Projeto Ponte de Concreto Armado - Transversinas

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS 
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS (DES) 
 
 
Estruturas de Pontes 
CV812 
 
 
 
Projeto de uma ponte de Concreto Armado/Protendido com duas vigas principais 
Parte 2 - Lajes 
 
 
 
AUTORES: 
Gabriela Andrade dos Santos (197590) 
Gabrielle Rossi Sibuya (197802) 
 
 
 
 
2020 
SUMÁRIO 
Desenho e Dados do Projeto 3 
Cálculo das Lajes do Tabuleiro 4 
Momentos Fletores - Cargas Permanentes 6 
Lajes em Balanço - L1 e L5 6 
Lajes do Vão Central 9 
Lajes L2 e L4 9 
Laje L3 10 
Momentos Fletores - Cargas Móveis 11 
Lajes em Balanço - L1 e L5 11 
Lajes do Vão Central 12 
Lajes L2 e L4 12 
Laje L3 15 
Correção para Laje Contínua 17 
Lajes L2 e L4 18 
Laje L3 19 
Valores de Projeto 20 
Referências Bibliográficas 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Desenho e Dados do Projeto 
O presente projeto visa realizar o dimensionamento das lajes do tabuleiro de uma 
ponte de concreto. A estrutura da ponte, bem como os dados utilizados nos cálculos do 
projeto encontram-se nas Figuras e Tabela abaixo. Para tanto, foram utilizadas as normas 
ABNT NBR 7187:2003 - Projeto de pontes de concreto armado e de concreto protendido - 
Procedimento , e NBR 7188:2013 - Carga móvel rodoviária e de pedestres em pontes, 
viadutos, passarelas e outras estruturas. 
 
Figura 1: Corte Transversal 
 
Figura 2: Corte Longitudinal 
 
Figura 3: Tabuleiro Central 
 
Figura 4: Tabuleiro em Balanço 
 
 
Tabela 1: Dados do Projeto 
2. Cálculo das Lajes do Tabuleiro 
Para o cálculo dos momentos fletores nas lajes devido às cargas permanentes, foram 
consideradas as seguintes condições de vinculação: 
Concreto Pavimento Passeio 
f ck 40 MPa Inclinação 2 % ɣ 24 kN/m 3 
ɣ 25 kN/m 3 Espessura 5 - 13 -5 cm 
Aço ɣ 24 kN/m 3 Guarda-Corpo 
f yk 500 MPa Recapeamento 2 kN/m 2 Peso Esp. 0,6 kN/m 
 
Figura 5: Disposição das Lajes 
 
 
Figura 6: Dimensões das Lajes 
A partir dos esquemas apresentados acima, é possível verificar que as lajes L 1 e L 5 
são iguais, assim como as lajes L 2 e L 4 , por apresentarem as mesmas vinculações e 
dimensões, de modo que serão analisados três tipos de laje com fins de determinação dos 
momentos fletores atuantes em cada uma, sendo elas as lajes L 1/5 , L 2/4 e L 3 . 
Inicialmente foram determinadas as cargas permanentes que atuarão nas lajes, sendo 
elas decorrentes do peso próprio da laje (com espessura de 25cm para o tabuleiro entre as 
longarinas e 30cm para o balanço), da pavimentação (considerando sua espessura média 
) e do recapeamento. Além disso, para as lajes em balanço também foram cm→ hpav = 9 
consideradas as cargas devido ao peso próprio do passeio, da defensa e do guarda-corpo. 
3. Momentos Fletores - Cargas Permanentes 
Conforme apresentado na Figura 5, as lajes em balanço e que apresentam mesmas 
vinculações e dimensões são as lajes L 1 e L 5 , já as lajes que compõem o vão central são as 
lajes L 2 , L 3 e L 4 . 
3.1. Lajes em Balanço - L 1 e L 5 
O peso próprio da laje é calculado por , com e P cP laje = γ × h c 5 kN m³ γ = 2 / 
. 0 cm , 0 mh = 3 = 0 3 
 P c 5 , 0 , kN m² P laje = γ × h = 2 × 0 3 = 7 5 / 
O peso próprio do passeio é calculado por . A altura do P P passeio = γc × hpasseio 
passeio é de . 5 cm , 5 mhpasseio = 2 = 0 2 
 4 , 5 kN m P P passeio = γc × hpasseio = 2 × 0 2 = 6 / 2 
Assim, temos que: , 3, kN m m gb = 7 5 + 6 = 1 5 / / 
● Efeito do Peso da Defensa 
O peso próprio das defensas é calculado por . A Figura 7 P P defensas = γc × Adefensas 
representa o modelo de defensa adotado para o projeto - New Jersey, cuja área é de 
. 864, cm , 8645 mAdefensas = 1 5 2 = 0 1 2 
 5 , 8645 , 61 kN m P P defensas = γc × Adefensas = 2 × 0 1 = 4 6 / 
 
Figura 7: Guarda-Rodas tipo New Jersey 
Por efeito de simplificação, será considerado que o CG da defensa está localizado no 
meio da peça, de modo que seu braço de alavanca em relação à longarina (engaste) é de 
19cm. Assim, 
 , 61 , 9 , 86 kN .m m (negativo) M defensa = 4 6 × 0 1 = 0 8 / 
 
Figura 8: Momento devido a defensa 
● Efeito do Peso do Guarda Corpo 
O peso próprio do guarda-corpo é dado por . , kN m P P guarda corpo− = 0 6 / 
 , , , 6 kN .m m (negativo) M guarda corpo = 0 6 × 1 6 = 0 9 / 
 
Figura 9: Momento devido ao guarda-,corpo 
● Escolha da Tabela de Rüsch 
Segundo a notação de Rüsch (1965), para as lajes do balanço (L 1 e L 5 ), a tabela que 
satisfaz as condições de vinculação apresentadas pelas lajes analisadas é a Tabela 98 . O 
valor de l x utilizado para identificar a Tabela de Rüsch a ser empregada no projeto 
corresponde à largura da laje onde o trem tipo pode atuar, desconsiderando-se, portanto, a 
espessura da defensa e do guarda-corpo. Contudo, como para este projeto o TB não pode 
atuar no balanço, para a classificação da Tabela utilizou-se seu valor total de 1,60m. As 
informações da Tabela 98 de Rüsch estão apresentadas abaixo: 
 
Figura 10: Esquema Lajes L 1 e L 5 
 , 0 e l 200 cmlx = 1 6 y = 2 → lx
ly = 160
2200 3, 5= 1 7 > 2 → ∞ 
- M xe : (-l x /2;0) ,→ k =− 0 5 
- M yr : (+l x /2;0) → k = 0 
- M xm : (0;0) , 25→ k =− 0 1 
- M ym : (0;0) → k = 0 
Assim, para calcular-se os momentos, é utilizada a seguinte expressão: 
, com k variando conforme M yr , M xe , M xm e M ym e l x correspondendo ao ²M = k × g × lx 
valor total do balanço ( l x = 1,6m ). Desse modo, temos que: 
- , 3, , ² 7, 8 kN .m m M xe,g =− 0 5 × 1 5 × 1 6 = − 1 2 / 
- kN .m m M yr,g = 0 / 
- , 25 3, , ² , 2 kN .m m M xm,g =− 0 1 × 1 5 × 1 6 = − 4 3 / 
- kN .m m M ym,g = 0 / 
Além disso, a defensa e o guarda-corpo também causam momento no engaste, logo: 
 7, 8 , 86 , 6 9, 26 kN .m m M xe,g =− 1 2 − 0 8 − 0 9 = − 1 1 / 
● Carga do Passeio - Pedestres 
 Para o cálculo do momento devido aos pedestres atuando no passeio, será realizado o 
mesmo procedimento feito para o peso próprio dos elementos: , sendo q o ²M = k × q × lx 
valor correspondente à carga uniformemente distribuída de 3kN/m² conforme prescrito pela 
NBR7188 - Carga móvel rodoviária e de pedestres em pontes, viadutos, passarelas e outras 
estruturas , e k como sendo os coeficientes obtidospela Tabela de Rüsch. Vale ressaltar que 
no cálculo das combinações para a determinação dos valores de cálculo, a carga de pedestres 
será considerada como carga acidental para as lajes em balanço L 1 e L 5 . 
- M xe : (-l x /2;0) , , , ² , 4 kN .m m → k =− 0 5 ⇒ M xe,q =− 0 5 × 3 × 1 6 = − 3 8 / 
- M yr : (+l x /2;0) kN .m m → k = 0 ⇒ M yr,q = 0 / 
- M xm : (0;0) , 25 , 25 , ² , 6 kN .m m → k =− 0 1 ⇒ M xm,q =− 0 1 × 3 × 1 6 = − 0 9 / 
- M ym : (0;0) kN .m m → k = 0 ⇒ M ym,q = 0 / 
3.2. Lajes do Vão Central 
O peso próprio da laje é calculado por , com e P cP laje = γ × h c 5 kN m³ γ = 2 / 
. 5 cm , 5 mh = 2 = 0 2 
 P c 5 , 5 , 5 kN m² P laje = γ × h = 2 × 0 2 = 6 2 / 
O peso próprio do pavimento é calculado por , com P P P pav = γ pav × h pav + P rec 
, e variável, devendo-se estimar, portanto, a 4 kN m³ γ pav = 2 / P kN m² P rec = 2 / h pav 
espessura pela média das espessuras ao longo de todo o pavimento, considerando a h 
inclinação de 2%. Sendo assim: 
- cmh pav = 2
5+13 = 9 
Então, P P 4 , 9 , 6 kN m². P pav = γ pav × h pav + P rec = 2 × 0 0 + 2 = 4 1 / 
Assim, temos que: . P P , 5 , 6 0, 1 kN m² gvc = P laje + P pav = 6 2 + 4 1 = 1 4 / 
3.2.1. Lajes L 2 e L 4 
● Escolha da Tabela de Rüsch 
Segundo a notação de Rüsch (1965), para as lajes L 2 e L 4 , a tabela que satisfaz as 
condições de vinculação apresentadas pelas lajes analisadas é a Tabela 85. As informações 
da Tabela 85 de Rüsch estão apresentadas abaixo: 
 
Figura 11: Esquema Lajes L 2 e L 4 
 80 cm e l 33 cmlx = 7 y = 7 → lx
ly = 780
733 , 4 = 0 9 ≃ 1 
- M ye : (0 ;+l y /2) , 84→ k =− 0 0 
- M xm : (0;0) , 30→ k = 0 0 
- M ym : (0;0) , 36→ k = 0 0 
Assim, para calcular-se os momentos, é utilizada a seguinte expressão: 
, com k variando conforme M ye , M xm e M ym . Desse modo, temos que: ²M = k × g × lx 
- , 84 0, 1 , ² 3, 0 kN .m m M ye,g =− 0 0 × 1 4 × 7 8 = − 5 2 / 
- , 30 0, 1 , ² 9 kN .m m M xm,g = 0 0 × 1 4 × 7 8 = 1 / 
- , 36 0, 1 , ² 2, kN .m m M ym,g = 0 0 × 1 4 × 7 8 = 2 8 / 
3.2.2. Laje L 3 
● Escolha da Tabela de Rüsch 
Segundo a notação de Rüsch (1965), para a laje L 3 , a tabela que satisfaz as condições 
de vinculação apresentada pela laje analisada é a Tabela 91 . As informações da Tabela 91 de 
Rüsch estão apresentadas abaixo: 
 
Figura 12: Esquema Laje L 3 
 80 cm e l 34 cmlx = 7 y = 7 → lx
ly = 780
734 , 4 = 0 9 ≃ 1 
- M ye : (0 ; l y /2) ± , 69→ k =− 0 0 
- M xm : (0;0) , 21→ k = 0 0 
- M ym : (0;0) , 30→ k = 0 0 
Assim, para calcular-se os momentos, é utilizada a seguinte expressão: 
, com k variando conforme M ye , M xm e M ym . Desse modo, temos que: ²M = k × g × lx 
- , 69 0, 1 , ² 3, 0 kN .m m M ye,g =− 0 0 × 1 4 × 7 8 = − 4 7 / 
- , 21 0, 1 , ² 3, 0 kN .m m M xm,g = 0 0 × 1 4 × 7 8 = 1 3 / 
- , 30 0, 1 , ² 9, kN .m m M ym,g = 0 0 × 1 4 × 7 8 = 1 0 / 
4. Momentos Fletores - Cargas Móveis 
4.1. Lajes em Balanço - L 1 e L 5 
Os momentos devido às cargas móveis não serão considerados para as lajes em 
balanço. Conforme configuração de projeto apresentada na Figura 1 (corte transversal), 
nota-se que a mobilidade do trem-tipo não se aplica à laje em balanço, pois a mesma está 
sujeita apenas aos carregamentos devido ao peso próprio dos elementos (laje, defensa e 
guarda-corpo) e do passeio que, para esse projeto, terá sua carga de utilização considerada 
como um carregamento estático. 
4.2. Lajes do Vão Central 
4.2.1. Lajes L 2 e L 4 
Os momentos devido às cargas móveis seguem a relação 
, onde é o Q ) M q = ϕ × ( × M L + q 1 × M P + q 2 × M P ′ CIV NF IA ϕ = × C × C 
coeficiente de impacto, é a carga por roda para o TB-450, é a 75 kNQ = kN m² q 1 = 5 / 
carga móvel distribuída na frente e atrás do veículo, é a carga móvel kN m² q 2 = 5 / 
distribuída nas laterais do veículo e são os coeficientes em função dos , e M M L M P P ′ 
parâmetros e encontrados pelas tabelas de Rüsch (1965). a
 l x
a
 t 
 Nelas, corresponde à distância entre os centros de rodas de um veículo tipo ma = 2 
e está relacionado à consideração de um espraiamento de tensões de uma roda sobre um t 
elemento de laje, conforme apresentado na Figura 13 abaixo: 
 
Figura 13: Esquema de cálculo e representação do parâmetro t 
Sabe-se que e, considerando a medida do retângulo de contato com a , ² b × 0 2 = t′ 
roda de , temos . Para espessura média da laje na região , mb = 0 5 , ² , 16 b × 0 2 = t′ ⇒ t′ = 0 3 
do tabuleiro de e de pavimentação , temos , 5 m h = 0 2 , 9 me = 0 0 
 , 16 , 9 , 5 , 46 m. t = t′ + 2 × e + h = 0 3 + 2 × 0 0 + 0 2 = 0 7 
Assim, dado , utiliza-se e lx
ly = 780
733 , 4 = 0 9 ≃ 1 ,a
 l x = 200
 780 = 3 9 , 73a
 t = 200
 74,6 = 0 3 
para obter os valores de por meio da interpolação linear dos dados , e M M L M P P ′ 
fornecidos pela Tabela 85 da notação de Rüsch (1965), vide esquema estático apresentado 
na Figura 11 anteriormente. Os valores encontrados apresentam-se nas Tabelas a seguir: 
Tabela 2: Cálculo dos fatores para por interpolação linear , e M M L M P P ′ M xm,q 
lx/a 
ML Mxm 
0,250 0,373 0,500 Mp Mp' 
3,0 0,380 0,335 0,288 0,020 0,300 
3,9 0,470 0,430 0,3879 0,092 0,642 
4,0 0,480 0,440 0,399 0,100 0,680 
Tabela 3: Cálculo dos fatores para por interpolação linear , e M M L M P P ′ M ym,q 
Tabela 4: Cálculo dos fatores para por interpolação linear , e M M L M P P ′ M ye,q 
Aplicando a equação explicitada anteriormente para o cálculo do momento devido às 
cargas móveis, tendo o vão central da ponte superior a 10,0 m ( m), temos: 2,Lvc = 2 0 
, e . IV , 6 ) , 6 ) , 944C = 1 + 1 0 × ( 20L +50vc = 1 + 1 0 × (
20
22+50 = 1 2 IA , 5C = 1 2 NF ,C = 1 0 
Portanto: 
- , 181 75 , 30 , 92 , 42) 8, 73 kNm m M xm,q = 1 6 × ( × 0 4 + 5 × 0 0 + 5 × 0 6 = 5 0 / 
- , 181 75 , 34 , 27 , 04) 0, 72 kNm m M ym,q = 1 6 × ( × 0 4 + 5 × 0 0 + 5 × 1 0 = 6 9 / 
- , 181 75 , 73 , 63 , 70) 52, 55 kNm m M ye,q = 1 6 × ( × 1 0 + 5 × 0 3 + 5 × 2 3 =− 1 3 / 
Para obtenção dos diagramas de momentos fletores e melhor visualização dos 
cálculos apresentados, utilizou-se o Software TRüsch 1.0 aplicado como exemplo à Laje 
, sendo apresentados nas Figuras 14.a) e 14.b) a seguir: L 2 
lx/a 
ML Mym 
0,250 0,373 0,500 Mp Mp' 
3,0 0,351 0,328 0,305 0,000 0,500 
3,9 0,458 0,434 0,4085 0,027 1,004 
4,0 0,470 0,445 0,42 0,030 1,060 
lx/a 
ML -Mye 
0,250 0,373 0,500 Mp Mp' 
3,0 0,900 0,875 0,850 0,030 1,200 
3,9 1,089 1,073 1,057 0,363 2,370 
4,01,110 1,095 1,080 0,400 2,500 
 
Figura 14.a): Diagramas de momentos fletores para Laje L 2 
 
 Figura 14.b): Diagramas de momentos fletores para Laje L 2 
Vale ressaltar que, para facilitar a visualização, os diagramas apresentam eixos x e y 
trocados (referente aos que foram calculados) e que os valores apresentados estão em 
tonelada-força. 
4.2.2. Laje L 3 
O cálculo de momento fletor devido às cargas móveis para a Laje deve ser L 3 
realizado de maneira idêntica ao apresentado anteriormente para as Lajes e A única L 2 .L 4 
diferença, entretanto, está relacionada ao esquema estático apresentado por essa laje, a qual 
possui duas bordas engastadas ao invés de uma. Sendo assim, os parâmetros utilizados para 
os cálculos serão os mesmos apresentados para as Lajes e , mas os valores de L 2 L 4 
 serão obtidos por meio da interpolação linear dos dados fornecidos pela , e M M L M P P ′ 
Tabela 91 da notação de Rüsch (1965), a qual se relaciona com o esquema estático já 
apresentado na Figura 12. Com isso, temos que: 
Tabela 5: Cálculo dos fatores para por interpolação linear , e M M L M P P ′ M xm,q 
Tabela 6: Cálculo dos fatores para por interpolação linear , e M M L M P P ′ M ym,q 
Tabela 7: Cálculo dos fatores para por interpolação linear , e M M L M P P ′ M ye,q 
Aplicando a equação para o cálculo do momento devido às cargas móveis: 
- , 181 75 , 51 , 56 , 24) 44, 69 kNm m M xm,q = 1 6 × ( × 0 3 + 5 × 0 0 + 5 × 0 2 = 8 / 
- , 181 75 , 16 , 18 , 46) 6, 19 kNm m M ym,q = 1 6 × ( × 0 4 + 5 × 0 0 + 5 × 0 7 = 5 7 / 
- , 181 75 , 78 , 85 , 00) 35, 32 kNm m M ye,q = 1 6 × ( × 0 9 + 5 × 0 1 + 5 × 1 9 =− 1 5 / 
lx/a 
ML Mxm 
0,250 0,373 0,500 Mp Mp' 
3,0 0,297 0,256 0,213 0,020 0,080 
3,9 0,392 0,351 0,3084 0,056 0,224 
4,0 0,403 0,362 0,319 0,060 0,240 
lx/a 
ML Mym 
0,250 0,373 0,500 Mp Mp' 
3,0 0,330 0,315 0,300 0,000 0,260 
3,9 0,429 0,416 0,404 0,018 0,746 
4,0 0,440 0,428 0,415 0,020 0,800 
lx/a 
ML Mye 
0,250 0,373 0,500 Mp Mp' 
3,0 0,800 0,775 0,750 0,050 1,000 
3,9 0,998 0,978 0,957 0,185 1,900 
4,0 1,020 1,000 0,980 0,200 2,000 
Para obtenção dos diagramas de momentos fletores e melhor visualização dos 
cálculos apresentados, utilizou-se o Software TRüsch 1.0 aplicado como exemplo à Laje 
, sendo apresentados nas Figuras 15.a) e 15.b) a seguir: L 2 
 
Figura 15.a): Diagramas de momentos fletores para Laje L 3 
 
Figura 15.b): Diagramas de momentos fletores para Laje L 3 
Vale ressaltar que, para facilitar a visualização, os diagramas apresentam eixos x e y 
trocados (referente aos que foram calculados) e que os valores apresentados estão em 
tonelada-força. 
4.3. Correção para Laje Contínua 
Os cálculos para momento fletor devido às cargas móveis apresentados nos itens 
anteriores é feito levando em consideração a disposição das lajes como isoladas. Devido à 
continuidade entre os tabuleiros, portanto, é preciso fazer uma correção dos valores de 
momentos encontrados. 
Primeiramente, é preciso definir um sistema de eixo auxiliar , onde está na y x′ ′ x′ 
mesma direção da continuidade das lajes. A partir disso, define-se e, para o caso Ly′ Lx′ 
estudado de placa vinculada nos quatro lados, acham-se os fatores de correção dos 
momentos, advindos da Tabela 8 em seguida: 
. 
Tabela 8: Valores tabelados de α 0 
Com os valores de encontrados, faz-se o cálculo de , que deve α 0 α =
1,2
1+ L100
× α 0 
ser, por fim, multiplicado pelos momentos obtidos anteriormente para sua efetiva correção. 
4.3.1. Lajes L 2 e L 4 
Para as Lajes L 2 e L 4 , temos a configuração de eixos e dimensões correspondentes 
tais como apresentadas na Figura 16 abaixo: 
 
 Figura 16: Configuração das Lajes L 2 e L 4 
Com isso, temos que e, pela Tabela 8, temos e , 6Ly′ Lx′ =
780
 733 = 1 0 ≈ 1 , 5 α 01 = 1 0 
. Então: , 6 α 0B = 0 9 
- , 5 , 7α 1 =
1,2
1+ 100
7,33 × 1 0 = 1 1 
- , 6 , 7α B =
1,2
1+ 100
7,33 × 0 9 = 1 0 
As correções, portanto, são feitas de tal forma que: 
- 0, 72 , 7 1, 78 kNm m M x m,q′ = M ym,q ⇒ M ym,q,corr = M ym,q × α 1 = 6 9 × 1 1 = 7 5 / 
- não precisa ser corrigido pois não está na direção da M y m,q′ = M xm,q ⇒ 
continuidade. 
- 52, 55) , 7 63, 26 kNm m M x e,q′ = M ye,q ⇒ M ye,q,corr = M ye,q × α B = (− 1 3 × 1 0 =− 1 5 / 
4.3.2. Laje L 3 
Para a Laje L 3 , temos a configuração de eixos e dimensões correspondentes tais 
como apresentadas na Figura 17 abaixo: 
 
 Figura 17: Configuração da Laje L 3 
Com isso, temos que e, pela Tabela 8, temos e , 6Ly′ Lx′ =
780
 734 = 1 0 ≈ 1 , 3 α 02 = 1 1 
. Então: , 6 α 0B = 0 9 
- , 3 , 6α 2 =
1,2
1+ 100
7,34 × 1 1 = 1 2 
- , 6 , 7α B =
1,2
1+ 100
7,34 × 0 9 = 1 0 
As correções, portanto, são feitas de tal forma que: 
- 6, 19 , 6 1, 52 kNm m M x m,q′ = M ym,q ⇒ M ym,q,corr = M ym,q × α 2 = 5 7 × 1 2 = 7 6 / 
- não precisa ser corrigido pois não está na direção da M y m,q′ = M xm,q ⇒ 
continuidade. 
- 35, 32) , 7 45, 56 kNm m M x e,q′ = M ye,q ⇒ M ye,q,corr = M ye,q × α B = (− 1 5 × 1 0 =− 1 4 / 
5. Valores de Projeto 
As combinações para o cálculo dos momentos fletores das lajes é feito utilizando-se 
as cargas permanentes (g) e cargas variáveis (q), a partir da seguinte formulação apresentada 
na NBR 8681/2003 - "Ações e segurança nas estruturas e procedimento" a combinação de 
esforços para a análise do ELU: 
, M )M d = ∑
 
 
γ gi × M Gi,k + γ q × ( Q1,k + ∑
 
 
ψ0j × M Qj,k 
onde representa o momento devido às cargas permanentes (laje + pavimentação + M G 
recapeamento no caso das lajes do vão central - L 2 , L 3 e L 4 , e laje + passeio para as lajes do 
balanço L 1 e L 5 ) e o momento devido às cargas variáveis principais (Trem-Tipo no M Q1 
caso das lajes do vão central - L 2 , L 3 e L 4 , e carga de pedestres para as lajes do balanço - L 1 e 
L 5 ) e M Qj o momento devido às cargas variáveis secundárias. Destaca-se que as cargas 
devido ao trânsito de pedestres seriam consideradas como cargas variáveis secundárias para 
as lajes 1 e 5 caso o trem tipo atuasse no balanço, isso por apresentarem efeito menor do que 
a carga móvel do TB, contudo, como o TB não atua no balanço, essa é a única carga 
variável das lajes L 1 e L 5 e, assim, foram tomadas como cargas variáveis principais. Em caso 
de e possuíremmesmo sinal, toma-se (caso desfavorável) e em caso M G M Q , 5γ g = 1 3 
de sinais opostos (caso favorável). Temos, ainda, , considerando , 0γ g = 1 0 , 0γ q = 1 5 
ponte rodoviária. 
 M xm (kN.m/m) 
M ym 
(kN.m/m) 
M ye 
(kN.m/m) 
M xe 
(kN.m/m) 
M xr 
(kN.m/m) 
M yr 
(kN.m/m) 
Lajes 1 e 5 
Permanente 
(M g ) 
-4,32 - - -19,13 - - 
Acidental 
(M q ) 
-0,96 - - -3,84 - - 
Combinação 
(M d ) 
-7,27 - - -31,58 - - 
Lajes 2 e 4 
Permanente 
(M g ) 
19,00 22,80 -53,20 - - - 
Acidental 
(M q ) 
58,073 71,578 -163,526 - - - 
Combinação 
(M d ) 
112,76 138,15 -317,11 - - - 
Laje 3 
Permanente 
(M g ) 
13,30 19,00 -43,70 - - - 
Acidental 44,869 71,652 -145,46 - - - 
Tabela 9: Combinações últimas normais de momentos fletores de lajes de projeto 
Feitas as combinações entre os momentos fletores permanentes e acidentais, 
conforme apresentado na Tabela 9, deve-se agora compatibilizar os momentos situados na 
continuidade entre as lajes, isto é, no engaste entre as lajes L 2 e L 3 . Para tanto, deve-se 
verificar qual o maior valor entre: a média dos momentos encontrados no engaste ( M 2 = 
-317,11 kN.m/m e M 3 = -277,18 kN.m/m ) e 80% do maior valor (no caso M 2 ). Assim, temos 
que: 
 
 , 17, 1) 53, 88 kN .m m M ye,d* = 0 8 × (− 3 1 ≥ − 2 6 / 
 M ye,d* = 2
( 317,11 277,18)− − 97, 44 kN .m m ≥ − 2 1 / 
Assim, . 97, 44 kN .m m M ye,d* =− 2 1 / 
 
Figura 18: Compatibilização dos Momentos Fletores 
Além disso, surge um momento na ligação entre a laje L 2 a transversina da 
extremidade, conforme apresentado na Figura 19, sendo este dado por: 
 M A,d = 2
M B = 2
M ye,d* = 2
297,14− 48, 7 kN .m m = − 1 5 / 
(M q ) 
Combinação 
(M d ) 
85,26 133,13 -277,18 - - - 
 
Figura 19: Momento Fletor na ligação entre a Laje L 2 e a Transversina da extremidade 
Assim, o diagrama final dos momentos fletores na continuidade longitudinal das 
lajes é dado por: 
 
Figura 20: Diagramas finais de momentos fletores em kNm/m na continuidade longitudinal 
6. Referências Bibliográficas 
ABNT. NBR 7188: Carga móvel rodoviária e de pedestres em pontes, viadutos, passarelas e 
outras estruturas. 2013. 
PFEIL, W. Pontes em concreto armado: elementos de projeto, solicitações, dimensionamento . 
LTC, 1979. 
RÜSCH, H. Berechnungstafeln für rechtwinklige Fahrbahnplatten von Straßenbrücken. Berlin, 
1965.