Mat020-Notas de Aula-Parte I

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Universidade Federal da Bahia 
Instituto de Matemática 
Departamento de Estatística 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
 
DISCIPLINA: MAT020 
 
ESTATÍSTICA I - A 
 
 
 
 
 
 
 
Professora: Lia Terezinha L. P. Moraes 
 Andrea Andrade Prudente 
 Edleide de Brito 
 
 
 
 
 
Março de 2015 
 
Capítulo I 
 
Dados e a Estatística 
1.1 O QUE É A ESTATÍSTICA 
A palavra Estatística deriva da palavra latina status e significa “estado”. O termo 
Estatística tem dois significados básicos: 
i. Diz respeito a um conjunto de dados obtidos a partir de levantamentos específicos. 
Como exemplo podemos usar a seguinte frase: As estatísticas sobre a cesta básica em 
Salvador registraram uma redução de 0,43% nos preços entre os meses de dezembro 
de 2013 e janeiro de 2014. 
ii. O segundo significado refere-se à Estatística como método de análise e podemos 
defini-la como “uma coleção de métodos para planejar experimentos, obter dados e 
organizá-los, resumi-los, analisá-los, interpretá-los e deles extrairmos conclusões”1. 
 
1.2 DIVISÕES DA ESTATÍSTICA 
A Teoria Estatística modernamente se divide em dois grandes campos: a Estatística 
Descritiva e a Estatística Indutiva. 
Estatística Descritiva - consiste em um conjunto de métodos que ensinam a sumarizar 
uma quantidade de dados bastante numerosa em um número pequeno de medidas, 
substitutas e representantes daquela massa de dados. 
Estatística Indutiva - consiste em inferir (deduzir ou tirar conclusões a respeito das) 
propriedades de um universo a partir de uma amostra. O processo de generalização, que é 
característico do método indutivo, está associado a uma margem de incerteza. A medida 
da incerteza é tratada mediante técnicas e métodos que se fundamentam na Teoria das 
Probabilidades. 
 População ou 
 Universo 1 
 
 2 
 Amostra de tamanho n 
 3 
 
 … Tirar conclusões sobre 
 a população 
 N 
 
 
1 TRIOLA, Mario. Introdução à Estatística. p. 2. 
2 Notas de Aula – MAT020 Estatística IA 
 
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1.3 FASES DO TRABALHO ESTATÍSTICO2 
 A Estatística, enquanto método de análise, necessita ser desenvolvido em várias 
etapas para que se obtenha qualidade no trabalho proposto. As principais fases do 
método são: 
 Definição do problema 
 Planejamento do trabalho 
 Coleta de dados 
 Apuração dos dados 
 Apresentação dos dados 
 Análise e interpretação dos dados 
 
Definição do problema 
 É a primeira etapa do trabalho estatístico e consiste na formulação correta do 
problema a ser estudado. Para tanto, devemos considerar vários aspectos: 
 explicitar de forma completa o objeto de estudo; 
 identificar outros estudos já realizados com o mesmo objeto ou estudos análogos 
(revisão bibliográfica sobre o tema); 
 definir as hipóteses que serão utilizadas como guia para resolução do problema 
proposto; 
 identificar as variáveis que serão analisadas durante o trabalho e ressaltar aquelas que 
são mais relevantes. 
 
Planejamento do trabalho 
 Nesta etapa são determinados todos os procedimentos necessários para a 
resolução do problema. Primeiramente devemos definir se o estudo proposto será 
realizado através de um levantamento censitário (quando todos os elementos do 
universo são investigados) ou se o levantamento será de uma parte da população, por 
amostragem. A seguir devemos planejar todas as etapas do trabalho, a saber: 
 a elaboração do cronograma das atividades fixando os prazos para cada etapa do 
trabalho; 
 
2 Os conceitos apresentados no item 1.3 destas Notas de Aula têm como apoio a seguinte referência 
bibliográfica: RUDIO, Franz Vitor. Introdução ao projeto de pesquisa científica. Petrópolis, Ed. Vozes. 
 
Capítulo I Dados e a Estatística 3 
 
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 a definição da equipe técnica e de apoio; 
 a definição da amostragem, se for o caso; 
 a confecção do instrumento de coleta de dados (questionário, entrevista, etc.); 
 a seleção e treinamento da equipe de coleta de dados; 
 a coleta de dados propriamente dita; 
 a digitação e crítica aos dados; 
 a tabulação dos dados; 
 a análise e interpretação dos dados; 
 a elaboração do relatório final do trabalho; e, ainda, 
 a definição dos custos do projeto, quem o financiará e o espaço físico onde serão 
realizadas as atividades internas do trabalho proposto. 
 
Coleta de dados 
 A coleta de dados consiste no processo de obter as informações desejadas sobre 
o(s) fenômeno(s) que se está investigando. Porém, trata-se um pouco mais do que ir a 
campo levantar ou coletar os dados. Para que as informações coletadas traduzam a 
realidade são imprescindíveis as etapas a seguir: 
 Elaboração do instrumento de pesquisa 
 Teste do instrumento de pesquisa 
 Seleção e treinamento de pesquisadores de campo 
 Coleta de dados propriamente dita 
 Crítica das informações obtidas 
 
Apuração dos dados 
 Após a coleta dos dados nos defrontamos com um amontoado de repostas sobre 
as variáveis definidas no projeto de trabalho. Para podermos analisar e interpretar as 
informações obtidas precisamos ordenar e organizar as respostas. Essa etapa diz respeito 
à apuração dos dados e compõem-se dos seguintes passos: 
 Classificar os dados – identificar todas as repostas possíveis para cada variável; 
 Codificar os dados – é o processo de atribuir um símbolo a cada resposta possível das 
variáveis e, geralmente, utilizamos números como códigos. 
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 Tabular os dados – este passo consiste em elaborar uma tabela de modo que nas 
colunas sejam explicitadas as variáveis e nas linhas são registrados os resultados 
referentes a cada caso observado, para as diversas variáveis (diz respeito à elaboração 
da planilha de dados para processamento, de preferência, eletrônico dos dados). A 
tabulação pode ser manual e mecânica. 
 Atualmente trabalha-se com computador para elaborar a tabulação utilizando um 
programa gerenciador de banco de dados ou um programa estatístico. 
 
Apresentação dos dados 
No trabalho estatístico muitas vezes necessitamos apresentar as informações 
obtidas de forma resumida, antes mesmo de utilizarmos técnicas estatísticas de análise de 
dados. Dessa forma, as tabelas e os gráficos são as formas mais comuns de apresentação 
das informações coletadas. Como confeccionar tabelas e gráficos será apresentado 
adiante em item específico sobre este assunto. 
 
Análise e interpretação dos dados 
A análise e a interpretação estatística dos dados visam verificar o que os dados 
significam para a pesquisa, ou seja, para resolver o problema proposto. A análise dos 
dados permite para as variáveis investigadas, resumidamente: 
 Caracterizar o que é típico no grupo - obter alguma indicação sobre a tendência central 
(média, moda, mediana). 
 Indicar até que ponto variam os indivíduos no grupo - determinar as medidas de 
variabilidade ou de dispersão (amplitude total, desvio quartil, desvio padrão, variância, 
coeficiente de variação, etc.). 
 Mostraroutros aspectos da maneira pela qual os indivíduos se distribuem em relação 
à variável que está sendo medida - identificar a distribuição de probabilidade variável 
(Normal, Binomial, etc.). 
 Mostrar a relação existentes entre as diferentes variáveis – aplicar vários métodos 
estatísticos para verificar a relação entre as variáveis (porém nenhum deles permite 
verificar uma relação causal). 
 Descrever as diferenças entre dois ou mais grupos de indivíduos 
 
Capítulo I Dados e a Estatística 5 
 
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Considerações finais 
 Concluído o trabalho nas questões relativas à estatística, o pesquisador com a 
experiência acumulada sobre o tema fará as conclusões que a análise dos dados permitir, 
procederá às comparações pertinentes, enunciará novos princípios e fará as 
generalizações apropriadas. 
 
1.4 NOÇÕES GERAIS DE AMOSTRAGEM
3
 
 A experiência com amostragem é fato corrente no cotidiano. Basta lembrar como 
um cozinheiro verifica o tempero de um prato que está preparando, como alguém testa a 
temperatura de um prato de sopa, ou ainda como um médico detecta as condições de 
uma paciente através de exames de sangue. Porém, o uso inadequado de um 
procedimento amostral pode levar a um viés de interpretação do resultado. Por exemplo, 
não mexer bem a sopa antes de retirar uma colher para experimentar, pode levar a 
subavaliação da temperatura do prato todo, com consequências desagradáveis para o 
experimentador. 
 O uso de amostras que produzam resultados confiáveis e livres de viéses é o ideal. 
Assim, a maneira de se obter uma amostra é tão importante que constitui uma 
especialidade dentro da Estatística, conhecida como Amostragem4. 
 
1.4.1. População e Amostra 
 
População ou Universo 
 Estes termos designam uma coleção de objetos, indivíduos ou informações que 
apresentam pelo menos uma característica em comum cujo comportamento interessa-
nos analisar. 
Seja U a população de interesse: U = {1, 2, 3, …, i, …, N}, onde i representa a ordem 
do elemento populacional. Seja Y a característica que desejamos estudar. Então, para 
cada elemento i  U podemos associar um Yi. 
 
 
3 A parte referente a Noções de Amostragem foi resumida das Notas de Aula sobre Amostragem 
organizadas pelas professoras do Departamento de Estatística da UFBA Lia Terezinha L. P. Moraes, 
Rosemeire Leovigildo Fiaccone, Rosana de Freitas Castro e Verônica Maria Cadena Lima. 
 
4 Amostragem é a parte da Estatística que trata da determinação do tamanho da amostra e da forma de 
seleção dos seus elementos, ou seja, das técnicas para a definição de uma amostra. 
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U = { 1 , 2 , 3 , …, i , …, N } 
 
 
Y = { Y1; Y2; Y3; …; Yi; …; YN} 
 
Se estivermos interessados em observar mais de uma característica da população 
(Y, X, …, Z), podemos associar a cada elemento populacional um conjunto de informações. 
Seja D a matriz de dados da população, então: 
D = 














N
N
N
ZZZ
XXX
YYY
...
............
...
...
21
21
21
 
 
Exemplos: 
i. Deseja-se conhecer o patrimônio líquido, faturamento, número de empregados, tempo 
de existência, das empresas situadas no Pólo Petroquímico de Camaçari neste ano. 
População: empresas existentes no Pólo Petroquímico de Camaçari no ano em estudo. 
Características: X = patrimônio líquido, Y = faturamento, W = número de empregados, 
Z = tempo de existência. 
ii. Deseja-se saber se nas indústrias situadas no Estado da Bahia, no último ano, existia 
algum tipo de controle ambiental. 
População: indústrias situadas no Estado da Bahia no último ano. 
Característica: X = existência ou não de algum tipo de controle ambiental na indústria. 
iii. Estudo sobre a precipitação pluviométrica na Região Nordeste no mês de janeiro deste 
ano. 
População: área referente à Região Nordeste. 
Característica: X = precipitação pluviométrica. 
iv. Deseja-se estudar os salários mensais pagos no setor industrial baiano no último ano. 
População: trabalhadores das indústrias localizadas na Bahia no último ano. 
Característica: X = salários pagos a esses trabalhadores. 
A Estatística ocupa-se fundamentalmente das propriedades das populações cujas 
características são passíveis de representação numérica como resultado de medições e 
contagens. Essas características da população são comumente chamadas de variáveis. 
 
Capítulo I Dados e a Estatística 7 
 
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Populações finitas e infinitas 
Quanto ao número de elementos, as populações podem ser classificadas em finita 
e infinita, dependendo se o número de elementos que a compõe for finito ou infinito. 
Exemplos: 
 População finita: indústrias situadas no Estado da Bahia no último ano (exemplo ii). 
 População infinita: pressões atmosféricas ocorridas nos diversos pontos do Continente 
em determinado momento. 
Algumas populações finitas podem apresentar um número de elementos tão 
elevado que, teoricamente, podemos considerá-las como infinitas, facilitando-se assim a 
discussão teórica de um grande número de problemas, sem introduzir erros consideráveis. 
 
Amostra 
Qualquer subconjunto finito de elementos extraídos da população, em geral com 
dimensão sensivelmente menor, sobre o qual se faz as observações. 
 
1.4.2. Comparação entre censos e amostras 
As informações estatísticas podem ser obtidas de diferentes maneiras. Uma das 
formas mais antigas de levantamento de dados é através da realização de censos os quais, 
por definição, pesquisam todas as unidades pertencentes à população para o qual foi 
planejado. 
Em virtude desta definição a ideia que se tem dos resultados divulgados por um 
censo é que estes são precisos, ou seja, isentos de erros. Porém, à medida que passam a 
ser considerados alguns aspectos envolvidos nestes levantamentos, constata-se de 
imediato que esta ideia é errônea e que os resultados divulgados por um levantamento 
censitário estão sujeitos a erros. Os erros mais frequentes são os relacionados à 
identificação correta da área onde o recenseador trabalha e ao levantamento das 
informações desejadas. 
Visto que um censo pode não fornecer informações exatas, além do alto custo 
envolvido para sua realização, da demora na divulgação dos resultados e de outros 
fatores, o levantamento por amostragem começou a ser pensado como forma alternativa 
de levantamento. 
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Os levantamentos por amostragem consistem em trabalhar, dentro de certos 
critérios, com uma parte da população selecionada ao acaso. Tomando por base esta 
investigação é possível realizar inferência para a população como um todo. Como este 
trabalho é feito apenas com uma parte da população e a inferência é feita para o todo, 
este tipo de levantamento estará sujeito a um erro chamado de erro de amostragem ou 
erro amostral. Os erros de amostragem normalmente decrescem com o tamanho da 
amostra.Uma pesquisa por amostra, executada em concordância com certos princípios 
estatísticos, permite estimar parâmetros da população e também obter uma estimativa 
válida do erro de amostragem para o parâmetro estimado. Se nos censos não existe o erro 
amostral, pois por definição toda população é estudada, ocorrem outros tipos de erro, 
chamados erros não-amostrais, e que são comuns tanto nos censos como em pesquisas 
por amostra. O comportamento do erro não-amostral é o oposto ao do erro amostral, ou 
seja, o erro não-amostral aumenta à medida que cresce o número de questionários a 
serem aplicados uma vez que é preciso adotar uma melhor organização de campo, um 
melhor treinamento, uma melhor supervisão na coleta dos dados e um maior controle na 
apuração. 
As implicações para aplicação de um desses dois métodos devem ser bem 
avaliadas e compreendidas. Segundo Bussab (1998), o uso de censo é recomendado 
quando a população é pequena , quando a coleta das informações é barata ou quando 
existe um alto custo em tomar decisões erradas. O bom senso deve prevalecer em 
algumas decisões. Por exemplo, quando a população for pequena e a precisão estatística 
desejada sugerir uma amostra maior do que a metade da população é bem razoável fazer 
um censo, desde que os custos permitam. Em contraposição, deve-se usar amostragem 
quando a população é muito grande e/ou custo (em dinheiro ou tempo) de obter a 
informação é alto, e/ou o processo de investigação leva a destruição do elemento 
observado. 
 
1.4.3. Parâmetro e Estatística 
Estreitamente relacionados com os conceitos de população e amostra estão os 
conceitos de parâmetro e estatística. Considere o exemplo abaixo para efeito de 
ilustração desses conceitos. 
Capítulo I Dados e a Estatística 9 
 
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Exemplo: Em uma pesquisa, feita por uma agência de consultoria, com 1015 pessoas 
escolhidas ao acaso, 269 (26,5%) possuíam computador. Como esta cifra se baseia em 
uma amostra, e não em toda população, trata-se de uma estatística. Já numa pesquisa 
feita entre todos os funcionários de certa empresa (censo) de Salvador mostra que 84% 
possuem computadores, este valor é um parâmetro, pois se baseia em toda a população 
de funcionários da empresa. 
Temos, portanto, as seguintes definições: 
Parâmetro - é uma medida numérica que descreve uma característica de uma população. 
Estatística - é uma medida numérica que descreve uma característica de uma amostra. 
Segue a notação de alguns dos parâmetros e estatísticas mais utilizados. 
Característica 
Parâmetro 
(θ) 
Estatística 
(T) 
Proporção p p̂ 
Média  X ou ̂ 
Variância 2 2S 
Desvio padrão  S 
Mediana Md md 
Número de elementos N n 
 
Com os objetivos da pesquisa traduzidos em características mensuráveis, antes de 
definirmos o tamanho da amostra e confeccionarmos o(s) instrumento(s) de pesquisa (por 
exemplo, questionário), necessita-se tornar bem claro quais as características 
populacionais (parâmetros) que deverão ser estimados pela amostra. 
 
1.4.4. Tipos de Amostragem 
Os vários procedimentos de se escolher uma amostra podem ser agrupados em 
dois grandes grupos: os chamados planos probabilísticos e planos não-probabilísticos. 
 Planos probabilísticos: usam mecanismos aleatórios de seleção dos elementos da 
amostra, atribuindo a cada um deles uma probabilidade, conhecida a priori, de 
pertencer à amostra. 
 Planos não-probabilísticos: são os procedimentos que introduzem alguma tendência 
na escolha da amostra como, por exemplo: amostras intencionais, onde os elementos 
são selecionados com o auxílio de especialistas; amostras de voluntários para 
avaliação de novos remédios. 
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 Ambos os procedimentos têm suas vantagens e desvantagens. Os estatísticos 
preferem trabalhar com as amostras probabilísticas, pois têm toda a teoria de 
probabilidade e de inferência estatística para dar suporte às conclusões. Assim, é possível 
medir a precisão dos resultados, baseando-se na informação contida da própria amostra. 
 
Principais Tipos de Amostragem Probabilística 
 
Amostragem aleatória simples 
Quando o sistema de referência é perfeito, isto é, quando é conhecida a lista de 
todas as unidades elementares da população, é possível usar um processo de sorteio no 
qual cada unidade populacional tenha a mesma probabilidade de pertencer à amostra. A 
seleção pode ser feita com ou sem reposição. 
 
Amostragem estratificada 
Nesta técnica, a população é dividida em estratos (por exemplo, por sexo, por 
bairro, por faixas de renda, etc.) e, em cada estrato, selecionam-se os elementos 
populacionais utilizando a amostragem aleatória simples. Esta técnica é muito mais 
eficiente quando é conhecida a informação de que a característica que nos interessa 
estudar é muito heterogênea na população. A população heterogênea é transformada em 
subpopulações relativamente homogêneas. 
 
Amostragem por conglomerado 
Quando a seleção de unidades elementares for muito dispendiosa ou não se 
dispuser de um sistema de referência completo, a pesquisa por amostragem pode ser 
viabilizada através da seleção de grupos ou conglomerados de unidades elementares (por 
exemplo, quarteirões, famílias). Alguns conglomerados são selecionados segundo uma 
amostragem aleatória simples e todos os indivíduos nos conglomerados selecionados são 
observados - amostragem por conglomerado em um estágio. Em geral este tipo de 
amostragem é menos eficiente do que as demais, porém é mais econômica. Tal 
procedimento é adequado quando é possível dividir a população em um grande número 
de pequenas subpopulações e, de preferência, essas subpopulações devem apresentar a 
variabilidade o mais próxima possível à da população em estudo. 
Capítulo I Dados e a Estatística 11 
 
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Pode-se também adotar um procedimento de amostragem por conglomerado em 
dois estágios, ou seja, cada conglomerado selecionado na amostra no primeiro estágio é 
subamostrado, isto é, uma amostra de unidades é selecionada de cada conglomerado 
selecionado no primeiro estágio. 
 
Amostragem sistemática 
Quando existe disponível uma listagem de indivíduos da população, pode-se 
sortear aleatoriamente um indivíduo entre os k primeiros e então selecionar 
sequencialmente os demais elementos amostrais mantendo o intervalo de seleção de k 
unidades. Se o tamanho da população (N) for um múltiplo do tamanho da amostra o 
intervalo de seleção para obter uma amostra de tamanho n será k = N/n. Caso N não seja 
múltiplo de n, o problema pode ter várias soluções aproximadas e o amostrista deve 
decidir qual a mais conveniente. 
 
Exemplo (Bussab): Suponha que para uma determinada população N = 1000 deseja-se 
retirar uma amostra de tamanho n = 200. Tem-se portanto, que k = 5. Isto é, a população 
será dividida em 200 grupos de 5 unidades populacionais onde um elemento será 
selecionado em cada grupo. Uma unidade será selecionada entre 5 as primeiras. Suponha 
que a unidade 3 tenha sido selecionada. Então em cada um dos 199 grupos restantes, será 
selecionada sempre a terceira unidade, completando a nossa amostra sistemática de 200 
unidades. 
 
 Em populações que estão em "ordem-aleatória",este tipo de amostragem é quase 
tão eficiente quanto a amostragem aleatória simples, entretanto pode ser bastante 
prejudicada quando ciclos estão presentes na população. 
 
1.5 TIPOS DE VARIÁVEIS 
A característica que nos interessa analisar damos o nome de variável. As 
características ou variáveis podem ser divididas em dois tipos: qualitativas e 
quantitativas. 













Contínua
Discreta
 vaQuantitati
Ordinal
Nominal
 aQualitativ
 variáveisde Tipos 
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Variáveis qualitativas - quando o resultado da observação é apresentado na forma de 
qualidade ou atributo. Exemplos: setor de atividade econômica; estado civil; porte da 
empresa; etc. 
Variável qualitativa nominal - quando não existe qualquer ordenação para os resultados 
obtidos do processo de observação. Como exemplo, temos, entre as variáveis acima 
citadas: setor de atividade econômica (industrial, comercial, serviços, etc.); estado civil 
(solteiro, casado, viúvo, etc.). 
Variável qualitativa ordinal - quando existe uma certa ordenação nos possíveis 
resultados das observações efetuadas. Exemplo: porte de uma empresa (micro, 
pequena, média e grande). Outros exemplos: classe social (alta, média e baixa); o grau 
de escolaridade do empregado (1
o
 grau; 2
o
 grau; e 3
o
 grau). 
 
Variáveis quantitativas - quando o resultado da observação é um número, decorrente de 
um processo de mensuração ou contagem. Exemplos: número de empregados; salário 
mensal; faturamento anual; idade; tamanho da família; etc. 
Variável quantitativa discreta - quando os resultados possíveis da observação formam 
um conjunto finito ou infinito enumerável. Resultam, freqüentemente, de uma 
contagem. Exemplos: número de empregados (0,1,2,...); tamanho da família (1, 2, 3, ...). 
Variável quantitativa contínua - quando os possíveis valores formam um intervalo ou 
uma união de intervalos de números reais. Resultam, normalmente, de um processo de 
mensuração. Exemplos: salário mensal; faturamento anual, altura; peso. 
Para resumir as informações levantadas durante uma pesquisa usaremos a técnica 
mais apropriada, a depender do tipo de variável que estamos analisando. 
 
1.6 ESCALAS DE MENSURAÇÃO 
 Existem quatro tipos de escalas de mensuração: 
 
Escala nominal ou classificadora: “Quando números ou outros símbolos são usados para 
identificar os grupos a que vários objetos pertencem, esses números ou símbolos 
constituem uma escala nominal ou classificadora.”5 Isto é, quando os números ou 
símbolos não têm significado quantitativo. Esta escala nominal envolve apenas relações 
 
5 SIEGEL, p.23. 
Capítulo I Dados e a Estatística 13 
 
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de igualdade e diferença entre grupos e não é possível fazer comparações dentro de em 
mesmo grupo. 
Exemplos: 
 sexo (masculino, feminino); 
 constituição jurídica da empresa (sociedade limitada, sociedade anônima, etc.); 
 bom - mau; 
 sim – não. 
A escala nominal representa a escala mais simples de medição e apenas os 
métodos não-paramétricos de análise estatística são apropriados para este tipo de 
mensuração. 
 
Escala ordinal: Como na escala nominal, a escala ordinal permite verificar semelhanças e 
diferenças entre grupos. Porém, pode ocorrer que grupos de classificação não sejam 
apenas diferentes, mas também apresentem uma certa relação entre eles do tipo: mais 
alto do que; preferível a; mais difícil do que; etc.. Se a relação “maior do que” (simbolizada 
como >) é válida para todos os pares de classes, temos um escala ordinal. 
Exemplos: 
 classe social (alta, média e baixa): a relação maior status social é válida para qualquer 
par de classe e os membros de uma classe têm o igual status social; 
 opinião de um indivíduo sobre a administração de um prefeito (péssima, ruim, regular, 
boa, ótima) 
 grau de escolaridade (fundamental, médio, superior). 
Embora seja, ainda, um método simples de mensuração, a escala ordinal permite 
fazer uma ordenação por categorias dando maior robustez a este tipo de escala. 
Novamente, os métodos não-paramétricos são os mais indicados. 
 
Escala intervalar: “Quando a escala tem todas as características de uma escala ordinal, e 
quando, além disso, se conhecem as distâncias entre dois números quaisquer da escala, 
então consegue-se uma mensuração consideravelmente mais forte que a ordinal. Obtém-
se, nesse caso, uma mensuração no sentido de uma escala intervalar. Isto é, se nossa 
fixação das diversas classes de objetos é tão precisa a ponto de sabermos exatamente 
quão grandes são os intervalos (distâncias) entre todos os elementos da escala, então 
atingimos o grau de mensuração por intervalos. (…) Nesse tipo de mensuração, a razão de 
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dois intervalos quaisquer é independente da unidade de mensuração e do ponto zero. Em 
uma escala intervalar, o ponto zero e a unidade de medida são arbitrários.”6 
Exemplos: 
* medição da temperatura: a temperatura 40o C é mais quente que a temperatura de 20o 
C e o ponto 0o é uma temperatura arbitrada; 
* o nosso calendário: o ano zero é um ano arbitrário; 
* a distância entre duas cidades. 
Esta escala é uma escala verdadeiramente quantitativa. É possível a aplicação de 
todas os métodos estatísticos paramétricos conhecidos (médias, desvios padrões, 
correlações de Pearson, etc.), assim como os métodos paramétricos comuns (teste t, teste 
F, etc.) em dados neste tipo de escala. Os métodos não-paramétricos podem ser 
utilizados, mas, em geral, não aproveitam toda a informação contida nos dados 
pesquisados (há desperdício da informação). 
 
Escala de razões: “Quando uma escala tem todas as características de uma escala de 
intervalos e, além disso, tem um verdadeiro ponto zero como origem, é chamada de 
escalas de razões. Em uma escala de razões, a razão de dois pontos quaisquer da escala é 
independente da unidade de mensuração.”7 
Exemplos: 
* medição da intensidade do som; 
* medição da estatura de um indivíduo; 
* quantidade, em quilogramas, da produção diária de uma empresa; 
* tempo de existência de uma empresa. 
Se a escala de mensuração utilizada é de razões, qualquer método estatístico é 
passível de aplicação aos dados levantados. 
 
 
6 SIEGEL (1979). p.28. 
7 SIEGEL (1979). p.31. 
Capítulo II 
 
Estatística Descritiva: Apresentação dos Dados 
 
Quando realizamos um levantamento de dados para estudar algum fenômeno 
(variável), o resultado é uma série estatística. O modo de condensação ou apresentação 
dessas séries pode ser na forma de tabelas ou de gráficos. Estas formas de apresentação 
facilitam a visualização do fenômeno, permitem a comparação entre categorias do 
fenômeno, permitem o cruzamento com outros fenômenos e fazer previsões. Antes, 
porém, é necessário criar um arquivo de dados informatizado. 
 
2.1 A PLANILHA DE DADOS 
O tratamento dos dados com o apoio computacional tem como primeiro passo a 
montagem da planilha de dados. Para construí-la basta imaginá-la como uma tabela 
estatística arrumada da seguinte forma: nas colunas registramosas diversas 
características ou variáveis investigadas e as linhas serão preenchidas com os registros 
sobre as variáveis de cada elemento da amostra (ou da população). 
 
Exemplo: Um estudo sobre indústrias petroquímicas situadas no Pólo Petroquímico de 
Camaçari – COPEC levantará as seguintes variáveis: patrimônio líquido da empresa, 
faturamento anual para os dois últimos anos, número total de empregados, número de 
empregados no setor produtivo da empresa, etc. 
 
Planilha de dados 
 Variável 1 
Nome da 
empresa 
Variável 2 
Patrimônio 
líquido 
Variável 3 
Faturamento 
ano 1 
Variável 4 
Faturamento 
ano 2 
Variável 5 
N° total de 
empregados 
Variável 6 
N° empregados 
setor produtivo 
 
Etc. 
1 A 
2 B 
3 C 
4 D 
5 E 
6 F 
etc. etc. 
 
 
 
 
 16 Notas de Aula – MAT020 Estatística IA 
 
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2.2 DADOS BRUTOS E ROL 
 
Exemplo de aplicação: Para exemplificar os diversos conceitos estatísticos destas Notas 
de Aula, será utilizado um banco de dados fictício referente ao seguinte enunciado. Na 
Região XWZ, visando conhecer as principais características das empresas industriais 
situadas na região, foi realizado um levantamento censitário para investigar algumas 
características das empresas no ano 2 e o faturamento nos anos 1 e 2. O banco de dados, 
reproduzido na página 17, está organizado de acordo com o esquema a seguir e as 
palavras no cabeçalho da tabela dizem respeito aos nomes dados a cada uma das 
variáveis investigadas: 
 Identificação da empresa (empresa)  número sequencial; 
 Setor de atividade industrial (setorind)  Códigos: 0 = Mobiliário; 1 = Bebidas; 2 = 
Editorial e gráfica; 3 = Vestuário; 4 = Minerais não-metálicos; 5 = Produtos 
alimentares; 
 Faturamento do ano 1 (fat_ano1)  valores em mil unidades monetárias; 
 Faturamento do ano 2 (fat_ano2)  valores em mil unidades monetárias; 
 Número de empregados (emprego); 
 Tempo de funcionamento da empresa (idade)  valores em anos completos. 
 
empresa setorind fat_ano1 fat_ano2 emprego idade 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando realizamos um levantamento de dados, é necessário utilizarmos algum 
instrumento de registro das informações coletadas (questionários, formulários, etc.). 
Porém, após coletarmos as informações, estas encontram-se desorganizadas 
numericamente. Os dados obtidos, sem qualquer organização numérica, são chamados 
de dados brutos. Quando os valores para cada variável investigada são dispostos em uma 
determinada ordem, crescente ou decrescente, chamamos a listagem de rol. 
Capítulo II Estatística Descritiva: Apresentação dos Dados 17 
 
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Banco de dados utilizado no exemplo de aplicação 
empresa setorind fat_ano1 fat_ano2 emprego idade empresa setorind fat_ano1 fat_ano2 emprego idade 
1 2 70 45 13 10 63 4 446 381 18 13 
2 2 48 65 13 16 64 4 444 381 14 20 
3 2 80 66 16 8 65 3 328 386 19 4 
4 2 62 69 10 10 66 3 343 389 20 1 
5 2 69 77 6 4 67 3 352 391 16 5 
6 2 80 88 12 8 68 3 369 402 20 4 
7 2 74 89 12 14 69 4 468 402 8 20 
8 2 93 98 10 8 70 3 352 405 26 7 
9 2 96 104 10 2 71 4 450 410 15 18 
10 2 133 122 18 11 72 4 494 415 12 21 
11 2 254 123 5 18 73 4 488 423 11 16 
12 2 95 129 5 3 74 3 383 426 21 5 
13 2 163 145 9 4 75 3 360 432 6 4 
14 4 140 150 13 15 76 3 373 432 19 5 
15 2 116 154 12 7 77 4 494 432 10 17 
16 2 160 154 13 9 78 3 353 450 19 1 
17 0 76 156 3 11 79 3 378 455 9 3 
18 1 148 156 5 20 80 4 537 455 22 18 
19 4 148 167 15 14 81 3 397 456 17 6 
20 2 180 171 14 13 82 3 407 463 14 5 
21 1 202 174 12 13 83 3 443 465 16 7 
22 1 124 176 11 5 84 3 411 473 12 6 
23 1 154 183 10 12 85 4 550 475 6 19 
24 3 155 185 21 6 86 3 428 483 22 6 
25 0 120 192 5 5 87 3 422 483 20 7 
26 3 174 202 17 4 88 3 437 487 23 5 
27 3 437 205 23 3 89 5 446 487 22 15 
28 2 202 212 12 14 90 3 425 489 21 8 
29 3 190 217 18 5 91 4 576 490 17 17 
30 4 202 230 15 21 92 4 573 495 11 13 
31 3 205 233 26 3 93 4 594 500 9 14 
32 1 249 233 15 8 94 3 455 502 24 5 
33 3 218 236 16 4 95 3 469 503 21 6 
34 3 273 245 13 5 96 3 446 505 18 5 
35 3 216 248 18 5 97 4 579 510 8 15 
36 3 223 250 18 5 98 4 499 510 13 18 
37 3 205 253 13 5 99 3 445 525 15 3 
38 5 203 254 15 6 100 3 374 530 27 5 
39 3 225 261 19 5 101 5 510 534 31 10 
40 4 308 265 7 16 102 4 774 543 17 30 
41 3 226 268 13 6 103 4 633 545 15 13 
42 3 260 276 17 5 104 4 653 567 16 18 
43 4 329 282 12 16 105 3 513 570 20 5 
44 1 336 292 10 15 106 4 590 585 20 20 
45 3 236 299 19 6 107 4 716 610 11 23 
46 3 262 310 15 6 108 5 554 620 23 12 
47 5 271 310 17 7 109 4 719 623 20 18 
48 3 270 314 21 5 110 4 764 630 20 21 
49 3 304 333 12 8 111 4 650 634 11 24 
50 4 322 334 27 16 112 5 656 670 16 12 
51 3 297 335 18 4 113 4 807 682 20 24 
52 5 222 345 15 7 114 5 686 695 19 6 
53 3 318 351 20 6 115 4 813 702 13 10 
54 3 313 354 23 2 116 4 711 723 14 17 
55 4 425 355 16 18 117 4 841 730 14 17 
56 4 422 361 15 19 118 4 824 734 18 21 
57 3 296 365 15 6 119 4 850 750 17 25 
58 3 307 367 25 6 120 4 959 810 18 18 
59 3 319 369 16 5 121 5 810 835 26 5 
60 4 435 370 15 17 122 4 866 875 12 23 
61 4 436 372 12 19 123 5 1150 1243 39 11 
62 4 453 375 5 12 124 5 1554 1345 29 10 
 18 Notas de Aula – MAT020 Estatística IA 
 
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2.3 SÉRIES ESTATÍSTICAS 
Em um levantamento estatístico obtemos como resultado uma coleção de dados 
que pode ser chamada de série estatística. Para classificar uma série estatística devemos 
levar em consideração os elementos que a compõe: tempo, local ou fenômeno. 
São quatro os tipos de séries conforme a variação de um ou mais dos fatores que a 
compõem: 
 
1ª) série temporal, cronológica ou histórica - quando os resultados da observação são 
registrados ao longo do tempo; 
2ª) série geográfica ou espacial - quando os resultados da observação são registrados 
segundo seu local de ocorrência; 
3ª) série especificativa, específica ou categórica - quando o fenômeno é observado 
segundo algumas categorias; 
4ª) série mista – quando pelo menos dois elementos da série estão variando, ou seja, são 
combinações dos tipos de séries citados anteriormente. 
 
2.4 REPRESENTAÇÃO TABULAR E GRÁFICA DE UM CONJUNTO DE DADOS 
 
A apresentação de dados, como foi dito anteriormente, pode ser resumida através 
de tabelas e gráficos. 
Para elaborar tabelas existem algumas normas a serem seguidas e estas serão 
apresentadas a seguir. 
 
2.4.1 NORMAS DE APRESENTAÇÃO TABULAR1 
 
2.4.1.1 Objetivo 
 
Estas normas fixam conceitos e procedimentos aplicáveis à elaboração de tabelas 
de dados numéricos, de modo a garantir a clareza das informações apresentadas. 
 
 
1 Retiradas do documento: IBGE. Normas de apresentação tabular. Centro de Documentação e 
Disseminação de Informação. 3ª ed. IBGE, Rio de Janeiro, 1993. 
Capítulo II Estatística Descritiva: Apresentação dos Dados 19 
 
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2.4.1.2 Principais elementos de uma tabela 
Inicialmente, apresentaremos o esboço de uma tabelae a seguir serão 
conceituados os elementos que a compõe. 
 



Título
Tabela da Número
TOPO 
Cabeçalho 
da coluna 
indicadora 
Cabeçalho das colunas numéricas 
 Coluna 
 
 
 
Linha  Célula 
 
 





específica Nota
geral Nota
Fonte
RODAPÉ 
 
Topo: Espaço superior de uma tabela destinado ao seu número e ao seu título. 
 
Título: Conjunto de termos indicadores do conteúdo de uma tabela. Toda tabela deve ter 
título, inscrito no topo, para indicar a natureza e as abrangências geográfica e temporal 
dos dados numéricos. As indicações da natureza e da abrangência geográfica dos dados 
numéricos devem ser feitas sem abreviações, por extenso, de forma clara e concisa. 
 
Centro: Espaço central de uma tabela destinado à moldura, aos dados numéricos e aos 
termos necessários à sua compreensão. No centro identificam-se quatro espaços 
menores: o espaço do cabeçalho, a coluna, a linha e a célula. 
 
Espaço do cabeçalho: Espaço superior do centro de uma tabela destinado à indicação do 
conteúdo das colunas. Toda tabela deve ter cabeçalho, inscrito no espaço do cabeçalho, 
para indicar, complementarmente ao título, o conteúdo das colunas. O conteúdo das 
colunas deve ser feita com palavras ou com notações, de forma clara e concisa. 
Recomenda-se que a indicação com palavras seja feita por extenso, sem abreviações. 
 
Coluna: Espaço vertical do centro de uma tabela destinado aos dados numéricos (coluna 
de dados numéricos) ou aos indicadores de linha (colunas indicadoras). 
 20 Notas de Aula – MAT020 Estatística IA 
 
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Linha: Espaço horizontal do centro de uma tabela destinado aos dados numéricos. Toda 
tabela deve ter indicadores de linha, inscritos nas colunas indicadoras, para indicar, 
complementarmente ao título, o conteúdo as linhas. O conteúdo das linhas deve ser feita 
com palavras ou com notações, de forma clara e concisa. Recomenda-se que a indicação 
com palavras seja feita por extenso, sem abreviações. 
 
Dado numérico: Quantificação de um fato específico observado. A estruturação dos 
dados numéricos e dos termos necessários à compreensão de uma tabela deve ser feita 
com, no mínimo, três traços horizontais paralelos. O primeiro para separar o topo, o 
segundo para separar o espaço do cabeçalho. O terceiro para separar o rodapé. 
 
Célula: espaço mínimo do centro de uma tabela, resultante do cruzamento de uma linha 
com uma coluna, destinado ao dado numérico ou ao sinal convencional. 
 
Sinal convencional: Representação gráfica que substitui um dado numérico. A 
substituição de um dado numérico deve ser feita por um dos sinais abaixo, conforme o 
caso: 
- Dado numérico igual a zero não resultante de arredondamento; 
.. Não se aplica dado numérico; 
... Dado numérico não disponível; 
x Dado numérico omitido a fim de evitar a individualização da informação; 
0
0 0
0 00
,
,
etc.
Valor igual a zero resultante de arredondamento de um dado numérico originalmente positivo.













0
0 0
0 00
,
,
 etc.
Valor igual a zero resultante de arredondamento de um dado numérico originalmente negativo.
 
 Quando uma tabela contiver sinais convencionais, estes deverão ser apresentados 
em nota geral com seus respectivos significados. No caso de publicação que contenha 
tabelas com sinais convencionais, na qual a apresentação dos sinais e de seus significados 
figure em destaque, é dispensável a nota geral em cada tabela. 
 
Rodapé: Espaço inferior de uma tabela destinado à fonte, à nota geral e à nota específica. 
 
Capítulo II Estatística Descritiva: Apresentação dos Dados 21 
 
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Fonte: Identificador do responsável (pessoa física ou jurídica) ou responsáveis pelos 
dados numéricos. Toda tabela deve ter fonte, inscrita a partir da primeira linha de seu 
rodapé. A identificação do responsável ou responsáveis pelos dados numéricos deve ser 
feita com palavras, por extenso, e precedida da palavra Fonte ou Fontes. Quando os 
dados são extraídos de algum documento, recomenda-se a indicação da referência 
bibliográfica do documento e quando a tabela contiver dados numéricos resultantes de 
transformação dos dados numéricos obtidos na fonte, o responsável pela operação deve 
ser identificado em nota geral ou nota específica. 
 
Nota geral: Texto esclarecedor do conteúdo geral de uma tabela, quando necessário. 
Deve ser inscrito logo após ao rodapé da tabela e ser precedido do termo Nota ou Notas. 
 
Nota específica: Texto esclarecedor de algum elemento específico de uma tabela, quando 
necessário. Deve ser inscrito no rodapé, logo após a nota geral (quando esta existir). 
Quando uma tabela contiver mais de uma nota específica, estas devem ser distribuídas 
obedecendo à ordem de numeração das chamadas, separando-se uma das outras por um 
ponto. 
 
Chamada: Símbolo remissivo atribuído a algum elemento de uma tabela que necessita 
uma nota específica. A remissiva atribuída a algum elemento deve ser feita em algarismos 
arábicos em destaque: entre parênteses, entre colchetes, exponencial. Quando uma 
tabela contiver mais de uma chamada, estas devem ser distribuídas sucessivamente, de 
cima para baixo e da esquerda para a direita, em ordem crescente de numeração. 
 
Unidade de medida: Termo indicador da expressão quantitativa ou metrológica dos 
dados numéricos. Uma tabela deve ter unidade de medida, inscrita no espaço do 
cabeçalho ou nas colunas indicadoras, sempre que houver necessidade de se indicar, 
complementarmente ao título, a expressão quantitativa ou metrológica dos dados 
numéricos. A unidade de medida deve ser feita com símbolos ou palavras entre 
parênteses. 
 
2.4.1.3 Apresentação do tempo 
i) Toda série temporal consecutiva deve ser apresentada, em uma tabela, por seus 
pontos, inicial e final, ligados por hífen (-). 
 22 Notas de Aula – MAT020 Estatística IA 
 
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Exemplos: 
1981-1985: apresenta dados numéricos para os anos de 1981, 1982, 1983, 1984 e 1985. 
OUT 1991 - MAR 1992: apresenta dados numéricos para os meses de outubro, novembro 
e dezembro de 1991 e janeiro, fevereiro e março de 1992. 
30.05.1991 - 06.06.1991: dados referentes aos dias 30 e 31 de maio de 1991 e 1, 2, 3, 4, 
5, e 6 de junho de 1991. 
 
ii) Toda série temporal não consecutiva deve ser apresentada, em uma tabela, por seus 
pontos, inicial e final, ligados por barra (/). 
Exemplos: 
1981/1985: apresenta dados numéricos para os anos de 1981 e 1985, não sendo 
apresentados dados numéricos de pelo menos um dos anos desta série 
temporal. 
OUT 1991/MAR 1992: dados referentes aos meses de outubro de 1991 e março de 1992, 
não sendo apresentados dados numéricos de pelo menos um dos meses desta 
série temporal. 
30.05.1991 / 06.06.1991: dados referentes aos dias 30 de maio de 1991 e 6 de junho de 
1991, não sendo apresentados dados numéricos de pelo menos um dos dias 
desta série temporal. 
 
iii) No caso de uma série temporal não consecutiva que contenha um número reduzido de 
pontos, a série temporal pode ser apresentada por todos os seus pontos, separados por 
vírgula, dispensando-se proceder conforme o item (ii). 
 
iv) Quando uma tabela contiver dados numéricos de uma safra, abrangendo dois anos, a 
apresentação doponto no tempo deve ser feita com os dois últimos algarismos de cada 
um dos anos ligados por barra (/) e precedida da palavra Safra. 
Exemplo: Safra 91/92: apresenta dados numéricos de uma safra iniciada em 1991 e 
terminada em 1992. 
 
v) Quando uma tabela contiver dados numéricos de um período anual diferente do ano 
civil, isto deve ser indicado no título, em nota geral ou nota específica. 
Capítulo II Estatística Descritiva: Apresentação dos Dados 23 
 
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2.4.1.4 Arredondamento de dados numéricos 
 
Os dados numéricos devem ser arredondados, em uma tabela, sempre que houver 
necessidade de apresentá-los com um número menor de algarismos. Isto deve ser 
indicado em nota geral ou nota específica. 
 
i. O arredondamento dos dados numéricos deve respeitar as diferenças significativas 
(absolutas e relativas) existente entre eles. 
 
ii. No arredondamento do dado numérico, quando o primeiro algarismo a ser 
abandonado for 0, 1, 2, 3 ou 4, deve ficar inalterado o último algarismo a 
permanecer. 
Exemplos: Arredondar para: 
- número inteiro o número 9,2377  9; 
- número com uma casa decimal (décimos) o número 9,2377  9,2; 
- número com duas casas decimais (centésimos) o número 21,0509  21,05. 
 
iii. No arredondamento de dado numérico, quando o primeiro algarismo a ser 
abandonado for 5, 6, 7, 8 ou 9, deve-se aumentar de uma unidade o último algarismo 
a permanecer. 
Exemplos: Arredondar para: 
- número inteiro o número 399,85  400; 
- número com uma casa decimal (décimos) o número 399,85  399,9; 
- número com duas casas decimais (centésimos) o número 9,2377  9,24. 
 
Uma tabela estatística reproduzida do site2 da SEI-BA – Superintendência de 
Estudos Econômicos e Sociais da Bahia, órgão oficial de estatística vinculado à Secretaria 
de Planejamento do Estado da Bahia é apresentada a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 www.sei.ba.gov.br 
 24 Notas de Aula – MAT020 Estatística IA 
 
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Estrutura do PIB por Grandes Setores 
Bahia – 2002 - 2007 
Ano 
Grandes setores 
Primário Secundário Terciário Total 
2002 10,5 28,8 60,7 100,0 
2003 10,6 28,8 60,6 100,0 
2004 10,8 30,7 58,5 100,0 
2005 8,6 32,2 59,2 100,0 
2006 7,9 30,7 61,5 100,0 
2007 
(*)
 7,8 30,2 62,0 100,0 
Fonte: SEI/IBGE 
(*) Dados sujeitos a retificação, depois de consolidados os resultados de todas as 
UF's (Projeto de Contas Regionais - SEI/IBGE). 
 
 
2.4.2 TABELAS SIMPLES E DE DUPLA ENTRADA 
 
Chamamos de tabela simples ou de uma única entrada quando esta representa 
apenas uma série estatística. Como exemplo, temos: 
 
Estrutura do PIB por Grandes Setores 
Bahia – 2002 
Grandes setores % do PIB 
Primário 10,5 
Secundário 28,8 
Terciário 60,7 
Total 100,0 
Fonte: SEI/IBGE 
 
 É bastante comum necessitarmos apresentar mais de uma série estatística em 
uma única tabela. A conjugação de duas séries damos o nome de tabelas de dupla 
entrada. Como exemplo temos a tabela que foi inicialmente apresentada. 
 
2.4.3 TABELAS DE MÚLTIPLA ENTRADA 
 
 A tabela de múltipla entrada apresentada a seguir consiste em uma parte da 
tabela apresentada no site do IBGE na publicação “As micro e pequenas empresas 
comerciais e de serviços do Brasil – 2001”, da série Estudos e Pesquisas – Informações 
Econômicas.3 
 
3 http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/economia/microempresa/microempresa2001.pdf 
Capítulo II Estatística Descritiva: Apresentação dos Dados 25 
 
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Aconselha-se não colocar muitas variáveis em uma única tabela, pois, no lugar de 
facilitar, pode dificultar a compreensão da informação. Deve-se, neste caso, dividir a 
tabela em quantas tabelas forem necessárias para a veiculação da informação. 
 
Tabela 1 - Micro e pequenas empresas de comércio e serviços, pessoal ocupado, salários, 
retiradas e outras remunerações, valor adicionado e receita operacional líquida, 
segundo as Grandes Regiões e faixas de pessoal ocupado - 2001 
(continua) 
Grandes Regiões e 
faixas de pessoal ocupado 
Número de 
micro e 
pequenas 
empresas 
Pessoal 
ocupado 
em 
31.12 
Salários, 
retiradas e 
outras 
remunerações 
Valor 
adicionado 
(1) 
Receita 
operacional 
líquida 
1 000 R$ 
 
Total 
Brasil 2 044 565 7 290 670 27 1179 568 61 856 724 168 245 562 
 Até 5 pessoas ocupadas 1 536 272 2 958 944 9 634 642 26 764 984 76 934 168 
 De 6 a 19 pessoas ocupadas 439 719 2 668 873 10 372 680 21 582 424 66 612 098 
 20 ou mais pessoas ocupadas 68 574 1 662 853 7 972 247 13 509 316 24 699 297 
Norte 27 467 148 036 540 156 1 190 896 2 852 390 
 Até 5 pessoas ocupadas 17 083 39 360 122 889 342 218 95 7252 
 De 6 a 19 pessoas ocupadas 8 649 56 991 213 549 466 681 1 284 420 
 20 ou mais pessoas ocupadas 1 735 51 685 203 718 381 998 610 719 
Nordeste 292 324 1 067 086 3 273 120 6 722 102 21 187 488 
 Até 5 pessoas ocupadas 223 881 427 901 1 026 871 2 329 022 9 874 625 
 De 6 a 19 pessoas ocupadas 57 140 351 076 1 123 940 2 518 005 8 196 625 
 20 ou mais pessoas ocupadas 11 303 288 109 1 122 310 1 875 075 3 116 239 
Sudeste 1 134 052 4 066 775 16 707 569 36 027 810 92 512 654 
 Até 5 pessoas ocupadas 847 757 1 631 454 5 827 004 16 485 519 41 574 718 
 De 6 a 19 pessoas ocupadas 249 329 1 505 384 6 157 017 11 747 171 36 485 884 
 20 ou mais pessoas ocupadas 36 966 929 937 4 723 548 7 795 119 14 452 051 
Sui 458 293 1 484 774 5 680 315 13 113 437 37 979 423 
 Até 5 pessoas ocupadas 354 589 664 842 21 11 340 5 724 564 18 482 025 
 De 6 a 19 pessoas ocupadas 90 481 541 766 2 166 340 4 913 673 14 717 456 
 20 ou mais pessoas ocupadas 13 223 278 166 1 402 636 2 475 201 4 779 942 
Centro-Oeste 132 429 523 999 1 778 408 4 802 479 13 713 607 
 Até 5 pessoas ocupadas 92 962 195 387 546 538 1 883 661 6 045 547 
 De 6 a 19 pessoas ocupadas 34 120 213 656 711 835 1 936 895 5 927 713 
 20 ou mais pessoas ocupadas 5 347 114 956 520 035 981 923 1 740 346 
Fonte: http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/economia/microempresa/microempresa2001.pdf, em 15/03/2009 
 
 
2.4.4 DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIAS 
 
Ao observarmos um rol relativo a uma variável, podemos verificar que vários 
valores aparecem mais de uma vez. Chamamos de frequência absoluta o número de 
vezes que um determinado valor da variável aparece na série. 
 
http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/economia/microempresa/microempresa2001.pdf
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Tabelas de frequências para variáveis quantitativas discretas4 
Exemplo: Com as informações sobre o tempo de existência das empresas (idade) na 
região XWZ organizar os dados, construindo: a) o rol; b) a tabela de frequências. 
a) Rol: Variável “tempo de existência das empresas na região XWZ” 
1 1 2 2 3 3 3 3 3 4 
4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 
5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 
6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 
8 8 8 9 10 10 10 10 1011 
11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 
13 14 14 14 14 15 15 15 15 16 
16 16 16 16 17 17 17 17 17 18 
18 18 18 18 18 18 18 19 19 19 
20 20 20 20 21 21 21 21 23 23 
24 24 25 30 
 
b) Tabela de frequências 
Tempo de existência das empresas industriais 
Região XWZ, Ano 2 
(Em anos) 
Tempo de 
existência 
Número de 
empresas 
Tempo de 
existência 
Número de 
empresas 
1 2 14 4 
2 2 15 4 
3 5 16 5 
4 8 17 5 
5 21 18 8 
6 13 19 3 
7 6 20 4 
8 6 21 4 
9 1 23 2 
10 5 24 2 
11 3 25 1 
12 4 30 1 
13 5 Total Global 124 
Fonte: Dados fictícios 
 
No exemplo (b), as informações existentes na tabela resultaram de um processo 
de contagem dos anos relativos aos tempos de existência das empresas. Assim, trata-se 
de uma variável quantitativa discreta. Ou seja, se a variável “idade” (medida em anos 
completos) for representada pela letra X, temos que os valores que X pode assumir são 
representados pelo conjunto RX = {0, 1, 2, 3, ... } e RX é um conjunto infinito enumerável. 
 
4 A tabela de frequências para uma variável quantitativa discreta é também chamada de distribuição de 
frequências para dados não-agrupados em classes. 
Capítulo II Estatística Descritiva: Apresentação dos Dados 27 
 
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De um modo geral, uma variável quantitativa discreta, representada por X, assume 
valores da sucessão ordenada ,...x,...,x,x,x i 321 , isto é, X = { ,...x,...,x,x,x i 321 }. Em 
um rol, um valor possível da variável X pode ocorrer uma ou mais vezes. O valor que 
representa o número de vezes que ocorreu um valor ix qualquer (i = 1, 2, ..., i,...) do rol é 
chamado frequência absoluta - in (i = 1, 2, ..., i,...). Logo, 



1
21 ......
i
ii nnnnn , 
onde n representa o número total de observações do conjunto X. O valor n é denominado 
de frequência total. 
 
Tabelas de frequências para variáveis quantitativas contínuas 
Muitas vezes há necessidade de organizarmos os dados originais em uma tabela 
onde os valores observados aparecem agrupados em classes de valores. Quando a 
variável objeto de estudo for contínua, será sempre conveniente agrupar os valores 
observados em classes. 
A determinação do tamanho e da quantidade de classes deve observar as 
seguintes normas: 
a) As classes devem abranger todas as observações; 
b) Cada observação deve enquadrar-se em apenas uma classe; 
c) Para variáveis contínuas, o limite superior de uma classe é o limite inferior da 
classe subsequente. Em geral, na definição das classes, o limite inferior é incluído 
e o superior excluído. Como exemplo, suponha que se deseja criar um intervalo de 
valores que inicia com 7 e inclui todos os valores menores que 15: 7 | 15. O 
símbolo | significa “inclui o limite inferior do intervalo e exclui o limite 
superior”. Podemos, ainda, escrever os intervalos de classe de outras formas. 
Temos: 
7 | 15: exclui o limite inferior e inclui o limite superior do intervalo de classe; 
7  15 ou 7 || 15: inclui ambos os limites do intervalo de classe. 
d) A quantidade de classes, de um modo geral, não deve ser inferior a 5 ou superior a 
25. 
e) Quando não houver inconveniente sério, a amplitude dos intervalos de classe 
deve ser constante. A amplitude do intervalo de classe é o comprimento da 
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classe. Para determinarmos a amplitude basta calcularmos a diferença entre dois 
limites inferiores (ou limites superiores) consecutivos. 
Não existe uma fórmula exata para determinar a quantidade de classes (k) a ser 
utilizada, mas existem algumas alternativas. Seja n o tamanho da amostra selecionada, 
então: 
 para n ≤ 25, e para n > 25, ; 
 fórmula de Sturges ou regra do logaritmo: 
 
Exemplo: O rol a seguir corresponde ao faturamento no ano 2, em mil unidades 
monetárias, declaradas pelas empresas da Região XWZ. Definir os intervalos de classe da 
distribuição. 
Rol: variável “faturamento no ano 2” 
45 65 66 69 77 88 89 98 104 122 
123 129 145 150 154 154 156 156 167 171 
174 176 183 185 192 202 205 212 217 230 
233 233 236 245 248 250 253 254 261 265 
268 276 282 292 299 310 310 314 333 334 
335 345 351 354 355 361 365 367 369 370 
372 375 381 381 386 389 391 402 402 405 
410 415 423 426 432 432 432 450 455 455 
456 463 465 473 475 483 483 487 487 489 
490 495 500 502 503 505 510 510 525 530 
534 543 545 567 570 585 610 620 623 630 
634 670 682 695 702 723 730 734 750 810 
835 875 1243 1345 
 
Resolução: 
Para o conjunto de 124 faturamentos declarados, temos 45 mil como valor 
mínimo e 1.345 mil unidades monetárias como valor máximo. Usaremos como limite 
inferior da distribuição o valor 40 mil e como limite superior 1.350 mil. A diferença entre 
1.350 e 40 é de 1.310 mil, que é divisível por 5. Tomaremos um total de 5 classes com 262 
mil unidades monetárias de amplitude cada. Utilizando a convenção de incluir o limite 
inferior da classe e excluir o superior, obtemos os seguintes intervalos de classe: 
40 | 302; 302 | 564; 564 | 826; 826 | 1.088; 1.088 | 1.350. 
 
Exemplo: Construir a tabela da Distribuição de Frequências do faturamento no ano 2 para 
as empresas da região XWZ. 
nk 
n.log 3,3+1=k 10
k = 5 
Capítulo II Estatística Descritiva: Apresentação dos Dados 29 
 
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Distribuição de frequências do faturamento das 
empresas industriais - Região XWZ, Ano 2 
Classes de faturamento 
(em mil unidades monetárias) 
Número de empresas 
 40 | 302 45 
 302 | 564 58 
 564 | 826 17 
 826 | 1.088 2 
1.088 | 1.350 2 
Total 124 
Fonte: Dados fictícios. 
 
Exemplo: Construir a mesma tabela com 10 classes. 
 
Distribuição de frequências do faturamento das 
empresas industriais - Região XWZ, Ano 2 
Classes de faturamento 
(em mil unidades monetárias) 
Número de empresas 
(freq. Absoluta) 
 40 | 171 19 
 171 | 302 26 
 302 | 433 32 
 433 | 564 26 
 564 | 695 10 
 695 | 826 7 
 826 | 957 2 
 957 | 1.088 ---- 
1.088 | 1.219 ---- 
1.219 | 1.350 2 
Total 124 
Fonte: Dados fictícios. 
 
Pergunta: Qual das duas distribuições construídas é mais indicada para a análise dessa 
variável? 
Resposta: 
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
__________________________________________________________________ 
Observações sobre a construção dos intervalos de classe: 
i) Nem sempre é possível trabalharmos com intervalos de classe de amplitude constante. 
Exemplos: 
- Distribuição de rendimentos. Se utilizarmos intervalos de amplitude constante 
obteríamos um número tão extenso de classes que tornaria impraticável a análise 
do fenômeno. 
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- Distribuição de Frequências quando algumas classes têm frequência igual a zero. 
Nestes casosrecomendamos montar a distribuição de frequências com intervalos 
de classes diferentes. (Ver exemplo adiante) 
 
ii) Para intervalos de classe constantes, alguns autores sugerem a Regra de Sturges para 
determinação do número de classes da distribuição de frequências: k = 1 + 3,3.log n 
onde k = número de classes e n = número total de observações (frequência total). 
Exemplo: Defina os limites dos intervalos de classes utilizando a Regra de Sturges para 
a variável faturamento no ano 2. 
n = 124  log n = 2,0934; k = 1 + (3,3x2,0934) = 1 + 6,90822 = 7,90822  8 classes 
Amplitude total da distribuição: 1345 – 45 = 1300 
Amplitude dos intervalos de classe: 1300 ÷ 8 = 162,5 mil unidades monetárias 
Limites: 45 | 207,5; 207,5 | 370; 370 | 532,5; 532,5 | 695; 695 | 857,5; 
857,5 | 1020; 1020 | 1182,5; 1182,5 | 1345. 
 
iii) Devemos evitar que a primeira e a última classes da distribuição sejam classes abertas, 
ou seja, sem a definição de um de seus limites, pois sem algum dos limites não é 
possível avançar no trabalho estatístico descritivo. 
 
iv) Se estivermos trabalhando com uma variável quantitativa discreta e o número de 
resultados possíveis para a variável for muito grande, recomenda-se o agrupamento 
dos dados em classes de valores. 
Exemplo: Construir uma distribuição de frequências por classes para a variável “tempo de 
existência” das empresas. 
 
Tempo de existência das empresas industriais 
Região XWZ, Ano 2 
(Em anos) 
Tempo de existência Número de empresas 
 0 —| 5 38 
 5 —| 10 31 
10 —| 15 20 
15 —| 20 25 
20 —| 25 9 
25 —| 30 1 
Total 124 
Fonte: Dados fictícios 
Capítulo II Estatística Descritiva: Apresentação dos Dados 31 
 
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2.4.4.1 Ponto médio ou ponto central da classe 
 
Quando construímos uma distribuição de frequências por classes ocorre uma 
simplificação da realidade, pois estamos perdendo informação com relação aos 
verdadeiros valores observados dentro de cada classe. E, ainda, esse processo de 
classificação dos dados não permite um tratamento estatístico adequado para a descrição 
dos dados. Para contornarmos o problema, adotamos a hipótese de que todos os valores 
de uma classe são iguais ao valor que se encontra no centro da classe. A este valor, que 
será representativo da classe, damos o nome de ponto médio ou ponto central da classe. 
No caso da variável contínua o ponto médio da classe, que representaremos por 
mi, é definido por: 
kihlm iii ,...,2,1;
2
1
 
em que mi = ponto médio da classe i; li = limite inferior da classe i; hi = amplitude do 
intervalo da classe i; k = número de classes da distribuição de frequências. 
 
2.4.4.2 Tipos de frequências 



























Relativa
Absoluta
 de" Acima"
Relativa
Absoluta
 de" Abaixo"
 Acumulada
Relativa
 Absoluta
 Simples
 sFrequência
 
 
Frequências simples 
As frequências simples podem ser do tipo "absoluta" ou "relativa". A frequência 
simples absoluta já foi definida anteriormente e, em geral, chamamos apenas por 
frequência absoluta. 
Podemos também exprimir o fenômeno observado na forma de frequência 
simples relativa, ou apenas frequência relativa, que representa a proporção de vezes que 
ocorreu o fenômeno em relação ao número total de observações. Designando, 
genericamente, a frequência relativa por f i , temos: 
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n
n
f ii  , para todo i, e temos que f i
i
  1. 
A frequência relativa pode também ser apresentada na forma de percentagem, 
bastando para tanto multiplicá-la por 100 - frequência simples relativa percentual. 
 
Observação: As frequências relativas e relativas percentuais são úteis quando necessitamos comparar dois 
conjuntos de dados com as frequências totais diferentes. 
 
Frequências acumuladas 
Notação: Ni = frequência acumulada absoluta 
 Fi = frequência acumulada relativa 
 
A frequência acumulada, absoluta ou relativa, crescente ou “abaixo de” 
corresponde à soma das frequências simples (absolutas ou relativas) até o valor (ou até a 
classe) de interesse. A expressão "abaixo de" refere-se ao fato de que as frequências a 
serem acumuladas correspondem aos valores menores ou anteriores ao valor (ou à 
classe) cuja frequência acumulada se deseja obter, ou seja, as observações existentes até 
um determinado valor individual (ou até uma determinada classe de valores). 
As frequências acumuladas decrescente ou “acima de” correspondem as soma das 
frequências a partir de um determinado valor individual (ou uma particular classe de 
valores). 
Exemplo: Calcular as frequências simples e acumuladas referentes à distribuição da 
variável “tempo de existência das empresas industriais” na Região XWZ no Ano 2. 
 
Resolução: 
Tempo de existência 
(em anos completos) 
Frequência simples Frequência acumulada 
Número de 
empresas (ni) 
Percentual de 
empresas (fi) 
Absoluta 
(Ni) 
Relativa % 
(Fi) 
 0 —| 5 38 30,6 38 30,6 
 5 —| 10 31 25,0 69 55,6 
10 —| 15 20 16,1 89 71,8 
15 —| 20 25 20,2 114 91,9 
20 —| 25 9 7,3 123 99,2 
25 —| 30 1 0,8 124 100,0 
Total 124 100,0 ---- ---- 
 
Capítulo II Estatística Descritiva: Apresentação dos Dados 33 
 
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2.4.5 PRINCIPAIS TIPOS DE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
O gráfico constitui um elemento básico na análise e na apresentação dos trabalhos 
estatísticos. Os principais tipos de gráficos serão apresentados a seguir. Os gráficos foram 
construídos na Planilha Excel. 
 
1º) Gráfico em barras 
 
 
Fonte: SEI/IBGE 
Nota: Dados sujeitos a retificação, depois de consolidados os resultados de todas as UF's (Projeto de 
Contas Regionais - SEI/IBGE). 
 
 
Fonte: SEI/IBGE 
(*) Dados sujeitos a retificação, depois de consolidados os resultados de todas as UF's (Projeto de Contas Regionais - 
SEI/IBGE). 
 
2º) Gráfico em colunas 
 
 
Fonte: SEI/IBGE 
Estrutura do PIB por Grandes Setores 
Bahia - 2007
0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0
Primário
Secundário
Terciário
S
e
to
r
Percentagem
Estrutura do PIB por Grandes Setores 
Bahia, 2002/2007
0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0
Primário
Secundário
Terciário
S
e
to
r
Percentagem
2007 (*)
2002
Estrutura do PIB por Grandes Setores 
Bahia - 2007
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
Primário Secundário Terciário
Setor
%
Legenda 
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Nota: Dados sujeitos a retificação, depois de consolidados os resultados de todas as UF's (Projeto de 
Contas Regionais - SEI/IBGE). 
 
 
Fonte: SEI/IBGE 
(*) Dados sujeitos a retificação, depois de consolidados os resultados de todas as UF's (Projeto de Contas 
Regionais - SEI/IBGE). 
 
3º) Gráfico em curvas 
 
Fonte: SEI/IBGE 
(*) Dados sujeitos a retificação, depois de consolidados os resultados de todas as UF's (Projeto de Contas 
Regionais - SEI/IBGE). 
 
 
 
Fonte: SEI/IBGE 
(*) Dados sujeitos a retificação, depois de consolidadosos resultados de todas as UF's (Projeto de Contas 
Regionais - SEI/IBGE). 
 
 
Estrutura do PIB por Grandes Setores 
Bahia, 2002/2007
0,0
20,0
40,0
60,0
80,0
Primário Secundário Terciário
Setor
%
2002
2007 (*)
Evolução Percentual do PIB do Setor Terciário 
Bahia, 2002 - 2007
56,0
57,0
58,0
59,0
60,0
61,0
62,0
63,0
2002 2003 2004 2005 2006 2007 (*)
Ano
%
Evolução Percentual do PIB segundo Grandes Setores 
Bahia, 2002 - 2007
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
2002 2003 2004 2005 2006 2007 (*)
Ano
%
Primário
Secundário
Terciário
Legenda 
Legenda 
Capítulo II Estatística Descritiva: Apresentação dos Dados 35 
 
UFBA – Instituto de Matemática – Departamento de Estatística 
Lia Terezinha L. P. Moraes, Andrea A. Prudente e Edleide de Brito Março de 2015 
4º) Gráfico em setores 
 
 
Fonte: SEI/IBGE 
Nota: Dados sujeitos a retificação, depois de consolidados os resultados de todas as UF's (Projeto de 
Contas Regionais - SEI/IBGE). 
 
 
O gráfico em setores presta-se à representação da parte no todo através do uso 
de um círculo. Para tanto, é necessário transformar os valores absolutos ou relativos da 
variável para graus, aplicando uma regra de três simples. Cada setor do círculo 
representará um resultado da variável. 
 
5) Histograma5 6) Boxplot 
 
 
 
 
 
 
Correspondência entre as séries estatísticas e a representação gráfica 
 
Tipo de série estatística Gráfico mais indicado 
Temporal Curvas, excepcionalmente Colunas 
Especificativas Barras, Colunas ou Setores 
Geográficas Cartogramas, Colunas, Barras ou Setores 
Distribuição de frequências Histograma 
 
 
5 A construção dos gráficos histograma e boxplot será explicada adiante. Estes gráficos foram elaborados no 
programa estatístico SPSS. 
8% 
30% 
62% 
Distribuição Percentual do PIB segundo Grandes Setores 
Bahia, 2007 
Primário 
Secundário 
Terciário 
Faturamento (em mil unidades monetárias)
135012501150105095085075065055045035025015050
Distribuição do faturamento das empresas industriais
Região XWZ, Ano 2
Fonte: Dados fic itícios
N
úm
er
o 
de
 e
m
p
re
sa
s
30
25
20
15
10
5
0
1141471762N =
Faturamento das empresas industriais
segundo o setor industrial
Região XWZ, Ano 2
Fonte: Dados fic itícios
Nota: Faturamento em mil unidades monetárias
Setor industrial
Prod. Alimentares
Prod. Minerais não-m
Ves tuário
Editorial e Gráfica
Bebidas
Mobiliário
F
a
tu
ra
m
e
n
to
1600
1200
800
400
0
Legenda 
 36 Notas de Aula – MAT020 Estatística IA 
 
UFBA – Instituto de Matemática – Departamento de Estatística 
Lia Terezinha L. P. Moraes, Andrea A. Prudente e Edleide de Brito Março de 2015 
2.4.5.1 Representação gráfica de uma distribuição de frequências 
 
Os gráficos utilizados para a representação das distribuições de frequências são 
gráficos tipicamente de análise e estão apresentados a seguir. 
 
Histograma 
 
 
 
 Na construção deste histograma foram utilizados intervalos de classes iguais e 
representamos no eixo vertical o número de observações de cada classe (frequência 
absoluta) e no eixo horizontal o ponto médio das classes. 
 
 
Construção do histograma 
 
 
Rigorosamente, o histograma é formado por uma sucessão de retângulos 
adjacentes, onde cada retângulo tem por base o intervalo de classe e sua altura 
corresponde à densidade de frequência (absoluta ou relativa) da classe. A densidade de 
frequência é calculada pela divisão da frequência (absoluta ou relativa) pela amplitude do 
intervalo da classe. Assim, a área de cada retângulo no gráfico histograma corresponde à 
frequência da respectiva classe. 
 
 
Exemplo: Elaborar o histograma da distribuição de frequências do faturamento das 
empresas industriais da Região XWZ no Ano 2. Utilize a distribuição de frequência com 10 
classes. 
 
Faturamento (em mil unidades monetárias)
1284,51153,51022,5891,5760,5629,5498,5367,5236,5105,5
Faturamento das empresas industriais
Região XWZ, Ano 2
Fonte: Dados fic tícios
N
úm
er
o 
de
 e
m
p
re
sa
s
40
30
20
10
0
Capítulo II Estatística Descritiva: Apresentação dos Dados 37 
 
UFBA – Instituto de Matemática – Departamento de Estatística 
Lia Terezinha L. P. Moraes, Andrea A. Prudente e Edleide de Brito Março de 2015 
Resolução: Cálculo das densidades das frequências absolutas: 
 
Classes de faturamento 
(em mil unidades 
monetárias) 
Número de 
empresas 
(ni) 
Amplitude 
do intevalo 
(hi) 
Densidade 
(ni ÷ hi) 
 40 | 171 19 131 0,145 
 171 | 302 26 131 0,198 
 302 | 433 32 131 0,244 
 433 | 564 26 131 0,198 
 564 | 695 10 131 0,076 
 695 | 826 7 131 0,053 
 826 | 957 2 131 0,015 
 957 | 1.088 ---- 131 ---- 
1.088 | 1.219 ---- 131 ---- 
1.219 | 1.350 2 131 0,015 
Total 124 ---- ----- 
 
Exercício: Desenhe na área quadriculada na página a seguir o histograma relativo às 
densidades de frequências calculadas no exemplo anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38 Notas de Aula – MAT020 Estatística IA 
 
UFBA – Instituto de Matemática – Departamento de Estatística 
Lia Terezinha L. P. Moraes, Andrea A. Prudente e Edleide de Brito Março de 2015 
Observação: A curva que envolve o histograma é chamada de poligonal característica. 
 
Exercício: Compare o histograma elaborado com as densidades de frequência do exercício 
anterior com o apresentado na página 36 destas Notas de Aula, que foi elaborado com as 
frequências absolutas. Pergunta: Ocorreu alteração na forma do histograma? Em 
qualquer caso, justifique sua resposta. 
 
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________ 
 
Histogramas com amplitudes de classe diferentes 
 
Exemplo: Utilizando as mesmas informações do exemplo anterior, construa na página a 
seguir um esboço do histograma utilizando os dados da tabela a seguir com intervalos de 
classe não constantes. 
 
Cálculo das densidades das frequências absolutas: 
Classes de faturamento 
(em mil unidades monetárias) 
Número de 
empresas 
(ni) 
Amplitude 
do intevalo 
(hi) 
Densidade 
(ni ÷ hi) 
 40 | 171 19 131 0,145 
 171 | 302 26 131 0,198 
 302 | 433 32 131 0,244 
 433 | 564 26 131 0,198 
 564 | 826 17 262 0,065 
 826 | 1.350 4 524 0,008 
Total 124 ---- -----