E de forma que a segunda linha de C seja igual à primeira linha
de A menos duas vezes a segunda linha de A:
A) B) C) D)
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13) Sejam A e C matrizes 2x2 e C = MA. Escolha abaixo a
matriz M de forma que a primeira linha de C seja igual à soma
das linhas de A e a segunda linha de C seja igual à diferença
entre as linhas de A:
A) B) C) D)
14) Sejam A e C 3x3 com C = MA. Escolha abaixo a matriz M de
forma que a primeira linha de C seja igual à soma das duas
primeiras linhas de A; a segunda linha de C seja igual ao triplo
da terceira linha de A e a terceira linha de C seja igual a soma
das duas primeiras linhas de C:
A) B) C) D)
A matriz inversa de uma matriz quadrada A é aquela
que quando multiplicada por A, pela direita, ou pela
esquerda, resulta na Matriz Identidade, ou seja, B é a
inversa de A se AB = BA = I.
15) Calcule a matriz inversa das matrizes abaixo:
A) B) C) D)
Tente deduzir a fórmula para a inversa de uma matriz
2x2 utilizando a definição acima.
Evite decorar a fórmula obtida; certamente, você irá
esquecê-la. Crie um jeito de a deduzir sempre que for
necessário.
16) Calcule a matriz inversa das matrizes abaixo:
A) B) C) D)
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A matriz inversa é o análogo do inverso
multiplicativo de um número a, ou seja, 1/a.
Note que a = 0 não possui inverso multiplicativo.
Analogamente, nem toda matriz possui inversa. Apenas
aquelas que possibilitam desfazer seus efeitos nas
colunas e/ou linhas de outra matriz.
17) Assinale as matrizes abaixo que são invertíveis. Não
faça contas. Analise quais são os efeitos que a matriz causa em
outra quando multiplicando pela direita, ou pela esquerda.
A) B) C) D)
E) F) G) H)
18) Os vetores abaixo são combinações lineares dos vetores
(5,3) e (7,4). Ou seja, são da forma . Assinale
aquele tal que a soma dos coeficientes da combinação geradora é
maior que 1, ou seja, :
A)(11,6) B)(1,1) C)(3,2) D)(6,4)
O produto de matrizes não possui as mesmas
propriedades que o produto de números. Por exemplo, se
ab=0, sabemos que ou a, ou b, um dos dois, deve ser
igual a 0. O mesmo não ocorre com as matrizes.
19)Para cada matriz A abaixo, encontre uma matriz M não-nula,
tal que, AM=0:
A) B) C) D)
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20)Para cada matriz A abaixo, encontre uma matriz M não-nula,
tal que, MA=0:
A) B) C) D)
21) Sejam A uma matriz linha 1xn e B uma matriz coluna nx1,
ambas não-nulas. Considere as afirmativas abaixo e assinale a
resposta correta:
 I - O produto AB nunca pode ser igual a uma matriz nula
II - O produto AB é igual ao produto BA
A) I é falsa e II é verdadeira
B) I é verdadeira e II é falsa
C) Ambas são verdadeiras
D) Ambas são falsas
22) Sejam A mxn e B nxm, ambas não-nulas. Considere as
afirmativas abaixo e assinale a resposta correta:
 I - O produto AB nunca pode ser igual a uma matriz nula
II - O produto AB é igual ao produto BA
A) I é falsa e II é verdadeira
B) I é verdadeira e II é falsa
C) Ambas são verdadeiras
D) Ambas são falsas
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Questões Extra
1) Calcule a matriz inversa das matrizes abaixo utilizando
apenas as fórmulas para matrizes 1x1 e 2x2 (Faça permutações):
A) B)
2) Sejam A e B matrizes simétricas. Considere as afirmativas
abaixo e assinale a alternativa correta:
 I) Se AB é uma matriz simétrica, então A e B comutam.
II) Se A e B comutam, então AB é uma matriz simétrica.
 A) Ambas são verdadeiras
 B) Ambas são falsas
 C) I é verdadeira e II é falsa
 D) II é verdadeira e I é falsa
3) Construa 3 matrizes 2x2, não constantes e sem entradas
nulas, que comutam entre si.
4) Seja A uma matriz simétrica e P uma matriz de permutação.
Assinale a resposta correta:
A) é simétrica
B) não é simétrica
C) é simétrica
D) é simétrica 
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5) Considere A uma matriz mxn e dois grupos de vetores-
coluna e . Sejam V e U as matrizes cujas
colunas são os vetores , respectivamente, e uma matriz
diagonal. Assinale abaixo a multiplicação de matrizes que
representa o conjunto de igualdades
 
A) 
B) 
C) 
D) 
6) Considere as afirmativas abaixo sobre uma matriz A,
quadrada, e assinale a alternativa correta:
 I) Se A é invertível, então existe apenas uma matriz B tal
que AB=0.
II) Se A não é invertível, então existem várias matrizes B
tal que AB=0.
 A) Ambas são verdadeiras
 B) Ambas são falsas
 C) I é verdadeirae II é falsa
 D) II é verdadeira e I é falsa
7) Sejam a,b,c e d, números não nulos, tais que o vetor
(a,b) é múltiplo do vetor (c,d). Qual das matrizes abaixo pode
ser invertível?
A) B) C) D)
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8) Sejam A e C matrizes 2x2. C é obtida de A adicionando a
segunda linha de A à primeira linha de A e subtraindo 3 vezes a
primeira linha de A da segunda linha de A. Escolha a matriz
abaixo que recupera A a partir de C, ou seja, tal que A = MC:
A) B) C) D)
9) Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem:
 I) Se AB=I, então BA=I.
II) Se AB=0, então BA=0.
 A) Ambas são verdadeiras
 B) Ambas são falsas
 C) I é verdadeira e II é falsa
 D) II é verdadeira e I é falsa
10) Considere as afirmativas abaixo sobre uma matriz A
invertível e assinale a alternativa correta:
 I) Se A é triangular inferior, então a inversa de A é
triangular superior.
II) Se a inversa de A é triangular superior, então A é
triangular inferior.
 A) Ambas são verdadeiras
 B) Ambas são falsas
 C) I é verdadeira e II é falsa
 D) II é verdadeira e I é falsa
11) Sejam L e U matrizes triangulares inferior e superior,
respectivamente. Considere as afirmativas abaixo e assinale a
alternativa correta:
 I) Toda matriz A pode ser escrita como um produto A = LU
II) Toda matriz A pode ser escrita como um produto A = UL
 A) Ambas são verdadeiras
 B) Ambas são falsas
 C) I é verdadeira e II é falsa
 D) II é verdadeira e I é falsa
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12) Dada uma matriz A quadrada e triangular superior, nxn,
assinale a quantidade mínima de somas e multiplicações
necessárias para fazer o produto de A por um vetor-coluna v:
A) B) C) D)
13) Considere matrizes nxn A e B, quaisquer, D, diagonal, e
um vetor-coluna v, nx1. Seja C a função custo computacional de
um produto de matrizes ou de um produto matriz-vetor, onde somas
e multiplicações são equivalentes. Assinale a alternativa FALSA:
A) C(Av) > C(DB)
B) C(Av) > C(Dv)
C) C(AB) > C(AD)
D) C(Dv) > C(DD)