Apostila de AE_Parte 2

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Caṕıtulo 5
Equações Quadráticas
Nosso objetivo principal nesta aula é aprender a identificar e resolver uma equação
quadrática reconhecendo as condições sobre as quais ela admite nenhuma, uma ou duas
soluções reais.
Vamos iniciar esta aula aprendendo a identificar uma equação quadrática a uma incógnita
em sua forma geral.
Em linguagem simbólica, a equação quadrática geral a uma incógnita e a
coeficientes reais é uma expressão do tipo
ax2 + bx+ c = 0,
na qual os coeficientes a, b e c são números reais previamente conhecidos, com a 6= 0, e
x representa uma incógnita (isto é, um número ou uma quantidade cujo valor se deseja
determinar).
Abaixo listamos alguns exemplos de equações quadráticas:
a) 2x2 − 3x+ 1 = 0, (aqui a = 2, b = −3 e c = 1)
b) x2 + 4 = 0 (aqui a = 1, b = 0 e c = 4);
42
Atividade proposta 5.1
Determine os coeficientes (a, b e c) das equações quadráticas abaixo:
a) 3x2 + x+ 3 = 0
b) x2 − 2x = 0
c) x2 − 4 = 0.
5.1 Equações quadráticas incompletas
Quando na equação quadrática geral temos b = 0 ou c = 0, dizemos que a equação
quadrática é incompleta.
Exemplo: As equações 2x2+4x = 0 e x2+6 = 0 são equações quadráticas incompletas.
Situação-problema
Determine a aresta de um quadrado cujo dobro da área é igual a 32 m2.
Solução:
Seja x a aresta do quadrado. Pelo enunciado do problema, sabemos que
2x2 = 32.
Então,
x2 = 16.
Donde,
x = −4 ou x = 4.
Portanto, a aresta do quadrado mede 4m. �
Situação-problema
Determine x, sabendo que
4x2 + 16x = 0.
Solução:
43
Observe que 4x é um fator comum do binômio que aparece no primeiro membro da
equação dada. Então, fatorando o primeiro membro da equação, obtemos
4x (x+ 4) = 0. (5.1)
Para resolver esta equação, utilizaremos o seguinte fato: se A e B são números reais tais
que A ·B = 0, então A = 0 ou B = 0. (Veja a atividade proposta 5.3 adiante) Desse modo
da igualdade (5.1) acima podemos concluir que
4x = 0 ou x+ 4 = 0.
Logo, temos duas soluções posśıveis para o problema: x = 0 ou x = −4.
Atividade-proposta 5.2
Determine x, sabendo que:
a) x2 − 18x = 0
b) 4x2 + 8x = 0
Atividade proposta 5.3
Sejam A e B números reais. Mostre que se A ·B = 0, então A = 0 ou B = 0.
5.2 Equações quadráticas completas
Quando numa equação quadrática geral os coeficientes a, b e c são todos diferentes de
zero dizemos que ela é completa.
5.2.1 Casos em que o trinômio ax2+bx+c é um quadrado perfeito.
Situação-problema
Resolva a equação
x2 + 4x+ 4 = 0.
Solução:
44
Note que o trinômio do primeiro membro da equação pode ser fatorado por intermédio
do produto notável
(A+B)2 = A2 + 2AB +B2.
Basta observar que
x2 + 4x+ 4 = x2 + 2 · 2x+ 22 = (x+ 2)2 .
Então a equação dada pode ser reescrita na forma
(x+ 2)2 = 0.
O único número cujo quadrado é igual a zero é o próprio zero, logo x + 2 = 0. Donde,
x = −2.
Atividade proposta 5.4
Resolva a equação
x2 + 6x+ 9 = 0,
utilizando o produto notável (A +B)2 = A2 + 2AB +B2
Situação-problema
Resolva a equação
x2 − 8x+ 16 = 0.
Solução:
Basta notar que
x2 − 8x+ 16 = x2 − 2 · 4x+ 42.
Então a equação pode ser reescrita na forma
(x− 4)2 = 0.
Logo,
x− 4 = 0.
Donde, x = 4.
45
5.2.2 Casos em que o trinômio ax2 + bx + c não é um quadrado
perfeito (completamento de quadrado)
Situação-problema
Determine x, sabendo que
x2 + 6x+ 5 = 0.
Solução:
Neste caso não podemos utilizar nenhum produto notável, porque
x2 + 6x+ 5 6= x2 + 2 · 3x+ 32.
Embora o primeiro membro da equação não seja um quadrado perfeito, podemos ”aproximá-
lo”de um quadrado perfeito escrevendo-o do seguinte modo:
x2 + 6x+ 5 = x2 + 2 · 3x+ 5
=
(
x2 + 2 · 3x+ 32
)
− 32 + 5.
Na primeira igualdade, somamos e subtráımos 32, não alterando o valor do primeiro
membro. Essa técnica é chamada completamento de quadrado.
Pelas considerações acima, podemos reescrever a equação dada na forma
(
x2 + 2 · 3x+ 32
)
− 9 + 5 = 0.
Então, pelo que vimos na aula sobre produtos notáveis,
(x+ 3)2 − 4 = 0.
Donde,
(x+ 3)2 = 4.
Logo,
x+ 3 = 2 ou x+ 3 = −2.
46
Portanto, x = −1 ou x = −5.
Atividade proposta 5.5
Resolva as equações usando completamento de quadrado:
a) x2 + 8x+ 1 = 0
b) x2 − 2x+ 7 = 0.
Situação-problema
Considere a equação quadrática
x2 +Bx+ C = 0,
onde B e C são números reais quaisquer. Mostre que se as soluções dessa equação
existirem, então elas serão dadas por
x1 =
−B +
√
B2 − 4C
2
e x2 =
−B −
√
B2 − 4C
2
.
Solução:
Por completamento de quadrados, obtemos
x2 +Bx+ C = 0 =⇒
[
x2 + 2 · B
2
x+
(
B
2
)2
]
+ C −
(
B
2
)2
= 0
observe agora que
x2 + 2 · B
2
x+
(
B
2
)2
=
(
x+
B
2
)2
,
donde obtemos
(
x+
B
2
)2
+ C −
(
B
2
)2
= 0.
Dáı segue-se que
(
x+
B
2
)2
=
(
B
2
)2
− C
=
B2 − 4C
4
.
47
Logo, se B2 − 4C ≥ 0, então
x+
B
2
= ±
√
B2 − 4C
4
Donde
x =
−B ±
√
B2 − 4C
2
.
Observação: A resolução da situação-problema acima mostra que se B2 − 4C ≥ 0,
então existe pelo menos uma solução real para a equação x2 +Bx+ C = 0.
Situação-problema:
Determine as soluções da equação x2 − 3x+ 2 = 0, caso existam.
Solução:
Usando as fórmulas dadas na situação-problema anterior, e notando que B = −3 e
C = 2, obtemos
x1 =
− (−3) +
√
(−3)2 − 4 (2)
2
=
3 +
√
1
2
= 2
e
x2 =
− (−3)−
√
(−3)2 − 4 (2)
2
=
3−
√
1
2
= 1.
Portanto x1 = 2 e x2 = 1, são as soluções da equação dada.
Situação-problema
Considere a equação quadrática
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0.
Mostre que se as soluções dessa equação existirem elas serão dadas por
x =
−b±
√
∆
2a
,
onde ∆ = b2 − 4ac.
Solução:
48
Basta observar que se ax 2+ bx+ c = 0, então a
(
x2 + b
a
x+ c
a
)
= 0. Deste modo obtemos
x2 +
b
a
x+
c
a
= 0.
Aplicando a situação-problema anterior, com B = b
a
e C = c
a
, obtemos
x =
−b±
√
∆
2a
.
Ou seja, a equação quadrática geral
ax2 + bx+ c = 0
tem no máximo duas soluções dadas por
x1 =
−b+
√
∆
2a
e x2 =
−b−
√
∆
2a
,
onde ∆ = b2 − 4ac. �
Observação 1:
A expressão ∆ = b2 − 4ac é chamada de discriminante da equação ax2 + bx + c = 0,
a 6= 0.
Observação 2:
O número de soluções reais da equação ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 é dado pelo sinal do
discriminante:
a) Se ∆ > 0, essa equação tem duas soluções reais;
b) Se ∆ = 0, essa equação tem uma única solução real;
c) Se ∆ < 0, essa equação não tem solução real.
Atividade proposta 5.6
a) A soma de dois números é 24 e produto é 143. Determine esses números
b) Mostre que não existe números inteiros consecutivos cujo produto é igual a −57.
c) Um pai tinha 30 anos quando seu filho nasceu. Sabe-se que o produto da idade
do pai e da idade do filho é igual ao quadrado da idade do filho. Quais são suas
idades?
49
5.3 Fatoração de trinômios
Situação-problema
Mostre que se x1 e x2 são as duas soluções de ax
2 + bx+ c = 0, então
a (x− x1) (x− x2) = ax2 + bx+ c.
Solução:
Sejam x1 =
−b+
√
∆
2a
e x2 =
−b−
√
∆
2a
as duas soluções da equação ax2 + bx+ c = 0.
Note inicialmente que
(x− x1) (x− x2) = x2 − (x1 + x2) x+ x1x2.
Mas
x1 + x2 =
−b +
√
∆
2a
+
−b−
√
∆
2a
= − b
a
.
x1 · x2 =
(
−b+
√
∆
2a
)
·
(
−b−
√
∆
2a
)
=
1
4a2
(
b2 −∆
)
=
1
4a2
[
b2 −
(
b2 − 4ac
)]
=
4ac
4a2
=
c
a
.
Logo,
(x− x1) (x− x2) = x2 −
b
a
x+
c
a
.
Portanto,
a (x− x1) (x− x2) = ax2 + bx+ c. �
Observação: Essa última situação-problema fornece um novo procedimento de
fatoração do trinômio
ax2 + bx+ c.
Para obter uma fatoração desse trinômio, basta determinar duas soluções x1 e x2 da equação
ax2 + bx+ c = 0 e escrever
ax2 + bx+ c = a (x− x1) (x− x2) .
50
Note que se ∆ ≥ 0, então o trinômio ax2+ bx+ c pode ser fatorado e dizemos então que
ele é redut́ıvel. Contudo se ∆ < 0 então a equação ax2+ bx+ c = 0 não admite solução real.
Donde segue-se que o trinômio ax2 + bx+ c não pode ser fatorado.Neste caso dizemos que
ele é irredut́ıvel no conjunto dos números reais.
Situação-problema
Fatore o trinômio
3x2 − 3x− 6 = 0.
Solução:
Determinemos as soluções da equação 3x2 − 3x− 6 = 0:
x1 =
−b+
√
∆
2a
=
− (−3) +
√
(−3)2 − 4 · 3 · (−6)
2 · 3 =
3 +
√
81
6
= 2
x2 =
−b−
√
∆
2a
=
− (−3)−
√
(−3)2 − 4 · 3 · (−6)
2 · 3 =
3−
√
81
6
= −1.
Logo 3x2 − 3x− 6 = 3 (x− 2) (x+ 1) .
Atividade proposta 5.7
Fatore o trinômio 3x2 + 6x− 9
Atividade proposta 5.8
Classifique em redut́ıvel ou irredut́ıvel os trinômios abaixo:
a) x2 − 2x+ 3
b) x2 + 4
c) x2 − 2x− 3
d) −2x2 + x− 1
51
Caṕıtulo 6
Frações Algébricas
Objetivo: aprender a simplificar e adicionar frações algébricas.
6.1 Frações numéricas
Antes de começarmos a trabalhar com as frações algébricas, vamos recordar alguns fatos
básicos acerca das frações numéricas.
Como você ainda se lembra, uma fração numérica é um quociente do tipo
A
B
(lê-se: A sobre B ou A dividido por B),
onde A e B são números reais, sendo B 6= 0. O número A é denominado numerador e o B
é chamado denominador.
Exemplo: os quocientes 1
3
,
√
2
3
, 40
25
e 3
1
são frações numéricas.
Uma fração numérica A
B
é redut́ıvel quando os números A e B apresentam pelo menos
um divisor comum maior do que 1; quando A e B não apresentam pelo menos um divisor
comum maior do que 1 diz-se que a fração A
B
é irredut́ıvel.
Exemplos:
a) A fração numérica 4
8
é redut́ıvel, porque 4 e 8 têm um divisor comum: o número 2.
51
b) A fração 2/3 é irredut́ıvel, porque o numerador e o denominador não possuem nenhum
divisor comum maior do que 1.
Atividade proposta 6.1
Decida quais das frações numéricas abaixo são redut́ıveis, justificando sua resposta:
5
25
,
3
27
,
9
1
,
2
5
,
1
8
,
4
50
.
Simplificar uma fração numérica redut́ıvel é dividir o seu numerador e o seu denominador
por seus divisores comuns. A fração irredut́ıvel que se obtém após a simplificação de uma
fração redut́ıvel chama-se forma simplificada da fração redut́ıvel.
Situação-problema
Simplifique as frações 36
30
e 25
45
.
Solução: Fatorando numerador e o denominador da primeira fração em seus fatores
primos, obtemos
36
30
=
2 · 2 · 3 · 3
2 · 3 · 5 .
Dividindo o numerador e o denominador pelos fatores comuns, 2 e 3, obtemos
36
3
=
2· 6 2· 6 3 · 3
6 2· 6 3 · 5 =
2 · 3
5
=
6
5
.
A fração 6
5
é a forma simplificada de 36
30
.
Para a segunda fração, basta observar que
25
45
=
5 · 5
5 · 9 =
6 5 · 5
6 5 · 9 =
5
9
.
A fração irredut́ıvel 5
9
é a forma simplicada de 25
45
.
Atividade proposta 6.2
Simplifique as frações 16
48
e 21
49
.
Uma fração redut́ıvel A
B
e uma fração irredut́ıvel C
D
são equivalentes quando a forma
simplificada de A
B
é igual a C
D
.
52
Duas frações redut́ıveis A
B
e C
D
são equivalentes quando têm a mesma forma simplificada.
Situação-problema
Estude a equivalência das seguintes frações:
a) 2
3
e 5
6
;
b) 4
8
e 1
2
;
c) 4
8
e 16
32
.
Solução:
a) Note que 2
3
e 5
6
são frações irredut́ıveis. Como 2
3
6= 5
6
, então essas frações não são
equivalentes.
b) Note que 1
2
é irredut́ıvel e que 4
8
é redut́ıvel. Observe também que
4
8
=
6 2· 6 2
6 2· 6 2 · 2 =
1
2
.
Como a forma simplificada de 4
8
é igual a 1
2
, então 4
8
e 1
2
são equivalentes.
c) Note que as duas frações 4
8
e 16
32
são redut́ıveis.
Observe que
4
8
=
2 · 2
2 · 2 · 2 =
1
2
e
16
32
=
2 · 2 · 2 · 2
2 · 2 · 2 · 2 · 2 =
1
2
.
Logo, como as frações dadas possuem a mesma forma simplificada, elas são equivalentes.
Atividade proposta 6.3
Estude a equivalência das seguintes frações:
a) 2
3
e 7
8
;
b) 2
3
e 20
30
;
c) 30
45
e 40
60
.
53
6.2 Frações algébricas
Um polinômio é uma soma de monômios.
Exempo: x3 +2x2y é um polinômio, porque é uma soma de dois monômios: x3 e 2x2y.
Mas 2
√
x+ 3 não é um polinômio, porque 2
√
x não é um monômio.
Uma fração algébrica é um quociente cujos numerador e denominador são polinômios
(fatorados ou não).
Exemplo: Os quocientes
7x2 + 3x
x2 + x
,
5a
4ab+ ba2
e
(x+ 1) (x− 2)
x2 − 2x+ 4
são frações algébricas, porque são quocientes de polinômios.
Uma fração algébrica é redut́ıvel quando o seu numerador e o seu denominador
apresentam pelo menos um fator comum.
Situação-problema
A fração algébrica
3x3 + 4xy
x2 + 2xy
é redut́ıvel?
Solução: Para responder essa pergunta, fatore o numerador e o denominador dessa
fração, para verificar se eles possuem fator comum;
numerador : 3x3 + 4xy = x (3x2 + 4y)
denominador : x2 + 2xy = x (x+ 2y) .
Como o numerador e o denominador apresentam um fator comum (o x), conclúımos que
a fração dada é redut́ıvel.
Atividade proposta 6.4
a) A fração
a3 + ab
2a2 + 5ab
é redut́ıvel? Justifique.
b) A fração
x2 + 2xy
2y + y2
é redut́ıvel? Justifique.
54
6.3 Simplificação de frações algébricas
Simplificar uma fração algébrica redut́ıvel é dividir o seu numerador e o seu denominador
por todos os seus fatores comuns.
Situação-problema
Simplificar as frações abaixo:
a)
3x3 + 4xy
x2 + 2x
, x 6= 0;
b)
(a+ h)2 − a2
h
, h 6= 0;
c)
(x+ 1) (x− 2)
x2 − 4x+ 4 , x 6= 0;
d)
(x− 3)2
x2 − 5x+ 6 , x 6= 2 e x 6= 3.
Solução:
a) Para simplificar a primeira fração, fatora-se o seu numerador e o seu denominador, e
em seguida divide-se o numerador e o denominador por seus fatores comuns:
3x3 + 4xy
x2 + 2x
=
x (3x2 + 4y)
x (x+ 2)
=
(3x2 + 4y)
(x+ 2)
.
Paramos aqui, porque o numerador e o denominador dessa última fração não têm mais
nenhum fator comum.
b) Antes de fatorar o numerador, podemos efetuar algumas operações preliminares:
(a+ h)2 − a2
h
=
6 a2 + 2ah+ h2− 6 a2
h
=
2ah+ h2
h
.
Podemos, agora, fatorar essa última fração algébrica:
2ah+ h2
h
=
6 h (2a+ h)
6 h = 2a+ h.
Portanto,
(a+ h)2 − a2
h
= 2a+ h, para h 6= 0.
c) O numerador já está fatorado. O denominador pode ser fatorado por intermédio de
uma das fórmulas dos produtos notáveis que você já sabe:
55
x2 − 4x+ 4 = (x− 2)2 = (x− 2) (x− 2) .
Então,
(x+ 1) (x− 2)
x2 − 4x+ 4 =
(x+ 1) (x− 2)
(x− 2) (x− 2) =
x+ 1
x− 2 .
d) O numerador já está fatorado. Fatoremos então o denominador:
x2 − 5x+ 6 = (x− 2) (x− 3) .
(Note que x1 = 2 e x2 = 3 são ráızes da equação quadrática
x2 − 5x+ 6 = 0.)
Então,
(x− 3)2
x2 − 5x+ 6 =
(x− 3) (x− 3)
(x− 2) (x− 3) =
x− 3
x− 2 .
Observação: Não cometa o erro:
6 x+ 3
6 x+ 5 =
3
5
.
Esta simplicação está errada, porque x não é um fator comum ao numerador nem ao
denominador. E só podemos simplificar fatores comuns.
Atividade proposta 6.5
Simplifique as frações abaixo:
a)
2x2 + 4xy2
x2y3 + xy
, x 6= 0 e y 6= 0;
b)
(a+ h)3 − a3
h
, h 6= 0;
c)
(x− 3) (x+ 4)
x2 − 6x+ 9 , x 6= 3;
d)
(x+ 1) (x− 2)2
x2 − 5x+ 6 , x 6= 2 e x 6= 3.
56
6.4 Adição de frações algébricas
Você certamente se lembra de como somar frações numéricas de mesmo denominador:
soma-se os numeradores e mantém-se o denominador.
Exemplo: 2
5
+ 8
5
= 2+8
5
= 10
5
3
7
+ 5
7
= 3+5
7
= 5
7
Você certamente, também, ainda se lembra de como somar frações numéricas de
denominadores distintos: reescreve-se as frações dadas como frações equivalentes de mesmo
denominador e efetua-se a soma.
Situação- problema
Adicione:
a) 1
8
+ 1
12
;
b) 2
45
+ 3
15
.
Solução: a) Determinemos o mı́nimo múltiplo comum (mmc) dos denominadores:
8 = 23
12 = 22 · 3.
Lembre-se que o mmc de 8 e 12 é obtido fazendo-se o produto dos fatores comuns e não
comuns a esses dois números de maiores expoentes.
Então o mmc de 8 e 12 é igual a
23.3 = 8 · 3 = 24.
Escreve-se, então,
mmc (8, 12) = 24
(lê-se: o mı́nimo múltiplo comum de 8 e 12 é igual a 24).
Agora, observe que
1
8
=
3
24
e
1
12
=
2
24
.
57
Desse modo,
1
8
+
1
12
=
3
24
+
2
24
=
5
24
.
b) Determinemos o mmc de 15 e 45:
15 = 3 · 5
45 =32 · 5.
Então o mmc de 15 e 45 é o número:
32.5 = 45.
Ou seja mmc(15, 45) = 45.
Notando que
3
15
=
9
45
,
Obtemos:
2
45
+
3
15
=
2
45
+
9
45
=
11
45
.
Atividade proposta 6.6
Determine:
a)
2
25
+
3
100
b)
8
32
+
3
288
Idéias análogas são utilizadas para a soma de frações algébricas: a) se as frações têm
o mesmo denominador, então soma-se os numeradores e mantém-se o denominador; b) se
as frações tem denominadores diferentes, então determina-se o mmc dos denominadores e
reescreve-se as frações como frações equivalentes de mesmos denominadores e efetua-se a
soma.
Situação-problema
Calcule:
6x
2x+ 1
− 3 + 2x
2x+ 1
58
Solução: Note que as frações têm o mesmo denominador. Então
6x
2x+ 1
− 3 + 2x
2x+ 1
=
6x− (3 + 2x)
2x+ 1
=
6x− 3− 2x
2x+ 1
=
4x− 3
2x+ 1
.
Situação-problema
Adicione as seguintes frações algébricas:
a)
6x
2x+ 1
e
3 + 2x
2x+ 1
;
b)
8
(x+ 1)3
e
2x
x2 + x
.
Solução: a) Observe que as frações algébricas dadas têm o mesmo dnominador, então
6x
2x+ 1
+
3 + 2x
2x+ 1
=
3 + 8x
2x+ 1
.
b) Note que os denominadores das frações algébricas dadas são distintos. Determinemos,
então o mmc dos denominadores (x+ 1)3 e x2 + x :
o primeiro denominador: (x+ 1)3
o segundo denominador: x2 + x = x (x+ 1) .
Logo, o mmc de (x+ 1)3 e x2 + x é obtido multiplicando-se os fatores comuns e não
comuns de ambos os denominadores de maiores expoentes:
x (x+ 1)3 .
Então
8
(x+ 1)3
+
2x
x2 + x
=
8x
x (x+ 1)3
+
2x (x+ 1)2
x (x+ 1)3
=
8x+ 2x (x+ 1)2
x (x+ 1)3
Situação-problema
Adicione
4x
(x+ 2)2 (x+ 1)3
e
3
(x+ 2)3 (x+ 1)2
.
Solução: Note que os denominadores dessas frações algébricas são distintos.
O mmc, como se sabe, é obtido fazendo-se o produto dos fatores comuns de maiores
expoentes e dos fatores não-comuns com também os maiores expoentes:
59
primeiro denominador: (x+ 2)2 (x+ 1)3
segundo denominador: (x+ 2)3 (x+ 1)2 .
Logo, o mmc desses dois denominadores é igual a
(x+ 2)3 (x+ 1)3 .
Desse modo,
4x
(x+ 2)2 (x+ 1)3
+
3
(x+ 2)3 (x+ 1)2
=
4x (x+ 2)
(x+ 2)3 (x+ 1)3
+
3 (x+ 1)
(x+ 2)3 (x+ 1)3
=
4x (x+ 2) + 3 (x+ 1)
(x+ 2)3 (x+ 1)3
.
Atividade proposta 6.7
Adicione:
a)
8 + 2a
x+ 1
+
16 + 3a
x+ 1
;
b)
8 + 2a
x+ 1
− 16 + 3a
x+ 1
;
c)
3m+ 2
x3 (x+ 1)
− m
(x+ 1)2
;
d)
7
x4 (x+ 1)
+
x
x2 (x+ 2)2
.
60