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apostila CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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nas próximas aulas, quando tratarmos de 
cada um dos tipos de função. 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
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Gráfico de uma função 
Como temos dois conjuntos de valores (o 
domínio e a imagem) podemos representar cada 
par ordenado (variável independente, variável 
dependente) no plano cartesiano, que é um 
sistema de coordenadas no qual temos uma reta 
real horizontal denominada eixo 𝑥 e uma reta real 
vertical denominada eixo 𝑦. 
Assim, por exemplo, para a função 𝑦 = 
3𝑥² − 5 podemos determinar quantos pontos do 
seu gráfico desejarmos determinando, para isso, 
pares ordenados (𝑥, 𝑦). Podemos fazer isso 
atribuindo valores a 𝑥 obtendo os respectivos 
valores de 𝑦. Se escolhemos 𝑥 = −1, então 𝑦 = 3. 
(−1)² − 5 = −2. Logo, temos o par ordenado (−1, 
−2) e sabemos que o gráfico da função dada 
passa pelo ponto (−1, −2) conforme a figura a 
seguir.
 
Escolhendo outros valores para 𝑥, 
podemos determinar outros valores de 𝑦 e 
esboçar o gráfico da função. Evidentemente, este 
não é um método prático para esboçar gráficos 
de funções. Conforme veremos na próxima aula, 
conhecendo o tipo de função, podemos abreviar 
este trabalho e esboçar gráficos de funções a 
partir de pontos escolhidos estrategicamente. 
Exercícios propostos: 
 
03) Uma empresa reembolsa seus empregados 
em R$ 150,00 ao dia por despesas de hotel e 
alimentação, mais R$ 0,34 por quilômetro 
percorrido. 
a) Escreva uma equação linear para o 
reembolso R em termos de x, o número de 
quilômetros percorridos. 
b) Qual o valor do reembolso se 𝑥 = 550 𝐾𝑚? 
c) Um funcionário foi reembolsado em R$ 
218,00. De quantos quilômetros foi sua 
viagem? 
04) Uma empresa comprou por R$ 12.000,00 
uma máquina que tem uma vida útil de 8 anos. 
O valor da máquina como sucata ao final dos 
8 anos é de R$ 2.000,00. Escreva uma 
equação linear que descreva o valor 
depreciado da máquina a cada ano que 
passa. 
05) Um microempresário compra um computador 
por R$ 1.025,00. Depois de 5 anos, o 
computador está ultrapassado e não tem mais 
valor comercial. Escreva uma equação linear 
para o valor V do computador em termos do 
tempo t em anos. 
06) Uma universidade tem 2546 alunos em 
1998 e 2702 alunos em 2000. Se o número de 
alunos matriculados variar de forma linear, 
quantos alunos terá a universidade em 2004? 
07) Um homem apara seu gramado toda 
quarta-feira. Esboce o gráfico da altura da 
grama como uma função do tempo no 
decorrer do período de 4 semanas. 
08) Dada a função 𝑦 = 3𝑥 + 1 determine o 
valor de 𝑦 para: 
 
 
09) Considerando a função dada por 𝑦 = 1 − 2𝑥, 
responda: 
a) Para 𝑥 = 5 quanto vale 𝑦? 
b) Para 𝑥 = −6 quanto vale 𝑦? 
c) Para quanto vale 𝑦? 
d) Para que valor de 𝑥 se tem 𝑦 = −15? 
 
10) Considerando a função dada por 𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 
+ 6, responda: 
a) Para x = 5 quanto vale y? 
b) Para x=-6 quanto vale y? 
c) Existe x tal que y = 0? 
d) Para que valores de x se tem y = 6? 
e) Para que valor real de x se tem y = - 8? 
11) Duas variáveis, x e y, estão relacionadas pela 
fórmula 3𝑥 + 5𝑦 = 10. 
a) Expresse 𝑦 em função de 𝑥 (Isole 𝑦). 
b) Expresse 𝑥 em função de 𝑦 (Isole 𝑥). 
12) Duas variáveis, x e y, estão relacionadas pela 
fórmula 𝑥 − 7𝑦 = 11. 
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a) Expresse 𝑦 em função de 𝑥 (Isole 𝑦). 
b) Expresse 𝑥 em função de 𝑦. (Isole 𝑥). 
A FUNÇÃO AFIM 
Uma função afim se caracteriza por uma 
expressão do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (ou 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏) 
onde 𝑎 e 𝑏 são números reais. 
Exemplo 1: As expressões a seguir representam 
funções afins. 
(1) 𝑦 = 3𝑥 − 5, onde 𝑎 = 3 e 𝑏 = −5 
(2) 𝑓(𝑥) = −𝑥, onde 𝑎 = −1 e 𝑏 = 0 
(3) 𝑣(𝑡) = 10 + 7𝑡, onde 𝑎 = 7 e 𝑏 = 10 
Em uma função dada por 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, se tivermos 
𝑎 ≠ 0, a raiz (ou zero) da função é o valor de 𝑥 
que faz com que o valor da função (𝑦) seja nulo. 
Exemplo 2: Seja função dada por 𝑦 = 2𝑥 + 10, 
temos que −5 é a raiz da função, já que 2. (−5) + 
10 = 0. 
Para determinar a raiz, basta que façamos 𝑦 = 0. 
No caso do exemplo anterior, teríamos 2𝑥 + 10 = 
0 → 2𝑥 = −10 → 𝑥 = −5. De maneira geral, temos 
que se 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝑎 ≠ 0 então a raiz será
 pois 
 . 
Exemplo 3: A raiz da função afim dada por 
implica 
que 5𝑥 = 2 e, portanto, . 
A representação gráfica de uma função afim é 
uma reta e podemos obter a reta a partir de dois 
de seus pontos. Para isso, atribuímos dois 
valores distintos para 𝑥 obtendo dois valores para 
𝑦 ou vice-versa. O fato de que por dois pontos 
distintos passa uma única reta nos garante que, 
desta maneira, a representação gráfica da função 
afim estará determinada. 
Exemplo 4: Representar no plano cartesiano as 
funções seguintes: 
a) 𝑦 = 3𝑥 − 4 
b) 𝑦 = −5𝑥 + 1 
c) 𝑦 = −3 
a) Tomando valores arbitrários para 𝑥 
determinamos os respectivos valores de 𝑦 e, 
consequentemente, os pares ordenados 
desejados. Fazendo 𝑥 = 0, obtemos 𝑦 = 3.0 − 
4 e, portanto, 𝑦 = 3.0 − 4. Temos, então, o par 
ordenado (0, −4). Para organizar melhor os 
resultados, façamos uma tabela com os 
valores de entrada (𝑥) e os valores de saída 
(𝑦). Agora, fazendo 𝑥 = 1 e efetuando os 
cálculos necessários, teremos 𝑦 = −1. 
 
Finalmente, vamos localizar no plano cartesiano 
os pontos (0, −4) e (1, −1) e traçar a reta que 
passa por estes pontos. 
 
 
b) Fazendo 𝑥 = 0, obtemos 𝑦 = −5.0 + 1 e, 
portanto, 𝑦 = 1. Temos, então, o par ordenado 
(0,1). Agora, fazendo 𝑥 = 1 e efetuando os 
cálculos necessários, teremos 𝑦 = - 4 
 
Localizando no plano cartesiano os pontos (0,1) 
e (1, −4) e traçando a reta que passa por estes 
pontos, obtemos a seguinte representação 
gráfica. 
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c) Neste caso, 𝑦 = −3 para qualquer valor de 𝑥. 
Portanto, temos a seguinte representação. 
 
Notemos que, com relação ao domínio da função 
afim, será sempre o conjunto dos números reais. 
Já a imagem é também o conjunto ℝ, exceto 
quando temos uma função constante, como a do 
exemplo anterior. Neste caso, a imagem é 
composta apenas por essa constante. Então se 𝑦 
= 𝑐, a imagem da função é o conjunto unitário {𝑐}. 
Exemplo 5: O inventor de um jogo de 
computador estima que o custo variável para 
produzir o jogo é de 𝑅$ 0,95 por unidade e que o 
custo fixo é de 𝑅$ 6.000,00. 
a) Expresse o custo total em função de 𝑥, a 
quantidade de jogos vendidos. 
b) Escreva uma expressão para o custo médio 
unitário, ou seja, . 
c) O preço de venda de cada jogo é 𝑅$ 1,69. 
Quantos jogos devem ser vendidos para que 
o custo médio unitário seja menor que o preço 
de venda? 
 
a) O custo total será a soma dos 𝑅$ 6.000,00 
fixos com a quantidade de unidades 
produzidas, multiplicada por 𝑅$ 0,95, que é o 
custo variável. 
Assim, 𝐶(𝑥) = 0,95𝑥 + 6000. 
b) O custo médio é igual ao custo total dividido 
pela quantidade de unidades produzidas. 
Portanto,
. 
c) A condição é que o custo médio 
 seja menor que o preço de 
venda que é de 𝑅$ 1,69. Temos então e 
inequação 
 
 
Logo, é necessário que a quantidade produzida 
seja de, no mínimo, 8109 unidades. 
Exercícios propostos 
01) Uma indústria fabrica peças e semanalmente 
possui um custo fixo de R$3500. Se o custo 
para o material é de R$ 47,00 por peça e seu 
custo total da semana foi de R$13.370, 
quantas peças foram produzidas nesta 
semana? 
02) O preço p por unidade de um produto 
quando x unidades (em milhares) são 
produzidas é modelado pela função 𝑝 = 12 − 
0,025. 𝑥 
a) Qual o preço do produto, caso sejam 
produzidas 40 000 unidades? 
b) Para que o preço seja R$ 8,90 quantas peças 
devem ser produzidas? 
03) Uma máquina industrial custa R$ 240.000 e 
sofre a cada ano uma depreciação linear de 
R$ 25.000. Obtenha: 
a) A expressão que relaciona o valor da máquina 
(V) em relação à sua idade

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