Teorema de Stokes

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Cálculo Vetorial e Tensorial
Aula 12 - Teorema de Stokes
Prof. Ricardo Paszko
Centro de Ciências Naturais e Humanas
Universidade Federal do ABC
Caṕıtulo 16 - Seção 8 - Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes é uma generalização para 3 dimensões do
Teorema de Green. Enquanto o Teorema de Green relaciona uma
integral dupla sobre uma região plana D com uma integral de linha
em torno de sua curva fronteira (plana), o Teorema de Stokes
relaciona uma integral de superf́ıcie em S com uma integral em
torno da curva fronteira C (espacial).
Teorema de Stokes - Seja S uma superf́ıcie orientada, lisa por
partes, cuja fronteira é formada por uma curva C fechada, simples,
lisa por partes, com orientação positiva. Seja ~F um campo vetorial
cujas componentes têm derivadas parciais cont́ınuas em uma
região aberta de R3 que contém S . Então∮
C
~F · d~r =
∫∫
S
(~∇× ~F ) · d ~S . (1)
Demonstração de um Caso Especial - Vamos supor que S seja a
superf́ıcie do gráfico z = g(x , y), onde g tem derivadas parciais de
segunda ordem cont́ınuas e (x , y) ∈ D é uma região plana simples
com fronteira C1 (veja figura).
Dado ~F = Pî + Qĵ + Rk̂ com derivadas parciais cont́ınuas,
podemos aplicar a Eq. (2) da aula passada para o rotacional∫∫
S
(~∇× ~F ) · d ~S =
∫∫
D
[
−
(
∂R
∂y
− ∂Q
∂z
)
∂g
∂x
−
(
∂P
∂z
− ∂R
∂x
)
∂g
∂y
+
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)]
dA. (2)
Por outro lado, se
x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b
é uma representação paramétrica de C1, então uma representação
paramétrica de C é
x = x(t), y = y(t), z = g(x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b
e isso nos permite, com o aux́ılio da regra da cadeia, escrever a
integral de linha espacial como uma integral de linha no plano∮
C
~F · d~r =
∫ b
a
(
P
dx
dt
+ Q
dy
dt
+ R
dz
dt
)
dt
=
∫ b
a
[
P
dx
dt
+ Q
dy
dt
+ R
(
∂z
∂x
dx
dt
+
∂z
∂y
dy
dt
)]
dt
=
∫ b
a
[(
P + R
∂z
∂x
)
dx
dt
+
(
Q + R
∂z
∂y
)
dy
dt
]
dt
=
∮
C1
[(
P + R
∂z
∂x
)
dx +
(
Q + R
∂z
∂y
)
dy
]
.
Agora podemos usar o Teorema de Green para reescrever essa
integral de linha em C1, novamente com a ajuda da regra da cadeia
(lembre-se que z = g(x , y)), como uma integral dupla em D∮
C
~F · d~r =
∫∫
D
[
∂
∂x
(
Q + R
∂z
∂y
)
− ∂
∂y
(
P + R
∂z
∂x
)]
dA
=
∫∫
D
[
∂Q
∂x
+
∂Q
∂z
∂z
∂x
+
∂R
∂x
∂z
∂y
+
∂R
∂z
∂z
∂x
∂z
∂y
+ R
∂2z
∂x∂y
−
(
∂P
∂y
+
∂P
∂z
∂z
∂y
+
∂R
∂y
∂z
∂x
+
∂R
∂z
∂z
∂y
∂z
∂x
+ R
∂2z
∂y∂x
)]
dA
onde vemos que os termos finais de cada linha se cancelam 2 a 2 e
os 6 termos restantes podem ser rearranjados exatamente como na
Eq. (2), assim demonstrando a Eq. (1) do Teorema de Stokes
nesse caso especial. �
Exemplo 1
Calcule
∮
C
~F · d~r , onde ~F = −y2 î + x ĵ + z2k̂ e C é a curva da
intersecção do plano y + z = 2 com o cilindro x2 + y2 = 1.
Solução - A curva C é uma elipse como vemos na figura abaixo.
Apesar de podermos calcular a integral de linha diretamente,
vamos usar o Teorema de Stokes para facilitar, escolhendo por ex.
a superf́ıcie S (em azul) que é plana. Para isso calculamos o
rotacional de ~F
~∇× ~F =
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
−y2 x z2
∣∣∣∣∣∣ = (1 + 2y)k̂ ,
que só tem componente em k̂ . Portanto basta a projeção de S
nessa direção, ou seja, basta usarmos D no plano xy . Agora
usando a Eq. (1), em coordenadas polares, temos∮
C
~F · d~r =
∫∫
S
(~∇× ~F ) · d ~S
=
∫∫
D
(1 + 2y)dA
=
∫ 1
0
∫ 2π
0
(1 + 2r sin θ) dθ r dr = π .
Exemplo 2
Use o Teorema de Stokes para calcular a integral
∫∫
S
(~∇× ~F ) · d ~S ,
onde ~F = xz î + yz ĵ + xy k̂ e S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4
que está dentro do cilindro x2 + y2 = 1 e acima do plano xy (veja
figura abaixo).
Solução - Para encontrar C resolvemos as equações x2 + y2 = 1 e
x2 + y2 + z2 = 4 em z , o que dá z =
√
3 (já que z > 0).
Portanto, a equação vetorial para C é
~r(t) = cos t î + sin tĵ +
√
3k̂, 0 ≤ t ≤ 2π.
Assim,
~r ′(t) = − sin t î + cos tĵ ,
além disso
~F (~r(t)) =
√
3 cos t î +
√
3 sin tĵ + sin t cos tk̂ ,
e, pelo Teorema de Stokes, temos∫∫
S
(~∇× ~F ) · d ~S =
∮
C
~F · d~r
=
∫ 2π
0
~F (~r(t)) · ~r ′(t) dt
=
∫ 2π
0
(−
√
3 cos t sin t +
√
3 sin t cos t)dt
= 0 .
Independência de Superf́ıcie
Observe que, no Exemplo 2, calculamos a integral de superf́ıcie
simplesmente sabendo os valores de ~F na curva fronteira C . Isso
significa que, se tivermos outra superf́ıcie orientada com a mesma
curva fronteira C , obteremos o mesmo valor para a integral de
superf́ıcie!
Em geral, se S1 e S2 são superf́ıcies orientadas com mesma curva
fronteira orientada C e ambas satisfazem as hipóteses do Teorema
de Stokes, então∫∫
S1
(~∇× ~F ) · d ~S =
∮
C
~F · d~r =
∫∫
S2
(~∇× ~F ) · d ~S .
Esse fato é muito útil quando for dif́ıcil integrar sobre uma das
superf́ıcies, mas for mais fácil integrar sobre a outra.
Significado do Rotacional
Suponha que C seja uma curva fechada orientada e ~v represente o
campo de velocidade de um fluido. Considere a integral de linha∮
C
~v · d~r =
∮
C
~v · T̂ ds
e lembre-se de que ~v · T̂ é a componente de ~v na direção do versor
T̂ tangente à curva C . Isso significa que, quanto mais próxima a
direção de ~v está da direção de T̂ , maior é o valor de ~v · T̂ . Assim,∮
C
~v · d~r
é uma medida da tendência do fluido se mover em torno de C e é
chamada de circulação de ~v em torno de C (veja figura).
Seja P0 um ponto do fluido e seja Sa um pequeno disco com raio a
e centro P0. Então o (~∇× ~F )(P) ≈ (~∇× ~F )(P0) para todos os
pontos P de Sa, porque ~∇× ~F é cont́ınuo.
Então, pelo Teorema de Stokes, temos a seguinte aproximação da
circulação em torno do circunferência fronteira Ca∮
Ca
~v · d~r =
∫∫
Sa
(~∇× ~v) · d ~S =
∫∫
Sa
(~∇× ~v) · n̂ dS
≈
∫∫
Sa
(~∇× ~v)(P0) · n̂(P0) dS
=(~∇× ~v)(P0) · n̂(P0)πa2.
Essa aproximação se torna melhor quando a→ 0 e temos
(~∇× ~v)(P0) · n̂(P0) = lim
a→0
1
πa2
∮
Ca
~v · d~r .
Essa equação fornece a relação entre o rotacional e a circulação.
Ela mostra que (~∇× ~v) · n̂ é a medida do efeito da rotação do
fluido em torno do eixo n̂. O efeito de girar é maior em um eixo
paralelo a ~∇× ~v .
Finalmente, mencionamos que o Teorema de Stokes pode ser
usado para demonstrar o Teorema 4 da Seção 5 (que afirma que,
se ~∇× ~F = ~0 sobre R3, então ~F é conservativo). Pois pelos
Teoremas 3 e 4 da Seção 3, sabemos que ~F é conservativo se∮
C
~F · d~r = 0 para todo caminho fechado C . Dado C , suponha que
possamos achar uma superf́ıcie orientada S cuja fronteira seja C
(isso pode ser feito, mas a demonstração requer técnicas
avançadas). Então o Teorema de Stokes fornece∮
C
~F · d~r =
∫∫
S
(~∇× ~F ) · d ~S =
∫∫
S
~0 · d ~S = 0.
Uma curva que não seja simples pode ser quebrada em diversas
curvas simples e as integrais ao longo dessas curvas simples são
todas nulas. Somando essas integrais, obtemos
∮
C
~F · d~r = 0 para
qualquer curva fechada C .