Álgebra Vetorial - Geometria Analítica

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Universidade Federal da Bahia
Instituto de Matema´tica
DISCIPLINA: MATA01 - Geometria Anal´ıtica
UNIDADE I - A´lgebra Vetorial
1. Dados −→u = (1, 2, 3),−→v = (1, 0, 1) e −→w = (−1, 2,−2), calcular:
a) −→u +−→v b) 2←−v −−→w
c) 2−→u −−→v + 3−→w d) 3(2−→w −−→u )− 2(3−→v +−→w )
2. Dados −→u = (1, 2, 4),−→v = (2, 1, 0) e −→w = (1, 0, 0), calcular os n´ımeros a, b, e c tais que
a−→u + b−→v + c−→w = (4, 6, 8).
3. Dados A = (1, 0,−1), B = (2, 1, 2), C = (1, 3, 4) e D(x, y, z), determinar x, y e z de modo que se
tenha
−−→
AD =
−−→
AB +
−→
AC.
4. Dados A = (1,−1, 0), B = (1, 0, 1) e C(0, 1, 2), determinar o ponto P tal que −→AP +−−→BP = 2−−→PC.
5. Determinar os ve´rtices de um triaˆngulo sendo conhecido o baricentro, G = (4, 1
3
, 2), e os pontos me´dios
de dois lados M = (3, 1, 1
2
) e N = (0,−1, 2).
6. Escrever o vetor −→v = (10, 7, 4) como combinac¸a˜o linear dos vetores −→u1 = (1, 0, 1),−→u2 = (1, 1, 1) e
−→u3 = (0,−1, 1).
7. Verificar se o vetor −→w = (2, 0, 5) e´ combinac¸a˜o linear de −→u = (1, 2, 1) e −→v = (0, 4, 3).
8. Verificar se −→u ,−→v e −→w sa˜o linearmente independentes ou linearmente dependentes nos casos:
a) −→u = (2, 1, 0),−→v = (−1, 1, 1) e −→w = (0, 3, 2)
b) −→u = (1, 1, 2),−→v = (1, 0, 1) e −→w = (0, 1, 3)
c) −→u = (0, 1, 2),−→v = (1, 2, 3) e −→w = (2, 3, 4)
9. Determinar o valor de k que torna os vetores −→u = (k, 1, 0),−→v = (2, 2, 3) e −→w = (−1, 0, 2) linearmente
dependentes.
10. Dados os vetores −→u = (1, 1, 1),−→v = (1, 1, 0) e −→w = (1, 0, 0)
a) mostrar que {u, v, w} e´ uma base do R3.
b) escrever o vetor −→p = (2, 3, 4) como combinac¸a˜o linear de −→u ,−→v e −→w .
11. Dados −→u = (4, 7, 3),−→v = (2, 2, 1) e −→w = (0,−5, 2), calcular
a) −→u · −→v b) −→v · −→w c) (−→u +−→v ) · −→w
d) −→u ×−→w e) |(−→u ×−→v )− (−→v ×−→w )| f) −→u · (−→v − 2−→w )
g) (−→u ×−→v )×−→w h) −→u × (−→v ×−→w ) i) −→u · (−→v ×−→w )
j) (−→u ×−→v ) · −→w k) (−→u +−→v ) · (−→v ×−→w ) l) [2−→u × (−→v −−→w )] · (−→u +−→w )
12. Dados os pontos A(1, 0,−1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que |−→v | = 7, sendo
−→v = m−→AC +−−→BC.
1
13. Determinar o versor de −→u = (−5, 10,−10).
14. Calcular |−→u −−→v | e o versor de (−→u −−→v ), sabendo-se que |−→u | = 4, |−→v | = 6 e < (−→u ,−→v ) = 60◦.
15. Sendo |−→u | = 2, |−→v | = 3, |−→w | = 4, < (−→u ,−→v ) = 90◦ e < (−→v ,−→w ) = 30◦, calcule:
a) |−→u +−→v | b) vers(−→u +−→v ) c) (−→u +−→v ) · (−→u −−→v ) d) |−→u +−→v +−→w |
16. Determinar o valor de n para que o vetor −→v = (n, 2
5
, 4
5
) seja unita´rio.
17.Achar os vetores −→v = (x, y, z) tais que
(i) |−→v | = √6
(ii) −→v e´ ortogonal a −→u = (3,−3, 0)
(iii) −→v e´ ortogonal a −→w = (0, 2,−1)
18. Determinar o vetor projec¸a˜o do vetor −→u = (1, 2,−3) na direc¸a˜o de −→v = (2, 1,−2).
19. Determinar −→u · −→v +−→u · −→w +−→v · −→w , sabendo que −→u +−→v +−→w = 0, |−→u | = 2, |−→v | = 3 e |−→w | = √5.
20. Determinar o aˆngulo < (−→u ,−→v ), sabendo-se que −→u +−→v + −→w = −→0 , |−→u | = 2, |−→v | = 3 e |−→w | = 4.
21. Provar a lei dos cossenos: c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ.
22. Seja um paralelogramo constru´ıdo sobre −→u e −→v . Determinar o aˆngulo θ entre as diagonais do
paralelogramo. Dado |−→u | = √3, |−→v | = 1 e < (−→u ,−→v ) = pi
6
.
23. Calcular o aˆngulo entre os vetores −→a +2−→b −−→c e −−→a +−→b −2−→c , sabendo-se que |−→a | = |−→b | = |−→c | = 1
e que −→a ,−→b e −→c sa˜o mutuamente ortogonais.
24. Sendo −→u ,−→v e −→w mutuamente ortogonais, demonstre que:
a) |−→u +−→v |2 = |−→u |2 + |−→v |2
b) |−→u +−→v +−→w |2 = |−→u |2+ |−→v |2+ |−→w |2. 25. Na figura, calcular o aˆngulo θ entre os vetores −→b e −→c , sendo
|−→a | = √2 e |−→b | = 2√2.
−→a
−→
b
−→c
60◦
θ
26. Dado o triaˆngulo retaˆngulo ABC com aˆngulo reto em B, determinar a medida da projec¸a˜o do cateto
AB sobre a hipotenusa AC. Dados A = (0, 0, 2), B = (3,−2, 8) e C = (−3,−5, 10).
27. Sendo −→v = −→i −−→k , calcular:
a) os co-senos diretores de −→v
b) os aˆngulos diretores de −→v
28. Os aˆngulos diretores de um vetor sa˜o 45◦, 60◦ e γ. Determinar γ.
29. Determinar o vetor unita´rio −→n , ortogonal aos vetores −→u = (2, 3,−1) e −→v = (1, 1, 2).
2
30. Calcular |−→u |, conhecendo-se |−→u ×−→v | = 4√2, |−→v | = 2 e < (−→u ,−→v ) = 45◦.
31. Calcule o vetor −→w com mo´dulo 7, que forma um aˆngulo agudo com o eixo das abscissas e e´ ortogonal
aos vetores −→u = −→i + 2−→j e −→v = −→i + 4−→j + 3−→k .
32. Sendo −→v = (1,−1, 1), calcular os vetores −→u = (x, y, z) que satisfac¸am as treˆs condic¸o˜es seguintes:
i) −→u seja ortogonal ao eixo x
ii) −→u · −→v = 0
iii) |−→v ×−→u | = 3√6.
33. Verificar, em cada caso, se A,B e C sa˜o colineares:
a) A = (1, 1, 2), B = (3, 0, 5) e C = (11,−4, 17)
b) A = (2,−1, 3), B = (4,−2, 0) e C = (−2, 1, 9)
c)A = (1, 0,−4), B = (3, 2,−2) e C = (7, 4, 4)
34. Determinar o vetor −→v ortogonal ao vetor −→u = (2,−3,−12) e colinear ao vetor −→w = (−6, 4,−2).
35. Calcular a e b de modo que os pontos A = (2, 3, 5), B = (3, 2, 8) e C = (a, b,−1) sejam colineares.
36. Verificar se A,B,C e D sa˜o pontos coplanares nos casos:
a) A = (1, 1, 0), B = (0, 2, 3), C = (2, 0,−1), D = (−1, 3, 5)
b) A = (2, 3, 4), B = (1,−1, 9), C = (5,−3, 7), D = (0, 3, 6)
c) A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 1), C = (3, 0, 1), D = (5, 7, 10)
37. Dois ve´rtices de um paralelogramo sa˜o A(1, 3, 4) e B(3, 2, 0) e o ponto me´dio das diagonais e´ P (2, 1, 1).
Calcular a a´rea do paralelogramo.
38. Os pontos (3,1,1), (1,-2,3), (2,-1,0) sa˜o os pontos me´dios dos lados do triaˆngulo ABC. Qual a a´rea
do triaˆngulo ABC?
39. Calcular a altura relativa ao ve´rtice B do triaˆngulo de ve´rtices A = (2, 4, 0), B = (0, 2, 4) e C =
(6, 0, 2).
40. Dados os vetores −→u = 3−→i − 2−→j + 6−→k ,−→v = −3−→i − 5−→j + 8−→k e −→w = −→i +−→k , calcular:
a) a a´rea do paralelogramo constru´ıdo sobre −→u e −→v
b) o volume do paralelep´ıpedo constru´ıdo sobre −→u ,−→v e −→w
c) o volume do tetraedro constru´ıdo sobre −→u ,−→v e −→w
41. Calcular o volume do tetraedro de ve´rtices A(1, 1, 0), B(1, 0, 1), C(0, 1, 1) e D(3, 2, 1)
42. Seja o paralelep´ıpedo representado na figura. Conhecendo-s os ve´rticesB = (1, 2, 3), D = (2, 4, 3), E =
(5, 4, 1) e F = (5, 5, 3), pede-se os ve´rtices A e G
A
E
BD
F
H
C
G
3
RESPOSTAS
1. a) (2, 2, 4) b) (3,−2, 4) c) (−2, 10,−1) d) (−13, 2,−23)
2. a = 2, b = 2, c = −2 3. x = 2, y = 4, z = 7
4. (
1
2
,
1
4
,
5
4
) 5. (12, 3, 2), (6,−1, 5), (−6,−1,−1)
6. −→v = 9−→u1 +−→u2 − 6u3 7. Na˜o
8. a) L.D b) L.I c) L.D
9.
7
4
10. −→p = 4−→u −−→v −−→w
11. a) 25 b) − 8 c) − 37 d) 83
e) (29,−8,−20) f) 2√29 g) (−26,−2,−5) h) (−58, 67,−82)
i) − 34 j) − 22 k) − 22 l) − 44
12. ±
√
5
5
13. (−1
3
,
2
3
,−2
3
) 14. 2
√
7,
−→u −−→v
2
√
7
15. a)
√
13 b)
−→u +−→v√
13
c) − 5 d)
√
21 + 2
√
3
16. 3 ou − 3
5
17. (±1,±1,±2) 18. 10
9
(2, 1,−1) 19. −9
20. arccos(1
4
) 22. arccos(2
√
7
7
) 23.
pi
3
25.
5pi
6
26.
7
√
2
2
27. a)
√
2
2
, 0,−
√
2
2
b) 45◦, 90◦, 135◦ 28. 60
◦ ou 120◦
29. (
7
5
√
3
,− 1√
3
,− 1
5
√
3
) 30. 4 31. 6
−→
i − 3−→j + 2−→k
32. (0,±3,±3), 33. a) SIM b) SIM c) NA˜O 34. −→v = t(3,−2, 1), t ∈ R
35. a = 0, b = 5 36. a) SIM b) SIM c) NA˜O 37. 2
√
38
38. 2
√
42 39.
10
√
2
3
40. a) 49 b)7 c)
7
6
41.
2
3
42. (1, 1, 1), (6, 8, 5)
4