Prova 2 de Calculo 1 UFRRJ (Sergio)

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NOTA
Prof Sergio Ventura (Demat/ICE) – 2020.1
Nome: Matŕıcula:
Prova 2 de IC241 – Cálculo I (T4 e T5)
Instruções para o envio da prova
1. As folhas de reposta devem conter escritos o nome completo e a matŕıcula.
2. A prova deve ser escaneada e gravada em um único arquivo no formato PDF.
3. O nome do arquivo PDF deve ser seu nome completo e a turma em que você está.
4. O tempo de prova é de 24h, após a colocação da mesma no SIGAA.
Justifique todas suas respostas.
Questão 1. © Calcule as derivadas de:
(0,5 pontos) ppxq :“ senn x ¨ cosnx;a) (0,5 pontos) qpxq :“
b
x `
a
x ` ?x.b)
Questão 2. © (1 ponto) Seja hpxq :“ x2 ` ax ` b, para todo x. Determine os valores de a e b para os quais a
reta y “ 2x seja tangente à curva de h no ponto p2, 4q.
Questão 3. © Dada fpxq :“ x
1 ` x2 , determine:
(0,5 pontos) os pontos x tais a derivada se anula;a)
(1 ponto) os intervalos onde o sinal de f 1 é positivo e onde é negativo;b)
(1 ponto) os intervalos onde o sinal de f2 é positivo e onde é negativo;c)
(1,5 pontos) o esboço do gráfico de f .d)
Questão 4. © Calcule os limites:
(1 ponto) lim
xÑ0
x ´ tan x
x ´ senx ;a) (1 ponto) limxÑ1{2´
lnp1 ´ 2xq
tan πx
.b)
Questão 5. © (2 pontos) Dados n número reais a1, a2, . . . , an, provar que a soma
n
ÿ
i“1
px´aiq2 é mı́nima quando
x é a média aritmética de a1, a2, . . . , an.