AD2 2020-1 GABARITO

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Geometria Espacial Solução da AD2 Página 1 de 3
Solução da AD2 de Geometria Espacial - 2020.1
Questão 1. Seja S uma esfera de centro O, um ponto P pertencente a S e α um plano que contém P . Mostre
que α é perpendicular a OP se, e somente se, α é o plano tangente a S em P .
Solução:
Há duas afirmações a serem provadas:
• “Se α é perpendicular a OP , então α é o plano tangente a S em P .” Essa é a Proposição 2 da Aula
25, no Módulo 2.
• “Se α é o plano tangente a S no ponto P , então α é perpendicular a OP .” Esse é o exerćıcio 6 desta
mesma aula.
Segue a solução completa.
Definição: Fixados um ponto P ∈ S, dizemos que um plano α é tangente a S em P quando a interseção
de α e S é apenas P .
A afirmação do enunciado pode ser reescrita como:
Sejam O o centro de S e P pertencente à interseção de S e α.
α é tangente a S em P ⇔ OP é perpendicular a α.
(⇒) Suponha que α é tangente a S em P . Considere um ponto A ∈ α tal que A 6= P . Seja β o plano
determinado por O, A e P . A interseção de β com S é uma circunferência Γ contendo P e a interseção de
β com α é uma reta r, que também contém P . Vamos mostrar que OP é perpendicular a AP . Como a
mesma construção pode ser feita para qualquer A 6= P em α, conclúımos que OP é perpendicular a todas
as retas de α, logo OP é perpendicular a α.
O
P A
O
P
A
De fato, se r não for tangente a Γ então é secante a Γ. Como r ⊂ α isso contradiz a hipótese de que α é
tangente a S.
(⇐) Suponha que OP é perpendicular a α e seja A ∈ α com A 6= P . Vamos mostrar que A /∈ S. Observe
que o triângulo APO é retângulo em P , logo AO é a hipotenusa e, portanto, AO > OP , que é o raio da
esfera. Conclusão, qualquer ponto A ∈ α com A 6= P é externo a S. Isso significa que a interseção de α e
S é apenas o ponto P e, portanto, α é tangente a S.
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Questão 2. Construa três exemplos de poliedros não convexos para os quais vale a relação de Euler.
Solução: As resposta podem variar bastante, duas posśıveis estão na resposta do exerćıcio 1 da Aula 26
no módulo.
Questão 3. Em um reservatório na forma de um prisma reto de base um hexágono regular de aresta 10 cm,
colocou-se uma pedra, o que elevou em 35 cm o ńıvel da água. Determine o volume da pedra.
Solução: Este é o exerćıcio 8 da Aula 28.
Digamos que o volume de água inicial do reservatório seja Vo. Após a colocação da pedra, o volume do
conteúdo do reservatório passou a ser Vo + Vpedra. Contudo foi dito que o ńıvel de água se elevou em 35
cm, logo o volume da pedra é o volume de água deslocado, isto é, o volume de um prisma hexagonal reto
de aresta da base 10cm e altura 35cm.
Vpedra = Ahexágono de lado 10cm · 35cm = 6 ·
10cm · 10
√
3
2 cm
2
· 35cm = 5250
√
3cm3 ≈ 9093, 27cm3.
Questão 4. Considere um cilindro reto de altura infinita C e um plano α não paralelo ao eixo do cilindro.
Mostre que a interseção de C com α é uma elipse no plano α, isto é, existem pontos F1 e F2 no plano α tais que
P ∈ C ∩ α⇔ d(P ;F1) + d(P ;F2) = constante.
Solução:
Se quiser acompanhar esta demonstração com uma animação, assista ao video https://youtu.be/
g1NkORYvZuY.
Vamos definir pontos F1 e F2 no plano α e um número real a > 0 tais que d(P ;F1)+d(P ;F2) = 2a qualquer
que seja P ∈ C ∩ α.
Sejam S1 = S(O1; r) e S2 = S(O2; r) duas esferas de mesmo raio r que o cilindro e centros O1 e O2,
respectivamente, ambas tangentes internamente ao cilindro e ao plano α, mas cada uma de um lado do
plano α.
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https://youtu.be/g1NkORYvZuY
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Sejam F1 e F2 os pontos de interseção de α com S1 e S2, respectivamente. Sejam também as circunferências
Γ1 = S1 ∩ C e Γ2 = S2 ∩ C. Sejam P1 e P2 pontos de interseção da reta paralela ao eixo do cilindro que
passa por P com Γ1 e Γ2, respectivamente.
O plano determinado pelos pontos F1, P e P1 intersecta a esfera S1 formando uma circunferência que tem
PP1 e PF1 como retas tangentes a partir do ponto P , logo PP1 = PF1.
Um argumento análogo garante que PP2 = PF2. Portanto, d(P ;F1) + d(P ;F2) = PP1 + PP2 = P1P2.
Portanto, defina a = P1P2/2 (observe que P1P2 é a distância entre os planos determinados por Γ1 e por
Γ2, então não depende da escolha de P ). Mostramos assim que todo ponto da interseção do cilindro com o
plano α pertence à elipse de focos F1 e F2 e eixo maior P1P2.
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