CC0265 - Probabilidade e Estatística Exercícios: Intervalos de confiança para uma população Profa. Jeniner J. Duarte Sanchez

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Departamento de Estatística e Matemática Aplicada
Universidade Federal do Ceará
DEMA
Semestre 2020.I
CC0265 - Probabilidade e Estatística
Exercícios: Intervalos de con�ança para uma população
Profa. Jeni�er J. Duarte Sanchez
1 Intervalo de con�ança para a média
1.1 Variância conhecida
O intervalo de con�ança para a média, com a variância σ2 conhecida, com nível de con�-
ança de (1− α) · 100% é dado por:
IC(µ, 1− α) =
[
x ∓ z(1−α/2)
σ√
n
]
.
Passo a passo para construção do intervalo de con�ança:
1. Veri�que se σ2 é conhecido;
2. De�na α e consulte z(1−α/2) na tabela da distribuição normal;
3. Calcule a margem de erro z(1−α/2)
σ√
n
em que σ é o desvio padrão popula-
cional e n o tamanho amostral;
4. Calcule a média amostral x e encontre o limite inferior e o limite superior
do intervalo
• Limite inferior: x− z(1−α/2) σ√n
• Limite superior: x+ z(1−α/2) σ√n
1. Num estudo de seguros contra colisão de automóveis, uma amostra de n = 35
consertos de colisões frontais contra um muro a uma velocidade especí�ca teve um
custo médio de R$1.438, 00. Sabendo que σ = 269 reais para esses dados, e supondo
que são normalmente distribuídos.
a) Construa um intervalo de con�ança com 5% de signi�cância para o custo médio
de tais concertos.
Solução:
Aqui queremos estimar o intervalo para a média do custo de consertos da colisão
especi�cada. Do enunciado tem�se as seguintes informações:
X : �Custo de conserto de colisões frontais de automóveis�.
1
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n = 35.
x = R$1438, 00.
σ = 269, (Desvio padrão populacional).
α = 5%.
z1−α/2 é o quantil de ordem (1 + α)/2, sendo α o nível de signi�cância, e 1− α = γ
o nível de con�ança. Do enunciado
z1−α/2 = z1−0,05/2 = z1−0,025 = z0,975 = 1, 96 (Quantil da normal).
O valor na tabela da distribuição normal que acumula uma probabilidade de 0, 975
é 1,96.
Aplicando as fórmulas vistas anteriormente, tem�se que
� Limite inferior: x̄− z1−α/2σ/
√
n e
� Limite superior: x̄+ z1−α/2σ/
√
n.
Substituindo os valores x̄ = 1.438, σ = 269, α = 0, 05, z0,975 = 1, 96
� Limite inferior: 1.438− (1, 96)269/
√
35 = 1348, 882 e
� Limite superior: 1.438 + (1, 96)269/
√
35 = 1527, 118.
Dessa forma, o intervalo de 95% de con�ança é:
IC(µ; 95%) = (1348, 882 ; 1527, 118)
O intervalo pode ser ilustrado no grá�co
0.
00
0
0.
00
2
0.
00
4
0.
00
6
0.
00
8
x
f(
x)
1250 1350 1450 1550
95%
Figura 1: Custo de conserto de colisões frontais de automóveis
2
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b) Com qual nível de con�ança diz-se que o custo médio está no intervalo
[1363, 43 ; 1512, 57].
Para encontrar o valor de α, tal que
� Limite inferior: 1, 438− z1−α/2269/
√
35 = 1363, 43,
� Limite superior: 1, 438 + z1−α/2269/
√
35 = 1512, 57
Vamos isolar z1−α/2
z1−α/2 =
1438− 1363, 43
269/
√
35
= 1, 640
Observando na tabela da distribuição normal, tem�se que o valor de α é 0, 1, pois o
quantil de ordem z(1−0,1/2) deixa 0,05 dos dados no limite superior e inferior 0, 05 +
0, 05 = 0, 1
0.
00
0
0.
00
2
0.
00
4
0.
00
6
0.
00
8
x
f(
x)
1250 1350 1450 1550
90%
Figura 2: Custo de conserto de colisões frontais de automóveis
2. Um grupo de técnicos em e�ciência pretende utilizar a média de uma amostra alea-
tória de tamanho n = 30 para estimar a aptidão mecânica média(avaliada por certo
teste padronizado) dos operários da linha de montagem de uma grande indústria.
Se, com base na experiência, os técnicos podem supor que σ = 7, 2 para os dados
apresentados abaixo. Construa um intervalo de con�ança de 98% para a aptidão
mecânica média.
73, 70 64, 80 48, 70 63, 10 53, 00
58, 70 48, 00 67, 70 57, 20 55, 60
51, 50 58, 90 72, 50 61, 50 57, 10
58, 30 64, 70 62, 10 65, 20 66, 30
70, 50 54, 10 54, 40 72, 70 48, 10
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Solução:
Iremos estimar o intervalo para a aptidão mecânica média. Do enunciado tem�se as
seguintes informações:
X : �Aptidão mecânica�.
n = 30.
σ = 7.2, (Desvio padrão populacional).
α = 2%.
Deve�se calcular o valor de x dos dados fornecidos no enunciado:
x =
1
30
[73, 70 + 58, 70 + · · ·+ 66, 30 + 48, 10]
= 60, 2.
z1−α/2 é o quantil de ordem (1 + α)/2, sendo α o nível de signi�cância, e 1− α = γ
o nível de con�ança. Do enunciado
z1−α/2 = z1−0,02/2 = z1−0,001 = z0,99 = 2, 33 (Quantil da normal).
O valor na tabela da distribuição normal que acumula uma probabilidade de 0, 99
é 2,33.
Aplicando as fórmulas vistas anteriormente, tem�se que
� Limite inferior: x̄− z1−α/2σ/
√
n e
� Limite superior: x̄+ z1−α/2σ/
√
n.
Substituindo os valores x̄ = 60, 2, σ = 7.2, α = 0, 02, z0,99 = 2, 33
� Limite inferior: 60, 2− (2, 33)7, 2/
√
30 = 57, 137 e
� Limite superior: 60, 2 + (2, 33)7, 2/
√
30 = 63, 263.
Dessa forma, o intervalo de 95% de con�ança é:
IC(µ; 95%) = (57, 137 ; 63, 263)
1.2 Variância desconhecida
O intervalo de con�ança para a média populacional com variância σ2 desconhecida
e tamanho amostral n pequeno, com (1− α) · 100% de con�ança é dado por:
IC(µ, 1− α) =
[
x∓ t(1−α/2,n−1)
s√
n
]
.
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Passo a passo para construção do intervalo de con�ança:
(a) Veri�que se σ2 é desconhecido e a amostra é pequena;
(b) De�na α e consulte t(1−α/2,n−1) na tabela da distribuição t-Student, sendo
n− 1 os graus de liberdade;
(c) Calcule x, s e então a margem de erro t(1−α/2,n−1)
s√
n
em que
s =
√∑n
i=1 (Xi−x)2
n−1 é o desvio padrão amostral e n o tamanho amostral;
(d) Encontre o limite inferior e o limite superior do intervalo
• Limite inferior: x− t(1−α/2,n−1) s√n
• Limite superior: x+ t(1−α/2,n−1) s√n
3. Deseja�se um intervalo de con�ança para a média real da perda de carga por disper-
são µ (watts) de um tipo de motor a indução, quando a corrente da linha é mantida
em 10 Amps para uma velocidade de 1500 rpm. Assuma que perda de carga por
dispersão tenha distribuição normal. A média da carga por dispersão de uma amos-
tra de tamanho 12 é 27,33 watts, com desvio-padrão de 4,28 watts. Construa um
intervalo de 99% de con�ança para a média real da perda de carga por dispersão.
Solução: Do enunciado tem�se as seguintes informações:
X : �Perda de carga por dispersão de um tipo de motor�.
n = 12.
x = 27, 33.
s = 4, 28 (Desvio padrão amostral).
α = 0, 05.
Para obter-se o quantil da distribuição t, é necessário ter duas informações, o nível
de signi�cância e os graus de liberdade. Ao nível de signi�cancia de 5%, e graus de
liberdade n− 1 = 12− 1 = 11, tem�se que o quantil da t�Student é
t1−α/2;n−1 = t1−0,05/2;12−11 = t1−0,025;11 = t0,975;11 = 2, 201.
O valor na tabela da distribuição t�Student que acumula uma probabilidade de
0,975 com 11 graus de liberdade é 2,201.
Aplicando as formulas vistas anteriormente
� Limite inferior: x− t(1−α/2;n−1)s/
√
n = 27, 33− 2, 201 4,28√
12
≈ 24, 611,
� Limite superior: x+ t(1−α/2;n−1)s/
√
n = 27, 33 + 2, 201 4,28√
12
≈ 30, 049.
Logo, o intervalo de con�ança para a média real da perda de carga por dispersão é
IC(µ; 95%) = (24, 611 ; 30, 049)
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4. A equipe de vendas apresentou relatórios sobre a vida útil (em anos) de determinados
tipos de bombas de aquecimento. Uma amostra de 13 relatórios apresentou as
seguintes observações sobre a vida útil:
24, 0; 20, 3; 20, 1; 29, 6; 17, 2; 13, 8; 22, 2; 18, 1; 21, 6; 13, 4; 24, 2; 25, 1; 22, 1
Forneça o intervalo de con�ança de 98% para o vida média útil (em anos)
Solução: Do enunciado tem�se as seguintes informações:
X : �Vida útil (em anos)�.
n = 13.
α = 0, 02.
Se devem calcular a média e o desvio padrão com os dados do enunciado,
x =
1
13
[24, 0 + 20, 3 + · · ·+ 25, 1 + 22, 1]
= 20, 9.
e
s2 =
1
13− 1
[
(24, 0− 20, 9)2 + (20, 3− 20, 9)2 + · · ·+ (25, 1− 20, 9)2 + (22, 1− 20,9)2
]
= 20, 553,
portanto, s = 4, 534 (Desvio padrão amostral).
Com o nível de signi�cância de 2% e graus de liberdade n−1 = 13−1 = 12. Tem�se
que o quantil da t�Student é
t1−α/2;n−1 = t1−0,02/2;13−1 = t1−0,01;12 = t0,99;12 = 2, 681.
O valor na tabela da distribuição t�Student que acumula uma probabilidade de 0,99
com 12 graus de liberdade é 2,681.
Aplicando as formulas vistas anteriormente
� Limite inferior: x− t(1−α/2;n−1)s/
√
n = 20.9− 2, 6814,534√
13
≈ 17, 529,
� Limite superior: x+ t(1−α/2;n−1)s/
√
n = 20.9 + 2, 6814,534√
13
≈ 24, 271.
Logo, o intervalo de con�ança para a vida média útil é
IC(µ; 98%) = (17, 529 ; 24, 271)
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2 Variância desconhecida e tamanho amostral grande
O intervalo de con�ança para a média populacional, com variância σ2 desconhecida
e tamanho amostral grande, com nível de con�ança de (1− α) · 100% é dado por:
IC(µ, 1− α) =
[
x∓ z(1−α/2)
s√
n
]
.
Passo a passo para construção do intervalo de con�ança:
(a) Veri�que se σ2 é desconhecido e a amostra é grande;
(b) De�na α e consulte z(1−α/2) na tabela da distribuição normal;
(c) Calcule x, s e então a margem de erro z(1−α/2)
s√
n
em que s =
√∑n
i=1 (Xi−x)2
n−1
é o desvio padrão amostral e n o tamanho amostral;
(d) Encontre o limites inferior e o limite superior do intervalo
• Limite inferior: x− z(1−α/2) s√n
• Limite superior: x+ z(1−α/2) s√n
5. O número médio de horas de voo dos pilotos da Continental Airlines equivale a
aproximadamente 34 horas por mês. Suponha que essa média tenha se baseado em
tempos de voo reais de uma amostra de 35 pilotos da Continental e que o desvio
padrão amostral tenha sido de 7,91. Qual é a estimativa intervalar com 95% de
con�ança do tempo de voo médio populacional dos pilotos.
40.10 24.70 46.10 24.90 34.10 25.70 21.90
36.60 34.60 33.40 46.80 37.00 27.40 26.10
22.00 23.30 50.40 30.20 41.60 35.70 49.40
40.80 33.10 33.60 36.80 26.50 28.80 36.50
25.90 34.90 33.10 26.60 35.50 44.00 42.10
Solução: A partir das informações dadas no exercício tem�se:
X : �Tempos de horas de voo dos pilotos�.
n = 35.
γ = 0, 95⇒ 1− α = 0, 95⇒ α = 0, 05.
Se deve calcular a média e o desvio padrão da amostra
x =
1
35
[40, 10 + 36, 60 + · · ·+ 36, 50 + 42, 10]
= 34, 006.
e
s2 =
1
35− 1
[
(40, 10− 34, 006)2 + (36, 60− 34, 006)2 + · · ·
+(36, 50− 34, 006)2 + (42, 10− 34, 006)2
]
= 62, 608.
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assim, o desvio padrão, s = 7, 91 (Desvio padrão amostral).
O tamanho amostral é grande, de forma que a distribuição t converge para a distri-
buição normal. Dessa forma será utilizado o quantil referente a distribuição normal
z1−α/2, o quantil de ordem (1 + α)/2, sendo α o nível de signi�cância, e 1 − α = γ
o nível de con�ança. Do enunciado
z1−α/2 = z1−0,05/2 = z1−0,025 = z0,975 = 1, 96 (Quantil da normal).
O valor na tabela da distribuição normal que acumula uma probabilidade de 0, 975
é 1,96.
Aplicando as formulas vistas anteriormente
� Limite inferior: x− z(1−α/2)s/
√
n = 34, 006− 1, 967,912√
35
≈ 31, 384,
� Limite superior: x+ z(1−α/2)s/
√
n = 34, 006 + 1, 967,912√
35
≈ 36, 627.
Logo, o intervalo de con�ança para a média de relatórios semanais é
IC(µ; 95%) = (31, 384 ; 36.627)
6. Vinte e seis trabalhadores e plataformas de petróleo em alto mar participaram de
um exercício de fuga simulado, resultando nos dados a seguir (em segundos) para
concluir a fuga.
322, 90 240, 70 210, 90 259, 30 292, 10
314, 00 150, 90 259, 10 286, 00 240, 50
296, 90 275, 70 294, 60 338, 10 278, 00
212, 70 331, 50 233, 50 287, 80 335, 70
262, 60 317, 20 233, 80 204, 00 219, 70
Forneça a estimativa intervalar com 95% de con�ança para a média populacional.
Solução: A partir dos dados tem�se as seguintes informações:
X : �Tempo (em segundos) para concluir a fuga�.
n = 30.
γ = 0, 95⇒ 1− α = 0, 95⇒ α = 0, 05.
Dos dados do exercício se devem calcular a média e o desvio padrão
x =
1
30
[322, 90 + 314, 00 + · · ·+ 335, 70 + 219, 70]
= 272, 63,
a variância
s2 =
1
30− 1
[
(322, 90− 272, 63)2 + (314, 00− 272, 63)2 + · · ·
+(335, 70− 272, 63)2 + (219, 70− 272, 63)2
]
= 2405, 377,
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assim, s = 49, 045 é o desvio padrão amostral.
Neste caso o tamanho amostral é grande, de forma que a distribuição t converge para
a distribuição normal. Dessa forma será utilizado o quantil referente a distribuição
normal
z1−α/2, o quantil de ordem (1 + α)/2, sendo α o nível de signi�cância, e 1 − α = γ
o nível de con�ança. Do enunciado
z1−α/2 = z1−0,05/2 = z1−0,025 = z0,975 = 1, 96 (Quantil da normal).
O valor na tabela da distribuição normal que acumula uma probabilidade de 0, 975
é 1,96.
Aplicando as formulas vistas anteriormente
� Limite inferior: x− z(1−α/2)s/
√
n = 272, 63− 1, 9649,045√
30
≈ 255, 08,
� Limite superior: x+ z(1−α/2)s/
√
n = 272.63 + 1, 9649,045√
30
≈ 290, 18.
Logo, o intervalo de con�ança para o tempo médio de fuga é
IC(µ; 95%) = (255, 08 ; 290, 18)
3 Intervalo de con�ança para uma proporção popu-
lacional
O intervalo de con�ança para uma proporção populacional com nível de con�ança
de (1− α) · 100% pode ser dado por:
IC(p, 1− α) =
[
p̂∓ z(1−α/2)
√
p̂(1− p̂)
n
]
.
Passo a passo para construção do intervalo de con�ança:
(a) De�na α e consulte z(1−α/2) na tabela da distribuição normal;
(b) Calcule a proporção amostral p̂ e então a margem de erro
z(1−α/2)
√
p̂(1−p̂)
n
em que n é o tamanho amostral;
(c) Encontre o limite inferior e o limite superior do intervalo
• Limite inferior: p̂− z(1−α/2)
√
p̂(1−p̂)
n
• Limite superior: p̂+ z(1−α/2)
√
p̂(1−p̂)
n
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7. Em um estudo do processo de inspeção especí�co de uma determinada placa, 300
dados foram examinados por uma inspeção e 234 deles foram aprovados. Supondo
um processo estável,
a) Construa um intervalo de con�ança de 1% de signi�cância para a proporção
de todo os dados que foram aprovados pela inspeção (utilize o intervalo de
con�ança otimista).
Solução: Nesta questão, construiremos um intervalo de con�ança otimista para a
proporção, visto que queremos estimar a proporção de todos os dados que foram
aprovados pela inspeção.
Seja P : �probabilidade de ter sido aprovada pela inspeção�. P ∈ (0, 1).
n = 300.
α = 0, 01.
Precisamos calcular p̂. Na amostra 234 dos 300 clientes usam o cartão de compras
do supermercado.
p̂ =
234
300
= 0, 78.
O quantil da normal padrão correspondente a α é
z1−α/2 = z1−0,01/2 = z1−0,005 = z0,995 = 2, 57.
O valor de p̂(1− p̂)/n é
p̂(1− p̂)
n
= 0, 78(1− 0, 78)/300 = 0, 000572.
Substituindo os valores p̂ = 0, 78 e p̂(1− p̂)/n = 0, 000572 nas formulas do intervalo
de con�ança:
� Limite inferior: p̂− z(1−α/2)
√
p̂(1−p̂)
n
= 0, 78− (2, 57)0, 0239 ≈ 0, 7184,
� Limite Superior: p̂+ z(1−α/2)
√
p̂(1−p̂)
n
= 0, 78 + (2, 57)0, 0239 ≈ 0, 8416.
A partir dessas informações, o intervalo de 99% de con�ança é dado por:
IC(p; 0, 99%) = (0, 7184 ; 0, 8416)
O intervalo de con�ança pode ser ilustrado no grá�co a seguir
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0
5
10
15
x
f(
x)
0.70825 0.72825 0.74825 0.76825 0.78825 0.80825 0.82825 0.84825
99%
Figura 3: Proporção de todos os dados que foram aprovados pela inspeção
b) Construa um intervalo de con�ança de 1% de signi�cância para a proporção de
todo os dados que foram aprovados pela inspeção (utilize o intervalo de con�ança
conservador).
Solução: Assim como a questão anterior, construiremos um intervalo de con�ança
para a proporção, sendo este conservador, ou seja, o valor de p para a variância será
considerado aquele em que a mesma alcança seu valor máximo, p = 0, 5.
Seja P : �probabilidade de ter sido aprovada pela inspeção�. P ∈ (0, 1).
n = 300.
α = 0, 01.
p̂ =
234300
= 0, 78.
O quantil da normal padrão é 2,57 e
p̂(1− p̂)
n
= 0, 50(1− 0, 50)/300 = 0, 00083.
Substituindo os valores de p̂ = 0, 78 e p̂(1−p̂)/n = 0, 00083 nas formulas do intervalo
de con�ança:
� Limite inferior: p̂− z(1−α/2)
√
0,5(1−0,5)
n
= 0, 78− (2, 57)0, 0289 ≈ 0, 7056,
� Limite Superior: p̂+ z(1−α/2)
√
0,5(1−0,5)
n
= 0, 78 + (2, 57)0, 0289 ≈ 0, 8544.
Ao nível de 1% de signi�cância, o intervalo de 99% de con�ança é
IC(p; 0, 99%) = (0.7056 ; 0, 8544)
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Departamento de Estatística e Matemática Aplicada
Universidade Federal do Ceará
DEMA
Semestre 2020.I
c) Construa um intervalo de con�ança otimista de 1% de signi�cância para o número
de placas que foram aprovadas pela inspeção
Temos que X : �número de placas que foram aprovadas pela inspeção�. X = np,
X ∈ (0, n).
µx =np̂
σx =
√
np(1− p)
O intervalo de con�ança de interesse é dado por
IC(np; 99%) =
(
np̂− z1−α/2
√
np̂(1− p̂) ; np̂+ z1−α/2
√
np̂(1− p̂)
)
=(215, 5185 ; 252, 4815)
O intervalo de con�ança é ilustrado na seguinte �gura.
0.
00
0.
01
0.
02
0.
03
0.
04
0.
05
x
f(
x)
212 217 222 227 232 237 242 247 252
99%
Figura 4: Número de placas que foram aprovadas pela inspeção
12
Departamento de Estatística e Matemática Aplicada
Universidade Federal do Ceará
DEMA
Semestre 2020.I
D
is
tr
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u
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 P
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rã
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 A
cu
m
u
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a 
 
 




 





z
u
d
u
z
Z
P
z
2/
2
e
21 
 
 
z 
0
 
1
 
2
 
3
 
4
 
5
 
6
 
7
 
8
 
9
 
 
z 
0
 
1
 
2
 
3
 
4
 
5
 
6
 
7
 
8
 
9
 
-3
.2
 
0
.0
0
0
7 
0
.0
0
0
7 
0
.0
0
0
6 
0
.0
0
0
6 
0
.0
0
0
6 
0
.0
0
0
6 
0
.0
0
0
6 
0
.0
0
0
5 
0
.0
0
0
5 
0
.0
0
0
5 
 
0
.0
 
0
.5
0
0
0 
0
.5
0
4
0 
0
.5
0
8
0 
0
.5
1
2
0 
0
.5
1
6
0 
0
.5
1
9
9 
0
.5
2
3
9 
0
.5
2
7
9 
0
.5
3
1
9 
0
.5
3
5
9 
-3
.1
 
0
.0
0
1
0 
0
.0
0
0
9 
0
.0
0
0
9 
0
.0
0
0
9 
0
.0
0
0
8 
0
.0
0
0
8 
0
.0
0
0
8 
0
.0
0
0
8 
0
.0
0
0
7 
0
.0
0
0
7 
 
0
.1
 
0
.5
3
9
8 
0
.5
4
3
8 
0
.5
4
7
8 
0
.5
5
1
7 
0
.5
5
5
7 
0
.5
5
9
6 
0
.5
6
3
6 
0
.5
6
7
5 
0
.5
7
1
4 
0
.5
7
5
3 
-3
.0
 
0
.0
0
1
3 
0
.0
0
1
3 
0
.0
0
1
3 
0
.0
0
1
2 
0
.0
0
1
2 
0
.0
0
1
1 
0
.0
0
1
1 
0
.0
0
1
1 
0
.0
0
1
0 
0
.0
0
1
0 
 
0
.2
 
0
.5
7
9
3 
0
.5
8
3
2 
0
.5
8
7
1 
0
.5
9
1
0 
0
.5
9
4
8 
0
.5
9
8
7 
0
.6
0
2
6 
0
.6
0
6
4 
0
.6
1
0
3 
0
.6
1
4
1 
-2
.9
 
0
.0
0
1
9 
0
.0
0
1
8 
0
.0
0
1
8 
0
.0
0
1
7 
0
.0
0
1
6 
0
.0
0
1
6 
0
.0
0
1
5 
0
.0
0
1
5 
0
.0
0
1
4 
0
.0
0
1
4 
 
0
.3
 
0
.6
1
7
9 
0
.6
2
1
7 
0
.6
2
5
5 
0
.6
2
9
3 
0
.6
3
3
1 
0
.6
3
6
8 
0
.6
4
0
6 
0
.6
4
4
3 
0
.6
4
8
0 
0
.6
5
1
7 
-2
.8
 
0
.0
0
2
6 
0
.0
0
2
5 
0
.0
0
2
4 
0
.0
0
2
3 
0
.0
0
2
3 
0
.0
0
2
2 
0
.0
0
2
1 
0
.0
0
2
1 
0
.0
0
2
0 
0
.0
0
1
9 
 
0
.4
 
0
.6
5
5
4 
0
.6
5
9
1 
0
.6
6
2
8 
0
.6
6
6
4 
0
.6
7
0
0 
0
.6
7
3
6 
0
.6
7
7
2 
0
.6
8
0
8 
0
.6
8
4
4 
0
.6
8
7
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-2
.7
 
0
.0
0
3
5 
0
.0
0
3
4 
0
.0
0
3
3 
0
.0
0
3
2 
0
.0
0
3
1 
0
.0
0
3
0 
0
.0
0
2
9 
0
.0
0
2
8 
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.0
0
2
7 
0
.0
0
2
6 
 
0
.5
 
0
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5 
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0 
0
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1
9 
0
.7
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5
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0
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0
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0
.7
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5
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0
.7
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9
0 
0
.7
2
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4 
-2
.6
 
0
.0
0
4
7 
0
.0
0
4
5 
0
.0
0
4
4 
0
.0
0
4
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0
.0
0
4
1 
0
.0
0
4
0 
0
.0
0
3
9 
0
.0
0
3
8 
0
.0
0
3
7 
0
.0
0
3
6 
 
0
.6
 
0
.7
2
5
7 
0
.7
2
9
1 
0
.7
3
2
4 
0
.7
3
5
7 
0
.7
3
8
9 
0
.7
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2
2 
0
.7
4
5
4 
0
.7
4
8
6 
0
.7
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1
7 
0
.7
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-2
.5
 
0
.0
0
6
2 
0
.0
0
6
0 
0
.0
0
5
9 
0
.0
0
5
7 
0
.0
0
5
5 
0
.0
0
5
4 
0
.0
0
5
2 
0
.0
0
5
1 
0
.0
0
4
9 
0
.0
0
4
8 
 
0
.7
 
0
.7
5
8
0 
0
.7
6
1
1 
0
.7
6
4
2 
0
.7
6
7
3 
0
.7
7
0
4 
0
.7
7
3
4 
0
.7
7
6
4 
0
.7
7
9
4 
0
.7
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2
3 
0
.7
8
5
2 
-2
.4
 
0
.0
0
8
2 
0
.0
0
8
0 
0
.0
0
7
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.0
0
7
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.0
0
7
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0
.0
0
7
1 
0
.0
0
6
9 
0
.0
0
6
8 
0
.0
0
6
6 
0
.0
0
6
4 
 
0
.8
 
0
.7
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1 
0
.7
9
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0
.7
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0
.7
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7 
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.7
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.8
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2
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.8
0
5
1 
0
.8
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7
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.8
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1
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.3
 
0
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1
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1
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4 
0
.0
1
0
2 
0
.0
0
9
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0
.0
0
9
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0
.0
0
9
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0
.0
0
9
1 
0
.0
0
8
9 
0
.0
0
8
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0
.0
0
8
4 
 
0
.9
 
0
.8
1
5
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1
8
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0
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2
1
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0
.8
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2
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0
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0
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1
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1
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.0
1
2
2 
0
.0
1
1
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.0
1
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.0
1
1
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.0
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1
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0
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4
1
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0
.8
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-2
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0
.0
1
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0
.0
1
7
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0
.0
1
6
6 
0
.0
1
6
2 
0
.0
1
5
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0
.0
1
5
4 
0
.0
1
5
0 
0
.0
1
4
6 
0
.0
1
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1
.1
 
0
.8
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0
.8
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6
5 
0
.8
6
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6 
0
.8
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8 
0
.8
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2
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0
.8
7
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0
.8
7
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0
.8
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0 
0
.8
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1
0 
0
.8
8
3
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-2
.0
 
0
.0
2
2
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0
.0
2
2
2 
0
.0
2
1
7 
0
.0
2
1
2 
0
.0
2
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7 
0
.0
2
0
2 
0
.0
1
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.0
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0
.0
1
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0
.0
1
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3 
 
1
.2
 
0
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0
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4 
0
.8
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6
2 
0
.8
9
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0 
0
.8
9
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0
.9
0
1
5 
-1
.9
 
0
.0
2
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0
.0
2
8
1 
0
.0
2
7
4 
0
.0
2
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0
.0
2
6
2 
0
.0
2
5
6 
0
.0
2
5
0 
0
.0
2
4
4 
0
.0
2
3
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.0
2
3
3 
 
1
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0
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3
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.9
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4
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.9
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6
6 
0
.9
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2 
0
.9
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9
9 
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.9
1
1
5 
0
.9
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3
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0
.9
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4
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.9
1
6
2 
0
.9
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-1
.8
 
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3
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9 
0
.0
3
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1 
0
.0
3
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0
.0
3
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.0
3
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.0
3
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2 
0
.0
3
1
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0
.0
3
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7 
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.0
3
0
1 
0
.0
2
9
4 
 
1
.4
 
0
.9
1
9
2 
0
.9
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7 
0
.9
2
2
2 
0
.9
2
3
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0
.9
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5
1 
0
.9
2
6
5 
0
.9
2
7
9 
0
.9
2
9
2 
0
.9
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0
6 
0
.9
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1
9 
-1
.7
 
0
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4
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6 
0
.0
4
3
6 
0
.0
4
2
7 
0
.0
4
1
8 
0
.0
4
0
9 
0
.0
4
0
1 
0
.0
3
9
2 
0
.0
3
8
4 
0
.0
3
7
5 
0
.0
3
6
7 
 
1
.5
 
0
.9
3
3
2 
0
.9
3
4
5 
0
.9
3
5
7 
0
.9
3
7
0 
0
.9
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2 
0
.9
3
9
4 
0
.9
4
0
6 
0
.9
4
1
8 
0
.9
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2
9 
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.9
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1 
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.0
5
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5
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.0
5
2
6 
0
.0
5
1
6 
0
.0
5
0
5 
0
.0
4
9
5 
0
.0
4
8
5 
0
.0
4
7
5 
0
.0
4
6
5 
0
.0
4
5
5 
 
1
.6
 
0
.9
4
5
2 
0
.9
4
6
3 
0
.9
4
7
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0
.9
4
8
4 
0
.9
4
9
5 
0
.9
5
0
5 
0
.9
5
1
5 
0
.9
5
2
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3
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3
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0
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4 
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4 
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4 
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9
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4 
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9
9
5 
0
.9
9
9
5 
0
.9
9
9
5 
 13
Departamento de Estatística e Matemática Aplicada
Universidade Federal do Ceará
DEMA
Semestre 2020.I
 135
TABELA V 
Distribuição t de Student - tn 
 
Os valores tabelados correspondem aos pontos x tais que: P(tn≤x) 
 
 
 P(tn≤x) 
n 0,600 0,750 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,9995 
1 0,325 1,000 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619 
2 0,289 0,816 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,598 
3 0,277 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924 
4 0,271 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610 
5 0,267 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869 
6 0,265 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959 
7 0,263 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408 
8 0,262 0,706 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041 
9 0,261 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781 
10 0,260 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587 
11 0,260 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437 
12 0,259 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318 
13 0,259 0,694 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221 
14 0,258 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140 
15 0,258 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 
16 0,258 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015 
17 0,257 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965 
18 0,257 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922 
19 0,257 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883 
20 0,257 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850 
21 0,257 0,686 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819 
22 0,256 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792 
23 0,256 0,685 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768 
24 0,256 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745 
25 0,256 0,684 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725 
26 0,256 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707 
27 0,256 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,689 
28 0,256 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674 
29 0,256 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,660 
30 0,256 0,683 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646 
40 0,255 0,681 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551 
60 0,254 0,679 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460 
120 0,254 0,677 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373 
∞ 0,253 0,674 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,291 
 
 
 
 
 
 
14
	Intervalo de confiança para a média
	Variância conhecida
	Variância desconhecida
	Variância desconhecida e tamanho amostral grande
	Intervalo de confiança para uma proporção populacional