Terceiro Experimento - Velocidade de Motor DC - Projeto de Controlador pelo LR -v2020 2

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Terceiro Experimento 
Velocidade de Motor DC – Projeto de Controlador pelo Lugar de Raízes 
 
Introdução: Projeto de Controlador 
A partir do problema principal, abordado nos Experimentos I e II, as equações dinâmicas no 
domínio de Laplace e a função de transferência de malha aberta do Motor de CC são as 
representadas pelas seguintes equações Eq. 1, Eq. 2 e Eq. 3. 
 
𝑠(𝐽𝑠 + 𝑏)𝜃(𝑠) = 𝐾𝐼(𝑠) Eq. 1 
 
(𝐿𝑠 + 𝑅)𝐼(𝑠) = 𝑉(𝑠) − 𝐾𝑠𝜃(𝑠) Eq. 2 
 
𝑃(𝑠) =
�̇�(𝑠)
𝑉(𝑠)
=
𝐾
(𝐽𝑠 + 𝑏)(𝐿𝑠 + 𝑅) + 𝐾2
 [
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑐⁄
𝑉
] 
Eq. 3 
 
 
A estrutura do sistema de controle tem a forma mostrada na Figura 1. 
 
 
Figura 1 - Sistema de realimentação unitária 
Para uma referência em degrau de 1 rad/seg, os critérios de projeto são os seguintes. 
 Tempo de acomodação menor que 2 segundos 
 Superação inferior a 5% 
 Erro de estado estacionário inferior a 1% 
 
Considere como parâmetros para o motor os mesmos dos experimentos I e II, cujo código 
Matlab é, como o exemplo: 
J = 0.01; 
b = 0.1; 
K = 0.01; 
R = 1; 
L = 0.5; 
s = tf('s'); 
P_motor = K/((J*s+b)*(L*s+R)+K^2); 
 
Desenhando o lugar de raiz de malha aberta 
 
A ideia principal do projeto do lugar das raízes é prever a resposta em malha fechada a partir do 
gráfico do lugar das raízes, que representa possíveis localizações de polos de malha fechada e é 
extraído da função de transferência de malha aberta. Então, adicionando zeros e/ou polos 
através do controlador, o lugar das raízes pode ser modificado para obter uma resposta de 
malha fechada desejada. Na visão de (FRANKLIN, POWELL e EMAMI-NAEINI, 2013), isso é 
enfatizado como segue: 
“O lugar das raízes é usado normalmente para o estudo do efeito da variação de um ganho de 
malha; entretanto, o método é geral e pode ser usado para traçar o gráfico das raízes de qualquer 
polinômio em relação a um parâmetro real que age linearmente na equação. Por exemplo, o 
método do lugar das raízes pode ser usado para traçar gráficos das raízes da equação 
característica quando o ganho de um sensor de velocidade em realimentação é alterado, ou o 
parâmetro pode ser um parâmetro físico do sistema como a inércia ou a indutância de armadura 
de um motor.” 
 
Usaremos para nosso projeto a interface gráfica do usuário (GUI – Graphical User Interface) 
Control System Designer do Matlab. Esta ferramenta permite que você ajuste graficamente o 
controlador através do gráfico lugar das raízes. Vamos primeiro ver o lugar das raízes para a 
planta não compensada. Isso é feito adicionando o comando controlSystemDesigner ('rlocus', 
P_motor) após carregar o código das variáveis que definem o motor (ou digitando no console 
do Matlab ou criando um arquivo .m) e executando o arquivo na linha de comando. 
Uma janela intitulada Control System Designer abrirá inicialmente com a forma mostrada na 
Figura 2. Na janela, é possível ver tanto o desenho do lugar das raízes quanto a resposta ao 
degrau em malha fechada da função de transferência passada pela função 
controlSystemDesigner. Você pode organizar a posição dos gráficos na guia VIEW da janela 
Control System Designer. Clicar com o botão direito do mouse no gráfico do lugar das raízes e 
selecionar Grid fará sua janela aparecer conforme a Figura 2. 
 
Figura 2 - Lugar das raízes para o motor DC 
 
Encontrando o ganho de malha fechada 
 
Lembre-se de que nossos requisitos de projeto especificam que o tempo de acomodação seja 
menor que 2 segundos e que o sobre sinal seja menor que 5%. A localização dos polos de malha 
fechada do sistema fornece informações sobre a resposta transitória do sistema. O Control 
System Designer permite que você especifique a região no plano s complexo correspondendo a 
requisitos de projeto específicos. As regiões fornecidas correspondem a um sistema canônico 
de segunda ordem, mas em geral são um bom ponto de partida até mesmo para sistemas de 
ordem superior ou sistemas com zeros. 
Essas regiões desejadas podem ser adicionadas ao desenho do lugar das raízes clicando com o 
botão direito do mouse na “plotagem” e escolhendo Design Requirements> New no menu 
resultante. É possível adicionar muitos requisitos de projeto, incluindo tempo de acomodação, 
percentual de sobressinal, taxa de amortecimento, frequência natural, etc. 
Adicionar o tempo de acomodação e os requisitos percentuais para o gráfico do lugar de raízes 
produz a Figura 3. 
 
Figura 3 - Lugar de raízes para o motor DC com as restrições de projeto 
A região desejada resultante para os polos de malha fechada é mostrada pela região não 
sombreada da Figura 3. Mais especificamente, as duas retas centrados na origem representam 
o requisito de sobressinal; quanto menor o ângulo que essas retas fazem com o eixo real 
negativo, menos sobressinal é permitido. A linha vertical em s = -2 representa o requisito de 
tempo de acomodação, onde quanto mais longe os polos de malha fechada estão localizados, 
menor é o tempo de acomodação. A partir do exame da Figura 3, existem valores do ganho de 
malha que colocarão os dois polos de malha fechada na região desejada. Isso pode ser visto pelo 
fato de que os dois ramos do lugar das raízes são simétricos e passam pela região não 
sombreada. Além disso, como o sistema de malha fechada possui dois polos sem zeros, a 
colocação dos polos de malha fechada na região mostrada garantirá o atendimento aos 
requisitos de resposta transitória. 
É possível verificar a resposta ao degrau em malha fechada para o sistema com este novo ganho, 
movendo para a guia IOTransfer_r2y: step, conforme a Figura 4. 
 
Figura 4 - Resposta ao degrau 
A partir da inspeção da Figura 4, pode-se ver que não há sobressinal e o tempo de acomodação 
é inferior a um segundo, portanto, os requisitos de tempo de sobressinal e de acomodação são 
satisfeitos. No entanto, também podemos observar que o erro de estado estacionário é de 
aproximadamente 50%. Se aumentarmos o ganho de malha fechada para reduzir o erro de 
estado estacionário, o sobressinal se tornará muito grande. É possível ver isso movendo 
graficamente os polos de malha fechada verticalmente para cima ao longo do lugar das raízes, 
isso corresponde ao aumento do ganho de malha fechada. O gráfico de resposta ao degrau será 
alterado automaticamente para refletir o ganho de malha fechada modificado. 
É possível adicionar um controlador de atraso para reduzir o requisito de erro de estado 
estacionário enquanto satisfazendo os requisitos transitórios. 
 
Introduzindo um compensador 
 
Uma maneira de lidar com o problema do ganho de malha fechada de forma mitigar os 
problemas de sobressinal é a introdução de um controlador no ramo direto no diagrama de 
blocos do sistema em malha-fechada, conforme a Figura 5. 
 
Figura 5 – Sistema Realimentado com Compensador (fonte: (FRANKLIN, POWELL e EMAMI-NAEINI, 2013)) 
(FRANKLIN, POWELL e EMAMI-NAEINI, 2013) discorrem sobre o emprego de controlador no 
ramo direto com esse propósito, conforme segue: 
“Se a dinâmica do processo for de tal natureza que um projeto satisfatório não possa 
ser obtido apenas pelo ajuste do ganho proporcional, então alguma modificação ou 
compensação da dinâmica é indicada. Com a grande variedade de possíveis esquemas 
de compensação, três categorias foram consideradas particularmente simples e 
eficazes. Existem os compensadores de avanço, atraso e de rejeição de faixa (notch).15 
Compensador de avanço aproxima a ação de controle PD e atua principalmente para 
acelerar uma resposta, diminuindo o tempo de subida e diminuindo o sobressinal. 
Compensador de atraso aproxima um controlador PI e é normalmente usado para 
melhorar a resposta em regime estacionário de um sistema.” 
A última assertiva no texto de (FRANKLIN, POWELL e EMAMI-NAEINI, 2013) é o nosso objetivo. 
Como se vê, o comportamento de um controlador em atraso de fase é semelhante a um PI e 
sabemos que a ação integradora mitiga o problema de regimeestacionário. 
Um compensador com função de transferência na forma da Eq. 4 é chamado controlador em 
atraso se z > p. 
𝐷(𝑠) = 𝐾
𝑠 + 𝑧
𝑠 + 𝑝
 
Eq. 4 
 
Adicionando um controlador de atraso 
 
Vimos que os critérios de tempo de sobressinal e de acomodação foram atendidos com o 
controlador proporcional, mas o requisito de erro de estado estacionário não foi. Um 
compensador de atraso é um tipo de controlador conhecido por reduzir o erro de estado 
estacionário. 
No entanto, devemos ter cuidado em nosso projeto para não aumentar muito o tempo de 
acomodação. Vamos primeiro tentar adicionar um compensador de atraso conforme o da Eq. 5. 
(𝑠 + 1)
(𝑠 + 0.01)
 
Eq. 5 
 
É possível usar o Control System Designer para projetar um compensador de atraso. Para fazer 
com que o Control System Designer tenha uma parametrização do compensador 
correspondente à mostrada na Eq. 5, clique no menu Preferences na parte superior da janela 
do Control System Designer. Então, na guia Options, selecione uma parametrização 
Zero/pole/gain conforme mostrado na Figura 6. 
 
Figura 6 - parametrização do controlador de atraso 
Para adicionar o compensador de atraso, clique com o botão direito do mouse no gráfico do 
lugar de raízes e selecione Edit Compensator. Para adicionar um par de polos e zero ao seu 
compensador, na janela do Compensador, clique com o botão direito do mouse na tabela 
Dynamics e selecione Add Pole/Zero> lag. Depois disso, insira os locais de Real Zero e Real Pole 
como mostrado na Figura 7. 
 
Figura 7 - Edição dos parâmetros do compensador de atraso 
Tarefas 
 
Tarefa 1 – Resposta em malha-fechada sem compensador 
Caminhe com os polos sobre o lugar das raízes para perto da fronteira que delimita a restrições 
de projeto e determine as figuras de mérito (as que existirem) e qual o valor de ganho. 
Tarefa 2 – Adicionando um compensador em atraso de forma a reduzir o erro em regime 
estacionário 
Caminhe com os polos sobre o lugar das raízes para determinar o máximo valor de ganho que 
atende aos requisitos de projeto. Utilize o controlador de atraso conforme o do texto. Determine 
as figuras de mérito (as que existirem). 
Tarefa 3 – Outros valores e/ou tipos de controladores 
 Usando sua habilidade na ferramenta e conhecimento de controladores, teste outros valores 
para o controlador ou teste outro tipo de controlador que possa atender as condições de projeto 
e mitigar as deficiências da planta em malha fechada que não atende aos requisitos do erro em 
regime estacionário. 
 
Referências 
FRANKLIN, G. F.; POWELL, J. D.; EMAMI-NAEINI, A. Sistemas de Controle para Engenharia. 6th. 
ed. [S.l.]: Bookman, 2013.