Fatoração LU, Método Gauss-Jacobi e Método Gauss-Seidel Resolução de Sistemas Lineares

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Fatoração LU, Método
Gauss-Jacobi e Método
Gauss-Seidel
Resolução de Sistemas Lineares
Abstract— Através dos métodos iterativos é possível obter
resultados de sistemas lineares, fornecendo sequências que
convergem sob certas condições.
Keywords— sistemas
I. INTRODUÇÃO
II. EMBASAMENTO TEÓRICO
A. Fatoração LU (Decomposição LU) – Decomposição
de Crout
B. Método Gauss-Jacobi
C. Método Gauss-Seidel
É um método iterativo para resolução de sistemas de equações
lineares. O seu nome é uma homenagem aos matemáticos
alemães Carl Friedrich Gauss e Philipp Ludwig von Seidel. É
semelhante ao método de Jacobi (e como tal, obedece ao
mesmo critério de convergência). É condição suficiente de
convergência que a matriz seja estritamente diagonal
dominante, fica garantida a convergência da sucessão de
valores gerados para a solução exata do sistema linear
O método de Gauss-Seidel é o método iterativo mais
comumente usado. Suponha que tenhamos um conjunto de n
equações:
[A]{X}={B}
Suponha que, para sermos concisos, nos limitemos a um
conjunto 3 × 3 de equações. Se os elementos da diagonal
forem todos não-nulos, é possível isolar x1 na primeira
equação, x2 na segunda e x3 na terceira para obter
Agora, começa o processo de solução escolhendo-se
aproximações para os x’s. Uma forma simples de obter
aproximações iniciais é supor que elas são todas nulas. Esses
zeros podem ser substituídos na Equação (11.5a), que pode ser
usada para calcular um novo valor para x1 = b1/a11. Então,
substitui-se esse novo valor de x1 junto com a aproximação
anterior nula para x3 na Equação (11.5b) para calcular um
novo valor para x2. O processo é repetido para a Equação
(11.5c) para se calcular uma nova estimativa para x3. Então,
volta-se para a primeira equação e o procedimento inteiro é
repetido até que a solução convirja para valores
suficientemente próximos dos valores verdadeiros. A
convergência pode ser verificada usando-se o critério
para todo i, onde j e j − 1 representam a iteração atual e a
anterior.
III. EXEMPLOS
- Método de Gauss-Seidel
Enunciado do Problema. Use o método de Gauss-Seidel para
obter a solução do Sistema:
3x1 − 0,1x2 − 0,2x3 = 7,85
0,1x1 + 7x2 − 0,3x3 = −19,3
0,3x1 − 0,2x2 + 10x3 = 71,4
Solução. Primeiro, em cada uma das equações, isole a variável
na diagonal.
Supondo-se que x2 e x3 são iguais a zero, a Equação (E11.3.1)
pode ser usada para calcular
Esse valor, junto com o valor suposto de x3 = 0, pode ser
substituído na Equação (E11.3.2) para calcular
A primeira iteração é completada substituindo-se os valores
calculados para x1 e x2 na Equação (E11.3.3) para obter
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Para a segunda iteração, o mesmo processo é repetido para
calcular
O método está, portanto, convergindo para a verdadeira
solução. Iterações adicionais podem ser aplicadas para
melhorar as respostas. Porém, em um problema real, a
resposta verdadeira não seria conhecida a priori.
Conseqüentemente, a Equação fornece um meio de estimar o
erro. Por exemplo, para x1,
Para x2 e x3, as estimativas de erro são |εa,2| = 11,8% e |εa,3|
= 0,076%. Observe que, como no caso em que determinamos
raízes de uma única equação, as formulações como a Equação
em geral fornecem uma estimativa conservadora de
convergência. Assim, quando elas são satisfeitas, garantem
que o resultado é conhecido pelo menos dentro da tolerância
especificada por εs.
IV. CONCLUSÃO
REFERÊNCIAS
C. CHAPRA, S.; P. CANALE, R. Métodos Numéricos para
Engenharia. 5º Edição. AMGH Editora Ltda, 2011