APs1 Met Estatisticos - 2011 a 2018 2

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL
2º. Semestre de 2011
Prof. Moisés Lima de Menezes
(pode usar calculadora)
Versão Tutor
1. (1,5 ponto) Os quatro programas de televisão de maior audiência nos Estados Unidos
foram CSI, ER, Everybody Loves Raymond e Friends segundo a Nielsen Media
Research, de 11 de janeiro de 2004. Ao ser questionado qual destes programas mais
gosta, 50 telespectadores escolhidos aleatoriamente responderam o seguinte:
CSI Frien
ds
CSI CSI CSI CSI CSI Raymo
nd
ER E
R
Friends CSI ER Friends CSI Raymo
nd
ER ER CSI C
S
I
Friends ER ER ER Frien
ds
Raymo
nd
CSI Friends Frien
ds
C
S
I
Raymo
nd
Frien
ds
Frien
ds
Raymo
nd
Frien
ds
CSI Raymo
nd
Friends CSI E
R
Raymo
nd
Frien
ds
ER Friends CSI CSI ER CSI Frien
ds
E
R
a) Qual o tipo de variável está em questão?
Solução:
Como as respostas dadas não são numéricas, então trata-se de uma
VARIÁVEL QUALITATIVA.
b) Forneça uma distribuição de freqüências (absolutas e relativas %);
Solução:
Basta contar o número de resposta para cada uma dos 4 programas para obter
as freqüências absolutas e dividir cada freqüência absoluta pelo total de
respostas e multiplicar por 100 para obter as freqüências relativas. Assim,
teremos:
Progra
ma
Freq.
Absoluta
Freq. Relativa
%
CSI 17 34
ER 12 24
Friends 14 28
Raymo
nd
7 14
Total 50 100
c) Construa um gráfico de colunas para estes dados.
Solução:
Cada coluna do gráfico tem como base o valor da variável e como altura, a 
freqüência absoluta. Assim, o gráfico será:
2. (4,0 pontos) O diagrama de ramo e folhas a seguir refere-se a dados variando entre 
68 e 141.
6 8 9
7 2 3 3 5 6 6
8 0 1 1 2 3 4 5 6
9 2 2 2 2 4 5 5 6 7 8 8
10 0 0 2 4 6 6 6 7 8
11 2 3 5 5 8 9 9
12 4 6 7 8
13 2 4
14 1
a) (2,0) Apenas com os dados brutos no diagrama de ramo e folhas encontre o
tamanho da amostra, a amplitude total, a moda e a mediana;
Solução:
i) Tamanho da amostra: Para determinar o tamanho da amostra, basta contar 
as folhas. Assim, temos: n=50.
ii) Amplitude total: Para determinar a amplitude total dos dados, basta subtrair
o maior do menor. Assim:
iii) Moda: A moda é o valor de maior freqüência. Ou seja: x*=92. Pois possui a
freqüência 4.
iv) Mediana: Como n é par, então a mediana será dada por:
b) (2,0) Construa uma tabela de distribuição de freqüências (simples absoluta,
simples relativa %, acumulada absoluta, acumulada relativa %) para dados
agrupados em 5 classes.
Solução:
Já sabemos que a amplitude total é 73. Como queremos 5 classes, vamos
encontrar o próximo múltiplo de 5, que é 75. Então dividindo 75 por 5, teremos
a amplitude de cada classe:75/5=15.AS freqüências absolutas serão as
contagens simples, as relativas são a divisão das absolutas pelo total e
multiplicado por 100 e as acumuladas são o somatório das freqüências
absolutas até então. Logo, a distribuição de freqüências será:
Classes
Freqüência simples Freqüência 
acumulada
Absolu
ta
Relativa 
%
Absolu
ta
Relativa %
6
8
83 12 24 12 24
8
3
98 13 26 25 50
9
8
1
1
3
12 24 37 74
1
1
3
1
2
8
9 18 46 92
1 1 4 8 50 100
2
8
4
3
to
ta
l
50 100
3. (2,5 ponto) Com os dados brutos da questão anterior no diagrama de ramo e folhas 
encontre os quartis (Q1, Q2 e Q3) e faça o Box-plot.
Solução:
i) Os quartis:
Já temos o Q2 obtido na questão anterior. Para obtermos o Q1 e o Q3, tomemos a
primeira e a segunda metade dos dados retirando a mediana. Assim, teremos para
calcular o Q1, os dados de x1 a x25 e para o cálculo do Q3, os dados de x26 a x50. Em
ambos os casos, n=25, ou seja, ímpar. Assim,
Q1 = x13 =
83. Q2 =
97,5.
Q3 = x38 = 113.
ii) O Box-Plot
Para a confecção do Box-plot, precisamos do Intervalo interquartílico:
IQ = Q3 – Q1 = 113 - 83 = 30.
Assim, 1,5 IQ = 1,5X30=45.
O Intervalo de dados discrepantes será: (83-45; 113+45)
(38;158)
Assim, o Box-plot será:
4. (2,0 pontos) Considere o lançamento de dois tetraedros (figura espacial com 4 faces -
figura 1) regulares com as faces numeradas de 1 a 4 e verificar as faces que ficam na
base.
Figura 1: Tetraedro
a) (0,5) Qual o espaço amostral deste experimento?
Solução:
O espaço amostral será todas as combinações possíveis dos conjuntos: {1,2,3,4} 
e {1,2,3,4}. Ou seja,
 
b) (1,5) Sejam os eventos A={a soma das faces na base é par} e B={a soma das 
faces na base maior que 5}. Determine A, B, A-B e .
Solução:
O conjunto A será os destacados em cinza:
Logo:
 
O conjunto B será os destacado em cinza:
Logo:
A-B é o conjunto dos elementos de A que não estão em 
B. Logo:
é o conjunto dos elementos simultâneos a A e B.
Logo:
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL
1º. Semestre de 2013
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF)
(Pode usar calculadora)
GABARITO
1. (2,0 pontos) O diretor da fábrica da Printel quer comparar a média salarial da sua fábrica em são 
Paulo a de seu concorrente em Santa Catarina Dos seus 6.012 funcionários, 1.221 recebem
$35,00 por hora, 650 recebem $15,50, 3.098 ganham $23,50 e os demais $17,12. Dos 5.634 
funcionários da outra fabrica, 1.654 ganham $12,75, 815 recebem $17,80 e os outros $20,10.
a) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de frequências simples para cada uma das 
fábricas;
b) (1,0 pt) Calcule as médias salariais das duas fábricas.
Solução:
********* item a) *********
a) Fábrica em São Paulo:
Salário
($)
Frequênc
ia
35,00 1.221
15,50 650
23,50 3.098
17,12 1.043
Total 6.012
Fábrica em Santa Catarina:
Salário
($)
Frequênc
ia
12,75 1.654
17,80 815
20,10 3.165
Total 5.634
********* item b) **********
b) As médias 
salariais:
Média São Paulo:
Média Santa Catarina:
 
 
2. (2,0 pontos) Dado o histograma referente aos salários de 50 executivos, que variam de
$90.000,00 a $2.540.000,00:
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 265 615 1115 1315 1665 2015 2365
Ponto médio dos Salários (x $1.000)
Construa a tabela de distribuição de Frequências (simples (absoluta e relativa)) e 
(acumulada (absoluta e relativa)) a que se refere este histograma.
Solução:
Temos os pontos médios das classes. Como o valor inicial é igual a 90.000, e as classes tem
freqüências do mesmo tamanho da distancia entre os pontos médios, a saber:
então: as classes serão feitas como segue: classe 1: de 90 a , a classe 2, de 440 a
. E assim por diante. As freqüências absolutas simples são observadas no histograma e as
outras seguem dela, sendo as relativas iguais a às absolutas divididas pelo total. Opcionalmente, as
freqüências relativas podem vir em formato percentual, para isso, basta multiplicar a freqüência
relativa por 100%. Logo:
Freqüência 
Simples
Freqüência 
Acumulada
Absol
uta
Relati
va
Absoluta Relati
va
[90; 440) 9 0,18 9 0,18
[440; 790) 11 0,22 2
0
0,40
[790; 1.140) 10 0,20 3
0
0,60
[1.140;
1.490)
8 0,16 3
8
0,76
[1.490;
1.840)
4 0,08 4
2
0,84
[1.840;2.19
0)
3 0,06 4
5
0,90
[2.190;
2.540)
5 0,1 5
0
1
Total 50 1
Fr
eq
ue
nc
ia
 A
bs
ol
ut
a
3. (3,0 pontos) Dada a tabela abaixo:
Classe
s
Freq. Absoluta Pto. Médio das Classes
[1; 7) 5 4
[7; 
13)
1
0
1
0
[13; 
19)
2
0
1
6
[19; 
25)
5 2
2
Total 4
0
a) (0,5 pt) Determine a média destes dados;
b) (0,5 pt) Determine a moda;
c) (1,0 pt) Determine o desvio-padrão, sabendo que ;
d) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria;
e) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação.
Solução:
Para calcular as medidas desejadas, vamos completar a tabela:
Classe
s
Freq. Absoluta Pto. Médio das Classes[1; 7) 5 4 20 80
[7; 
13)
1
0
1
0
10
0
1.00
0
[13; 
19)
2
0
1
6
32
0
5.12
0
[19; 
25)
5 2
2
11
0
2.42
0
Total 4
0
55
0
8.62
0
a) 
Média
:
b)
Moda: é o ponto médio da classe de maior freqüência. Na ocasião: a maior freqüência é 20 e a sua 
classe é [13; 19). Seu ponto médio é 16. Logo:
c) 
Variância
:
O desvio padrão será:
d)
Coeficiente de assimetria:
e) Coeficiente de variação:
4. (2,0 pontos) Considere o conjunto dos investidores da bolsa de valores. Seja A o conjunto dos
investidores de sexo masculino, B o conjunto dos investidores do sexo feminino, C o conjunto
dos que investem a curto prazo, D o conjunto dos que investem a médio prazo e E o conjunto
dos que investem a longo prazo. Explicite os eventos.
a) (0,5 pt)
b) (0,5 pt)
c) (0,5 pt)
d) (0,5 pt)
Solução:
a)
A B
C
D
E
A tabela acima mostra a região equivalente à . Assim, o evento é:
“Conjunto dos investidores do sexo masculino que investem em longo prazo”.
b)
A B
C
D
E
A tabela acima mostra a região equivalente à .
A B
C
D
E
A tabela acima mostra a região equivalente à .
E
D
C
BA
Conseqüentemente, a tabela abaixo mostra a interseção entre estes dois conjuntos. A região circulada é
única que aparece nos dois conjuntos.
Assim:
 é o “conjunto dos investidores do sexo masculino que investem a curto prazo”.
c)
A B
C
D
E
A tabela acima mostra a região equivalente à .
Conseqüentemente, a tabela abaixo mostra a região equivalente à .
A B
C
D
E
Assim, o evento é:
“Conjunto dos investidores que investem a curto prazo e dos investidores do sexo masculino que 
investem a médio prazo”.
d)
A B
C
D
E
“Conjunto dos investidores do sexo masculino que investem a curto prazo e dos investidores do sexo 
feminino que investem a longo prazo”.
5. (1,0 ponto) Quantos são os anagramas da palavra COMBUSTIVEL tal que as letras da
expressão BUS estejam juntas e nesta ordem ou as letras da expressão TIVEL estejam juntas,
mas não necessariamente nesta ordem?
Solução:
No primeiro caso, considere a expressão como uma única letra. Assim:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
C O M B
U
S
T I V E L
Assim, seria como permutar 9 
letras. Logo:
Já no segundo caso, pode-se considerar a expressão como uma única letra, mas precisa fazer a 
permutação delas dentro da expressão.
Assim:
1 2 3 4 5 6 7
C O M B U S TIV
EL
Serão:
Mas como TIVEL não necessariamente na nesta ordem.
1 2 3 4 5
T I V E L
Assim, para cada uma das 5.040 possibilidades, há
Possibilidades
, Logo:
São
Conseqüentement
e Resposta:
A(
xi)
Freq. Abs
(ni)
ni
xi
05 2 1
0
10 2 2
0
11 1 1
1
20 1 2
0
30 1 3
0
B
(xi
)
Freq. Abs.
(ni)
ni
xi
01 2 2
02 1 2
10 4 4
0
22 2 4
4
25 3 7
5
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL
2º. Semestre de 2014
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF)
(Pode usar calculadora)
GABARITO
1. (2,0 pontos) Dado o diagrama de ramo-e-folhas para a evolução do preço de determinado
produto em dois estados diferentes A e B (em valores inteiros):
Estado A Estado B
5 5 0 1 1 2
1 0 0 1 0 0 0 0
0 2 2 2 5 5 5
8 4 4 4 0 3 1 2
1 1 4 0
a) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de freqüências (simples (absoluta e 
relativa) para cada estado A e B.
b) (1,0 pt) Determine o preço médio deste produto nos dois estados.
Solução:
a) Para a construção da tabela, consideramos a contagem simples para as freqüências absolutas e
a razão entre as freqüências absolutas pelos totais para as freqüências relativas. É fácil
perceber que os preços variam de 05 a 41 para o estado A e de 01 a 40 para o estado B. Assim,
obtemos:
Esta
do
A
Freqüência 
Simples
Absol
uta
Relati
va
05 2 15,39
10 2 15,39
11 1 7,69
20 1 7,69
30 1 7,69
34 3 23,07
38 1 7,69
41 2 15,39
Esta
do
B
Freqüência 
Simples
Absol
uta
Relati
va
01 2 13,33
02 1 6,67
10 4 26,66
22 2 13,33
25 3 20,00
31 1 6,67
32 1 6,67
40 1 6,67
b) A média é dada por: , para isso, completemos as tabelas com a coluna .
Logo:
Média 
A:
Média B:
2. (3,0 pontos) Dada a tabela de distribuição de freqüências para dados agrupados (onde as 
medidas são obtidas através dos pontos médios das classes):
Classe
s
 
4 – 8 6 2
8 –
12
1
0
12 –
16
84
1
8
1
Tota
l
2
0
a) (0,5 pt) Complete a tabela com os valores que estão faltando (inclusive os totais);
b) (0,5 pt) Determine a média destes dados;
c) (0,5 pt) Determine a moda;
d) (0,5 pt) Determine o desvio-padrão, sabendo que ;
e) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria;
f) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação.
Solução:
a) Para completar a tabela, considere que as classes são sempre com a mesma amplitude, logo,
completa-se com as classes (16-20), (20-24). Como os xi são os pontos médios das classes,
então, completa-se com (8+12)/2=10, (12+16)/2=14, (20+24)/2=22. Ou simplesmente,
acrescentar 4 ao xi anterior, dado que a amplitude de classe é 4. Para a freqüência absoluta,
devemos observar que, tendo xi e nixi, pode-se obter ni através da divisão: e 
observando o total, pode-se encontrar a freqüência absoluta faltante. Tendo as colunas xi e ni 
podem-se completar as duas últimas facilmente através de produtos de colunas. Assim, obtemos:
Class
es
 
4 – 8 6 2 12 72
8 –
12
1
0
1
0
10
0
1.00
0
12 –
16
1
4
6 84 1.17
6
16 –
20
1
8
1 18 324
20 –
24
2
2
1 22 484
Tota
l
2
0
23
6
3.05
6
b) Média: c) Moda: a moda é o ponto médio da classe de maior freqüência: Como a maior freqüência é 10 e 
a classe com esta freqüência é 8 – 12, então a moda é seu ponto médio, ou seja: x*=10.
30
20
10
7
4
d) Para calcular o desvio padrão, usemos a fórmula da variância 
Logo: O desvio padrão será:
e) O coeficiente de assimetria é dado por
 f) O coeficiente de variação é dado por
3. (2,5 pontos) Dado o conjunto de dados referente a valores de mercado de ações de uma
multinacional (em ordem crescente), determine a mediana, os quartis Q1 e Q3 e obtenha o Box-
plot.
4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8
8 8 8 9 9 9 10 10 11 11 15 15 15 15 17
18 20 20 20 20 20 25 25 25 25 25 25 30 30 30
Solução:
Como os dados estão em ordem crescente, basta verificar que temos um conjunto com 45 dados 
(impar), logo: 
Para o cálculo de e , consideremos os 23 primeiros e os 23 últimos respectivamente. Logo:
e .
O intervalo interquartílico é dado por: 
Para construir o Box-Plot, levemos em consideração o intervalo de . 
Como o limite inferior (LI) é menor que então na extremidade inferior do Box-plot teremos 
Como o limite superior (LS) é maior que então na extremidade superior do Box-plot 
teremos 
Com isso, não há dados discrepantes e o Box-plot fica assim:
4. (2,5 pontos) Uma urna contém 4 bolas, das quais duas são brancas (numeradas 1 e 2) e duas são
pretas (numeradas 3 e 4). Duas bolas são retiradas desta urna sem reposição e o seus números
são verificados. Defina os seguintes eventos: 
a) (0,5 pt) Construa o espaço amostral deste experimento;
b) (0,5 pt) Explicite o evento A;
c) (0,5 pt) Explicite o evento B;
d) (0,5 pt) Explicite o evento C;
e) (0,5 pt) Explicite o evento D.
Solução:
a) O espaço amostral é o conjunto de todas as possibilidadesde retiradas de duas bolas:
b) Retirando-se a primeira bola branca, a segunda pode ser preta ou branca. Assim, do espaço
amostral, selecionam-se as possibilidades começando por 1 e 2.
c) Para considerar a segunda bola branca, deveremos considerar as situações que terminam 
em 1 e 2.
d) Só há dois casos em que a as duas bolas retiradas são brancas: (1,2) e (2,1). Assim:
e) De forma análoga, só há duas maneiras de se obterem ambas as bolas pretas: (3,4) e (4,3). 
Assim: 
País Preç
o
Venezue
la
0,02
Nigéria 1,28
México 1,80
EUA 1,87
País Preç
o
Japão 3,23
Brasil 3,30
Chile 3,46
Espanha 3,77
Inglater 4,24
País Preç
o
Aleman
ha
4,29
Portugal 4,45
França 4,52
Itália 4,73
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I
1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL
1º Semestre de 2015 
Prof. Moisés Lima de Menezes
(pode usar calculadora)
GABARITO
1. (1,5 ponto) A tabela abaixo apresenta o preço médio da gasolina (em reais por litro) 
em alguns países (em ordem do mais barato para o mais caro).
Com base nestes números:
a) (0,5 pt) Obtenha o preço médio da gasolina nestes 15 países;
b) (0,5 pt) Determine o preço mediano da gasolina nos países europeus (os 7 mais caros);
c) (0,5 pt) Determine a amplitude total do preço da gasolina nestes 15 países;
Solução:
a) Para este item, vamos calcular a média destes valores da tabela:
b) Como temos 7 preços em ordem crescente, o preço mediano será:
Que é o preço de Portugal.
c) A amplitude total dos preços é a diferença entre o mais caro e o mais barato:
2. (2,0 pontos) Assuma que
Se são dados e de uma amostra de dados de 24 indivíduos cuja
moda é igual à 10. Determine:
a) (0,5 pt) A média destes dados;
b) (0,5 pt) O desvio padrão destes dados;
c) (0,5 pt) O coeficiente de variação;
d) (0,5 pt) O coeficiente de assimetria.
Solução:
a)
b)
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, logo:
c)
d)
3. (2,0 pontos) Determine quantos são os anagramas da palavra JULGAMENTO em que:
a) (0,5 pt) A expressão GALO aparece;
b) (0,5 pt) Começam com a letra A e terminam com a letra U;
c) (0,5 pt) Não termine com a letra O.
d) (0,5 pt) A expressão JUMENTO não aparece.
Solução:
A palavra JULGAMENTO possui 10 letras diferentes. Assim, o número total de anagramas 
desta palavra é 10!.
a) Para que apareça a palavra GALO, estas 4 letras devem sempre aparecer juntas e nesta 
sequencia. Assim, podemos considerar esta palavra como uma única “letra” que ocupa 
4 espaços, ou seja, as possibilidades são:
GALO 6 5 4 3 2 1
Assim, com a palavra GALO no início, são 
possíveis anagramas.
No entanto esta é apenas uma das 7 configurações possíveis, pois a palavra 
GALO pode estar em qualquer das 7 posições mostradas acima.
Então, número total de anagramas será:
b) Para que a palavra comece com a letra A e termine com a letra U, teremos duas posições 
definidas, restando as outras 8 para se definir. Então teremos 8 letras para permutar, 
logo:
Como as posições das letras A e U estão definidas (primeira e última), então não 
há mais possibilidade a serem consideradas.
c) O número de anagramas que terminam com a letra O será obtido fixando a última letra 
e variando as demais 9 letras. Logo:
Como o número total de anagramas é 10!, então o número de anagramas em que a letra O não 
está na última posição é:
 
 
 
d) Utilizando o mesmo raciocínio do item (a), o número de anagramas em que aparece 
a expressão JUMENTO é:
JUMENTO 3 2 1
Então, o número de anagramas em que não aparece esta expressão é o número total – 
o número que aparece. Ou seja:
 
 
 
4. (2,5 pontos) Dada a tabela de distribuição de freqüências abaixo, obtenha:
Classes
Frequência
Simples
Absoluta (ni)
-
1
0
0
1
0
2
0
3
0
4
0
1
2
5
29
6
9
-20
-10
0
10
2030
Total 52
a) (1,0 pt) Os quartis , e ;
b) (0,5 pt) O intervalo Interquartil;
c) (0,5 pt) Os limites que determinam se um dado é ou não discrepante;
d) (0,5 pt) O Boxplot.
Solução:
Para o cálculo dos quartis, vamos completar esta tabela com as freqüências relativas, acumuladas 
e percentuais:
Classes
Frequência Simples Freqüências 
Acumuladas
Absoluta
(ni)
Relativa
(%)
Absolut
a
Relativa 
(%)
-
1
0
0
1
0
2
0
3
0
4
0
1
2
5
29
6
9
1,92
3,85
9,62
55,77
11,54
17,30
1
3
8
3
7
4
3
5
2
1,9
2
5,7
7
15,
37
71,
14
82,
70
100
-20
-10
0
10
20
30
Total 52 100
Q1:
O primeiro quartil acumula 25% dos dados. De acordo com a coluna das freqüências acumuladas
relativas, este percentual é alcançado apenas na classe de 10 a 20, onde são acumulados 71,14%.
Fazendo as proporções adequadas chegaremos a:
Q2:
O segundo quartil também está no mesmo intervalo. Assim:
Q3:
O terceiro quartil está no intervalo de 20 a 30 pois acumula 82,7%. Assim:
 
 
 
b) O Intervalo interquartil é a diferença entre o terceiro e o primeiro quartil.
c) Os limites são:
d)
Podemos observar que os dados do problema vão de -20 a menos de 40.
Co os resultados obtidos no item (c), percebemos que os dados não superam o Limite Superior
(LS), mas existem dados que estão abaixo de LI. Com isso, podemos dizer que há dados
discrepantes e por conta disso, o diagrama Boxplot deve utilizar o LI em sua configuração.
Assim, o Boxplot será
40
23,34
16,21
11,72
-5,71
5. (2,0 pontos) Uma moeda e um dado são lançados e as suas faces voltadas para cima são 
observadas.
a) (0,5 pt) Obtenha o espaço amostral deste experimento;
b) (1,5 pt) Explicite os seguintes eventos: 
A: {sai coroa com um número par}
B: {sai um múltipo de 3}
C: {sai cara com um número maior que 2}
Solução:
a)
Considere C, se a face da moeda for CARA e K se a face da moeda for COROA. Então o espaço 
amostral será:
b)
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I
1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL
2º Semestre de 2015 
Prof. Moisés Lima de Menezes
(pode usar calculadora)
GABARITO
1. (1,5 ponto) A tabela abaixo representa a variabilidade do preço de determinado produto coletado
em diversos estabelecimentos em diversas semanas. Complete a tabela com as informações que
estão faltando (inclusive os totais).
Preços 
(R$)
Frequência Simples Frequência 
Acumulada
Absolut
a
Relativa
(%)
Absolu
ta
Relativa 
(%)
2,00 |-- 2
 |-- 4
 |-- 
 |-- 16
 |-- 8 25
 |--
3,50
 6,25
Total
Solução:
Para obter as classes (intervalos), é necessário saber a amplitude de classes, que é obtida pela 
divisão da amplitude total pelo número de classes. Assim:
Como o número de classes é igual à 6, então a amplitude de classes é igual 
à: Com isso, podemos preencher as classes como segue:
Para preencher as freqüências, partimos da freqüência relativa 25% referente à freqüência
absoluta 8. Isso significa que a freqüência 8 representa 25% do total. Assim, se multiplicarmos pro
4, obtemos o total. Logo: A freqüência total é
Com a freqüência total, podemos obter as freqüências relativas referentes as freqüências absolutas
dadas:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notemos que temos uma freqüência relativa abaixo da freqüência 25, mas não temos a absoluta.
Porém, podemos ver que tal freqüência é de 6,25. Esta freqüência relativa já foi calculada
anteriormente e se refere a freqüência absoluta 2. Agora temos quase todas as freqüências
absolutas. Só falta uma, mas a soma das freqüências absolutas que temos é
Ou seja, a freqüência que está faltando é ZERO. A mesma será reproduzida para a relativa.
Agora que temos as freqüências simples absolutas e relativas, basta fazê-las acumuladas, sempre
somando todas anteriores a atual.
Assim, a tabela completa será:
PreçosFrequência Simples Frequência
Acumulad
a
(R$) Absoluta
Relativa
(%)
Absolu
ta
Relativa 
(%)
2,
0
0
|--
2,25
2 6,25 2 6,
25
2,
2
5
|--
2,50
4 12,5 6 18,75
2,
5
0
|--
2,75
0 0 6 18,75
2,
7
5
|--
3,00
16 50 22 68,75
3,
0
0
|--
3,25
8 25 30 93,75
3,
2
5
|--
3,50
2 6,25 32 10
0
Total 32 100
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. (2,5 pontos) Assuma que
Se são dados e de uma amostra de dados de 53 indivíduos 
cuja moda é igual à 46. Determine:
a) (0,5 pt) A média;
b) (0,5 pt) A variância;
c) (0,5 pt) O desvio padrão;
d) (0,5 pt) O coeficiente de variação;
e) (0,5 pt) O coeficiente de assimetria.
Solução:
(a)
 
 
 
(b)
 
 
(c)
(d)
(e)
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. (2,5 pontos) Dado o diagrama de ramo e folhas abaixo variando de 1,5 a 9,5, obtenha:
1 5 5 6 7 7 7
2 0 0 2 2 2 8 8
3 1 1 1 1 5 5 5 5 5
4 0 0 4 4 4 8
5 3 3 8
6 2 5
7
8
9 5
a) (0,5 pt) A 
mediana;
b) (0,5 pt) Os quartis
e ;
c) (0,5 pt) O intervalo Interquartil;
d) (0,5 pt) Os limites que determinam se um dado é ou não discrepante;
e) (0,5 pt) O Boxplot.
Solução:
(a) Observe que este conjunto de dados contém 34 observações. Para o cálculo da mediana com n
par, procede-se com a média entre as duas observações centrais. Neste caso, e . Assim:
(b) Os quartis são obtidos a partir do conhecimento da mediana. Como a mediana obtida foi um
valor não amostrado, então os quartis são respectivamente, a mediana da primeira metade dos
dados e a mediana da segunda metade dos dados. A primeira metade dos dados vai de 1 até 17 e a
segunda metade dos dados vai de 18 até 34.
Assim:
(c) O intervalo interquartil é a diferença entre o terceiro e o primeiro quartil.
(d) Os limites inferior e superior são obtidos por:
Podemos observar que no diagrama de ramo e folhas há um valor acima de 7,7. Este valor é 
considerado discrepante.
(e) O Boxplot é obtido a partir dos quartis. Como foi detectado que há valores discrepantes, o
Boxplot será composto por: O valor 9,5 é o
valor
discrepante. Assim, o Boxplot será:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4. (2,0 pontos) Uma moeda e um dado são lançados e as suas faces voltadas para cima são 
observadas.
a) (0,5 pt) Obtenha o espaço amostral deste experimento;
b) (1,5 pt) Explicite os seguintes
eventos: A: {sai cara com um
número par} B: {sai um múltipo
de 3}
C: {sai cara com um número menor que 4}
Solução:
(a)
Considere C, se a face da moeda for CARA e K se a face da moeda for COROA. Então o espaço 
amostral será:
(b)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. (1,5 ponto) Defina:
a) (0,5 pt) Experimento Aleatório;
b) (0,5 pt) Espaço Amostral;
c) (0,5 pt) Evento Aleatório.
Solução:
(a) Experimento Aleatório é o tipo de experimento que pode ter vários resultados (ou que acusa 
variabilidade em seus resultados).
(b) Espaço Amostral é o conjunto com os possíveis resultados do experimento aleatório.
(c) Evento Aleatório é qualquer subconjunto do espaço amostral.
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL
1º. Semestre de 2016 
Prof. Moisés Lima de Menezes
(pode usar calculadora)
GABARITO
Para as questões 1, 2 e 3, use o enunciado a seguir:
Os quatro programas de televisão de maior audiência nos Estados Unidos foram CSI, ER, Everybody
Loves Raymond e Friends segundo a Nielsen Media Research, de 11 de janeiro de 2004. Ao ser
questionado qual destes programas mais gosta, 50 telespectadores escolhidos aleatoriamente
responderam o seguinte:
CSI Frien
ds
CSI CSI CSI CSI CSI Raymo
nd
ER E
R
Friends CSI ER Friends CSI Raymo
nd
ER ER CSI C
SI
Friends ER ER ER Frien
ds
Raymo
nd
CSI Friends Frien
ds
C
SI
Raymo
nd
Frien
ds
Frien
ds
Raymo
nd
Frien
ds
CSI Raymo
nd
Friends CSI E
R
Raymo
nd
Frien
ds
ER Friends CSI CSI ER CSI Frien
ds
E
R
1) (0,5 pt) Qual o tipo de variável está em questão?
Solução:
Como as respostas dadas não são numéricas, então trata-se de uma VARIÁVEL QUALITATIVA.
2) (0,5 pt) Forneça uma distribuição de freqüências (absolutas e relativas %);
Solução:
Basta contar o número de resposta para cada uma dos 4 programas para obter as freqüências
absolutas e dividir cada freqüência absoluta pelo total de respostas e multiplicar por 100 para obter
as freqüências relativas. Assim, teremos:
Progra
ma
Freq.
Absoluta
Freq. Relativa
%
CSI 17 34
ER 12 24
Friends 14 28
Raymo
nd
7 14
Total 50 100
3) (0,5 pt) Construa um gráfico de colunas para estes dados.
Solução:
Cada coluna do gráfico tem como base o valor da variável e como altura, a freqüência absoluta.
Assim, o gráfico será:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências de tempo (em dias) de conclusão de auditorias. 
Use os dados desta tabela para resolver as questões 4, 5 e 6.
Tempo de
conclusão
(dias)
Freqüências
absolutas 
(ni)
10 15 4
15 20 8
20 25 5
25 30 2
30 35 1
Total 2
0
4) (0,5 pt) Obtenha o tempo médio de conclusão de auditorias;
Solução:
Para obter a média, precisamos do ponto médio das classes e de uma coluna com o produto entre 
estes pontos médios e as freqüências absolutas.
Tempo de
conclusão
(dias)
Ponto
médio
(xi)
Freqüências
absolutas 
(ni)
n
i
x
i
10
15
20
25
30
15
20
25
30
35
12,5
17,5
22,5
27,5
32,5
4
8
5
2
1
50,0
140,0
112,5
55,0
32,5
Total 20 390
,0
A média é: �̅� = ∑ 𝒏𝒊𝒙𝒊 = 𝟑𝟗𝟎 = 𝟏𝟗, 𝟓.𝒏 𝟐𝟎
5) (0,5 pt) Obtenha o tempo modal de conclusão de auditorias;
Solução: A moda é o ponto médio da classe de maior freqüência:𝑿∗ = 𝟏𝟕, 𝟓.
Pois é o ponto médio da segunda classe, que tem a maior freqüência, 8.
6) (1,0 pt) Obtenha o tempo mediano de conclusão de auditorias;
Solução:
A mediana se encontra na classe de 15 a 20, a mesma da moda, pois é lá que estão acumulados os
50% dos dados. Observamos que lá estão 60% dos dados, 10% a mais,conforme a tabela abaixo.
Assim podemos fazer as proporções de acordo com a figura logo em seguida:
Tempo de
conclusão
(dias)
Freqüências
Absolutas 
(ni)
Freq.
Relativas
%
Freq. 
Acum
Relativa 
%
10
15
20
25
30
15
20
25
30
35
4
8
5
2
1
20
40
25
10
5
2
0
6
0
8
5
9
5
1
0
0
Total 2
0
100
𝑄2 − 15 20 − 15= 𝑄2 − 15 5⟹ = ⟹ 40(𝑄 − 15) = 5 × 3030 40 30 40 240𝑄2 − 40 × 15 = 150 ⟹ 40𝑄2 − 600 = 150 ⟹ 40𝑄2 = 750
𝑄2 = 750 = 𝟏𝟖, 𝟕𝟓.40
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Para as questões 7 e 8, use as informações do enunciado a seguir:
Considere o lançamento de dois tetraedros (figura espacial com 4 faces - figura 1) regulares com as faces 
numeradas de 1 a 4 e verificar as faces que ficam na base.
Figura 1: Tetraedro
7) (0,5 pt) Qual o espaço amostral deste experimento?
2 𝑖 
𝒊
Solução:
O espaço amostral será todas as combinações possíveis dos conjuntos: {1,2,3,4} e {1,2,3,4}. Ou seja,(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)𝛀 = {(𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒)}(𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒)(𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)
8) (1,5 pt) Sejam os eventos A={a soma das faces na base é par} e B={a soma das faces na base maior 
que 5}. Determine A, B e 𝐴∩ 𝐵.
Solução:
O conjunto A será os destacados em cinza:
Logo:
(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)𝛀 = {(𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒)}(𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒)(𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)𝑨 = {(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟑); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟑); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟒)}
O conjunto B será os destacado em cinza:(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)𝛀 = {(𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒)}(𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒)(𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)
Logo: 𝑩 = {(𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)}
𝐴 ∩ 𝐵 é o conjunto dos elementos simultâneos a A e B. 
Logo: 𝑨 ∩ 𝑩 = {(𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟑); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟒)}
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Assuma que 𝑥̅ = ∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖𝑛 ∑ 𝑛𝑖𝑥2 −𝑛𝑥̅2𝑒 𝜎 = 𝑛
Se são dados ∑ 𝒏𝒊𝒙𝒊 = 𝟏. 𝟖𝟎𝟐 e ∑ 𝒏𝒊𝒙𝟐 = 𝟏𝟎𝟒. 𝟎𝟐𝟖 de uma amostra de dados de 53 indivíduos cuja 
moda é igual à 46, então resolva as questões de 9 a 13.
9) (0,5 pt) A média;
10) (0,5 pt) A variância;
11) (0,5 pt) O desvio padrão;
12) (0,5 pt) O coeficiente de variação;
13) (0,5 pt) O coeficiente de assimetria.
Solução:
(9)
(10)
𝑥̅ = 1.80253 = 34.
𝜎2 = 104.028 − (53 × 342)53 104.028 − (53 × 1.156)= 53 104.028 − 61.268= 53
(11)
42.760= 53 = 806,79.
𝜎 = √806,79 = 28,4.
(12)
(13)
𝐶𝑉 = 𝜎�̅� 28,4= 34 = 0,84.
𝑒 = 𝑥̅ − 𝑥∗𝜎 34 − 46= 28,4 12= − 28,4 = −0,42.
Com o diagrama de ramo e folhas referente a preços de ações (de $0,50 a $4,00), resolva as questões 
de 14 a 16.
0 50 60 70
1 00 10 10 90
2 10 10 20 20 20 20
3 00 00 60
4 00 00
14) (0,75 pt) O preço médio das ações;
15) (0,75 pt) O preço mediano das ações;
16) (0,5 pt) O preço modal das ações;
Solução:
14)
𝑥̅ = (0,5 + 0,6 + 0,7 + 1,0 + (2 × 1,1) + 1,9 + (2 × 2,1) + (4 × 2,2) + (2 × 3) + 3,6 + (2 × 4))18 = 2,08.
15) Como há 18 observações, n é par. Assim:
𝑄2 = 𝑥9 + 𝑥10 =2 2,1 + 2,2 = 2,15.2
16) A moda é o valor de maior frequência, ou seja: 2,20.
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I
1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL
2º Semestre de 2016
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF)
(Pode usar calculadora)
Gabarito
Para as questões 1 e 2, utilize o gráfico abaixo que se refere ao percentual de vendas (em
relação ao total de veículos vendidos) das marcas de veículos durante o mês de dezembro
de 2015 em um determinado município. Assumindo a população: “Veículos Vendidos no
mês de Dezembro deste Município” e assumindo que o tamanho da população seja 400,
pede-se:
1) (1,0 pt) Qual o percentual de vendas das demais marcas que não estão nesta tabela?
2) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de frequências simples (absoluta e relativa).
Para as questões de 3 a 7, use a tabela a seguir que mostra a idade dos carros dos
professores (em anos) em um estacionamento de uma Faculdade:
Classe
s
(idade
)
Freqüênc
ia
Simples
Pont
o
Médi
o
Freqüênci
a
Acumula
da
[0; 3) 30 1,5 30
[3; 6) 47 4,5 77
[6; 9) 36 7,5 113
[9; 
12)
30 10,5 143
[12; 
15)
8 13,5 151
[15; 
18)
0 16,5 151
[18; 
21)
0 19,5 151
[21; 
24)
1 22,5 152
¨Total 152
𝑖
3) (0,5 pt) Determine a idade média e a idade modal dos carros dos professores 
desta faculdade.
4) (1,0 pt) Sabendo que ∑ 𝑛𝑖𝑥2 = 8.316, determine o desvio padrão da idade dos carros.
5) (0,5 pt) Suponha que as idades de 5 carros sorteados aleatoriamente sejam: 2, 5, 15, 18 e 23
anos. Quais seriam os escores padronizados destas 5 idades?
6) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação.
7) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria. Existe assimetria? Se sim, de que tipo?
Para as questões de 8 a 11, utilize o seguinte contexto: As placas de veículos de um
determinado país são formadas por 4 letras (incluindo K, W e Y) e 2 números (de 0 a 9)
podendo haver repetição de modo a placa (KKKK-00) é possível. Determine quantas são
as placas de veículos neste país tais que:
8) (0,5 pt) os dois números são iguais?
9) (0,5 pt) iniciam com a letra A?
10) (0,5 pt) terminam com número par?
11) (0,5 pt) as letras e os números são diferentes?
Para as questões de 12 a 15, considere o lançamento de dois dados e defina os seguintes
eventos:
A: soma das faces igual à 7.
B: pelo menos uma das faces igual à 6.
C: as duas faces iguais.
Determine:
12) (0,5 pt) 𝐴 ∩ 𝐵;
13) (0,5 pt) 𝐵 ∩ 𝐶;
14) (0,5 pt) 𝐴 − 𝐶;
15) (0,5 pt) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶).
16) (0,5 pt) O que é um histograma?
17) (0,5 pt) O que é uma variável quantitativa?
Fórmula: 𝜎 2 = 1 (∑𝑛 𝑥 2 − 𝑛�̅�2)𝑛 𝑖 𝑖
Solução:
1) Chamemos de “outras” as marcas que não aparecem no 
gráfico. Se somarmos os percentuais das marcas presentes 
teremos:6,25 + 11,25 + 15,00 + 5,00 + 13,75 + 15,00 + 7,50 + 11,25 + 6,25 = 91,25
Então, restam 8,75% para as outras marcas.𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎: 8,75%.
----------------------------------------------------------------------
2) Para a construção da tabela de distribuição de frequência simples relativa, basta usar 
os dados do enunciado e do item a).
Para as frequências simples absolutas, usemos regras de três simples: Assim, para a marca
GM, por exemplo: 6,25 = 𝑥 ⟹ 6,25 = 100𝑥 ⟹ 6,25 = 𝑥 ⟹ 𝑥 = 6,25 × 4 ⇒ 𝑥 = 25100 400 400 4
Assim, para determinar as respectivas frequências simples absolutas, basta multiplicar 
as frequências relativas por 4.
Logo, obtemos:
Marca 
do 
Veícul
o
Frequên
cia
Simples
Absolut
a
Relativa
(%)
GM 25 6.
25
Ford 45 11.
25
VW 60 15.
00
Toyota 20 5.
00
Renault 55 13.
75
Fiat 60 15.
00
BMW 30 7.
50
Peugeot 45 11.
25
Honda 25 6.
25
Outras 35 8.
75
Total 400 100.
00
3) MODA: 
Para determinar a moda, observe a classe que tem a maior freqüência absoluta. No caso, é a
classe [3; 6), cuja freqüência absoluta é: 47. A moda é o ponto médio desta classe, que é 4,5.
Logo: 𝒙∗ = 𝟒, 𝟓
MÉDIA:
Para o cálculo da média precisamos dos valore s de 𝑛𝑖 e 𝑥𝑖. No caso, 𝑛𝑖 são as freqüências 
absolutas e 𝑥𝑖 são os pontos médios das classes.
Assim, podemos formar a tabela complementar:
Classe
s
(idade
)
Freqüênci
a
Simples 
(𝑛𝑖)
Ponto
Médio (𝑥𝑖) 𝑛𝑖𝑥𝑖
[0; 
3)
30 1,5 45,0
[3; 
6)
47 4,5 211,
5
[6; 
9)
36 7,5 270,
0
[9; 
12)
30 10,5 315,
0
[12; 
15)
8 13,5 108,
0
[15; 
18)
0 16,5 0,0
[18; 
21)
0 19,5 0,0
[21; 
24)
1 22,5 22,5
¨Total 152 972,
0
Assim, a média será calculada através da fórmula:𝑥̅ = ∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖 = 972 = 6,4 anos.
Logo: 𝑛 152�̅� = 𝟔, 𝟒
------------------------------------------------------
4) Para o cálculo do desvio padrão, usemos a fórmula 𝜎 = √1 (∑ 𝑛 𝑥2 − 𝑛𝑥̅2). Assim:𝑛 𝑖 𝑖𝜎 = √1 (∑ 𝑛 𝑥2 − 𝑛𝑥̅2) = √ 1 1(8.316 − 152 × (6,4)2) = √ (8.316 − 152 × 40,96)𝑛 𝑖 𝑖 152 152
Logo:
=√8.316 − 40,96 = √54,71 − 40,96=√13,75 = 3,7.152 𝝈 = 𝟑, 𝟕
-----------------------------------------------------
5) Os escores padronizados são obtidos subtraindo-se a média e dividindo o desvio padrão. 
Ou seja. 𝑒𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥̅𝜎
Para o nosso conjunto de valores amostrais: 2, 5, 15, 18 e 23, teremos:𝑒 = 2−6,4 = −4,4 = −1,19. 𝑒 = 5−6,4 = −1,4 = −0,38.1 3,7 3,7 2 3,7 3,7𝑒 = 15−6,4 = 8,6 = 2,32. 𝑒 = 18−6,4 = 11,6 = 3,13. 𝑒 = 23−6,4 = 16,6 = 4,48.3 3,7 3,7 4 3,7 3,7 5 3,7 3,7
Assim, a seqüência de escores padronizados será:
 -1,19 -0,38 2,32 3,13 4,48 
--------------------------------------------------
6) O coeficiente de variação é dado pela fórmula:
Logo:
𝐶𝑉 = 𝜎�̅� 3,7= 6,4 = 0,58
CV=0,58.
--------------------------------------------------
7) O Coeficiente de assimetria de Pearson é dado pela fórmula:𝑒 = 𝑥̅ − 𝑥∗𝜎 6,4 − 4,5= =3,7 1,93,7 = 0,51.
A distribuição é assimétrica à 
DIREITA. 𝒆 = 𝟎, 𝟓𝟏
-------------------------------------------------------------------8) Para que os dois números sejam iguais, é necessário que o segundo número seja igual ao primeiro,
independente da escolha deste. Como não há restrições para as letras, todas estão valendo. Assim,
teremos:
 - 
26 26 26 26 10 1
Logo: 26 × 26 × 26 × 26 × 10 × 1 = 264 × 10 = 𝟒. 𝟓𝟔𝟗. 𝟕𝟔𝟎
-----------------------------------------------------
9) Para iniciar com a letra A, a única restrição está na primeira letra, que tem que ser exatamente a letra
A. Então teremos apenas 1 possível letra na primeira posição e as demais livres.
 - 
Logo:
1 26 26 26 10 101 × 26 × 26 × 26 × 10 × 10 = 263 × 102 = 𝟏. 𝟕𝟓𝟕. 𝟔𝟎𝟎
10) Para terminar com um número par, o último algarismo só pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8 e os demais são 
livres. Assim, só há 5 possibilidades para o último algarismo da placa.
 - 
Logo:
26 26 26 26 10 526 × 26 × 26 × 26 × 10 × 5 = 264 × 50 = 𝟐𝟐. 𝟖𝟒𝟖. 𝟖𝟎𝟎
11) Para que as letras e os números sejam diferentes, nem as letras e nem os números podem se repetir,
então, se uma letra já saiu, a próxima não pode ter esta letra, então a quantidade de letras possíveis
será uma unidade menor. O mesmo vale para os números. Assim:
 - 
Logo:
26 25 24 23 10 926 × 25 × 24 × 23 × 10 × 9 = 𝟑𝟐. 𝟐𝟗𝟐. 𝟎𝟎𝟎
--------------------------------------------------------
12) Inicialmente, vamos visualizar os eventos A, B e C.𝐴 = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}𝐵 = {(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (5,6), (4,6), (3,6), (2,6), (1,6)}𝐶 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}𝐴 ∩ 𝐵 é o conjunto (ou evento) dos elementos comuns a A e a B. Assim,𝑨 ∩ 𝑩 = {(𝟏, 𝟔), (𝟔, 𝟏)}
-------------------------------------------------------------------------
13) 𝐵 ∩ 𝐶 é o conjunto (ou evento) dos elementos comuns a B e a C. Assim,𝑩 ∩ 𝑪 = {(𝟔, 𝟔)}
-----------------------------------------------
14) A-C é o conjunto dos elementos que estão em A, mas não estão em C. Assim,𝑨 − 𝑪 = {(𝟏, 𝟔), (𝟐, 𝟓), (𝟑, 𝟒), (𝟒, 𝟑), (𝟓, 𝟐), (𝟔, 𝟏)} = 𝑨
------------------------------------------------------------
15) Para este item, façamos por partes:
inicialmente ,𝐴 ∪ 𝐵= {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (5,6), (4,6), (3,6), (2,6)}𝐵 ∩ 𝐶 = {(6,6)} obtido no item b). 
Agora, (𝑨 ∪ 𝑩) ∩ (𝑩 ∩ 𝑪) = {(𝟔, 𝟔)}.
16) Histograma é a representação gráfica da distribuição de frequências para dados agrupados.
17) Variável quantitativa é aquela variável que assume valores numéricos.
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I
1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL
1º Semestre de 2017
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF)
(pode usar calculadora)
GABARITO
Com os dados a seguir referente ao percentual de lucro obtido com uma dada ação
no período de 30 dias (em ordem crescente), resolva os problemas de 1 a 4.
2 2 2 5 5 5 5 8 8 10 10 10 10 15 15
15 15 15 18 18 18 20 20 20 22 22 22 22 23 23
1) (0,5 pt) Obtenha o diagrama de ramo-e-folhas;
2) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de frequências simples (Absoluta e
Relativa);
3) (0,5 pt) Obtenha a moda;
4) (0,5 pt) Obtenha a mediana.
S olução:
1) Com as unidades no ramo e as dezenas nas folhas, 
obtemos: 0 2 2 2 5 5 55 8
8
1 0 0 0 0 5 5 5 5 5 8 8 8
2 0 0 0 2 2 2 2 3 3
2) Para a freqüência absoluta, faz-se a contagem e para a freqüência 
relativa, divide-se as freqüências absolutas pelo total.
Luc
ro
Freq.
Abs.
Freq.
Relat.
2 3 0,10
5 4 0,13
8 2 0,07
1
0
4 0,13
1
5
5 0,17
1
8
3 0,10
2
0
3 0,10
2
2
4 0,13
2
3
2 0,07
Tota 30 1
l
3) A moda é o valor de maior freqüência. Na ocasião, o valor 15 detém a 
maior freqüência. Logo:
x∗ = 15.
4) A mediana é a média dos valores centrais, uma vez que “n” é par. Assim:Q = x15 + x16 = 15 + 15 = 15.2 2 2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sabendo que o2 = ∑ni(xi– X¯)2, que e = X¯–x ∗ e que a seguinte amostra (2; 4; 4; 2; 6;n o
5; 5; 4; 3; 4) foi coletada, resolva as questões de 5 a 10.
5) (0,5 pt) Determine a média destes dados;
6) (0,5 pt) Determine a moda destes dados;
7) (1,0 pt) Determine a variância destes dados;
8) (0,5 pt) Determine o desvio padrão destes dados;
9) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação destes dados;
10) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria destes dados.
S olução:
5) X¯ = 2 + 4 + 4 + 2 + 6 + 5 + 5 + 4 + 3 + 4 = 39 = 3, 9.10 10
6) A moda é o valor de maior freqüência:x∗ = 4.
7) A variância será:o2 = ∑ni(xi −X¯)2n2 × (2 − 3,9)2 + (3 − 3,9)2 + 4 × (4 − 3,9)2 + 2 × (5 − 3,9)2 + (6 − 3,9)2= 10= (2 × 3,61) + 0,81 + (4 × 0,01) + (2 × 1,21) + 4,4110= 7,22 + 0,81 + 0,04 + 2,42 + 4,41 = 14,9 = 1, 49.10 10
8) O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.o = ƒ1,49 = 1, 22.
9) O coeficiente de variação.oCV = X¯ × 100% = 1,22 × 100% = 0,3128 × 100% = 31, 28%.3,9
10) O coeficiente de assimetria.X¯ − x∗ 3,9 − 4e = o = 1,22 = −0, 082.------------------------------------------------------------------------------------------------
Considere o seguinte experimento: “Lançar um dado honesto de seis faces
numeradas de 1 a 6 uma única vez e verificar a face voltada para cima ao
cair” e considere os seguintes eventos:
A: A face voltada para cima é um número par;
B: A face voltada para cima é um número maior que 3;
C: A face voltada para cima é igual à 6;
D: A face voltada para cima é um número ímpar;
E: A face voltada para cima é um número menor que 3 
Com estas informações, responda as questões de 11 a 15.
11) (0,5 pt) Este experimento é determinístico ou aleatório? Justifique!
12) (0,5 pt) Qual o espaço amostral deste experimento?
13) (0,5 pt) Qual(is) é (são) o(s) par(es) de eventos mutuamente exclusivos?
14) (0,5 pt) Qual(is) é (são) o(s) par(es) de eventos complementares?
15) (0,5 pt) Obtenha o evento (C ∪ (D ∩ E)).
S olução:
11) Este é um experimento a leatório visto que pode ter vários resultados.
12) O espaço amostral. fi = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
13) São mutuamente exclusivos, ou seja, cuja interseção é vazia:
(A e D), (B e E), (C e D) e (C e E)
14) Para ser complementar, além de ser mutuamente exclusivo, a união tem que ser
igual ao espaço amostral. Neste caso, apenas o par (A e D) obedece este
critério.
15) Este evento será:
(C ∪ (D ∩ E)) = {6} ∪ ({1,3,5} ∩ {1,2}) = {6} ∪ {1} = {1, 6}
-------------------------------------------------------------------------------------------------
16) (1,0 pt) Quantos são os anagramas da palavra “PERNAMBUCO” em que a
expressão “BOCA” aparece?
S olução:
A palavra “PERNAMBUCO” tem 10 letras diferentes. A expressão “BOCA” são 4
destas 10 letras. Para que esta expressão apareça, estas 4 letras não podem permutar
entre si. Então, podemos considerá-la como uma grande letra de 4 leras. Desta forma,
basta permutar as 6 letras restantes com esta “letra”. Assim, teremos 7 letras a serem
permutadas. P7 = 7! = 5. 040.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
17) (0,5 pt) Quantos são os anagramas da palavra “JUSTIÇA” que terminam com a 
letra “A”?
S olução:
A palavra “JUSTIÇA” tem 7 letras diferentes. Para terminar com a letra “A”, uma 
posição já está definida, restando apenas definir as demais 6 posições. Assim:P6 = 6! = 720.
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL (AP1)
2º. Semestre de 2017
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF)
(Pode usar calculadora)
Gabarito
Com os dados do diagrama de ramo-e-folhas abaixo, que vão de 1,12 a 5,56 resolva
os problemas de 1 a 10.
1 1
2
1
2
1
21
2
1
2
1
2
2 7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
3 1
0
1
0
1
0
1
0
4 0
0
5 1
5
1
5
5
6
5
6
5
6
5
6
5
6
1) (0,5 pt) Qual é a amplitude total dos dados?
2) (0,5 pt) Qual é o tamanho desta amostra?
3) (0,5 pt) Qual é a moda desta amostra?
4) (0,5 pt) Qual é a média destes dados?
5) (0,5 pt) Obtenha a mediana;
6) (1,0 pt) Obtenha a variância;
7) (0,5 pt) Obtenha o desvio padrão;
8) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação;
9) (0,5 pt) Obtenha o coeficiente de assimetria;
10) (1,0 pt) Obtenha os quartis 𝑄1 e 𝑄3.
Para resolver os problemas de 11 a 14, utilize o seguinte contexto:
Um dado honesto de 6 faces e uma moeda honesta são lançados simultaneamente e 
suas faces voltadas para cima são observadas. Defina os seguintes eventos:𝑨 = "𝑨 𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒐 𝒅𝒂𝒅𝒐 é 𝒑𝒂𝒓"𝑩 = "𝑨 𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒂 𝒎𝒐𝒆𝒅𝒂 é 𝒄𝒂𝒓𝒂"𝑪 = "𝑨 𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒐 𝒅𝒂𝒅𝒐 é 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝟑 𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒂 𝒎𝒐𝒆𝒅𝒂 é 𝒄𝒐𝒓𝒐𝒂"
11) (0,5 pt) Construa o espaço amostral Ω deste experimento;
12) (0,5 pt) Explicite o evento A;
13) (0,5 pt) Explicite o evento B;
14) (0,5 pt) Explicite o evento C;
15) (0,5 pt) Defina Experimento Aleatório;
16) (0,5 pt) Defina Espaço amostral;
17) (0,5 pt) Defina Evento Aleatório;
18) (0,5 pt) Defina Eventos Mutuamente Exclusivos.
Solução:
1)
A amplitude total é igual a diferença entre o maior e o menor valor:Δ = 𝑥max − 𝑥min = 5,56 − 1,12 = 𝟒, 𝟒𝟒
2)
O tamanho da amostra é igual à: 𝑛 = 𝟐𝟓
3)
A moda é o valor de maior frequência: 𝑥∗ = 𝟐, 𝟕𝟕
4)
Para o cálculo da média, vamos fazer uma tabela de distribuição de frequências:𝑥𝑖 �
�𝑖
𝑛𝑖𝑥𝑖
1,1
2
6 6,72
2,7
7
7 19,3
9
3,1
0
4 12,4
0
4,0
0
1 4,00
5,1
5
2 10,3
0
5,5
6
5 27,8
0
Tot
al
2
5
80,6
1
5)
Como n é ímpar, então:
 ∑𝑛𝑖𝑥𝑖𝑋 = 𝑛 80,61= 25 = 𝟑, 𝟐𝟐
𝑄2 = 𝑥 𝑛+1 = 𝑥13 = 𝟐, 𝟕𝟕( 2 )
6)
Para o cálculo da variância, vamos completar a tabela de distribuição de frequências:𝑥𝑖 ��𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑛𝑖𝑥
2𝑖
1,1
2
6 6,72 7,53
2,7
7
7 19,3
9
53,71
3,1
0
4 12,4
0
38,44
4,0
0
1 4,00 16,00
5,1 2 10,3 53,05
5 0
5,5
6
5 27,8
0
154,5
7
To
tal
2
5
80,6
1
323,2
9∑𝑛 𝑥2 − 𝑛𝑋2𝜎2 = 𝑖 𝑖 =𝑛 323,29 − 25 ×(3,22)22564,08
323,29 − 259,21= 25= = 𝟐, 𝟓𝟔𝟑 25
7)
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:𝜎 = √2,563 = 𝟏, 𝟔.
8)
O coeficiente de 
variação:
9)
Coeficiente de assimetria:
𝜎𝐶𝑉 = =𝑋 1,63,22 = 𝟎, 𝟒𝟗𝟔𝟗
10)
𝑒 = 𝑋 − 𝑥∗𝜎 3,22 − 2,77= 1,6 0,45= 1,6 = 𝟎, 𝟐𝟖𝟏𝟐𝟓
Como a mediana é um valor observado, ou seja, 𝑥13, então os valores de 𝑄1 e 𝑄3 são 
obtidos incluindo o valor da mediana. Desta forma, o valor de 𝑄1 será a mediana entre𝑥1 e 𝑥13 e o valor de 𝑄2 obtido como a mediana entre 𝑥13 e 𝑥25.
11)
Considere os eventos:
𝑄1 = 𝑥7 = 𝟐, 𝟕𝟕𝑄3 = 𝑥19 = 𝟓, 𝟏𝟓
C: a face da moeda voltada pra cima é “cara”;
K: a face da moeda voltada pra cima é “coroa”;
O espaço amostral é:𝛀 = {(𝑪𝟏); (𝑪𝟐); (𝑪𝟑); (𝑪𝟒); (𝑪𝟓); (𝑪𝟔); (𝑲𝟏); (𝑲𝟐); (𝑲𝟑); (𝑲𝟒); (𝑲𝟓); (𝑲𝟔)}
12) 𝑨 = {(𝑪𝟐); (𝑪𝟒); (𝑪𝟔); (𝑲𝟐); (𝑲𝟒); (𝑲𝟔)}
13) 𝑩 = {(𝑪𝟏); (𝑪𝟐); (𝑪𝟑); (𝑪𝟒); (𝑪𝟓); (𝑪𝟔)}
14) 𝑪 = {(𝑲𝟒); (𝑲𝟓); (𝑲𝟔)}
15)
Experimento Aleatório: É aquele experimento que, repetido sob mesmas condições, 
pode produzir resultados diferentes.
16)
Espaço Amostral: É o conjunto com todos os possíveis resultados do experimento 
aleatório.
17)
Evento Aleatório: É um subconjunto do espaço amostral.
18)
Dois eventos A e B são ditos Mutuamente Exclusivos se não tem elementos em 
comum, ou seja: 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
	MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL
	a) Qual o tipo de variável está em questão?
	b) Forneça uma distribuição de freqüências (absolutas e relativas %);
	c) Construa um gráfico de colunas para estes dados.
	2. (4,0 pontos) O diagrama de ramo e folhas a seguir refere-se a dados variando entre 68 e 141.
	b) (2,0) Construa uma tabela de distribuição de freqüências (simples absoluta, simples relativa %, acumulada absoluta, acumulada relativa %) para dados agrupados em 5 classes.
	3. (2,5 ponto) Com os dados brutos da questão anterior no diagrama de ramo e folhas encontre os quartis (Q1, Q2 e Q3) e faça o Box-plot.
	Q1 = x13 = 83. Q2 = 97,5.
	IQ = Q3 – Q1 = 113 - 83 = 30.
	(38;158)
	4. (2,0 pontos) Considere o lançamento de dois tetraedros (figura espacial com 4 faces - figura 1) regulares com as faces numeradas de 1 a 4 e verificar as faces que ficam na base.
	b) (1,5) Sejam os eventos A={a soma das faces na base é par} e B={a soma das faces na base maior que 5}. Determine A, B, A-B e .
	MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL
	1. (2,0 pontos) O diretor da fábrica da Printel quer comparar a média salarial da sua fábrica em são Paulo a de seu concorrente em Santa Catarina Dos seus 6.012 funcionários, 1.221 recebem
	2. (2,0 pontos) Dado o histograma referente aos salários de 50 executivos, que variam de
	c) (1,0 pt) Determine o desvio-padrão, sabendo que ;
	4. (2,0 pontos) Considere o conjunto dos investidores da bolsa de valores. Seja A o conjunto dos investidores de sexo masculino, B o conjunto dos investidores do sexo feminino, C o conjunto dos que investem a curto prazo, D o conjunto dos que investem a médio prazo e E o conjunto dos que investem a longo prazo. Explicite os eventos.
	“Conjunto dos investidores do sexo masculino que investem em longo prazo”.
	“Conjunto dos investidores que investem a curto prazo e dos investidores do sexo masculino que investem a médio prazo”.
	“Conjunto dos investidores do sexo masculino que investem a curto prazo e dos investidores do sexo feminino que investem a longo prazo”.
	5. (1,0 ponto) Quantos são os anagramas da palavra COMBUSTIVEL tal que as letras da expressão BUS estejam juntas e nesta ordem ou as letras da expressão TIVEL estejam juntas, mas não necessariamente nesta ordem?
	MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL
	1. (2,0 pontos) Dado o diagrama de ramo-e-folhas para a evolução do preço de determinado produto em dois estados diferentes A e B (em valores inteiros):
	2. (3,0 pontos) Dada a tabela de distribuição de freqüências para dados agrupados (onde as medidas são obtidas através dos pontos médios das classes):
	þÿ
	3. (2,5 pontos) Dado o conjunto de dados referente a valores de mercado de ações de uma multinacional (em ordem crescente), determine a mediana, os quartis Q1 e Q3 e obtenha o Box- plot.
	þÿ
	þÿ
	4. (2,5 pontos) Uma urna contém 4 bolas, das quais duas são brancas (numeradas 1 e 2) e duas são pretas (numeradas 3 e 4). Duas bolas são retiradas desta urna sem reposição e o seus números são verificados. Defina os seguintes eventos:
	þÿ
	Se são dados e de uma amostra de dados de 24 indivíduos cuja moda é igual à 10. Determine:
	Solução:
	3. (2,0 pontos) Determine quantos são os anagramas da palavra JULGAMENTO em que:
	b) (0,5 pt) Começam com a letra A e terminam com a letra U;
	Solução:
	4. (2,5 pontos) Dada a tabela de distribuição de freqüências abaixo, obtenha:
	Q1:
	Q2:
	Q3:
	5. (2,0 pontos) Uma moeda e um dado são lançados e as suas faces voltadas para cima são observadas.
	MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL
	(pode usar calculadora)
	------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
	Se são dados e de uma amostra de dados de 53 indivíduos cuja moda é igual à 46. Determine:
	3. (2,5 pontos) Dado o diagrama de ramo e folhas abaixo variando de 1,5 a 9,5, obtenha:
	d) (0,5 pt) Os limites que determinam se um dado é ou não discrepante;
	Solução:
	----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
	------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Solução:
	MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL
	1) (0,5 pt) Qual o tipo de variável está em questão?
	2) (0,5 pt) Forneça uma distribuição de freqüências (absolutas e relativas %);
	3) (0,5 pt) Construa um gráfico de colunas para estes dados.
	--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
	𝑿̅ = ∑ 𝒏𝒊𝒙𝒊 = 𝟑𝟗𝟎 = 𝟏𝟗, 𝟓.
	𝑿∗ = 𝟏𝟕, 𝟓.
	6) (1,0 pt) Obtenha o tempo mediano de conclusão de auditorias;
	𝑄2 − 15 20 − 15
	𝑄2 − 15 5
	= 𝟏𝟖, 𝟕𝟓.
	(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)
	(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)
	(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)
	𝑩 = {(𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)}
	𝑨 ∩ 𝑩 = {(𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟑); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟒)}
	9) (0,5 pt) A média;
	𝑥̅ =
	42.760
	𝐶𝑉 =
	= −
	𝑥̅ =
	𝑄2 =
	=
	MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL
	Gabarito
	Para as questões 1 e 2, utilize o gráfico abaixo que se refere ao percentual de vendas (em relação ao total de veículos vendidos) das marcas de veículos durante o mês de dezembro de 2015 em um determinado município. Assumindo a população: “Veículos Vendidos no mês de Dezembro deste Município” e assumindo que o tamanho da população seja 400, pede-se:
	1) (1,0 pt) Qual o percentual de vendas das demais marcas que não estão nesta tabela?
	5) (0,5 pt) Suponha que as idades de 5 carros sorteados aleatoriamente sejam: 2, 5, 15, 18 e 23 anos. Quais seriam os escores padronizados destas 5 idades?
	11) (0,5 pt) as letras e os números são diferentes?
	6,25 + 11,25 + 15,00 + 5,00 + 13,75 + 15,00 + 7,50 + 11,25 + 6,25 = 91,25
	𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎: 8,75%.
	⟹ 𝑥 = 6,25 × 4 ⇒ 𝑥 = 25
	𝒙∗ = 𝟒, 𝟓
	𝒙̅ = 𝟔, 𝟒
	𝜎 = √1 (∑ 𝑛 𝑥2 − 𝑛𝑥̅2) = √ 1
	(8.316 − 152 × (6,4)2) = √
	=√8.316 − 40,96 = √54,71 − 40,96=√13,75 = 3,7.
	𝝈 = 𝟑, 𝟕
	𝑒𝑖 =
	-1,19 -0,38 2,32 3,13 4,48
	𝐶𝑉 =
	𝑥̅
	=
	𝑒 =
	3,7
	𝒆 = 𝟎, 𝟓𝟏
	𝐴 = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
	𝑨 ∩ 𝑩 = {(𝟏, 𝟔), (𝟔, 𝟏)}
	𝑩 ∩ 𝑪 = {(𝟔, 𝟔)}
	𝑨 − 𝑪 = {(𝟏, 𝟔), (𝟐, 𝟓), (𝟑, 𝟒), (𝟒, 𝟑), (𝟓, 𝟐), (𝟔, 𝟏)} = 𝑨
	𝐴 ∪ 𝐵
	(𝑨 ∪ 𝑩) ∩ (𝑩 ∩ 𝑪) = {(𝟔, 𝟔)}.
	MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL
	Com os dados a seguir referente ao percentual de lucro obtido com uma dada ação no período de 30 dias (em ordem crescente), resolva os problemas de 1 a 4.
	1) (0,5 pt) Obtenha o diagrama de ramo-e-folhas;
	Q = x15 + x16 = 15 + 15 = 15.
	5; 5; 4; 3; 4) foi coletada, resolva as questões de 5 a 10.
	8) (0,5 pt) Determine o desvio padrão destes dados;
	X¯ = 2 + 4 + 4 + 2 + 6 + 5 + 5 + 4 + 3 + 4 = 39 = 3, 9.
	10 10
	∑ni(xi − X¯)2
	o = ƒ1,49 = 1, 22.
	o
	X¯ − x∗
	fi = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
	(A e D), (B e E), (C e D) e (C e E)
	(C ∪ (D ∩ E)) = {6} ∪ ({1,3,5} ∩ {1,2}) = {6} ∪ {1} = {1, 6}
	P7 = 7! = 5. 040.
	P6 = 6! = 720.
	8) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação;
	Para resolver os problemas de 11 a 14, utilize o seguinte contexto:
	𝑨 = "𝑨 𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒐 𝒅𝒂𝒅𝒐 é 𝒑𝒂𝒓"
	18) (0,5 pt) Defina Eventos Mutuamente Exclusivos.
	6)
	𝑛
	18)
	𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
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