Livro Diagonalizacao de Matrizes e Operadores

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ÁLGEBRA Diagonalização - 1
Diagonalização
Operador linear
Se T: V → V for uma transformação linear definida no espaço 
vectorial V, então T designa-se por operador linear. 
A representação matricial de um operador linear depende da 
base escolhida para essa representação.
Problema
Encontrar a forma mais simples para a representação matricial 
do operador linear T → matriz diagonal
[ ]
[ ]β'
β1
TB
TA
ondeAQQB
=
=
= −
ÁLGEBRA Diagonalização - 2
Operador diagonalizável
Questões
• Será que existe uma base β na qual a representação de T seja 
uma matriz diagonal?
• Se essa base existe, como pode ser calculada?
Operador diagonalizável
Um operador linear é diagonalizável se existe uma base β para 
V tal que [T]β é uma matriz diagonal
ÁLGEBRA Diagonalização - 3
Valores e vectores próprios
Teorema
Um operador linear é diagonalizável se e só se existe uma base 
β = {x1, x2, ..., xn} e n escalares λ1, λ2, ... λn (não necessariamente 
distintos) tais que T(xj) = λjxj.
Nestas condições
xj é um vector próprio associado ao valor próprio λj
[ ]












λ
λ
λ
=β
n
2
1
00
00
00
T
ÁLGEBRA Diagonalização - 4
Valores e vectores próprios
Determinante de um operador linear
é o determinante de [T]β, det([T]β), para qualquer base β.
Teorema
Um escalar λ é valor próprio de um operador linear T se e só se
det(T - λI) = 0 (ou det([T]β - λI))= 0.
O polinómio na variável t, det([T]β - tI), é designado polinómio 
característico do operador linear T.
ÁLGEBRA Diagonalização - 5
Valores e vectores próprios
Cálculo de valores próprios
Os valores próprios são os zeros do polinómio característico
f(t) = det(A - λI) = |A - λI|, onde A = [T]β .
Teorema
O polinómio característico de A = [T]β é um polinómio de grau n 
com coeficiente (-1)n no termo de maior grau.
Corolário
Seja A = [T]β uma matriz n×n e f(t) o seu polinómio característico.
a) um escalar λ é valor próprio de A se e só se f(λ) = 0;
b) A tem no máximo n valores próprios distintos.
ÁLGEBRA Diagonalização - 6
Valores e vectores próprios
Cálculo dos vectores próprios
Conhecidos os valores próprios, λ1, λ2, ..., λn, o cálculo do vector 
próprio associado ao valor próprio λi faz-se substituindo λi na 
equação
(A - λiI)[x]β = 0 
e resolvendo-a em ordem a [x]β.
Teorema
O vector x ∈ V é vector próprio de T se e só se 
x ≠ O e x ∈ N(T - λiI) 
onde λi é um dos valores próprios do operador linear T.
ÁLGEBRA Diagonalização - 7
Diagonalizabilidade
Condição necessária e suficiente para que um operador seja 
diagonalizável
Existência de uma base de vectores próprios
Teorema
Vectores próprios associados a valores próprios distintos são 
linearmente independentes.
Corolário
Se um operador definido num espaço de dimensão n tiver n 
valores próprios distintos, então o operador é diagonalizável.
ÁLGEBRA Diagonalização - 8
Espaços próprios
Espaço próprio de T
Seja T um operador linear definido num espaço vectorial V 
e λ um valor próprio de T.
Define-se espaço próprio de T associado ao valor próprio λ
como
Eλ = { x ∈ V: T(x) = λx } = N(T-λI)
A dimensão de Eλ é chamada multiplicidade geométrica do 
valor próprio.
A multiplicidade algébrica (m) do valor próprio λ é a respectiva 
multiplicidade como zero do polinómio característico.
1 ≤ dim(Eλ) ≤ m
ÁLGEBRA Diagonalização - 9
Diagonalizabilidade
Teorema
Seja T um operador linear num espaço vectorial de dimensão 
finita cujo polinómio característico é factorizável. 
Sejam λ1, λ2, ..., λk os valores próprios distintos de T. Então
(a) T é diagonalizável se e só se a multiplicidade algébrica de 
λi é igual a dim(Eλi) para todo o i:
(b) Se T é diagonalizável e Si é uma base para Eλi para todo o i, 
então
β = S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ Sk
é uma base para V constituída por vectores próprios de T.
ÁLGEBRA Diagonalização - 10
Diagonalizabilidade
Teste de diagonalizabilidade
Seja T um operador linear definido em V (dimensão finita) 
T é diagonalizável se e só se:
1. O polinómio característico de T é factorizável;
2. A multiplicidade algébrica do valor próprio λi é igual a 
n - caract(T - λI) para cada valor próprio λ de T.
ÁLGEBRA Diagonalização - 11
Subespaços invariantes
Subespaços invariantes
Seja T um operador linear definido em V. Um subespaço W de V 
é dito invariante sob T se T(W) ⊆ W, ou seja, se T(x) ∈ W para 
todo o x ∈ W.
Subespaços invariantes sob T:
• {O} • V
• N(T) • R(T)
• Eλ, para qualquer valor próprio λ
ÁLGEBRA Diagonalização - 12
Subespaços invariantes
Subespaços invariantes
A existência de um subespaço invariante permite definir um novo 
operador cujo domínio é o subespaço.
T: V → V, W for um subespaço invariante sob T
TW: W → W , a restrição de T a W é um operador linear
O operador TW herda algumas da propriedades do operador T 
que lhe dá origem.
ÁLGEBRA Diagonalização - 13
Teorema de Cayley-Hamilton
Teorema
Seja T: V → V, um operador linear num espaço vectorial V de 
dimensão finita e seja f(t) o polinómio característico de T.
Então f(T) = T0 (transformação zero), isto é, T satisfaz o seu 
polinómio característico.
Este teorema permanece válido qualquer que seja a representação 
para T.