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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 2º. Semestre de 2011 Prof. Moisés Lima de Menezes (pode usar calculadora) Versão Tutor 1. (1,5 ponto) Os quatro programas de televisão de maior audiência nos Estados Unidos foram CSI, ER, Everybody Loves Raymond e Friends segundo a Nielsen Media Research, de 11 de janeiro de 2004. Ao ser questionado qual destes programas mais gosta, 50 telespectadores escolhidos aleatoriamente responderam o seguinte: CSI Friends CSI CSI CSI CSI CSI Raymond ER ER Friends CSI ER Friends CSI Raymond ER ER CSI CSI Friends ER ER ER Friends Raymond CSI Friends Friends CSI Raymond Friends Friends Raymond Friends CSI Raymond Friends CSI ER Raymond Friends ER Friends CSI CSI ER CSI Friends ER a) Qual o tipo de variável está em questão? Solução: Como as respostas dadas não são numéricas, então trata-se de uma VARIÁVEL QUALITATIVA . b) Forneça uma distribuição de freqüências (absolutas e relativas %); Solução: Basta contar o número de resposta para cada uma dos 4 programas para obter as freqüências absolutas e dividir cada freqüência absoluta pelo total de respostas e multiplicar por 100 para obter as freqüências relativas. Assim, teremos: Programa Freq. Absoluta Freq. Relativa % CSI 17 34 ER 12 24 Friends 14 28 Raymond 7 14 Total 50 100 c) Construa um gráfico de colunas para estes dados. Solução: Cada coluna do gráfico tem como base o valor da variável e como altura, a freqüência absoluta. Assim, o gráfico será: 2. (4,0 pontos) O diagrama de ramo e folhas a seguir refere-se a dados variando entre 68 e 141. 6 8 9 7 2 3 3 5 6 6 8 0 1 1 2 3 4 5 6 9 2 2 2 2 4 5 5 6 7 8 8 10 0 0 2 4 6 6 6 7 8 11 2 3 5 5 8 9 9 12 4 6 7 8 13 2 4 14 1 a) (2,0) Apenas com os dados brutos no diagrama de ramo e folhas encontre o tamanho da amostra, a amplitude total, a moda e a mediana; Solução: i) Tamanho da amostra: Para determinar o tamanho da amostra, basta contar as folhas. Assim, temos: n=50. ii) Amplitude total: Para determinar a amplitude total dos dados, basta subtrair o maior do menor. Assim: iii) Moda: A moda é o valor de maior freqüência. Ou seja: x*=92. Pois possui a freqüência 4. iv) Mediana: Como n é par, então a mediana será dada por: b) (2,0) Construa uma tabela de distribuição de freqüências (simples absoluta, simples relativa %, acumulada absoluta, acumulada relativa %) para dados agrupados em 5 classes. Solução: Já sabemos que a amplitude total é 73. Como queremos 5 classes, vamos encontrar o próximo múltiplo de 5, que é 75. Então dividindo 75 por 5, teremos a amplitude de cada classe:75/5=15.AS freqüências absolutas serão as contagens simples, as relativas são a divisão das absolutas pelo total e multiplicado por 100 e as acumuladas são o somatório das freqüências absolutas até então. Logo, a distribuição de freqüências será: Freqüência simples Freqüência acumulada Classes Absoluta Relativa % Absoluta Relativa % 68 83 12 24 12 24 83 98 13 26 25 50 98 113 12 24 37 74 113 128 9 18 46 92 128 143 4 8 50 100 total 50 100 3. (2,5 ponto) Com os dados brutos da questão anterior no diagrama de ramo e folhas encontre os quartis (Q1, Q2 e Q3) e faça o Box-plot. Solução: i) Os quartis: Já temos o Q2 obtido na questão anterior. Para obtermos o Q1 e o Q3, tomemos a primeira e a segunda metade dos dados retirando a mediana. Assim, teremos para calcular o Q1, os dados de x1 a x25 e para o cálculo do Q3, os dados de x26 a x50. Em ambos os casos, n=25, ou seja, ímpar. Assim, Q1 = x13 = 83. Q2 = 97,5. Q3 = x38 = 113. ii) O Box-Plot Para a confecção do Box-plot, precisamos do Intervalo interquartílico: IQ = Q3 – Q1 = 113 - 83 = 30. Assim, 1,5 IQ = 1,5X30=45. O Intervalo de dados discrepantes será: (83-45; 113+45) (38;158) Assim, o Box-plot será: 4. (2,0 pontos) Considere o lançamento de dois tetraedros (figura espacial com 4 faces - figura 1) regulares com as faces numeradas de 1 a 4 e verificar as faces que ficam na base. Figura 1: Tetraedro a) (0,5) Qual o espaço amostral deste experimento? Solução: O espaço amostral será todas as combinações possíveis dos conjuntos: {1,2,3,4} e {1,2,3,4}. Ou seja, b) (1,5) Sejam os eventos A={a soma das faces na base é par} e B={a soma das faces na base maior que 5}. Determine A, B, A-B e . Solução: O conjunto A será os destacados em cinza: Logo: O conjunto B será os destacado em cinza: Logo: A-B é o conjunto dos elementos de A que não estão em B. Logo: é o conjunto dos elementos simultâneos a A e B. Logo: MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 1º. Semestre de 2013 Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) (Pode usar calculadora) GABARITO 1. (2,0 pontos) O diretor da fábrica da Printel quer comparar a média salarial da sua fábrica em são Paulo a de seu concorrente em Santa Catarina Dos seus 6.012 funcionários, 1.221 recebem $35,00 por hora, 650 recebem $15,50, 3.098 ganham $23,50 e os demais $17,12. Dos 5.634 funcionários da outra fabrica, 1.654 ganham $12,75, 815 recebem $17,80 e os outros $20,10. a) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de frequências simples para cada uma das fábricas; b) (1,0 pt) Calcule as médias salariais das duas fábricas. Solução: ********* item a) ********* a) Fábrica em São Paulo: Salário ($) Frequência 35,00 1.221 15,50 650 23,50 3.098 17,12 1.043 Total 6.012 Fábrica em Santa Catarina: Salário ($) Frequência 12,75 1.654 17,80 815 20,10 3.165 Total 5.634 ********* item b) ********** b) As médias salariais: Média São Paulo: Média Santa Catarina: 2. (2,0 pontos) Dado o histograma referente aos salários de 50 executivos, que variam de $90.000,00 a $2.540.000,00: Construa a tabela de distribuição de Frequências (simples (absoluta e relativa)) e (acumulada (absoluta e relativa)) a que se refere este histograma. Solução: Temos os pontos médios das classes. Como o valor inicial é igual a 90.000, e as classes tem freqüências do mesmo tamanho da distancia entre os pontos médios, a saber: então: as classes serão feitas como segue: classe 1: de 90 a , a classe 2, de 440 a . E assim por diante. As freqüências absolutas simples são observadas no histograma e as outras seguem dela, sendo as relativas iguais a às absolutas divididas pelo total. Opcionalmente, as freqüências relativas podem vir em formato percentual, para isso, basta multiplicar a freqüência relativa por 100%. Logo: Freqüência Simples Freqüência Acumulada Absoluta Relativa Absoluta Relativa [90; 440) 9 0,18 9 0,18 [440; 790) 11 0,22 20 0,40 [790; 1.140) 10 0,20 30 0,60 [1.140; 1.490) 8 0,16 38 0,76 [1.490; 1.840) 4 0,08 42 0,84 [1.840;2.190) 3 0,06 45 0,90 [2.190; 2.540) 5 0,1 50 1 Total 50 1 3. (3,0 pontos) Dada a tabela abaixo: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 265 615 1115 1315 1665 2015 2365 F re q u e n ci a A b so lu ta Ponto médio dos Salários (x $1.000) Classes Freq. Absoluta Pto. Médio das Classes [1; 7) 5 4 [7; 13) 10 10 [13; 19) 20 16 [19; 25) 5 22 Total 40 a) (0,5 pt) Determine a média destes dados; b) (0,5 pt) Determine a moda; c) (1,0 pt) Determine o desvio-padrão, sabendo que ; d) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria; e) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação. Solução: Para calcular as medidas desejadas, vamos completar a tabela: Classes Freq. Absoluta Pto. Médio das Classes [1; 7) 5 4 20 80 [7; 13) 10 10 100 1.000 [13; 19) 20 16 320 5.120 [19; 25) 5 22 110 2.420 Total 40 550 8.620 a) Média: b) Moda: é o ponto médio da classede maior freqüência. Na ocasião: a maior freqüência é 20 e a sua classe é [13; 19). Seu ponto médio é 16. Logo: c) Variância: O desvio padrão será: d) Coeficiente de assimetria: e) Coeficiente de variação: 4. (2,0 pontos) Considere o conjunto dos investidores da bolsa de valores. Seja A o conjunto dos investidores de sexo masculino, B o conjunto dos investidores do sexo feminino, C o conjunto dos que investem a curto prazo, D o conjunto dos que investem a médio prazo e E o conjunto dos que investem a longo prazo. Explicite os eventos. a) (0,5 pt) b) (0,5 pt) c) (0,5 pt) d) (0,5 pt) Solução: a) A B C D E A tabela acima mostra a região equivalente à . Assim, o evento é: “Conjunto dos investidores do sexo masculino que investem em longo prazo”. b) A B C D E A tabela acima mostra a região equivalente à . A B C D E A tabela acima mostra a região equivalente à . Conseqüentemente, a tabela abaixo mostra a interseção entre estes dois conjuntos. A região circulada é única que aparece nos dois conjuntos. A B C D E Assim: é o “conjunto dos investidores do sexo masculino que investem a curto prazo”. c) A B C D E A tabela acima mostra a região equivalente à . Conseqüentemente, a tabela abaixo mostra a região equivalente à . A B C D E Assim, o evento é: “Conjunto dos investidores que investem a curto prazo e dos investidores do sexo masculino que investem a médio prazo”. d) A B C D E “Conjunto dos investidores do sexo masculino que investem a curto prazo e dos investidores do sexo feminino que investem a longo prazo”. 5. (1,0 ponto) Quantos são os anagramas da palavra COMBUSTIVEL tal que as letras da expressão BUS estejam juntas e nesta ordem ou as letras da expressão TIVEL estejam juntas, mas não necessariamente nesta ordem? Solução: No primeiro caso, considere a expressão como uma única letra. Assim: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C O M BUS T I V E L Assim, seria como permutar 9 letras. Logo: Já no segundo caso, pode-se considerar a expressão como uma única letra, mas precisa fazer a permutação delas dentro da expressão. Assim: 1 2 3 4 5 6 7 C O M B U S TIVEL Serão: Mas como TIVEL não necessariamente na nesta ordem. 1 2 3 4 5 T I V E L Assim, para cada uma das 5.040 possibilidades, há Possibilidades, Logo: São Conseqüentemente Resposta: MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 2º. Semestre de 2014 Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) (Pode usar calculadora) GABARITO 1. (2,0 pontos) Dado o diagrama de ramo-e-folhas para a evolução do preço de determinado produto em dois estados diferentes A e B (em valores inteiros): Estado A Estado B 5 5 0 1 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 2 2 2 5 5 5 8 4 4 4 0 3 1 2 1 1 4 0 a) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de freqüências (simples (absoluta e relativa) para cada estado A e B. b) (1,0 pt) Determine o preço médio deste produto nos dois estados. Solução: a) Para a construção da tabela, consideramos a contagem simples para as freqüências absolutas e a razão entre as freqüências absolutas pelos totais para as freqüências relativas. É fácil perceber que os preços variam de 05 a 41 para o estado A e de 01 a 40 para o estado B. Assim, obtemos: Estado A Freqüência Simples Estado B Freqüência Simples Absoluta Relativa Absoluta Relativa 05 2 15,39 01 2 13,33 10 2 15,39 02 1 6,67 11 1 7,69 10 4 26,66 20 1 7,69 22 2 13,33 30 1 7,69 25 3 20,00 34 3 23,07 31 1 6,67 38 1 7,69 32 1 6,67 41 2 15,39 40 1 6,67 Total 13 100,00 Total 15 100,00 b) A média é dada por: , para isso, completemos as tabelas com a coluna . A(xi) Freq. Abs (ni) nixi B (xi) Freq. Abs. (ni) nixi 05 2 10 01 2 2 10 2 20 02 1 2 11 1 11 10 4 40 20 1 20 22 2 44 30 1 30 25 3 75 34 3 102 31 1 31 38 1 38 32 1 32 41 2 82 40 1 40 Total 13 313 Total 15 266 Logo: Média A: Média B: 2. (3,0 pontos) Dada a tabela de distribuição de freqüências para dados agrupados (onde as medidas são obtidas através dos pontos médios das classes): Classes 4 – 8 6 2 8 – 12 10 12 – 16 84 18 1 Total 20 a) (0,5 pt) Complete a tabela com os valores que estão faltando (inclusive os totais); b) (0,5 pt) Determine a média destes dados; c) (0,5 pt) Determine a moda; d) (0,5 pt) Determine o desvio-padrão, sabendo que ; e) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria; f) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação. Solução: a) Para completar a tabela, considere que as classes são sempre com a mesma amplitude, logo, completa-se com as classes (16-20), (20-24). Como os xi são os pontos médios das classes, então, completa-se com (8+12)/2=10, (12+16)/2=14, (20+24)/2=22. Ou simplesmente, acrescentar 4 ao xi anterior, dado que a amplitude de classe é 4. Para a freqüência absoluta, devemos observar que, tendo xi e nixi, pode-se obter ni através da divisão: e observando o total, pode-se encontrar a freqüência absoluta faltante. Tendo as colunas xi e ni podem-se completar as duas últimas facilmente através de produtos de colunas. Assim, obtemos: Classes 4 – 8 6 2 12 72 8 – 12 10 10 100 1.000 12 – 16 14 6 84 1.176 16 – 20 18 1 18 324 20 – 24 22 1 22 484 Total 20 236 3.056 b) Média: c) Moda: a moda é o ponto médio da classe de maior freqüência: Como a maior freqüência é 10 e a classe com esta freqüência é 8 – 12, então a moda é seu ponto médio, ou seja: x * =10. d) Para calcular o desvio padrão, usemos a fórmula da variância Logo: O desvio padrão será: e) O coeficiente de assimetria é dado por f) O coeficiente de variação é dado por 3. (2,5 pontos) Dado o conjunto de dados referente a valores de mercado de ações de uma multinacional (em ordem crescente), determine a mediana, os quartis Q1 e Q3 e obtenha o Box- plot. 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 10 10 11 11 15 15 15 15 17 18 20 20 20 20 20 25 25 25 25 25 25 30 30 30 Solução: Como os dados estão em ordem crescente, basta verificar que temos um conjunto com 45 dados (impar), logo: Para o cálculo de e , consideremos os 23 primeiros e os 23 últimos respectivamente. Logo: e . O intervalo interquartílico é dado por: Para construir o Box-Plot, levemos em consideração o intervalo de . Como o limite inferior (LI) é menor que então na extremidade inferior do Box-plot teremos Como o limite superior (LS) é maior que então na extremidade superior do Box-plot teremos Com isso, não há dados discrepantes e o Box-plot fica assim: 7 10 20 30 4 4. (2,5 pontos) Uma urna contém 4 bolas, das quais duas são brancas (numeradas 1 e 2) e duas são pretas (numeradas 3 e 4). Duas bolas são retiradas desta urna sem reposição e o seus números são verificados. Defina os seguintes eventos:a) (0,5 pt) Construa o espaço amostral deste experimento; b) (0,5 pt) Explicite o evento A; c) (0,5 pt) Explicite o evento B; d) (0,5 pt) Explicite o evento C; e) (0,5 pt) Explicite o evento D. Solução: a) O espaço amostral é o conjunto de todas as possibilidades de retiradas de duas bolas: b) Retirando-se a primeira bola branca, a segunda pode ser preta ou branca. Assim, do espaço amostral, selecionam-se as possibilidades começando por 1 e 2. c) Para considerar a segunda bola branca, deveremos considerar as situações que terminam em 1 e 2. d) Só há dois casos em que a as duas bolas retiradas são brancas: (1,2) e (2,1). Assim: e) De forma análoga, só há duas maneiras de se obterem ambas as bolas pretas: (3,4) e (4,3). Assim: MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 1º Semestre de 2015 Prof. Moisés Lima de Menezes (pode usar calculadora) GABARITO 1. (1,5 ponto) A tabela abaixo apresenta o preço médio da gasolina (em reais por litro) em alguns países (em ordem do mais barato para o mais caro). País Preço País Preço País Preço Venezuela 0,02 Japão 3,23 Alemanha 4,29 Nigéria 1,28 Brasil 3,30 Portugal 4,45 México 1,80 Chile 3,46 França 4,52 EUA 1,87 Espanha 3,77 Itália 4,73 Argentina 2,77 Inglaterra 4,24 Noruega 5,29 Com base nestes números: a) (0,5 pt) Obtenha o preço médio da gasolina nestes 15 países; b) (0,5 pt) Determine o preço mediano da gasolina nos países europeus (os 7 mais caros); c) (0,5 pt) Determine a amplitude total do preço da gasolina nestes 15 países; Solução: a) Para este item, vamos calcular a média destes valores da tabela: b) Como temos 7 preços em ordem crescente, o preço mediano será: Que é o preço de Portugal. c) A amplitude total dos preços é a diferença entre o mais caro e o mais barato: 2. (2,0 pontos) Assuma que Se são dados e de uma amostra de dados de 24 indivíduos cuja moda é igual à 10. Determine: a) (0,5 pt) A média destes dados; b) (0,5 pt) O desvio padrão destes dados; c) (0,5 pt) O coeficiente de variação; d) (0,5 pt) O coeficiente de assimetria. Solução: a) b) O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, logo: c) d) 3. (2,0 pontos) Determine quantos são os anagramas da palavra JULGAMENTO em que: a) (0,5 pt) A expressão GALO aparece; b) (0,5 pt) Começam com a letra A e terminam com a letra U; c) (0,5 pt) Não termine com a letra O. d) (0,5 pt) A expressão JUMENTO não aparece. Solução: A palavra JULGAMENTO possui 10 letras diferentes. Assim, o número total de anagramas desta palavra é 10!. a) Para que apareça a palavra GALO, estas 4 letras devem sempre aparecer juntas e nesta sequencia. Assim, podemos considerar esta palavra como uma única “letra” que ocupa 4 espaços, ou seja, as possibilidades são: _____ __ __ __ __ __ __ GALO 6 5 4 3 2 1 Assim, com a palavra GALO no início, são possíveis anagramas. No entanto esta é apenas uma das 7 configurações possíveis, pois a palavra GALO pode estar em qualquer das 7 posições mostradas acima. Então, número total de anagramas será: b) Para que a palavra comece com a letra A e termine com a letra U, teremos duas posições definidas, restando as outras 8 para se definir. Então teremos 8 letras para permutar, logo: Como as posições das letras A e U estão definidas (primeira e última), então não há mais possibilidade a serem consideradas. c) O número de anagramas que terminam com a letra O será obtido fixando a última letra e variando as demais 9 letras. Logo: Como o número total de anagramas é 10!, então o número de anagramas em que a letra O não está na última posição é: d) Utilizando o mesmo raciocínio do item (a), o número de anagramas em que aparece a expressão JUMENTO é: _________ __ __ __ JUMENTO 3 2 1 Então, o número de anagramas em que não aparece esta expressão é o número total – o número que aparece. Ou seja: 4. (2,5 pontos) Dada a tabela de distribuição de freqüências abaixo, obtenha: Classes Frequência Simples Absoluta (ni) -20 -10 1 -10 0 2 0 10 5 10 20 29 20 30 6 30 40 9 Total 52 a) (1,0 pt) Os quartis , e ; b) (0,5 pt) O intervalo Interquartil; c) (0,5 pt) Os limites que determinam se um dado é ou não discrepante; d) (0,5 pt) O Boxplot. Solução: Para o cálculo dos quartis, vamos completar esta tabela com as freqüências relativas, acumuladas e percentuais: Classes Frequência Simples Freqüências Acumuladas Absoluta (ni) Relativa (%) Absoluta Relativa (%) -20 -10 1 1,92 1 1,92 -10 0 2 3,85 3 5,77 0 10 5 9,62 8 15,37 10 20 29 55,77 37 71,14 20 30 6 11,54 43 82,70 30 40 9 17,30 52 100 Total 52 100 Q1: O primeiro quartil acumula 25% dos dados. De acordo com a coluna das freqüências acumuladas relativas, este percentual é alcançado apenas na classe de 10 a 20, onde são acumulados 71,14%. Fazendo as proporções adequadas chegaremos a: Q2: O segundo quartil também está no mesmo intervalo. Assim: Q3: O terceiro quartil está no intervalo de 20 a 30 pois acumula 82,7%. Assim: b) O Intervalo interquartil é a diferença entre o terceiro e o primeiro quartil. c) Os limites são: d) Podemos observar que os dados do problema vão de -20 a menos de 40. Co os resultados obtidos no item (c), percebemos que os dados não superam o Limite Superior (LS), mas existem dados que estão abaixo de LI. Com isso, podemos dizer que há dados discrepantes e por conta disso, o diagrama Boxplot deve utilizar o LI em sua configuração. Assim, o Boxplot será 40 23,34 16,21 11,72 -5,71 5. (2,0 pontos) Uma moeda e um dado são lançados e as suas faces voltadas para cima são observadas. a) (0,5 pt) Obtenha o espaço amostral deste experimento; b) (1,5 pt) Explicite os seguintes eventos: A: {sai coroa com um número par} B: {sai um múltipo de 3} C: {sai cara com um número maior que 2} Solução: a) Considere C, se a face da moeda for CARA e K se a face da moeda for COROA. Então o espaço amostral será: b) MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 2º Semestre de 2015 Prof. Moisés Lima de Menezes (pode usar calculadora) GABARITO 1. (1,5 ponto) A tabela abaixo representa a variabilidade do preço de determinado produto coletado em diversos estabelecimentos em diversas semanas. Complete a tabela com as informações que estão faltando (inclusive os totais). Preços (R$) Frequência Simples Frequência Acumulada Absoluta Relativa (%) Absoluta Relativa (%) 2,00 |-- ___ 2 _____ _____ _____ ___ |-- ___ 4 _____ _____ _____ ___ |-- ___ _____ _____ _____ _____ ___ |-- ___ 16 _____ _____ _____ ___ |-- ___ 8 25 _____ _____ ___ |-- 3,50 _____ 6,25 _____ _____ Total _____ _____ Solução: Para obter as classes (intervalos), é necessário saber a amplitude de classes, que é obtida pela divisão da amplitude total pelo número de classes. Assim: Como o número de classes é igual à 6, então a amplitude de classes é igual à: Com isso, podemos preencher as classes como segue: Para preencher as freqüências, partimos da freqüência relativa 25% referente à freqüência absoluta 8. Isso significaque a freqüência 8 representa 25% do total. Assim, se multiplicarmos pro 4, obtemos o total. Logo: A freqüência total é Com a freqüência total, podemos obter as freqüências relativas referentes as freqüências absolutas dadas: Notemos que temos uma freqüência relativa abaixo da freqüência 25, mas não temos a absoluta. Porém, podemos ver que tal freqüência é de 6,25. Esta freqüência relativa já foi calculada anteriormente e se refere a freqüência absoluta 2. Agora temos quase todas as freqüências absolutas. Só falta uma, mas a soma das freqüências absolutas que temos é Ou seja, a freqüência que está faltando é ZERO. A mesma será reproduzida para a relativa. Agora que temos as freqüências simples absolutas e relativas, basta fazê-las acumuladas, sempre somando todas anteriores a atual. Assim, a tabela completa será: Preços (R$) Frequência Simples Frequência Acumulada Absoluta Relativa (%) Absoluta Relativa (%) 2,00 |-- 2,25 2 6,25 2 6,25 2,25 |-- 2,50 4 12,5 6 18,75 2,50 |-- 2,75 0 0 6 18,75 2,75 |-- 3,00 16 50 22 68,75 3,00 |-- 3,25 8 25 30 93,75 3,25 |-- 3,50 2 6,25 32 100 Total 32 100 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2. (2,5 pontos) Assuma que Se são dados e de uma amostra de dados de 53 indivíduos cuja moda é igual à 46. Determine: a) (0,5 pt) A média; b) (0,5 pt) A variância; c) (0,5 pt) O desvio padrão; d) (0,5 pt) O coeficiente de variação; e) (0,5 pt) O coeficiente de assimetria. Solução: (a) (b) (c) (d) (e) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 3. (2,5 pontos) Dado o diagrama de ramo e folhas abaixo variando de 1,5 a 9,5, obtenha: 1 5 5 6 7 7 7 2 0 0 2 2 2 8 8 3 1 1 1 1 5 5 5 5 5 4 0 0 4 4 4 8 5 3 3 8 6 2 5 7 8 9 5 a) (0,5 pt) A mediana; b) (0,5 pt) Os quartis e ; c) (0,5 pt) O intervalo Interquartil; d) (0,5 pt) Os limites que determinam se um dado é ou não discrepante; e) (0,5 pt) O Boxplot. Solução: (a) Observe que este conjunto de dados contém 34 observações. Para o cálculo da mediana com n par, procede-se com a média entre as duas observações centrais. Neste caso, e . Assim: (b) Os quartis são obtidos a partir do conhecimento da mediana. Como a mediana obtida foi um valor não amostrado, então os quartis são respectivamente, a mediana da primeira metade dos dados e a mediana da segunda metade dos dados. A primeira metade dos dados vai de 1 até 17 e a segunda metade dos dados vai de 18 até 34. Assim: (c) O intervalo interquartil é a diferença entre o terceiro e o primeiro quartil. (d) Os limites inferior e superior são obtidos por: Podemos observar que no diagrama de ramo e folhas há um valor acima de 7,7. Este valor é considerado discrepante. (e) O Boxplot é obtido a partir dos quartis. Como foi detectado que há valores discrepantes, o Boxplot será composto por: O valor 9,5 é o valor discrepante. Assim, o Boxplot será: ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. (2,0 pontos) Uma moeda e um dado são lançados e as suas faces voltadas para cima são observadas. a) (0,5 pt) Obtenha o espaço amostral deste experimento; b) (1,5 pt) Explicite os seguintes eventos: A: {sai cara com um número par} B: {sai um múltipo de 3} C: {sai cara com um número menor que 4} Solução: (a) Considere C, se a face da moeda for CARA e K se a face da moeda for COROA. Então o espaço amostral será: (b) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 5. (1,5 ponto) Defina: a) (0,5 pt) Experimento Aleatório; b) (0,5 pt) Espaço Amostral; c) (0,5 pt) Evento Aleatório. Solução: (a) Experimento Aleatório é o tipo de experimento que pode ter vários resultados (ou que acusa variabilidade em seus resultados). (b) Espaço Amostral é o conjunto com os possíveis resultados do experimento aleatório. (c) Evento Aleatório é qualquer subconjunto do espaço amostral. MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 1º. Semestre de 2016 Prof. Moisés Lima de Menezes (pode usar calculadora) GABARITO Para as questões 1, 2 e 3, use o enunciado a seguir: Os quatro programas de televisão de maior audiência nos Estados Unidos foram CSI, ER, Everybody Loves Raymond e Friends segundo a Nielsen Media Research, de 11 de janeiro de 2004. Ao ser questionado qual destes programas mais gosta, 50 telespectadores escolhidos aleatoriamente responderam o seguinte: CSI Friends CSI CSI CSI CSI CSI Raymond ER ER Friends CSI ER Friends CSI Raymond ER ER CSI CSI Friends ER ER ER Friends Raymond CSI Friends Friends CSI Raymond Friends Friends Raymond Friends CSI Raymond Friends CSI ER Raymond Friends ER Friends CSI CSI ER CSI Friends ER 1) (0,5 pt) Qual o tipo de variável está em questão? Solução: Como as respostas dadas não são numéricas, então trata-se de uma VARIÁVEL QUALITATIVA. 2) (0,5 pt) Forneça uma distribuição de freqüências (absolutas e relativas %); Solução: Basta contar o número de resposta para cada uma dos 4 programas para obter as freqüências absolutas e dividir cada freqüência absoluta pelo total de respostas e multiplicar por 100 para obter as freqüências relativas. Assim, teremos: Programa Freq. Absoluta Freq. Relativa % CSI 17 34 ER 12 24 Friends 14 28 Raymond 7 14 Total 50 100 3) (0,5 pt) Construa um gráfico de colunas para estes dados. Solução: Cada coluna do gráfico tem como base o valor da variável e como altura, a freqüência absoluta. Assim, o gráfico será: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências de tempo (em dias) de conclusão de auditorias. Use os dados desta tabela para resolver as questões 4, 5 e 6. Tempo de conclusão (dias) Freqüências absolutas (ni) 10 15 4 15 20 8 20 25 5 25 30 2 30 35 1 Total 20 4) (0,5 pt) Obtenha o tempo médio de conclusão de auditorias; Solução: Para obter a média, precisamos do ponto médio das classes e de uma coluna com o produto entre estes pontos médios e as freqüências absolutas. Tempo de conclusão (dias) Ponto médio (xi) Freqüências absolutas (ni) nixi 10 15 12,5 4 50,0 15 20 17,5 8 140,0 20 25 22,5 5 112,5 25 30 27,5 2 55,0 30 35 32,5 1 32,5 Total 20 390,0 A média é: �̅� = ∑ 𝒏𝒊𝒙𝒊 𝒏 = 𝟑𝟗𝟎 𝟐𝟎 = 𝟏𝟗, 𝟓. 5) (0,5 pt) Obtenha o tempo modal de conclusão de auditorias; Solução: A moda é o ponto médio da classe de maior freqüência: 𝑿∗ = 𝟏𝟕, 𝟓. Pois é o ponto médio da segunda classe, que tem a maior freqüência, 8. 6) (1,0 pt) Obtenha o tempo mediano de conclusão de auditorias; Solução: A mediana se encontra na classe de 15 a 20, a mesma da moda, pois é lá que estão acumulados os 50% dos dados. Observamos que lá estão 60% dos dados, 10% a mais,conforme a tabela abaixo. Assim podemos fazer as proporções de acordo com a figura logo em seguida: Tempo de conclusão (dias) Freqüências Absolutas (ni) Freq. Relativas % Freq. Acum Relativa % 10 15 4 20 20 15 20 8 40 60 20 25 5 25 85 25 30 2 10 95 30 35 1 5 100 Total 20 100 𝑄2 − 15 30 = 20 − 15 40 ⟹ 𝑄2 − 15 30 = 5 40 ⟹ 40(𝑄2 − 15) = 5 × 30 40𝑄2 − 40 × 15 = 150 ⟹ 40𝑄2− 600 = 150 ⟹ 40𝑄2 = 750 𝑄2 = 750 40 = 𝟏𝟖, 𝟕𝟓. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Para as questões 7 e 8, use as informações do enunciado a seguir: Considere o lançamento de dois tetraedros (figura espacial com 4 faces - figura 1) regulares com as faces numeradas de 1 a 4 e verificar as faces que ficam na base. Figura 1: Tetraedro 7) (0,5 pt) Qual o espaço amostral deste experimento? http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:120px-Tetrahedron-slowturn.gif Solução: O espaço amostral será todas as combinações possíveis dos conjuntos: {1,2,3,4} e {1,2,3,4}. Ou seja, 𝛀 = { (𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒) (𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒) (𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒) (𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒) } 8) (1,5 pt) Sejam os eventos A={a soma das faces na base é par} e B={a soma das faces na base maior que 5}. Determine A, B e 𝐴 ∩ 𝐵. Solução: O conjunto A será os destacados em cinza: 𝛀 = { (𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒) (𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒) (𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒) (𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒) } Logo: 𝑨 = {(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟑); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟑); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟒)} O conjunto B será os destacado em cinza: 𝛀 = { (𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒) (𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒) (𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒) (𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒) } Logo: 𝑩 = {(𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)} 𝐴 ∩ 𝐵 é o conjunto dos elementos simultâneos a A e B. Logo: 𝑨 ∩ 𝑩 = {(𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟑); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟒)} ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Assuma que �̅� = ∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑛 𝑒 𝜎2 = ∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖 2 − 𝑛�̅�2 𝑛 Se são dados ∑ 𝒏𝒊𝒙𝒊 = 𝟏. 𝟖𝟎𝟐 e ∑ 𝒏𝒊𝒙𝒊 𝟐 = 𝟏𝟎𝟒. 𝟎𝟐𝟖 de uma amostra de dados de 53 indivíduos cuja moda é igual à 46, então resolva as questões de 9 a 13. 9) (0,5 pt) A média; 10) (0,5 pt) A variância; 11) (0,5 pt) O desvio padrão; 12) (0,5 pt) O coeficiente de variação; 13) (0,5 pt) O coeficiente de assimetria. Solução: (9) �̅� = 1.802 53 = 34. (10) 𝜎2 = 104.028 − (53 × 342) 53 = 104.028 − (53 × 1.156) 53 = 104.028 − 61.268 53 = 42.760 53 = 806,79. (11) 𝜎 = √806,79 = 28,4. (12) 𝐶𝑉 = 𝜎 �̅� = 28,4 34 = 0,84. (13) 𝑒 = �̅� − 𝑥∗ 𝜎 = 34 − 46 28,4 = − 12 28,4 = −0,42. Com o diagrama de ramo e folhas referente a preços de ações (de $0,50 a $4,00), resolva as questões de 14 a 16. 0 50 60 70 1 00 10 10 90 2 10 10 20 20 20 20 3 00 00 60 4 00 00 14) (0,75 pt) O preço médio das ações; 15) (0,75 pt) O preço mediano das ações; 16) (0,5 pt) O preço modal das ações; Solução: 14) �̅� = (0,5 + 0,6 + 0,7 + 1,0 + (2 × 1,1) + 1,9 + (2 × 2,1) + (4 × 2,2) + (2 × 3) + 3,6 + (2 × 4)) 18 = 2,08. 15) Como há 18 observações, n é par. Assim: 𝑄2 = 𝑥9 + 𝑥10 2 = 2,1 + 2,2 2 = 2,15. 16) A moda é o valor de maior frequência, ou seja: 2,20. MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 2º Semestre de 2016 Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) (Pode usar calculadora) Gabarito Para as questões 1 e 2, utilize o gráfico abaixo que se refere ao percentual de vendas (em relação ao total de veículos vendidos) das marcas de veículos durante o mês de dezembro de 2015 em um determinado município. Assumindo a população: “Veículos Vendidos no mês de Dezembro deste Município” e assumindo que o tamanho da população seja 400, pede-se: 1) (1,0 pt) Qual o percentual de vendas das demais marcas que não estão nesta tabela? 2) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de frequências simples (absoluta e relativa). Para as questões de 3 a 7, use a tabela a seguir que mostra a idade dos carros dos professores (em anos) em um estacionamento de uma Faculdade: Classes (idade) Freqüência Simples Ponto Médio Freqüência Acumulada [0; 3) 30 1,5 30 [3; 6) 47 4,5 77 [6; 9) 36 7,5 113 [9; 12) 30 10,5 143 [12; 15) 8 13,5 151 [15; 18) 0 16,5 151 [18; 21) 0 19,5 151 [21; 24) 1 22,5 152 ¨Total 152 3) (0,5 pt) Determine a idade média e a idade modal dos carros dos professores desta faculdade. 4) (1,0 pt) Sabendo que ∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖 2 = 8.316, determine o desvio padrão da idade dos carros. 5) (0,5 pt) Suponha que as idades de 5 carros sorteados aleatoriamente sejam: 2, 5, 15, 18 e 23 anos. Quais seriam os escores padronizados destas 5 idades? 6) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação. 7) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria. Existe assimetria? Se sim, de que tipo? Para as questões de 8 a 11, utilize o seguinte contexto: As placas de veículos de um determinado país são formadas por 4 letras (incluindo K, W e Y) e 2 números (de 0 a 9) podendo haver repetição de modo a placa (KKKK-00) é possível. Determine quantas são as placas de veículos neste país tais que: 8) (0,5 pt) os dois números são iguais? 9) (0,5 pt) iniciam com a letra A? 10) (0,5 pt) terminam com número par? 11) (0,5 pt) as letras e os números são diferentes? Para as questões de 12 a 15, considere o lançamento de dois dados e defina os seguintes eventos: A: soma das faces igual à 7. B: pelo menos uma das faces igual à 6. C: as duas faces iguais. Determine: 12) (0,5 pt) 𝐴 ∩ 𝐵; 13) (0,5 pt) 𝐵 ∩ 𝐶; 14) (0,5 pt) 𝐴 − 𝐶; 15) (0,5 pt) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶). 16) (0,5 pt) O que é um histograma? 17) (0,5 pt) O que é uma variável quantitativa? ________ Fórmula: 𝜎2 = 1 𝑛 (∑𝑛𝑖𝑥𝑖 2 − 𝑛�̅�2) Solução: 1) Chamemos de “outras” as marcas que não aparecem no gráfico. Se somarmos os percentuais das marcas presentes teremos: 6,25 + 11,25 + 15,00 + 5,00 + 13,75 + 15,00 + 7,50 + 11,25 + 6,25 = 91,25 Então, restam 8,75% para as outras marcas. 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎: 8,75%. ---------------------------------------------------------------------- 2) Para a construção da tabela de distribuição de frequência simples relativa, basta usar os dados do enunciado e do item a). Para as frequências simples absolutas, usemos regras de três simples: Assim, para a marca GM, por exemplo: 6,25 100 = 𝑥 400 ⟹ 6,25 = 100𝑥 400 ⟹ 6,25 = 𝑥 4 ⟹ 𝑥 = 6,25 × 4 ⇒ 𝑥 = 25 Assim, para determinar as respectivas frequências simples absolutas, basta multiplicar as frequências relativas por 4. Logo, obtemos: Marca do Veículo Frequência Simples Absoluta Relativa (%) GM 25 6.25 Ford 45 11.25 VW 60 15.00 Toyota 20 5.00 Renault 55 13.75 Fiat 60 15.00 BMW 30 7.50 Peugeot 45 11.25 Honda 25 6.25 Outras 35 8.75 Total 400 100.00 3) MODA: Para determinar a moda, observe a classe que tem a maior freqüência absoluta. No caso, é a classe [3; 6), cuja freqüência absoluta é: 47. A moda é o ponto médio desta classe, que é 4,5. Logo: 𝒙∗ = 𝟒, 𝟓 MÉDIA: Para o cálculo da média precisamos dos valore s de 𝑛𝑖 e 𝑥𝑖. No caso, 𝑛𝑖 são as freqüências absolutas e 𝑥𝑖 são os pontos médios das classes. Assim, podemos formar a tabela complementar: Classes (idade) Freqüência Simples (𝑛𝑖) Ponto Médio (𝑥𝑖) 𝑛𝑖𝑥𝑖 [0; 3) 30 1,5 45,0 [3; 6) 47 4,5 211,5 [6; 9) 36 7,5 270,0 [9; 12) 30 10,5 315,0 [12; 15) 8 13,5 108,0 [15; 18) 0 16,5 0,0 [18; 21) 0 19,5 0,0 [21; 24) 1 22,5 22,5 ¨Total 152 972,0 Assim, a média será calculada através da fórmula: �̅� = ∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑛 = 972 152 = 6,4 anos. Logo: �̅� = 𝟔, 𝟒 ------------------------------------------------------ 4) Para o cálculo do desvio padrão, usemos a fórmula 𝜎 = √ 1 𝑛 (∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖2 − 𝑛�̅�2). Assim: 𝜎 = √ 1 𝑛 (∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖 2 − 𝑛�̅�2) = √ 1 152 (8.316 − 152 × (6,4)2) = √ 1 152 (8.316 − 152 × 40,96) =√ 8.316 152 − 40,96 = √54,71 − 40,96=√13,75 = 3,7. Logo: 𝝈 = 𝟑, 𝟕 ----------------------------------------------------- 5) Os escores padronizados são obtidos subtraindo-se a média e dividindo o desvio padrão. Ou seja. 𝑒𝑖 = 𝑥𝑖 − �̅� 𝜎 Para o nosso conjunto de valores amostrais: 2, 5, 15, 18 e 23, teremos: 𝑒1 = 2−6,4 3,7 = −4,4 3,7 = −1,19. 𝑒2 = 5−6,4 3,7 = −1,4 3,7 = −0,38. 𝑒3 = 15−6,4 3,7 = 8,6 3,7 = 2,32. 𝑒4 = 18−6,4 3,7 = 11,6 3,7 = 3,13. 𝑒5 = 23−6,4 3,7 = 16,6 3,7 = 4,48. Assim, a seqüência de escores padronizados será: -1,19 -0,38 2,32 3,13 4,48 -------------------------------------------------- 6) O coeficiente de variação é dado pela fórmula: 𝐶𝑉 = 𝜎 �̅� = 3,7 6,4 = 0,58 Logo: CV=0,58. -------------------------------------------------- 7) O Coeficiente de assimetria de Pearson é dado pela fórmula: 𝑒 = �̅� − 𝑥∗ 𝜎 = 6,4 − 4,5 3,7 = 1,9 3,7 = 0,51. A distribuição é assimétrica à DIREITA. 𝒆 = 𝟎, 𝟓𝟏 ------------------------------------------------------------------- 8) Para que os dois números sejam iguais, é necessário que o segundo número seja igual ao primeiro, independente da escolha deste. Como não há restrições para as letras, todas estão valendo. Assim, teremos: ___ ___ ___ ___ - ___ ___ 26 26 26 26 10 1 Logo: 26 × 26 × 26 × 26 × 10 × 1 = 264 × 10 = 𝟒. 𝟓𝟔𝟗. 𝟕𝟔𝟎 ----------------------------------------------------- 9) Para iniciar com a letra A, a única restrição está na primeira letra, que tem que ser exatamente a letra A. Então teremos apenas 1 possível letra na primeira posição e as demais livres. ___ ___ ___ ___ - ___ ___ 1 26 26 26 10 10 Logo: 1 × 26 × 26 × 26 × 10 × 10 = 263 × 102 = 𝟏. 𝟕𝟓𝟕. 𝟔𝟎𝟎 10) Para terminar com um número par, o último algarismo só pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8 e os demais são livres. Assim, só há 5 possibilidades para o último algarismo da placa. ___ ___ ___ ___ - ___ ___ 26 26 26 26 10 5 Logo: 26 × 26 × 26 × 26 × 10 × 5 = 264 × 50 = 𝟐𝟐. 𝟖𝟒𝟖. 𝟖𝟎𝟎 11) Para que as letras e os números sejam diferentes, nem as letras e nem os números podem se repetir, então, se uma letra já saiu, a próxima não pode ter esta letra, então a quantidade de letras possíveis será uma unidade menor. O mesmo vale para os números. Assim: ___ ___ ___ ___ - ___ ___ 26 25 24 23 10 9 Logo: 26 × 25 × 24 × 23 × 10 × 9 = 𝟑𝟐. 𝟐𝟗𝟐. 𝟎𝟎𝟎 -------------------------------------------------------- 12) Inicialmente, vamos visualizar os eventos A, B e C. 𝐴 = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} 𝐵 = {(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (5,6), (4,6), (3,6), (2,6), (1,6)} 𝐶 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} 𝐴 ∩ 𝐵 é o conjunto (ou evento) dos elementos comuns a A e a B. Assim, 𝑨 ∩ 𝑩 = {(𝟏, 𝟔), (𝟔, 𝟏)} ------------------------------------------------------------------------- 13) 𝐵 ∩ 𝐶 é o conjunto (ou evento) dos elementos comuns a B e a C. Assim, 𝑩 ∩ 𝑪 = {(𝟔, 𝟔)} ----------------------------------------------- 14) A-C é o conjunto dos elementos que estão em A, mas não estão em C. Assim, 𝑨 − 𝑪 = {(𝟏, 𝟔), (𝟐, 𝟓), (𝟑, 𝟒), (𝟒, 𝟑), (𝟓, 𝟐), (𝟔, 𝟏)} = 𝑨 ------------------------------------------------------------ 15) Para este item, façamos por partes: inicialmente , 𝐴 ∪ 𝐵 = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (5,6), (4,6), (3,6), (2,6)} 𝐵 ∩ 𝐶 = {(6,6)} obtido no item b). Agora, (𝑨 ∪ 𝑩) ∩ (𝑩 ∩ 𝑪) = {(𝟔, 𝟔)}. 16) Histograma é a representação gráfica da distribuição de frequências para dados agrupados. 17) Variável quantitativa é aquela variável que assume valores numéricos. MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 1º Semestre de 2017 Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) (pode usar calculadora) GABARITO Com os dados a seguir referente ao percentual de lucro obtido com uma dada ação no período de 30 dias (em ordem crescente), resolva os problemas de 1 a 4. 1) (0,5 pt) Obtenha o diagrama de ramo-e-folhas; 2) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de frequências simples (Absoluta e Relativa); 3) (0,5 pt) Obtenha a moda; 4) (0,5 pt) Obtenha a mediana. Solução: 1) Com as unidades no ramo e as dezenas nas folhas, obtemos: 0 2 2 2 5 5 5 5 8 8 1 0 0 0 0 5 5 5 5 5 8 8 8 2 0 0 0 2 2 2 2 3 3 2) Para a freqüência absoluta, faz-se a contagem e para a freqüência relativa, divide-se as freqüências absolutas pelo total. Lucro Freq. Abs. Freq. Relat. 2 3 0,10 5 4 0,13 8 2 0,07 10 4 0,13 15 5 0,17 18 3 0,10 20 3 0,10 22 4 0,13 23 2 0,07 Total 30 1 3) A moda é o valor de maior freqüência. Na ocasião, o valor 15 detém a maior freqüência. Logo: 2 2 2 5 5 5 5 8 8 10 10 10 10 15 15 15 15 15 18 18 18 20 20 20 22 22 22 22 23 23 ∗ = . 4) A mediana é a média dos valores centrais, uma vez que “n” é par. Assim: = + 2 = 15 + 15 2 = . ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Sabendo que = ∑ ( ) , que = ∗ e que a seguinte amostra (2; 4; 4; 2; 6; 5; 5; 4; 3; 4) foi coletada, resolva as questões de 5 a 10. 5) (0,5 pt) Determine a média destes dados; 6) (0,5 pt) Determine a moda destes dados; 7) (1,0 pt) Determine a variância destes dados; 8) (0,5 pt) Determine o desvio padrão destes dados; 9) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação destes dados; 10) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria destes dados. Solução: 5) = 2 + 4 + 4 + 2 + 6 + 5 + 5 + 4 + 3 + 4 10 = 39 10 = , . 6) A moda é o valor de maior freqüência: ∗ = . 7) A variância será: = ∑ ( − ) = 2 × (2 − 3,9) + (3 − 3,9) + 4 × (4 − 3,9) + 2 × (5 − 3,9) + (6 − 3,9) 10 = (2 × 3,61) + 0,81 + (4 × 0,01) + (2 × 1,21) + 4,41 10 = 7,22 + 0,81 + 0,04 + 2,42 + 4,41 10 = 14,9 10 = , . 8) O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. = 1,49 = , . 9) O coeficiente de variação. = × 100% = 1,22 3,9 × 100% = 0,3128 × 100% = , %. 10) O coeficiente de assimetria. = − ∗ = 3,9 − 4 1,22 = − , . ------------------------------------------------------------------------------------------------ Considere o seguinte experimento: “Lançar um dado honesto de seis faces numeradas de 1 a 6 uma única vez e verificar a face voltada para cima ao cair” e considere os seguintes eventos: A: A face voltada para cima é um número par; B: A face voltada para cima é um número maior que 3; C: A face voltada para cima é igual à 6; D: A face voltada para cima é um número ímpar; E: A face voltada para cima é um número menor que 3 Com estas informações, responda as questões de 11 a 15. 11) (0,5 pt) Este experimento é determinístico ou aleatório? Justifique! 12) (0,5 pt) Qual o espaço amostral deste experimento? 13) (0,5 pt) Qual(is) é (são) o(s) par(es) de eventos mutuamente exclusivos? 14) (0,5 pt) Qual(is) é (são) o(s) par(es) de eventos complementares? 15) (0,5 pt) Obtenha o evento ( ∪ ( ∩ )). Solução: 11) Este é um experimento aleatório visto que pode ter vários resultados. 12) O espaço amostral. = { , , , , , } 13) São mutuamente exclusivos, ou seja, cuja interseção é vazia: (A e D), (B e E), (C e D) e (C e E) 14) Para ser complementar, além de ser mutuamente exclusivo, a união tem que ser igual ao espaço amostral. Neste caso, apenas o par (A e D) obedece este critério. 15) Este evento será: ( ∪ ( ∩ )) = {6} ∪ ({1,3,5} ∩ {1,2}) = {6} ∪ {1} = { , } ------------------------------------------------------------------------------------------------- 16) (1,0 pt) Quantos são os anagramas da palavra “PERNAMBUCO” em que a expressão “BOCA” aparece? Solução: A palavra“PERNAMBUCO” tem 10 letras diferentes. A expressão “BOCA” são 4 destas 10 letras. Para que esta expressão apareça, estas 4 letras não podem permutar entre si. Então, podemos considerá-la como uma grande letra de 4 leras. Desta forma, basta permutar as 6 letras restantes com esta “letra”. Assim, teremos 7 letras a serem permutadas. = 7! = . . -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 17) (0,5 pt) Quantos são os anagramas da palavra “JUSTIÇA” que terminam com a letra “A”? Solução: A palavra “JUSTIÇA” tem 7 letras diferentes. Para terminar com a letra “A”, uma posição já está definida, restando apenas definir as demais 6 posições. Assim: = 6! = . MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL (AP1) 2º. Semestre de 2017 Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) (Pode usar calculadora) Gabarito Com os dados do diagrama de ramo-e-folhas abaixo, que vão de 1,12 a 5,56 resolva os problemas de 1 a 10. 1 12 12 12 12 12 12 2 77 77 77 77 77 77 77 3 10 10 10 10 4 00 5 15 15 56 56 56 56 56 1) (0,5 pt) Qual é a amplitude total dos dados? 2) (0,5 pt) Qual é o tamanho desta amostra? 3) (0,5 pt) Qual é a moda desta amostra? 4) (0,5 pt) Qual é a média destes dados? 5) (0,5 pt) Obtenha a mediana; 6) (1,0 pt) Obtenha a variância; 7) (0,5 pt) Obtenha o desvio padrão; 8) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação; 9) (0,5 pt) Obtenha o coeficiente de assimetria; 10) (1,0 pt) Obtenha os quartis 𝑄1 e 𝑄3. Para resolver os problemas de 11 a 14, utilize o seguinte contexto: Um dado honesto de 6 faces e uma moeda honesta são lançados simultaneamente e suas faces voltadas para cima são observadas. Defina os seguintes eventos: 𝑨 = "𝑨 𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒐 𝒅𝒂𝒅𝒐 é 𝒑𝒂𝒓" 𝑩 = "𝑨 𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒂 𝒎𝒐𝒆𝒅𝒂 é 𝒄𝒂𝒓𝒂" 𝑪 = "𝑨 𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒐 𝒅𝒂𝒅𝒐 é 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝟑 𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒂 𝒎𝒐𝒆𝒅𝒂 é 𝒄𝒐𝒓𝒐𝒂" 11) (0,5 pt) Construa o espaço amostral Ω deste experimento; 12) (0,5 pt) Explicite o evento A; 13) (0,5 pt) Explicite o evento B; 14) (0,5 pt) Explicite o evento C; 15) (0,5 pt) Defina Experimento Aleatório; 16) (0,5 pt) Defina Espaço amostral; 17) (0,5 pt) Defina Evento Aleatório; 18) (0,5 pt) Defina Eventos Mutuamente Exclusivos. Solução: 1) A amplitude total é igual a diferença entre o maior e o menor valor: Δ = 𝑥max − 𝑥min = 5,56 − 1,12 = 𝟒, 𝟒𝟒 2) O tamanho da amostra é igual à: 𝑛 = 𝟐𝟓 3) A moda é o valor de maior frequência: 𝑥∗ = 𝟐, 𝟕𝟕 4) Para o cálculo da média, vamos fazer uma tabela de distribuição de frequências: 𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖 1,12 6 6,72 2,77 7 19,39 3,10 4 12,40 4,00 1 4,00 5,15 2 10,30 5,56 5 27,80 Total 25 80,61 𝑋 = ∑𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑛 = 80,61 25 = 𝟑, 𝟐𝟐 5) Como n é ímpar, então: 𝑄2 = 𝑥(𝑛+1 2 ) = 𝑥13 = 𝟐, 𝟕𝟕 6) Para o cálculo da variância, vamos completar a tabela de distribuição de frequências: 𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖 2 1,12 6 6,72 7,53 2,77 7 19,39 53,71 3,10 4 12,40 38,44 4,00 1 4,00 16,00 5,15 2 10,30 53,05 5,56 5 27,80 154,57 Total 25 80,61 323,29 𝜎2 = ∑𝑛𝑖𝑥𝑖 2 − 𝑛𝑋 2 𝑛 = 323,29 − 25 × (3,22)2 25 = 323,29 − 259,21 25 = 64,08 25 = 𝟐, 𝟓𝟔𝟑 7) O desvio padrão é a raiz quadrada da variância: 𝜎 = √2,563 = 𝟏, 𝟔. 8) O coeficiente de variação: 𝐶𝑉 = 𝜎 𝑋 = 1,6 3,22 = 𝟎, 𝟒𝟗𝟔𝟗 9) Coeficiente de assimetria: 𝑒 = 𝑋 − 𝑥∗ 𝜎 = 3,22 − 2,77 1,6 = 0,45 1,6 = 𝟎, 𝟐𝟖𝟏𝟐𝟓 10) Como a mediana é um valor observado, ou seja, 𝑥13, então os valores de 𝑄1 e 𝑄3 são obtidos incluindo o valor da mediana. Desta forma, o valor de 𝑄1 será a mediana entre 𝑥1 e 𝑥13 e o valor de 𝑄2 obtido como a mediana entre 𝑥13 e 𝑥25. 𝑄1 = 𝑥7 = 𝟐, 𝟕𝟕 𝑄3 = 𝑥19 = 𝟓, 𝟏𝟓 11) Considere os eventos: C: a face da moeda voltada pra cima é “cara”; K: a face da moeda voltada pra cima é “coroa”; O espaço amostral é: 𝛀 = {(𝑪𝟏); (𝑪𝟐); (𝑪𝟑); (𝑪𝟒); (𝑪𝟓); (𝑪𝟔); (𝑲𝟏); (𝑲𝟐); (𝑲𝟑); (𝑲𝟒); (𝑲𝟓); (𝑲𝟔)} 12) 𝑨 = {(𝑪𝟐); (𝑪𝟒); (𝑪𝟔); (𝑲𝟐); (𝑲𝟒); (𝑲𝟔)} 13) 𝑩 = {(𝑪𝟏); (𝑪𝟐); (𝑪𝟑); (𝑪𝟒); (𝑪𝟓); (𝑪𝟔)} 14) 𝑪 = {(𝑲𝟒); (𝑲𝟓); (𝑲𝟔)} 15) Experimento Aleatório: É aquele experimento que, repetido sob mesmas condições, pode produzir resultados diferentes. 16) Espaço Amostral: É o conjunto com todos os possíveis resultados do experimento aleatório. 17) Evento Aleatório: É um subconjunto do espaço amostral. 18) Dois eventos A e B são ditos Mutuamente Exclusivos se não tem elementos em comum, ou seja: 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
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