Cálculo Numérico (MAT28) - Avaliação II

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22/03/2023, 11:51 Avaliação II - Individual
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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:656317)
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Prova 22179464
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 10/0
Nota 10,00
Uma equação não linear é uma equação que contenha termos da forma x², x³, termos com raiz 
entre outros. Um sistema de equações é dito não linear se pelo menos uma das equações não é linear. 
Para resolver um sistema não linear, usamos processos interativos. Considere o sistema linear: 
f(x,y)=0
g(x,y)=0
onde, f ou g são funções não lineares. Com relação aos processos interativos usados para encontrar a 
solução dos sistemas não lineares, analise as sentenças a seguir: 
I- Para aplicar o método da Interação Linear, precisamos encontrar as funções F e G (chamadas de 
funções de interação) que satisfazem F(x,y) = x e G(x,y) = y de tal forma que sejam contínuas e suas 
derivadas parciais também são contínuas. 
II- Para aplicar o método de Newton, temos que considerar que f e g sejam contínuas, mas não é 
necessário que suas derivadas primeiras e segundas sejam também contínuas.
III- Para o método de Interação Linear, podemos considerar qualquer ponto inicial (x0, y0), não é 
preciso estar próximo da solução. 
IV- Para o método de Newton, temos que considerar o ponto inicial (x0, y0) próximo da solução.
Assinale a alternativa CORRETA:
A I e IV.
B II e IV.
C II e III.
D I e III.
Os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel são métodos que encontram uma solução aproximada da 
solução de um sistema linear. Quando não temos mais um sistema linear, e sim um sistema não linear, 
devemos fazer uso de outros métodos para encontrar uma solução aproximada para o sistema, sendo 
dois deles o método da interação linear e o método de Newton. O método da interação linear, em 
geral, é mais fácil de ser implementado, porém requer mais condições do sistema que o método de 
Newton. Com base no exposto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução (com um 
arredondamento de 3 casas decimais) do sistema não linear depois de duas iterações (k = 2) e o ponto 
inicial (0,5; 0,1) usando o método de Newton:
A x = 0,492 e y = 0,121
B x = 0,495 e y = 0,124
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C x = 0,5 e y = 0,1
D x = 0,505 e y = 0,125
Para resolver um sistema linear através do método iterativo podemos usar o método da iteração 
linear. No entanto, no caso de equações não lineares, nem sempre é possível aplicar o método. Para 
podermos aplicar o método, precisamos que ele satisfaça três condições, sendo que uma delas é que 
as derivadas parciais das funções F e G satisfaçam os itens
A Os itens I e II não são satisfeitos.
B Somente o item I é satisfeito.
C Somente o item II é satisfeito.
D Os itens I e II são satisfeitos.
Interpolação linear é uma ramificação da matemática que se caracteriza por uma função linear 
(polinômio de primeiro grau), a qual representa em resultados aproximados uma função f(x). 
Considerando a tabela a seguir e utilizando a interpolação linear, qual o valor estimado de f(0,25)?
A f(0,25) = 0,75
B f(0,25) = 0,5
C f(0,25) = 2,5
D f(0,25) = 2,75
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Interpolação linear é uma ramificação da matemática que se caracteriza por uma função linear 
(polinômio de primeiro grau), a qual representa em resultados aproximados uma função f(x). 
Considerando a tabela a seguir e utilizando a interpolação linear, qual o valor estimado de f (1,8)?
A f(1,8) = 6,8
B f(1,8) = 7,8
C f(1,8) = 7,4
D f(1,8) = 7,2
As expressões algébricas que se formam a partir da união de duas ou mais variáveis e 
constantes, relacionadas através de operações de multiplicação, subtração ou adição, recebem o nome 
de polinômios. Dado o polinômio P (x) = 0,5x² - 4x -1, determine o seu valor para x igual a 0,5.
A O valor do polinômio é 2,125.
B O valor do polinômio é -1,875.
C O valor do polinômio é -2,875.
D O valor do polinômio é 2,375.
O método de Lagrange é um dos métodos de interpolação linear que estudamos. Neste sentido, 
e com base na tabela a seguir, determine para a função f(x) = ln x o valor de:
A 0,5x² - 2,5x + 3
B - x² + 2x - 5
C 0,5x² - 1,5x + 1
D - x² + 4x - 3
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CN - Interpolacao de Lagrange2
Clique para baixar o anexo da questão
Funções polinomiais são um caso particular de funções, em geral são bem-comportadas e 
apresentam várias propriedades interessantes. Uma dessas propriedades é que todo polinômio possui 
pelo menos uma raiz, podendo ela ser real ou complexa e se o polinômio tem grau n então ele tem no 
máximo n raízes. E, ainda, se todos os coeficientes do polinômio forem reais e ele tiver uma raiz 
complexa, então o conjugado dessa raiz também é uma raiz do polinômio. Com base no exposto, 
considere o polinômio:
A a = - 2
B a = 0
C a = 2
D a = - 1
Estudamos cinco métodos iterativos para obter as aproximações das raízes de uma função real 
qualquer. No entanto, dentre os cincos métodos, cada um apresenta suas vantagens e limitações. 
Neste caso, é de interesse do pensador escolher qual destes métodos é o mais conveniente, ou seja, 
vantajoso para aplicar na sua situação problema para a tomada de decisão. Sobre esses métodos, 
associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Método da bisseção.
II- Método das cordas.
III- Método de Newton.
IV- Método das secantes.
V- Método da iteração linear.
( ) Para trabalhar com este método, a grande dificuldade está centrada na descoberta da função de 
iteração apropriada, e sua vantagem é que a convergência é rápida.
( ) Este método não exige as derivadas da função. Para chegarmos a uma aproximação confiável da 
raiz são necessárias várias iterações. É utilizado para refinar o intervalo que contém a raiz.
( ) Este método exige que o pesquisador conheça a derivada da função e a sua forma analítica; no 
entanto, quando modificado, ele mantém constante o valor da primeira derivada durante todo o 
processo interativo.
( ) Método utilizado quando o pesquisador tem a certeza de que o sinal da segunda derivada da 
função é constante, com a necessidade da realização de uma análise gráfica e possui uma 
convergência lenta.
( ) A ordem de convergência está situada entre a convergência linear da iteração linear e a 
convergência quadrática do método de Newton. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - II - I - III - IV.
B IV - V - II - I - III.
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C IV - V - I - II - III.
D V - I - III - II - IV.
Determinar raízes de polinômios por vezes não é simples se pensarmos em polinômios de grau 
maior que 3, para polinômio de grau 1 basta isolar a variável independente, polinômios de grau dois 
usamos Bhaskara. São métodos interativos que na maioria das vezes usamos para determinar raízes 
de polinômios de grau maior e igual a 3, mas para entendê-los precisamos compreender as 
características dos polinômios. Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir:
 
I- Todo polinômio de grau maior que 1 tem pelo menos uma raiz real.
II- Se o polinômio tem grau impar, então ele tem pelo menos uma raiz real.
III- Se um polinômio de grau n tem n - 1 raízes, então uma das raízes tem multiplicidade 2.
IV- Se um polinômio de grau n tem todas n raízes distintas, então ele pode ser reescrito da seguinte 
forma:
A I.
B IV.
C II.
D III.
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