mecanica_trinca

Prévia do material em texto

1
3. MECÂNICA DE FRATURA 
 
 
 
3.1. INTRODUÇÃO 
 
 
A vida em fadiga de um componente é composta dos estágios de iniciação e de propagação da 
trinca. Este fato é ilustrado esquematicamente na Fig, 3.1. 
 
Fig.3.1. Estágios de iniciação e de propagação da vida em fadiga. 
 
O tamanho da trinca na transição do estágio de iniciação para o de propagação é geralmente 
desconhecido e sempre depende do ponto de vista do analista e do tamanho do componente 
que está sendo analisado. Por exemplo, para um pesquisador equipado com equipamentos 
microscópicos, pode ser da ordem de uma imperfeição cristalina, discordância, ou uma trinca de 
0,1mm, enquanto que para um inspetor no campo, pode ser a menor trinca que seja facilmente 
detectável com equipamento de inspeção não-destrutivo. Entretanto, a distinção entre a vida de 
iniciação e a vida de propagação é importante. Para baixas amplitudes de deformação, até 90% 
da vida pode ser considerada como iniciação, enquanto que a altas amplitudes, grande parte da 
vida em fadiga pode ser gasta na propagação da trinca. As aproximações da mecânica de 
fratura são usadas para a estimativa da vida de propagação. 
As aproximações da mecânica da fratura exigem que uma trinca inicial seja conhecida ou 
assumida. Para componentes com imperfeições ou defeitos, tais como porosidades de solda, 
inclusões e defeitos de fundição, etc., uma trinca inicial pode ser conhecida. De uma outra forma, 
para uma estimativa da vida total em fadiga de um material livre de defeitos, esta aproximação 
pode ser utilizada para que a propagação seja determinada. As aproximações deformação-vida 
 2
podem então ser utilizadas para a determinação da vida de iniciação, sendo que a vida total é a 
soma destas duas estimativas. 
Este capítulo fará uma revisão breve dos fundamentos da mecânica de fratura e uma discussão 
do uso destes conceitos nas aplicações da análise de propagação de trincas por fadiga com 
amplitude constante. 
 
 
3.2 BASES DA MECÂNICA DE FRATURA ELÁSTICA LINEAR 
 
Os princípios da mecânica de fratura elástica linear (MFEL) são usados para a relação entre a 
magnitude e a distribuição de tensão nas vizinhança da ponta da trinca para : 
 
• Tensões remotas aplicadas ao componente trincado 
• Comprimento e forma da trinca 
• Propriedades do material do componente trincado 
 
 
3.2.1.Revisão Histórica 
 
Na década de 1920, Griffith formulou o conceito de que uma trinca em um componente irá se 
propagar, se a energia total do sistema é abaixada com a propagação da trinca. Ou seja, se a 
variação da energia de deformação elástica devido à extensão da trinca for maior que a energia 
necessária para criar novas superfícies da trinca, ocorrerá a propagação. 
A teoria de Griffith foi desenvolvida para materiais frágeis. Na década de 40, Irwin fez a extensão 
da teoria para materiais dúcteis e postulou que a energia devido à deformação plástica deve ser 
adicionada à energia de superfície associada com a criação de novas superfícies da trinca. 
Também reconheceu que, para materiais dúcteis, o termo da energia de superfície é sempre 
desprezível, quando comparado com a energia associada com a deformação plástica. Além 
disto, definiu uma quantidade, G, a taxa de alívio de energia de deformação ou ‘ força para 
extensão da trinca ‘, que é a energia total absorvida durante o trincamento por aumento no 
comprimento da trinca unitário e por espessura unitária. 
Em meados da década de 50, Irwin fez outra contribuição significativa. Mostrou que as tensões 
locais na vizinhança da ponta da trinca apresentam a forma geral 
 
 3
( ) L+θ
π
=σ ijij fr
K
2
 (Eq. 3.1) 
 
onde r e θ são coordenadas cilíndricas de um ponto relativo à ponta da trinca ( veja Fig. 3.2 ) e K 
é o fator de intensidade de tensão. 
Ele ainda mostrou que a aproximação da energia, a aproximação ‘G’ mostrada acima, é 
equivalente à aproximação de intensidade de tensão, que será descrita na Seção 3.2.4 e que a 
propagação de trinca ocorre quando a taxa de alívio crítica da energia de deformação, Gc , ou, 
em temos de fator de intensidade de tensão crítico, Kc , é alcançado. 
 
 
Fig. 3.2. Posição das tensões localizadas perto da raiz da trinca, em coordenadas 
esféricas 
 
 
3.2.2. Hipóteses da MFEL 
 
A mecânica de fratura elástica linear ( MFEL) é baseada na aplicação da teoria da elasticidade a 
corpos contendo trincas ou defeitos. As hipóteses usadas na elasticidade são também inerentes 
na teoria da MFEL, que são pequenos deslocamentos e linearidade geral entre tensões e 
deformações. 
A forma geral das equações da MFEL é dada na Eq. 3.1. Como visto, existe uma singularidade, 
tal que r, a distância da ponta da trinca, tende para zero e as tensões tendem para infinito. Como 
os materiais deformam-se plasticamente quando a tensão de escoamento é excedida, uma zona 
plástica irá ser formada perto da ponta da trinca. As bases da MFEL continua válida, embora, se 
esta região de plasticidade permanece pequena em relação às dimensões gerais da trinca e do 
corpo trincado. 
 
 4
3.2.3. Modos de Carregamento 
 
Em geral, existem três modos de carregamento que envolvem deslocamentos diferentes de 
superfícies de trinca, como mostrado na Fig. 3.3. Os três modos são : 
 
• Modo I : abertura ou modo de tração – as faces da trinca são separadas 
• Modo II : escorregamento ou cisalhamento planar – as faces da trinca escorregam 
uma sobre a outra. 
• Modo III : rasgamento ou cisalhamento anti-planar – as superfícies da trinca movem-
se paralelamente em relação à aresta de propagação e relativamente uma 
à outra. 
 
 
Fig. 3.3. Modos de carregamento. 
 
A discussão seguinte trata apenas do Modo I, pois é o modo de carregamento dominante na 
maioria das aplicações de engenharia. Tratamentos similares podem ser facilmente estendidos 
aos Modos II e III. 
 
 
3.2.4. Fator de Intensidade de Tensão 
 
O fator de intensidade de tensão, K, que foi introduzido a partir da Eq. 3.1 define a magnitude 
das tensões localizadas ao redor da raiz da trinca. Este fator depende do carregamento, do 
tamanho e da forma da trinca, além de contornos geométricos, com a forma geral dada por : 
 
( ) agfK πσ= (Eq. 3.2) 
onde 
 5
 σ = tensão remota aplicada ao componente. Não deve ser confundida com as tensões 
localizadas, σij , da Eq. 3.1. 
 a = tamanho da trinca 
f (g) = fator de correção que depende da geometria da trinca e do corpo de prova. 
 
As soluções do fator de intensidade de tensão já foram obtidas para uma grande variedade de 
situações e publicadas em forma de manuais. A Fig. 3. 4 ilustra as relações de intensidades de 
tensão em algumas das condições de carregamento mais comuns. 
 
 
 
 6
 
 
 
Fig. 3.4. Fator de intensidade de tensão para a) Chapa com trinca central carregada sob 
tração. b) Chapa com trinca de aresta sob tração. c) Chapa com dupla trinca de 
aresta carregada sob tração. d). Viga trincada sob flexão pura. e) Trinca circular 
interna em um corpo de prova em um corpo infinito submetido a tração. f) Trinca 
elíptica interna em um corpo infinito sujeito a tração. 
 7
Os fatores de intensidade de tensão para um modo de carregamento único podem ser somados 
algebricamente. Consequentemente, os fatores de intensidade de tensão para condições de 
carregamento complexo do mesmo modo podem ser determinados pela superposição de 
resultados mais simples, tais como os obtidos facilmente nos manuais. 
Um método de superposição, conhecido como técnica de composição, tem sido usado para a 
obtenção de aproximações relativamente precisas. A técnica consiste na redução de um 
problema complicado em um número de configurações mais simples com soluções conhecidas. 
Pela superposição destas soluções de K mais simples, um fator de intensidade de tensão pode 
ser obtido para a geometria complicada. Na forma de equação, 
 
( ) e
N
n
ntot KKKKK +


 −+= ∑
=1
00 (Eq.3.3) 
 
onde : 
Ktot = fator de intensidade de tensão para a geometria complicada 
K0 = fator de intensidade de tensão na ausência de todos os contornos de uma forma 
aplicável ao carregamento ( i.e., KI = σ aπ ) 
Kn = fator de intensidade de tensão para a enésima configuração simples 
Ke = fator que leva em consideração o efeito de interação entre os contornos. 
 
Ke é o único fator desconhecido. Desprezando este termo levará à subestimativa de menos de 
10%. 
 
Outro método de aproximação é simplesmente a multiplicação de fatores de correção individuais 
para os vários efeitos geométricos, tais como : 
 
K = f1 ⋅ f2 ⋅ f3 ⋅ ⋅ ⋅ σ aπ (Eq. 3.4) 
 
Os fatores de correção, fi são usados considerando : 
 
• Efeito de largura finita (face de trás) 
• Efeito da face da frente 
• Forma da trinca (i.e., falha elíptica) 
 8
 
Outros métodos de superposição que são empregados incluem o método alternativo e o método 
de função de peso. 
Na determinação de K, métodos numéricos, incluindo métodos de elementos finitos têm sido 
largamente utilizados nos últimos anos. De fato, muitos programas para microcomputadores de 
elementos finitos disponíveis comercialmente incluem subrotinas para o cálculo de K. 
Os métodos para determinação de K tendem a ser aproximados. Em geral, valores para f (g) na 
Eq. 3.2. tendem a estar entre 1 e 1,2. Erros em K podem ser pequenos quando comparados a 
incertezas na análise de fadiga, tais como propriedades do material, níveis de carregamento, 
história do carregamento e ambiente de serviço. 
 
 
Exemplo 3.1. 
 
Como discutido nesta seção, um método aproximado para se obter o fator de intensidade de 
tensão para uma geometria complicada é simplesmente aproximar o fator geométrico de 
correção pelo produto de fatores de correção individuais para os vários efeitos geométricos. 
Para uma trinca superficial semi-elíptica em uma chapa de espessura finita sujeita ao Modo I de 
carregamento : 
 
4/1
2
2
2
2
n21I cosc
asenafffK 





θ+θ
Φ
πσ
⋅= L 
 
onde f1 , f2 , ..., fn são fatores individuais de correção para os vários efeitos geométricos. 
 
Usando este método, determine uma estimativa para o fator de intensidade de tensão para uma 
trinca semicircular em uma chapa grossa, como mostrada na Fig. E3.1. Também usando este 
método, estime o fator de intensidade de tensão, K I , para uma trinca circular de canto na chapa 
mostrada na Fig. E3.1b. 
 9
 
 
Fig E3.1. Fatores de intensidade de tensão para a) trinca semicircular em uma chapa 
grossa. b) trinca circular de aresta em uma chapa grossa 
 
 
Solução 
 
O fator de intensidade de tensão para uma trinca semicircular em uma chapa grossa é dado por : 
 






π
πσ
≈
a2 12.1KI 
onde f1 = 1,12 é o fator de correção e 2σ aπ /π é a intensidade de tensão para uma trinca 
circular interna, em um corpo infinito sujeito a tração, Fig3.4e. 
O fator de intensidade de tensão para uma trinca circular de aresta em uma chapa grossa é : 
 
( ) ( )
π
π
σ≈
a212,1K 2I 
 
onde : 
 
f1 = 1,12 é fator de correção de uma aresta livre para uma face da chapa 
 10
f2 = 1,12 é o fator de correção de uma aresta livre de outra face da chapa 
2σ aπ /π = fator de intensidade de tensão no Modo I, para uma trinca circular interna em um 
corpo infinito sujeito a tensão. 
____________________________________________________________________________ 
 
 
3.2.5. Tamanho da Zona Plástica 
 
Como mencionado previamente, os materiais desenvolvem deformações plásticas quando a 
tensão de escoamento é excedida na região próxima à raiz da trinca, como mostrado na Fig. 3.5. 
 
 
 
Fig. 3.5. Escoamento próximo à raiz da trinca. 
 
A quantidade de deformação plástica é restrita pelo material circundante, que permanece 
elástico. O tamanho desta zona plástica é dependente das condições de tensão a que o corpo 
está submetido. 
 
Condições de tensão plana e de deformação plana. 
 
Em um corpo delgado, a tensão através da espessura, σz , não pode variar apreciavelmente, 
devido à seção delgada. Por não poder haver tensões normais à superfície, σz = 0 através da 
seção. O que resulta em um estado de tensão biaxial. Esta circunstância é denominada de 
condição de tensão plana ,.como ilustra a Fig.3.6. 
 
 11
 
Fig 3.6. Condições de tensão plana e de deformação plana. 
 
Em um corpo espesso, o material é vinculado na direção z devido à espessura na seção 
transversal e εz = 0 , o que resulta em uma condição de deformação plana. Devido ao efeito de 
Poisson, a tensão σz é desenvolvida na direção z. As condições de máximo vínculo existem na 
condição de deformação plana e consequentemente, o tamanho da zona plástica é menor do 
que o tamanho desenvolvido sob condições de tensão plana. 
 
Tamanho da zona plástica monotônica. 
 
Os tamanhos das zonas plásticas sob carrregamento monotônico foram estimados como : 
 
 
plana tensão K
2
1r
2
y
y 







σπ
= (Eq. 3.5a) 
 
plana deformação K
6
1r
2
y
y 







σπ
= (Eq. 3.5b) 
 
onde r é definido como mostrado na Fig. 3.7. 
 
 12
 
Fig. 3.7. Tamanho da zona plástica monotônica 
 
 
Tamanho da zona plástica cíclica 
 
O tamanho da zona plástica reversa ou cíclica é de quatro vezes menor que o valor comparável 
monotônico. Como a carga de tensão nominal é reduzida, a região plástica perto da raiz da 
trinca é colocada sob compressão pela região elástica circundante. Como mostrado na Fig. 3.8., 
a mudança da tensão na ponta da trinca devido ao carregamento reverso é o dobro do valor da 
tensão de escoamento. 
As Eqs. 3.5a e 3.5b tornam-se : 
 
plana tensão K
8
1
2
K
2
1r
2
y
2
y
y 







σπ
=







σπ
= (Eq. 3.6a) 
 
 
plana deformação K
24
1
2
K
6
1r
2
y
2
y
y 







σπ
=







σπ
= (Eq. 3.6b) 
 
O tamanho da zona plástica cíclica é menor que o tamanho da zona plástica monotônica e mais 
característica do estado de deformação plana, mesmo para chapas finas. Assim, os conceitos de 
MFEL podem sempre ser utilizados na análise de problemas de crescimento de trincas por 
fadiga, mesmo para materiais que exibam quantidades de ductilidade consideráveis. 
 13
A hipótese básica de que o tamanho da zona plástica é pequeno, em relação à trinca e ao corpo 
trincado, geralmente permanece válido. 
 
 
Fig. 3.8. Tamanho de zona plástica reversa. 
 
 
3.2.6. Tenacidade à Fratura 
 
Quando o fator de intensidade de tensão alcança o valor crítico, KC , ocorre a fratura instável. O 
valor crítico do fator de intensidade de tensão é conhecido como tenacidade à fratura do 
material. A tenacidade à fratura pode ser considerada o valor limite de intensidade de tensão, 
assim como a tensão de escoamento pode ser considerada o valor limite da tensão aplicada. 
A tenacidade à fratura varia com a espessura do espécime, até que as condições limitantes 
(vinculação máxima) sejam alcançadas. Deve ser lembrado que as condições máximas de 
vinculação ocorrem no estado de deformação plana. A tenacidade à fratura em deformação 
plana, KI c , é dependente da geometria do corpo de prova e de fatores metalúrgicos. A norma 
ASTM Designação E-399, Standard Method of Test for Plane Strain Fracture Toughness of 
Metallic Materials, demonstra procedimentos aceitos para a determinação deste valor. É sempre 
difícil a execução de um ensaio válido de KI c . Por exemplo, um ensaio válido de uma chapa fina 
de um material de alta tenacidade muitas vezes não pode ser realizado. Em vez disto, o valor de 
K c , naquela condição, é o valor obtido. 
A tenacidade à fratura depende tanto da temperatura como da espessura da amostra. O 
exemplo seguinte mostra a importância da tenacidade à fratura no projeto contra fratura instável. 
 
 14
Exemplo 3.2. 
 
Uma companhia está construindo um vaso de pressão de 900 mm de diâmetro de um material 
que apresenta uma tenacidadeà fratura de 60 MPa.m1/2 e uma tensão de escoamento de 
600Mpa na temperatura de operação. A espessura de parede é de 20 mm e a pressão de 
operação é de 14 MPa. 
É exigido que o componente obedeça o critério de ‘vazar antes de explodir’ (leak before burst ). 
Em outras palavras, a trinca deve ser capaz de crescer através da espessura da parede antes 
que a ocorra a fratura. Isto permite que o gás ou líquido sob pressão no vaso escape e seja 
detectado antes que uma condição instável seja desenvolvida. 
O vaso, aqui descrito, será inspecionado periodicamente com uma técnica que pode detectar 
com confiança uma trinca com comprimento de superfície maior que 12,5 mm. O vaso de 
pressão irá vazar antes de explodir, quando a superfície da trinca for menor que este tamanho? 
Qual é o maior valor da trinca superficial que pode ser desenvolvida a ainda manter o critério de 
vazar antes de explodir ? 
 
Solução 
 
A intensidade de tensão para uma trinca semi elíptica em uma chapa sujeita a tensão pode ser 
calculada das equações da Fig 3.4f e da correção da superfície livre, que tem o valor de 1.12. A 
intensidade de tensão para θ = π /2 é 
 
a12,1
Q
1K1 πσ= 
 
onde Q é denominado de fator de forma, pois depende de a e de c. A Fig. E3.2 mostra esta 
dependência graficamente para várias taxas de tensão nominal aplicada, σ, para a tensão de 
escoamento, σy. Usando esta figura, o problema de vazar sem explodir pode ser calculado. A 
informação seguinte é conhecida : 
KI c = 60 MPa m1/2 
σy.= 600 MPa 
p = 14 MPa 
r = d/2 = 450 mm 
t = 20 mm 
 15
 
Fig E.3.2. Parâmetro de forma da falha, como função da razão de aspecto da trinca. 
 
A tensão tangencial no vaso de pressão é 
 
MPa 315
m 0,02
m 0,45 MPa14
t
pr
y =




==σ 
e a razão desta tensão em relação à tensão de escoamento é 
 
525,0
600
315
y
==
σ
σ
 
 
Para o critério de vazar antes de explodir, o fator intensidade de tensão crítico, K I c, deve ser 
maior que o fator de intensidade de tensão devido a uma trinca de 20 mm no vaso de pressão (a 
=20 mm, a espessura de parede). Por esta informação, o valor para o fator de tamanho, Q, pode 
ser determinado. 
 
1,12 
Q
a KIc
πσ
〉 
 
1,12 
Q
0,02 315 60 π〉 
 
 16
Q > 2,169 
 
Usando a Fig.E3.2, para um valor de Q > 2,169 e σ /σy = 0,525 , o valor de c, comprimento 
superficial da trinca, pode agora ser determinado : 
 
0,43 
c2
a
〉
 
( )0,432
20 c 〈 
 
c < 23,25 mm e 2c < 46,51mm 
 
Uma trinca de superfície de comprimento de 46,51 ou menor irá assegurar que o vaso irá vazar 
antes de explodir. Assim, o vaso não irá falhar catastroficamente quando uma trinca de 
superfície de 12,5 puder ser detectada. 
 
 
 
3.3.CRESCIMENTO DE TRINCA POR FADIGA 
 
Como discutido anteriormente, a maior parte da vida em fadiga é gasta na propagação da trinca. 
Aplicando os princípios de mecânica de fratura , é possível fazer a previsão do número de ciclos 
que é gasto no crescimento de uma trinca a partir de um comprimento específico até a fratura 
final. 
A indústria aeronáutica tem sido de fundamental importância no esforço de entender e de 
predizer o crescimento de trincas por fadiga. Assim, foram desenvolvidas as aproximações de 
para projetos com garantia de vida (safe-life) ou de falha a salvo (fail-safe). Neste método, 
um componente é projetado de tal forma que se uma trinca é originada, não crescerá até um 
tamanho crítico entre intervalos de inspeção especificados. Assim, conhecendo-se as 
características da taxa de crescimento do material e com inspeções regulares, um componente 
trincado pode ser mantido em serviço por uma extensão da vida útil. Este conceito é mostrado 
esquematicamente na Fig.3.9. 
 
 17
 
Fig. 3.9. Extensão da vida em serviço de um componente trincado. 
 
 
3.3.1. Curvas de Crescimento de Trinca Por Fadiga 
 
Os dados típicos de propagação de trinca com amplitude constante são mostrados na Fig. 3.10. 
O comprimento da trinca, a, é graficado versus o correspondente número de ciclos, N, no qual a 
trinca foi medida. Como mostrado, a maior parte da vida do componente é gasta enquanto a 
trinca é relativamente pequena. Além disto, a taxa de crescimento da trinca aumenta com o 
aumento da tensão aplicada. 
A taxa de crescimento da trinca, da/dN, é obtida pela derivada da curva do tamanho de trinca a, 
versus o número de ciclos, N. Duas aproximações numéricas geralmente aceitas para a 
obtenção destas derivadas são o método de spline fitting e o método do polinômio incremental. 
Estes métodos são explicados em detalhes em muitos textos de métodos numéricos. 
 
 
Fig. 3.10. Dados de crescimento de trinca a amplitude constante. 
 18
Valores de log da/dN podem ser graficados versus log ∆K, para um dado comprimento de trinca, 
usando a equação 
 
a)g(fKKK minmax πσ∆=−=∆ (Eq. 3.7) 
 
onde ∆σ é a tensão remota aplicada ao componente, como mostrado na Fig. 3.12. 
 
 
Fig. 3.11. Intervalo de tensão remota. 
 
O gráfico de log da/dN versus log ∆K, uma curva sigmoidal, é mostrado na Fig. 3.12. Esta curva 
pode ser dividida em três regiões. A baixas intensidade de tensão, Região I, o comportamento 
de trincamento é associado a efeitos de limite, ∆K 0. Na região intermediária, Região II, a curva é 
essencialmente linear. Muitas estruturas operam nesta região. Finalmente, na Região III, para 
valores altos de ∆K, as taxas de crescimento de trinca são extremamente altas e pouca vida em 
fadiga é envolvida. Estas três regiões são discutidas em detalhe nas seções seguintes. 
 
 
Fig. 3.12. Três regiões curva de taxa de crescimento da trinca 
 19
3.2.3.Região II 
 
A maioria das aplicações dos conceitos de MFEL para descrever o comportamento de 
crescimento da trinca é associada com a Região II. Nesta região, a derivada da curva de log 
da/dN versus log ∆K é aproximadamente linear no intervalo aproximado de 10-6 a 10-3 in/ciclo. 
Já foram sugeridos muitos encaixes de curvas para esta região. A equação de Paris, que foi 
proposta na década de 60 é a mais aceita. Nesta equação 
 
( )mK C
dN
da
∆= (Eq. 3.8) 
 
onde C e m são constantes do material e ∆K é o intervalo de intensidade de tensão Kmax – Kmin . 
As constantes do material, C e m, podem ser encontradas na literatura e em manuais. Valores 
do expoente, m, em geral, apresentam um valor médio de 3,5. Além disto, podem ser realizados 
ensaios e a norma ASTM E647 estabelece as bases para estes ensaios. 
A vida do crescimento da trinca, em termos de ciclo para falhar, pode ser calculado usando a Eq. 
3.8. A relação pode ser geralmente descrita por 
 
)K( f
dN
da
= 
 
Assim, o número de ciclos para falhar, Nf , pode ser calculado como 
 
∫=
f
i
a
a
f )K( f
daN (Eq. 3.9) 
 
onde ai é o comprimento de trinca inicial e af é o comprimento de trinca final ou crítico. Usando a 
formulação de Paris, 
 
( ) K C
dN
da m∆=
 
 20
( )∫ ∆
=
f
i
a
a
mf K C
daN (Eq. 3.10) 
 
Como ∆K é uma função do comprimento da trinca e um fator de correção que é dependente do 
comprimento da trinca, veja Eq. 3.7., a integração acima deve sempre ser resolvida 
numericamente. Como uma primeira aproximação, o fator de correção, f (g), pode ser calculado 
no comprimento inicial de trinca e a Eq. 3.10. pode ser calculada de forma fechada. 
Como um exemplo de uma forma fechada de integração, é feito abaixo o cálculo da vida em 
fadiga para uma trinca de aresta em uma chapa grande. Neste caso, o fator de correção, f (g), 
não varia com o comprimento da trinca. O intervalo do fator de intensidade de tensão é 
 
a12.1K πσ∆=∆ (Eq. 3.11) 
 
Substituindo na equação de Paris, leva a 
 
( )ma1,12 C
dN
da
πσ∆= (Eq. 3.12) 
 
Separando as variáveis e integrando, para m ≠ 2, dá 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) 







−
πσ∆−
=
πσ∆
=
−−
∫
2/2m
f
2/2m
i
mf
a
a
mf
a
1
a
1
a1,12 C 2m
2N
a12,1C
daN
f
i
 (Eq. 3.13) 
 
 
Antes que esta equação possaser resolvida, o tamanho final da trinca, af , deve ser calculado. 
Este procedimento pode ser feito usando a Eq. 3.2., como se segue : 
 
( ) a gfK πσ= 
 
 21
( )
2
c
f gf 
K1a 





σπ
= (Eq. 3.14) 
 
2
max
c
f 12,1
K1a 





σπ
= (Eq. 3.15) 
 
Para formulações mais complicadas de ∆K , onde o fator de correção varia com o comprimento 
da trinca, a, podem ser necessários procedimentos iterativos para a determinação de af na Eq. 
3.14. 
É importante notar que a estimativa de vida em fadiga é fortemente dependente de ai e 
geralmente não sensível a af , quando ai << af . Grandes variações em af resultam em pequenas 
variações em Nf , como mostrado esquematicamente na Fig. 3.13. 
 
 
Fig. 3.13. Efeito do tamanho de trinca final na vida. 
 
 
Um método de aproximação alternativo pode ser usado para a previsão do crescimento de trinca 
por fadiga sob carregamento de amplitude constante. O procedimento é o seguinte : 
 
1. Dividir o intervalo de crescimento de trinca de ai a af em um número desejado de 
incrementos, n – 1. 
 
2. Na Eq. 3.7., determine f(g) para cada um dos comprimentos de trinca intermediários, 
assim como os comprimentos inicial e final, ai e af , respectivamente. 
 22
 
3. Calcule um ∆Kn para para cada comprimento de trinca, an. 
 
4. Para cada valor de ∆Kn , determine o valor correspondente de da/dN das curvas de taxa 
de comprimento da trinca ou da equação de Paris : 
 
( )m
n
K C
dN
da
∆=




 (Eq. 3.16) 
 
5. Calcule a taxa de crescimento para dois comprimentos de trinca consecutivos : 
 
( ) ( )
medio
1nn
dN
da
2
dN/dadN/da





=
+ + (Eq. 3.17) 
 
6. Determine o número de ciclos para o crescimento durante o incremento da trinca, an 
para an+1 , por 
 
( )
( )
( ) ( ) 1nn
n1n
medio dN/dadN/da
aa2
dN/da
aN
+
+
+
−
=
∆
=∆ (Eq. 3.18) 
 
 
Assim, é obtido um valor aproximado para o número de ciclos para um incremento de 
crescimento de trinca. Estes valores de ∆N para cada incremento podem então ser somados 
para uma solução aproximada para o número de ciclos de carregamento para o crescimento da 
trinca entre dois comprimentos, ai e af . 
 
Geralmente, a vida em fadiga não é sensitiva à tenacidade à fratura do material. Este é um 
resultado da falta de sensibilidade de Nf em relação ao tamanho final da trinca, af , como 
mostrado na Fig. 3.13. Uma exceção a isto pode ser o caso onde um material muito duro é 
sujeito a grandes tensões. Por exemplo, a vida em fadiga de engrenagens é dependente da 
tenacidade à fratura do material, pois o tamanho inicial da trinca varia pouco do comprimento 
final da trinca. 
 
 23
3.3.3. Região I 
 
A Região I de uma curva de taxa de crescimento de trinca sigmoidal é associada com efeitos de 
limiar. Abaixo do valor do fator limiar de intensidade de tensão, ∆Kth , o crescimento de trinca por 
fadiga ocorre ou não a uma taxa muito pequena para ser medido. As menores taxas medidas 
são maiores que aproximadamente 10-8 in./ciclo. Este valor corresponde ao espaçamento entre 
os átomos na maioria dos metais. 
O limiar de fadiga para aços é geralmente entre 5 e 15 ksi.in1/2. E entre 3 e 6 ksi.in1/2 para lligas 
de alumínio. O limiar de fadiga é dependente da razão de tensão, R ( R = σmin /σmax). Como visto 
na Fig. 3.14, o limiar de fadiga decresce com o aumento na razão de tensão. 
 
 
Fig. 3.14. Dependência do intervalo do fator de intensidade de tensão limiar com a razão 
de tensão. 
 
O limiar também depende da freqüência de carregamento e do ambiente. Ainda, muitos dos 
valores publicados do limiar, ∆Kth, foram desenvolvidos para trincas longas. A validade destes 
valores para trincas curtas tem sido questionada recentemente. 
Devido à sensibilidade de ∆Kth ao ambiente e à história de carregamento, é sentido por muitos 
que o melhor método para a determinação de ∆Kth é por meio de ensaios que simulem as 
condições de serviço. 
 24
Projetando um componente, tal que para as condições de serviço ∆K estejam abaixo de ∆Kth 
seria altamente desejável. Embora pudesse assegurar uma baixa probabilidade de falha por 
fadiga, isto é sempre impraticável devido ao baixo nível de tensão operante exigido. De forma 
alternativa, assegurando que os defeitos presentes sejam tão pequenos que ∆K estejam abaixo 
do limiar seria igualmente desejável. Infelizmente, o tamanho de defeito exigido é não apenas 
impraticável, como inatingível. 
 
Por exemplo, são dados abaixo valores típicos para o limite de fadiga e de limiar de fadiga para 
um aço comum. Os cálculos para a determinação do tamanho máximo de defeito em uma placa 
infinita com uma trinca central são resumidos abaixo. 
 
S ≈ 50 ksi 
∆Kth = 5 ksi.in1/2 
aK πσ= 
f (g) = 1 para uma chapa infinita com uma trinca central. 
 
Da Eq. 3.14, o tamanho de trinca crítico é calculado : 
 
( )
2
y
c
c
K
gf
11a
















σπ
= (Eq. 3.19) 
 
in 003,0
50
51a
2
c =





π
= 
 
Este tamanho de defeito é da ordem do obtido devido à fabricação normal ou usinagem de um 
componente. Assim, mesmo no limite de fadiga, que é uma tensão relativamente baixa, o 
tamanho de defeito é tal, que seria extremamente difícil de detectar usando métodos de 
inspeção não destrutivos. 
 
O valor do limiar pode ser usado quando uma parte é submetida a níveis baixos de tensão e a 
um número de ciclos muito grande. Um bom exemplo deste caso seria o de trens de potência 
que operam a velocidades muito altas. 
 
 25
3.3.4. Região III 
 
Na Região III ocorre crescimento de trinca instável, rápido. Em muitas situações práticas de 
engenharia esta região pode ser ignorada, pois não afeta significativamente a vida total de 
propagação da trinca. 
O comportamento do ponto de transição da Região II para a Região III é dependente do limite de 
escoamento do material, do fator de intensidade de tensão e da razão de tensão. A equação de 
Forman foi desenvolvida para modelar a Região III, embora seja mais utilizada para modelar os 
efeitos de tensão média. Esta equação, 
 
( )
( ) KK R1
K C
dN
da
c
m
∆−−
∆
= (Eq. 3.20) 
 
prediz o rápido upturn da curva da/dN versus ∆K , quando se aproxima da tenacidade à fratura. 
A Região III é de maior interesse quando a propagação da trinca é da ordem de 103 ciclos ou 
menos. Entretanto, a altas intensidades de tensão, os efeitos da plasticidade começam a 
influenciar a taxa de crescimento da trinca, pois a zona plástica torna-se muito grande quando 
comparada com as dimensões da trinca. Neste caso, o problema deve ser analisado por 
procedimentos envolvendo fratura elasto-plástica, tais como métodos de integral-J ou 
deslocamento da abertura da ponta da trinca (COD). 
 
 
3.3.5. Fatores que Influenciam o Crescimento de Trinca por Fadiga 
 
Efeitos de razão de tensão 
 
A razão de tensão aplicada, R, pode ter um efeito significativo na taxa de crescimento de trinca. 
Lembrando, como definido na seção 3.3.3., R = σmin / σmax = Kmin / Kmax. Em geral, para um valor 
de ∆K constante, quanto mais positiva é a razão de tensão, R, maiores são as taxas de 
propagação de trinca, como mostrado na Fig. 3.15. 
Entretanto, a sensibilidade da razão de tensão é fortemente dependente do material, como 
mostrado nas Figs. 3.15 e 3.16 . Notar a diferença de escalas nas duas figuras. 
 
 26
 
Fig. 3.15. Influência de R na propagação de trinca por fadiga em Ti-6Al-4V. 
 
 
Fig. 3. 16. Influência pouco significativa de R no crescimento de trinca por fadiga em um 
aço de limite de resistência de 140 ksi. 
 
 27
A equação de Forman, Eq.3.20, é freqüentemente usada para predizer os efeitos da razão de 
tensão. Conforme R aumenta, a taxa de crescimento da trinca, da/dN , aumenta. Este fato é 
consistente com as observações de ensaios. A equação de Forman é válida apenas quando 
R > 0. Em geral, acredita-se que quando R < 0 , não ocorrem mudançassignificativas na taxa de 
crescimento, quando comparada com a taxa de crescimento para R = 0. Porém, este é um fator 
dependente do material, pois alguns pesquisadores obtiveram dados para certos materiais que 
mostram maiores taxas de crescimento para carregamento com R < 0. 
Outro método usado para compensar os efeitos de razão de tensão é a equação de Walker : 
 
( )[ ]nmaxm K R1CdN
da
−= (Eq. 3.21) 
 
A utilização desta equação exige que os dados da razão de tensão sejam disponíveis para 
ajustar os expoentes m e n, para um material particular. 
Os argumentos de fechamento de trinca, assim como argumentos baseados em efeitos 
ambientais, têm sido usados para explicar o efeito da razão de tensão na taxa de crescimento de 
trincas. Ambos os tópicos são discutidos em maiores detalhes em seções seguintes. 
 
Efeitos Ambientais 
 
A taxa de crescimento de trinca por fadiga pode ser altamente influenciada por efeitos 
ambientais. Estes efeitos são extremamente complicados devido ao grande número de variáveis 
mecânicas, metalúrgicas e químicas e a interação entre estas variáveis. Devido à sua 
complexidade, apenas uma breve revisão é apresentada aqui. 
O efeito ambiental na taxa de propagação de trinca por fadiga é altamente dependente da 
combinação material-ambiente. Vários fatores adicionais que influenciam o efeito ambiental são 
os seguintes : 
 
• Freqüência de carregamento. 
Em um ambiente adverso, é observado um forte efeito na freqüência de carregamento 
cíclico. Em um material ensaiado em ambiente inerte, não é observado efeito da 
freqüência na taxa de crescimento de trinca por fadiga. Em geral, para baixas 
freqüências, a taxa de crescimento de trinca aumenta, quanto maior o tempo de 
exposição do ataque ambiental, durante o processo de fadiga. 
 28
 
• Efeitos de temperatura. 
A redução da vida em fadiga é geralmente observada com o aumento da temperatura. 
Somado a isto, os efeitos ambientais são geralmente maiores a temperaturas elevadas. 
Isto é devido em parte ao aumento de óxidos, que promove o trincamento intergranular, 
além de acelerar o trincamento transgranular. 
 
• Forma de onda do ciclo de carregamento. 
Geralmente são observadas altas taxas de crescimento de trinca por fadiga se a região 
de tensão do ciclo de carregamento ocorre de forma devagar. Em outras palavras, 
quando o tempo de aumento de carregamento é pequeno, a influência do ambiente é 
minimizada. Por exemplo, uma forma de onda dente de serra positiva resulta em um 
efeito ambiental maior e, consequentemente, aumento da taxa de crescimento da trinca, 
do que uma forma de onda dente de serra negativa. No ar, geralmente não geralmente 
observados efeitos de perfil da forma de onda. 
 
• Efeitos de razão de tensão. 
Como discutido anteriormente, alguns pesquisadores sentem que efeitos ambientais 
podem levar a efeitos da sensibilidade da taxa de crescimento de trinca por fadiga em 
relação à razão de tensão, R. Para altos valores de R, ocorre um aumento de corrosão, 
como mostrado na Fig. 3.17. 
 
Finalmente, tem sido observado que os efeitos ambientais causam ou um aumento ou um 
decréscimo em ∆Kth , dependendo do material e do ambiente. O aumento em ∆Kth pode ser 
explicado em algumas situações por corrosão localizada ou formação de óxidos nas superfícies 
das trincas. Estes óxidos aumentam o volume do material, contribuindo para o efeito de 
fechamento da trinca. Os princípios de fechamento de trinca são discutidos abaixo. 
 
 29
 
Fig. 3.17. Efeito da razão de carregamento na propagação de trinca por fadiga na liga 
Ti - 8Al -1Mo -1V. Ensaios conduzidos em uma solução de 3,5 % de NaCl e em 
argônio. 
 
3.3.6. Fechamento de Trinca 
 
Os argumentos de fechamento de trinca são freqüentemente usados para explicar o efeito da 
razão de tensão de taxas de crescimento de trincas no valor de ∆Kth . Além disto, as teorias de 
fechamento de trinca são muito importantes nas predições de crescimento de trinca por fadiga 
com amplitude variável. 
 30
Na década de 70, Elber observou que superfícies de trinca por fadiga fecham-se, ou seja, 
contatam uma com a outra, quando o carregamento remoto aplicado é ainda de tensão e não se 
abrem novamente até que um carregamento em tração suficientemente alto seja imposto no 
próximo ciclo de carregamento. Ele desenvolveu a teoria de fechamento de trinca para explicar 
este fenômeno. 
Elber propôs que o fechamento de trinca ocorre como um resultado da plasticidade da ponta da 
trinca. Lembrando da Seção 3.2.5, a zona plástica é desenvolvida ao redor da raiz da trinca 
quando a tensão de escoamento do material é excedida. Como mostrado na Fig. 3.28, conforme 
a trinca cresce, uma onda de material deformado plasticamente é desenvolvida, enquanto que o 
corpo em seu redor permanece elástico. A Fig. 3. 18 mostra o caso de um ∆K gradualmente 
crescente e, consequentemente, um tamanho de zona plástica gradualmente crescente também. 
 
 
 
Fig. 318. Onda de material deformado plasticamente 
 
Elber propôs que se o material é descarregado, o material ‘esticado’ faz com que as superfícies 
da trinca entrem em contato antes que a carga zero seja atingida, como mostra a Fig. 3.19. 
Ainda, introduziu ainda a idéia de uma tensão de abertura da trinca. Este é o valor da tensão 
aplicada na qual a trinca é totalmente aberta, σop. Sugeriu que para que ocorra o crescimento da 
trinca por fadiga , a trinca deve estar totalmente aberta : 
 
 31
 
 
Fig. 3.19. Fenômeno de fechamento de trinca. 
 
minmax
opmaxef
KKK
KKK
−=∆
−=∆
 (Eq. 3.22) 
 
Como 
Kop > Kmin 
 
Consequentemente, 
 
∆K > ∆Kef 
 
Entretanto, um intervalo de intensidade de tensão efetiva, ∆Kef , que é menor que ∆K , deve ser 
usado nas predições de crescimento de trinca por fadiga. 
 
( )efKfdN
da
∆= (Eq. 3.23) 
 
 32
Elber propôs que ∆Kef entra no cômputo para o efeito de R nas taxas de crescimento. Para altos 
valores de R, resulta em menor crescimento de trinca e ∆Kef fica mais perto do valor de ∆K, pois 
Kop aproxima-se de Kmin. Isto resulta no fato da trinca ser sujeita a um maior intervalo de 
carregamento. A relação empírica obtida foi : 
 
R 4,05,0
K
K
U
K UK
ef
ef
+=
∆
∆
=
∆=∆
 (Eq. 3.24) 
 
Note que a Eq. 3.24 é válida apenas para R > 0 . Outros pesquisadores desenvolveram 
subsequentemente outras expressões para U que estenderam para razões de R < 0. 
Os argumentos para fechamento de trinca serão discutidos posteriormente. 
 
 
3.4. CONCEITOS IMPORTANTES 
 
• As propostas de mecânica de fratura fornecem uma estimativa da vida da propagação 
de trinca por fadiga. 
 
• Nas propostas da mecânica de fratura, as tensões e as deformações localizadas são 
relacionadas à tensão remota (aplicada) pelo fator de intensidade de tensão, K. 
 
• A proposta da mecânica de fratura elástica linear é baseada nas hipóteses de que a 
zona plástica na raiz da trinca seja pequena comparada com o comprimento da trinca e 
o tamanho do componente trincado. 
 
• A taxa de propagação de trinca por fadiga pode ser relacionada com a variação do 
fator de intensidade de tensão. Assim, podem ser calculados o número de ciclos para a 
falha. 
 
• A vida estimada de fadiga é fortemente dependente do tamanho inicial da trinca, ai 
Grandes mudanças na estimativa do tamanho final da trinca, af., resulta em apenas 
uma pequena variação na estimativa de vida. 
 33
3.5. EQUAÇÕES IMPORTANTES 
 
 
Fator de Intensidade de Tensão 
 
( ) agfK πσ= (Eq. 3.2) 
 
Variação do Fator de Intensidade de Tensão 
a)g(fKKK minmax πσ∆=−=∆ (Eq. 3.7) 
 
 
Taxa de Propagação da Trinca ( Lei de Paris) 
 
( )mK C
dN
da
∆= (Eq. 3.8) 
 
Número de Ciclos Para Falhar 
 
( )∫ ∆=
f
i
a
a
mf K C
daN (Eq. 3.10) 
 
Tamanho Crítico (Final) da Trinca 
( )
2
c
f gf 
K1a 





σπ
= (Eq. 3.14) 
 
Variação do Fator de Intensidade de Tensão Efetivoopmaxef KKK −=∆ (Eq. 3.22)