Transformada de Laplace

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Universidade Federal do Ceará – 
UFC Centro de Tecnologia 
Departamento de Engenharia 
Química 
Disciplina de Métodos Matemáticos e Comp. Aplic. a Eng. 
Química Semestre 2020. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE AVALIATIVA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aluno: Helder do Nascimento Veras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fortaleza, Outubro de 2020. 
 
 
1. Utilize a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial sujeita a condição 
inicial indicada. 
 
Escolha qualquer outro método analítico e um método computacional (numérico) que pode 
ser utilizado para resolver esse problema e compare as soluções encontradas. Para o método 
numérico de sua escolha utilize o passo de 0,1 para a variável independente (t). 
FATOR INTEGRANTE: 
 1. Vamos mudar o formato da equação inicial do problema, a fim de determinar as funções 
R(t) e S(t): 
 
 
2. Cálculo do fator integrante (I): 
 
 
3. Aplicação do fator integrante na fórmula abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos resolver primeiramente a integral B, da Equação 1: 
 
 
 
 
𝟐
𝒅𝑪
𝒅𝒕
− 𝟓𝑪 = 𝒕 + 𝟏 𝑪(𝟎) = 𝟏 
𝐶′(𝑡) + (−
5
2
) 𝐶(𝑡) =
𝑡 + 1
2
 
𝐼 = 𝑒∫ 𝑅(𝑡)𝑑𝑡 
𝐼 = 𝑒∫ −
5
2
𝑑𝑡 = 𝑒
−5𝑡
2 
𝐼 × 𝐶(𝑡) = ∫ 𝐼 × 𝑆(𝑡)𝑑𝑡 
𝑒
−5𝑡
2 × 𝐶(𝑡) = ∫ 𝑒
−5𝑡
2 × (
𝑡 + 1
2
) 𝑑𝑡 
𝑒
−5𝑡
2 × 𝐶(𝑡) = ∫ (
𝑡
2
𝑒
−5𝑡
2 +
1
2
𝑒
−5𝑡
2 ) 𝑑𝑡 
𝑒
−5𝑡
2 × 𝐶(𝑡) =
1
2
∫ 𝑡𝑒
−5𝑡
2 𝑑𝑡 +
1
2
∫ 𝑒
−5𝑡
2 𝑑𝑡 Equação 1 
R(t) S(t) 
 
𝐵 =
1
2
∫ 𝑒𝑝
−2
5
𝑑𝑝 = −
1
5
∫ 𝑒𝑝𝑑𝑝 = −
1
5
𝑒
−5𝑡
2 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 
Resolvendo a integral A, da Equação 1 temos: 
 
 
 
 
 
Deste modo é possível desenvolver: 
 
 
 
 
 
 4. Substituindo C(0) = 1 na Equação 2 para descobrir o valor da constante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑒
−5𝑡
2 × 𝐶(𝑡) = −
𝑡
5
𝑒
−5𝑡
2 −
7
25
𝑒
−5𝑡
2 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 
𝐶(𝑡) = −
𝑡
5
−
7
25
+ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 × 𝑒
5𝑡
2 
𝐶(0) = 1 = −
7
25
+ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡  𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 =
32
25
 
Substituindo o valor da const =
32
25
 na Equação 2, temos: 
𝐶(𝑡) = −
𝑡
5
−
7
25
+
32
25
𝑒
5𝑡
2 
𝐴 =
1
2
(𝑡 × (−
2
5
𝑒
−5𝑡
2 ) − ∫ −
2
5
𝑒
−5𝑡
2 𝑑𝑡) 
𝐴 =
1
2
∫ 𝑡𝑒
−5𝑡
2 𝑑𝑡 
𝐴 =
1
2
(−
2𝑡
5
𝑒
−5𝑡
2 −
4
25
𝑒
−5𝑡
2 ) 
𝐴 = −
𝑡
5
𝑒
−5𝑡
2 −
2
25
𝑒
−5𝑡
2 
𝑒
−5𝑡
2 × 𝐶(𝑡) = −
𝑡
5
𝑒
−5𝑡
2 −
2
25
𝑒
−5𝑡
2 −
1
5
𝑒
−5𝑡
2 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 
Equação 2 
TRANSFORMADA DE LAPLACE: 
 
Aplicando a transformada de Laplace: 
Sabendo que L{c’(t)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑐′(𝑡)𝑑𝑡
∞
0
 
 considerando c(0)=1 
Para se resolver tal vamos substituir os valores encontrados na tabela de trasnformada 
2 [𝑠𝐹(𝑠) − 𝐶 (0)] − 5𝐹(𝑠) = 1/s2+1/s 
𝐹(𝑠)[2𝑠 − 5] − 2 = (s + s2)/s3 
A partir desses valores aplicaremos o método das frações parciais, tendo como resultado: 
𝑓(𝑠) =
1 + 𝑠 + 2𝑠2
𝑠(2𝑠 − 5)
= 
=
1
𝑠2(2𝑠 − 5)
+
1
𝑠(2𝑠 − 5)
+
2
(2𝑠 − 5)
 
A partir desses valores, aplicaremos a inversa para se achar a função C(t): 
𝐶(𝑡) = 𝐿−1(
1
𝑠2(2𝑠 − 5)
) + 𝐿−1(
1
𝑠(2𝑠 − 5)
) + 𝐿−1(
2
(2𝑠 − 5)
) 
Ultilizando a tabela ficamos com os seguintes valores: 
𝐶(𝑡) = 𝑒2,5𝑡 +
𝑒2,5𝑡 − 1
5
+
2𝑒2,5𝑡 − 2
25
−
𝑡
5
 
Reorganizando: 
𝐶(𝑡) =
32
25
𝑒2,5𝑡 −
𝑡
5
−
7
25
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODO COMPUTACIONAL: 
 
O médoto computacional é considerado o mais preciso, mas também o mais exigente em termos 
de cálculos. Para que ele possa ser feito de maneira coerente e rápida são usados diversos 
programas para facilitar sua aplicação. Dentro deses métodos está o de Euler que é regido pela 
seguinte equação: 
 
Para se aplicar esse método foi usado o excel por meio de uma série de passos simples: 
1. Criar uma tabela contendo um conjunto de valores a serem aplicados que diferem entre si por 
um passo (h na fómula), além de definir o C0( valor onde o x é 0): 
 
2.Para descobrir os outros valores de y, que no caso é C, temos que declarar a função em uma 
céclula usando os pârametros da equação, pegando não variáveis e sim as células onde esses 
valores estão. 
 
 
 
 
3.Depois disso é só estender essas células que o excel já aplica a fórmula nos diferentes valores. 
Os valores encontrados por essa aplicação é dado na tabela abaixo: 
Tabela 01: Valores obtidos pelo método de euler 
X Y F(t,C) 
0 1 3 
0,1 1,3 3,8 
0,2 1,68 4,8 
0,3 2,16 6,05 
0,4 2,765 7,6125 
0,5 3,52625 9,565625 
0,6 4,482813 12,00703 
0,7 5,683516 15,05879 
0,8 7,189395 18,87349 
0,9 9,076743 23,64186 
1 11,44093 29,60232 
1,1 14,40116 37,0529 
1,2 18,10645 46,36613 
1,3 22,74306 58,00766 
1,4 28,54383 72,55958 
1,5 35,79979 90,74947 
1,6 44,87474 113,4868 
1,7 56,22342 141,9085 
1,8 70,41427 177,4357 
1,9 88,15784 221,8446 
2 110,3423 277,3558 
2,1 138,0779 346,7447 
2,2 172,7523 433,4809 
2,3 216,1004 541,9011 
2,4 270,2905 677,4264 
2,5 338,0332 846,8329 
2,6 422,7165 1058,591 
2,7 528,5756 1323,289 
2,8 660,9045 1654,161 
2,9 826,3206 2067,752 
3 1033,096 2584,739 
3,1 1291,57 3230,974 
3,2 1614,667 4038,768 
3,3 2018,544 5048,51 
3,4 2523,395 6310,687 
3,5 3154,464 7888,409 
3,6 3943,305 9860,561 
3,7 4929,361 12325,75 
3,8 6161,936 15407,24 
3,9 7702,66 19259,1 
4 9628,57 24073,92 
4,1 12035,96 30092,46 
4,2 15045,21 37615,62 
4,3 18806,77 47019,57 
4,4 23508,73 58774,52 
4,5 29386,18 73468,2 
4,6 36733 91835,3 
4,7 45916,53 114794,2 
4,8 57395,95 143492,8 
4,9 71745,22 179366 
5 89681,82 224207,6 
5,1 112102,6 280259,5 
5,2 140128,5 350324,4 
5,3 175161 437905,6 
5,4 218951,5 547382 
5,5 273689,7 684227,6 
5,6 342112,5 855284,5 
5,7 427640,9 1069106 
5,8 534551,5 1336382 
5,9 668189,7 1670478 
6 835237,5 2088097 
6,1 1044047 2610122 
6,2 1305059 3262652 
6,3 1631325 4078315 
6,4 2039156 5097894 
6,5 2548945 6372367 
6,6 3186182 7965459 
6,7 3982728 9956824 
6,8 4978411 12446030 
6,9 6223014 15557538 
7 7778767 19446923 
7,1 9723460 24308653 
7,2 12154325 30385817 
7,3 15192907 37982271 
7,4 18991134 47477839 
7,5 23738918 59347298 
7,6 29673647 74184123 
7,7 37092060 92730154 
7,8 46365075 1,16E+08 
7,9 57956344 1,45E+08 
8 72445431 1,81E+08 
8,1 90556789 2,26E+08 
8,2 1,13E+08 2,83E+08 
8,3 1,41E+08 3,54E+08 
8,4 1,77E+08 4,42E+08 
8,5 2,21E+08 5,53E+08 
8,6 2,76E+08 6,91E+08 
8,7 3,45E+08 8,64E+08 
8,8 4,32E+08 1,08E+09 
8,9 5,4E+08 1,35E+09 
9 6,75E+08 1,69E+09 
9,1 8,43E+08 2,11E+09 
9,2 1,05E+09 2,64E+09 
9,3 1,32E+09 3,29E+09 
9,4 1,65E+09 4,12E+09 
9,5 2,06E+09 5,15E+09 
9,6 2,57E+09 6,43E+09 
9,7 3,22E+09 8,04E+09 
9,8 4,02E+09 1,01E+10 
9,9 5,03E+09 1,26E+10 
10 6,28E+09 1,57E+10 
Afim de se comparar os valores encontrados por cada método, foi usado novamente o excel 
para criar tabelas de valores. 
Tabela 02: valores obtidos pelo método do fator integrante 
X Y 
0 1 
0,1 1,383553 
0,2 1,870363 
0,3 2,48976 
0,4 3,279401 
0,5 4,287639 
0,6 5,576562 
0,7 7,225891 
0,8 9,337992 
0,9 12,0443 
1 15,51359 
1,1 19,96257 
1,2 25,66949 
1,3 32,99164 
1,4 42,38778 
1,5 54,44698 
1,6 69,92563 
1,7 89,79493 
1,8 115,3019 
1,9 148,0479 
2 190,0888 
2,1 244,0648 
2,2 313,3657 
2,3 402,344 
2,4 516,5889 
2,5 663,2764 
2,6 851,6213 
2,7 1093,455 
2,8 1403,97 
2,9 1802,674 
3 2314,614 
3,1 2971,953 
3,2 3815,986 
3,3 4899,741 
3,4 6291,304 
3,5 8078,101 
3,6 10372,39 
3,7 13318,3 
3,8 17100,93 
3,9 21957,91 
4 28194,4 
4,1 36202,19 
4,2 46484,4 
4,3 59687,02 
4,4 76639,5 
4,5 98406,92 
4,6 126356,8 
4,7 162245,2 
4,8 208326,8 
4,9 267496,7 
5 343472,4 
5,1 441027,2 
5,2 566289,9 
5,3 727130,4 
5,4 933653,8 
5,5 1198835 
5,6 1539334 
5,7 1976544 
5,8 2537933 
5,9 3258770 
6 4184343 
6,1 5372803 
6,2 6898815 
6,3 8858254 
6,4 11374222 
6,5 14604790 
6,6 18752922 
6,7 24079228 
6,8 30918341 
6,9 39699935 
7 50975725 
7,1 65454126 
7,2 84044762 
7,3 1,08E+08 
7,4 1,39E+08 
7,5 1,78E+08 
7,6 2,28E+08 
7,7 2,93E+08 
7,8 3,77E+08 
7,9 4,84E+08 
8 6,21E+08 
8,1 7,97E+088,2 1,02E+09 
8,3 1,31E+09 
8,4 1,69E+09 
8,5 2,17E+09 
8,6 2,78E+09 
8,7 3,57E+09 
8,8 4,59E+09 
8,9 5,89E+09 
9 7,57E+09 
9,1 9,71E+09 
9,2 1,25E+10 
9,3 1,6E+10 
9,4 2,06E+10 
9,5 2,64E+10 
9,6 3,39E+10 
9,7 4,35E+10 
9,8 5,59E+10 
9,9 7,18E+10 
10 9,22E+10 
X Y 
0 1 
0,1 1,343553 
0,2 1,790363 
0,3 2,36976 
0,4 3,119401 
0,5 4,087639 
0,6 5,336562 
0,7 6,945891 
0,8 9,017992 
0,9 11,6843 
1 15,11359 
1,1 19,52257 
1,2 25,18949 
1,3 32,47164 
1,4 41,82778 
1,5 53,84698 
1,6 69,28563 
1,7 89,11493 
1,8 114,5819 
1,9 147,2879 
2 189,2888 
2,1 243,2248 
2,2 312,4857 
2,3 401,424 
2,4 515,6289 
2,5 662,2764 
2,6 850,5813 
2,7 1092,375 
2,8 1402,85 
2,9 1801,514 
3 2313,414 
3,1 2970,713 
3,2 3814,706 
3,3 4898,421 
3,4 6289,944 
3,5 8076,701 
3,6 10370,95 
3,7 13316,82 
3,8 17099,41 
3,9 21956,35 
4 28192,8 
4,1 36200,55 
4,2 46482,72 
4,3 59685,3 
4,4 76637,74 
4,5 98405,12 
4,6 126355 
4,7 162243,3 
4,8 208324,9 
4,9 267494,8 
5 343470,4 
5,1 441025,1 
5,2 566287,8 
5,3 727128,3 
5,4 933651,6 
5,5 1198833 
5,6 1539332 
5,7 1976542 
5,8 2537930 
5,9 3258768 
6 4184341 
6,1 5372800 
6,2 6898813 
6,3 8858251 
6,4 11374220 
6,5 14604788 
6,6 18752919 
6,7 24079225 
6,8 30918338 
6,9 39699932 
7 50975722 
7,1 65454124 
7,2 84044759 
7,3 1,08E+08 
7,4 1,39E+08 
7,5 1,78E+08 
7,6 2,28E+08 
7,7 2,93E+08 
7,8 3,77E+08 
7,9 4,84E+08 
8 6,21E+08 
8,1 7,97E+08 
8,2 1,02E+09 
8,3 1,31E+09 
8,4 1,69E+09 
8,5 2,17E+09 
8,6 2,78E+09 
8,7 3,57E+09 
8,8 4,59E+09 
8,9 5,89E+09 
9 7,57E+09 
9,1 9,71E+09 
9,2 1,25E+10 
9,3 1,6E+10 
9,4 2,06E+10 
9,5 2,64E+10 
9,6 3,39E+10 
9,7 4,35E+10 
9,8 5,59E+10 
9,9 7,18E+10 
10 9,22E+10 
Com o objetivo de comparação, foi feito um gráfico para comparar o erro de cada equação 
com a que seria a mais precisa dentre elas, a de Euler. 
Gráfico 01- Erro do método de Laplace 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2 5,6 6 6,4 6,8 7,2 7,6 8 8,4 8,8 9,2 9,6 10
er
ro
(%
)
tempo
Erro percentual de Laplace
Gráfico 02- Erro do método do Fator integrante 
 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2 5,6 6 6,4 6,8 7,2 7,6 8 8,4 8,8 9,2 9,6 10
Er
ro
(%
)
Tempo
Erro percentual do fator integrante