Livro cinematica dos s III

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Unidade III
Unidade III
7 MOVIMENTO PLANO – CÁLCULO DE VELOCIDADES PELO MÉTODO VETORIAL
Nesta unidade será desenvolvida a forma de cálculo de velocidades para os sólidos em movimento 
plano pelo Método Vetorial. O leitor deve ficar atento à facilidade que o Método Geométrico, 
apresentado no Tópico 6, representa em algumas situações nas quais o CIR se localiza em pontos em 
que a determinação dos segmentos é simples. Será frisada essa maior facilidade durante os exemplos 
de aplicação. Porém, em algumas situações, o CIR se localiza em pontos nos quais a determinação dos 
segmentos é muito mais complexa e demanda ferramentas geométricas não tão simples. Fica a cargo 
do leitor escolher o método. 
A figura que segue mostra um sólido genérico em movimento plano e uma referência externa fixa O. 
São mostrados os vetores posição dos pontos P e Q, rP

= P - O e rQ

= Q - O. O vetor velocidade angular é 
perpendicular ao plano de giro do sólido, e seu sentido é dado pela regra da mão direita. Como o sólido 
está girando no sentido horário, o vetor velocidade angular está saindo do plano. 
Figura 117 – Visualização do vetor velocidade angular no sólido em movimento plano 
Somando os vetores na figura anterior, temos:
(Q - O) + (P - Q) = (P - O)
 rQ

+ (P - Q) = rP

 eq. 7.1
Derivando a soma vetorial em relação ao tempo, temos:
d
dt
r
d
dt
P Q
d
dt
rQ P
 
+ − =( ) eq. 7.2
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
A derivada temporal dos vetores posição dos pontos P e Q resultam o vetor velocidade de cada ponto. 
d
dt
r v e
d
dt
r vQ Q P P
    
= =
Aplicando o Teorema de Poisson à derivada temporal d
dt
P Q( )− , temos:
d
dt
P Q x P Q( ) ( )− = −ω

Assim, a equação do vetor velocidade de um ponto P qualquer de um sólido que desenvolve 
movimento plano fica:
v v x P QP Q
   
= + −ω ( ) eq. 7.3
 Observação
O cálculo das velocidades pode ser feito tanto pelo método do CIR 
quanto pelo método vetorial. Cabe ao leitor verificar qual das formas é 
preferida.
Exemplo de aplicação
A barra AB ilustrada na figura a seguir tem comprimento 0,8 m e se desloca com as extremidades 
apoiadas em duas superfícies, conforme ilustrado. O extremo A da barra se desloca para a direita, com 
velocidade constante vA = 3,5 m/s. Para o instante ilustrado, quando o ângulo entre a barra e o plano 
horizontal é θ	= 30o, calcular a velocidade do ponto B.
Figura 118 – Sólido desenvolvendo movimento plano
O cálculo da velocidade do ponto B já foi resolvido pela forma geométrica no Tópico 6. Neste exemplo 
de aplicação, será calculada novamente a velocidade do ponto B, porém utilizando o Método Vetorial. 
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Unidade III
Ao fim da resolução, o leitor observará que o método geométrico é mais curto e menos complexo. Assim, 
o leitor tem a possibilidade de escolher o método mais fácil para o cálculo de velocidades.
Obtendo as coordenadas dos pontos de interesse em relação à origem adotada, temos:
• A (-0,8.cos30o; 0) = (-0,7; 0) m. 
• B (0; 0,8.cos 60o) = (0; 0,4) m. 
Desenhando os vetores velocidade nos pontos A e B (próxima figura), temos:
Figura 119 – Observação dos vetores velocidade dos pontos A e B
A equação que define o vetor velocidade do ponto B parte da equação genérica v v x P QP Q
   
= + −ω ( ) 
e fica: 
v v x B AB A
   
= + −ω ( )
Antes de prosseguir com a resolução, devemos escrever cada um dos vetores que compõem a 
equação. 
O vetor velocidade do ponto B ( vB

) possui intensidade vB e tem componentes em x e y. Assim: 
vB

= vB . cos60ºi + vB . sen60ºj
vB

= vB . 0,5i + vB . 0,87j
O vetor velocidade do ponto A ( vA
 
) possui intensidade vA = 3,5m/s, tem direção horizontal e aponta 
para a direita. Assim:
vA
 
= vAi vA
 
 = 3,5i
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
O vetor velocidade angular da barra AB ( ω

) tem direção normal ao plano e seu sentido é obtido pela 
regra da mão direita. Assim, observamos que o vetor velocidade angular está saindo do plano (figura a 
seguir). Então: ω

= ωk
Figura 120 – Aplicação da regra da mão direita para visualização do sentido do vetor velocidade angular do sólido
(B - A) é calculado da seguinte maneira:
(B - A) = (0 - (- 0,7))i + (0,4 - 0)j
(B - A) = 0,7i + 0,4j
Voltando à equação para o cálculo do vetor velocidade do ponto B, temos:
v v x B AB A
   
= + −ω ( )
vB . 0,5i + vB . 0,87j = 3,5i + ωk x (0,7i + 0,4j)
Resolvendo o produto vetorial, temos:
k x i = j k x j = -i
vB . 0,5i + vB . 0,87j = 3,5i + 0,7 . ωj - 0,4 . ωi
Resolvendo a equação em i, temos:
vB . 0,5 = 3,5 - 0,4 . ω
Como não temos a velocidade angular da barra AB, resolvemos a equação em j:
vB . 0,87 = 0,7 . ω
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Unidade III
Isolando vB em função de ω, temos:
vB = 
0 7
0 87
, .
,
ω
 vB = 0,8 . ω
Voltando à equação em i, temos:
0,8 . ω . 0,5 = 3,5 - 0,4 . ω
ω = 4,38
rad
s
Voltando à equação em j, temos:
vB = 0,8 . ω vB = 0,8 . 4,38 vB = 3,51
m
s 
 Lembrete
A direção da velocidade de um ponto que se movimenta de forma linear 
encostado a uma superfície é a mesma direção da superfície.
Exemplo de aplicação
O eixo manivela AB, do motor ilustrado, gira com velocidade angular constante ω = 75 rad/s, no 
sentido horário. Pela articulação A passa eixo fixo. Para o instante ilustrado, calcular a velocidade do 
pistão.
Figura 121 – Motor monocilíndrico
Inicialmente vamos analisar que tipo de movimento cada um dos sólidos está desenvolvendo: 
• Manivela AB: rotação em torno de eixo fixo, que está no ponto A. 
• Biela BC: movimento plano. 
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
• Pistão: translação retilínea. 
Adotando uma referência vetorial para obtermos as coordenadas dos pontos de interesse, temos:
Figura 122 – Adoção de uma origem de referência no ponto A
Obtendo as coordenadas dos pontos de interesse em relação à origem adotada, temos: 
• A (origem adotada) = (0; 0) m. 
• B (0; 0,025) m. 
• C (0,08; 0) m. 
Interpretando o enunciado, devemos observar que se deseja saber a velocidade do pistão, que será 
obtida nos cálculos na forma de velocidade do ponto C, pois este é um ponto do pistão que desenvolve 
translação retilínea. Logo:
vC = vPistão
Desenhando os vetores velocidade nos pontos B e C, temos:
A manivela AB gira no sentido horário. O ponto B gira em torno de eixo fixo, e sua velocidade é 
perpendicular à linha que define o raio de giro do ponto. 
Figura 123 – Observação dos vetores velocidade dos pontos B e C
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Unidade III
A equação que define o vetor velocidade do ponto C parte da equação genérica v v x P QP Q
   
= + −ω ( )
e fica:
v v x C BC B BC
    
= + −ω ( )
Antes de prosseguir com a resolução, devemos escrever cada um dos vetores que compõem a 
equação. 
O vetor velocidade do ponto C ( vC
 
) possui intensidade vC, tem direção horizontal e aponta para a 
direita. Assim: 
vC
 
= vCi
O vetor velocidade do ponto B ( vB

) possui intensidade vB, tem direção horizontal e aponta para a 
direita. Assim: 
vB

= vBi
As velocidades vB e vC possuem direções paralelas. Se for traçado o método para determinação do 
CIR, obteremos duas retas paralelas. Dessa forma, o CIR está no infinito, e a biela BC está descrevendo 
um ato translatório. 
Inicialmente não tivemos como identificar tal situação, que foi classificada como movimento plano. 
O ato translatórioé um caso particular do movimento plano. Então: ωBC
 
= 0.
Figura 124 – Observação do CIR da biela BC
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Dessa forma, sendo ωBC
 
= 0, a equação fica resumida em: 
v v x C B
v v
C B BC
C B
    
  
= + −
=
ω ( )
Calculando a velocidade do ponto B pela equação do sólido girante, temos:
vB = ωAB . RB vB = 75. 0,025 vB = 1,875
m
s2
Então, vC
 
= vB

, vB = 1,875
m
s2
 e vPistão = 1,875
m
s2 
Exemplo de aplicação
As barras AB, BC e CD são articuladas entre si conforme ilustrado. Pelas articulações A e D, passam 
eixos fixos. No instante ilustrado, a barra AB gira com velocidade angular ωAB = 5 rad/s, no sentido 
horário. Determinar: 
a) A velocidade angular da barra BC. 
b) A velocidade angular da barra CD.
Figura 125 – Mecanismo de três barras 
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Unidade III
Inicialmente vamos analisar que tipo de movimento cada um dos sólidos está desenvolvendo:
• Barra AB: rotação em torno de eixo fixo, que está no ponto A. 
• Barra BC: movimento plano. 
• Barra CD: rotação em torno de eixo fixo, que está no ponto D.
Adotando uma referência vetorial para obtermos as coordenadas dos pontos de interesse, temos: 
Figura 126 – Adoção de uma origem de referência no ponto A
Obtendo as coordenadas dos pontos de interesse em relação à origem adotada, temos: 
• A (origem adotada) = (0; 0) m. 
• B (0; -0,18) m. 
• C (0,24; -0,18) m. 
• D (0,12; -0,38) m. 
Para desenharmos os vetores velocidade nos pontos B e C, observamos que a barra AB gira no 
sentido horário. Lembrando que o ponto B gira em torno de eixo fixo (A), sua velocidade é perpendicular 
à linha que define o raio de giro do ponto B. Pelo raciocínio de conjunto, observamos que a barra CD está 
girando no sentido anti-horário. Dessa forma, lembrando que o ponto C gira em torno de eixo fixo (D), 
sua velocidade é perpendicular à linha que define o raio de giro do ponto C. Então temos: 
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Figura 127 – Visualização dos vetores velocidade dos pontos B e C
O cálculo da velocidade angular da barra BC parte da equação da velocidade para o movimento 
plano genérica v v x P QP Q
   
= + −ω ( ) que, adequada ao cálculo de ωBC, fica: 
v v x C BC B BC
    
= + −ω ( )
Antes de prosseguir com a resolução, devemos escrever cada um dos vetores que compõem a 
equação. 
O vetor velocidade do ponto C ( vC
 
) possui intensidade vC, tem direção perpendicular ao raio de giro 
do ponto C e consequentemente possui uma projeção horizontal e outra vertical. Para o cálculo das 
projeções, temos de obter um dos ângulos entre o vetor vC
 
 e a horizontal ou vertical. Assim: 
Figura 128 – Visualização dos ângulos e projeções da velocidade do ponto C
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Unidade III
tgβ = 0 2
0 12
,
,
 = 1,67 β = 59,1º
vC
 
= -vC . senβi + vC . cosβj
vC
 
= -vC . sen 59,1ºi + vC . cos 59,1ºj
vC
 
= - 0,858 . vCi + 0,513 . vCj
O vetor velocidade do ponto B ( vB

) possui intensidade vB, tem direção horizontal e aponta para a 
esquerda. Assim: 
vB

= - vBi
A intensidade do vetor velocidade do ponto B pode ser calculada pela equação da velocidade do 
ponto girante. Assim: 
vB = ωAB . RB vB = 5 . 0,18 vB = 0,9
m
s
Então: vB

= - 0,9i
O vetor velocidade angular da barra BC ( ωBC
 
) possui intensidade ωBC, tem direção perpendicular ao 
plano de giro da barra BC e seu sentido é definido pela regra da mão direita. Observamos que o ωBC
 
 
aponta para fora do plano. Assim: ωBC
 
 = ωBCk
(C - B) é obtido pela subtração das coordenadas dos pontos, assim:
(C - B) = (0,24 -0)i + (- 0,18 - (- 0,18))j
(C - B) = 0,24i - 0j
(C - B) = 0,24i
Voltando à equação inicial:
v v x C BC B BC
    
= + −ω ( )
- 0,858 . vCi + 0,513 . vCj = - 0,9i + ωBCk x 0,24i
Resolvendo o produto vetorial, lembrando que k x i = j, temos:
- 0,858 . vCi + 0,513 . vCj = - 0,9i + 0,24ωBCj
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Resolvendo em i:
- 0,858 . vC = - 0,9 vC = 1,05
m
s
Resolvendo em j:
0,513 . vC = 0,24ωBC 0,513 . 1,05 = 0,24ωBC
Resposta do item a): 
ωBC = 2,25
rad
s
Tendo o valor da velocidade do ponto C, calculamos a velocidade angular da barra CD, pela equação 
da velocidade do ponto girante: 
vC = ωCD . RC
O raio de giro do ponto C equivale ao comprimento da barra CD, que pode ser calculado pelo 
Teorema de Pitágoras. Assim: 
CD CD m= + =0 2 0 12 0 2332 2, , ,
Logo: 
Resposta do item b): 
1,05 = ωCD . 0,233 ωCD = 4,5
rad
s 
Exemplo de aplicação
No sistema de três barras ilustrado, a barra CD possui velocidade angular ωCD = 6 rad/s no sentido 
anti-horário. Determinar para o instante ilustrado, utilizando o método vetorial: 
a) A velocidade do ponto E. 
b) A velocidade angular da barra AB.
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Figura 129 – Mecanismo de três barras
Este exemplo já foi resolvido pelo Método Geométrico e será resolvido neste ponto pelo Método Vetorial.
Observando o tipo de movimento que cada uma das barras descreve:
• Barra AB: desenvolve movimento de rotação em torno de eixo fixo.
• Barra BC: desenvolve movimento plano.
• Barra CD: desenvolve movimento de rotação em torno de eixo fixo.
Adotando uma referência vetorial para obtermos as coordenadas dos pontos de interesse, temos: 
Figura 130 – Adoção de uma origem de referência no ponto D
Do exemplo já resolvido, temos: AB = 1,2 m 
Obtendo as coordenadas dos pontos de interesse em relação à origem adotada, temos:
• A [-(1,2 . cos30o + 0,6); 0] = (-1,64; 0) m. 
• B (-0,6; 0,6) m. 
• C (0; 0,6) m. 
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
• D (origem adotada) = (0; 0) m. 
• E (-0,3; 0,6) m. 
O cálculo da velocidade angular da barra BC ( ωBC
 
) parte da equação genérica da velocidade para o 
movimento plano v v x P QP Q
   
= + −ω ( ) que, adequada ao cálculo de ωBC, fica:
v v x C BC B BC
    
= + −ω ( )
Os vetores velocidade dos pontos B e C já foram observados no exemplo resolvido pelo Método 
Geométrico. 
O vetor velocidade do ponto C ( vC
 
) possui intensidade vC, direção horizontal e seu sentido é para a 
esquerda. Logo: 
vC
 
= -vCi
A intensidade do vetor velocidade do ponto C já foi calculada no exemplo resolvido pelo Método 
Geométrico.
vC = ωCD . CD vC = 6 . 0,6 vC = 3,6
m
s
Então: 
vC
 
= - 3,6i
O vetor velocidade do ponto B ( vB

) possui intensidade vB, tem direção perpendicular à linha que 
define seu raio de giro (segmento AB) e seu sentido é condizente com o sentido de giro da barra AB, que 
é anti-horário. Projetando o vetor vB

 em uma componente vertical e horizontal, temos:
vB

= - vB . sen30i + vB . cos30j
O vetor velocidade angular da barra BC ( ωBC
 
) possui intensidade ωBC, tem direção perpendicular ao 
plano de giro da barra BC e seu sentido é definido pela regra da mão direita. Observamos que o ωBC
 
 
aponta para dentro do plano. Assim: ωBC
 
 = - ωBCk. 
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Unidade III
Figura 131 – Visualização dos vetores velocidade dos pontos B e C e projeções do vetor velocidade do ponto B
(C - B) é obtido pela subtração das coordenadas dos pontos, assim:
(C - B) = (0 - (- 0,6))i + (0,6 - 0,6)j
(C - B) = 0,6i + 0j
(C - B) = 0,6i
Voltando à equação inicial:
v v x C BC B BC
   
= + −ω ( )
- 3,6i = -vB . sen30i + vB . cos30j - ωBCk x 0,6i
Resolvendo o produto vetorial, lembrando que k x i = j, temos:
- 3,6i = -vB . sen30i + vB . cos30j - 0,6ωBCj
Resolvendo em i:
- 3,6 = -vB . sen30 vB = 7,2
m
s
Resolvendo em j:
0 = vB . cos30 - 0,6ωBC 0 = 7,2 . cos30 - 0,6ωBC ωBC = 10,4
rad
s
Tendo a velocidade do ponto B, aplicamos a equação da velocidade de um ponto girante v = ω . R. 
vB = ωAB . AB 7,2 = ωAB . 1,2
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Resposta do item b):
ωAB = 6
rad
s
O cálculo da velocidade do ponto E ( vE

) parte da equação da velocidade para o movimento plano 
genérica v v x P QP Q
   
= + −ω ( ) que, adequada ao cálculo de vE

, fica: 
v v x E BE B BC
   
= + −ω ( ) ou vE

 = vB

 + ωBC
 
 x (E – C)
Vamos escolher resolver pela equação v v x E BE B BC
   
= + −ω ( )
O vetor velocidade do ponto E ( vE

) possui intensidade vE e tem direção e sentidos indefinidos, os 
quais serão calculados e definidos posteriormente.
(E - B) é obtido pela subtração das coordenadas dos pontos, assim:
(E - B) = (- 0,3 - (- 0,6))i + (0,6 - 0,6)j
(E - B) = 0,3i + 0j
(E - B) = 0,3i
Voltando à equação:
v v x E BE B BC
   
= + −ω ( )
vE

= - vB . sen30i + vB . cos30j - ωBCk x 0,3i
Substituindo os valores já calculados, temos:
vE

= - 7,2 . sen30i + 7,2 . cos30j - 10,4k x 0,3i
Resolvendo o produto vetorial e multiplicações, temos:
vE

= - 3,6i + 6,23j - 3,12j
Somando as parcelas em j, temos o vetor velocidade do ponto E: 
vE

= - 3,6i + 3,11j
m
s
O enunciado pede o módulo da velocidade do ponto E que pode ser calculada por:
vE

= − +( , ) ,3 6 3 112 2
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Resposta do item a):
v v
m
sE E

= = 4 76,
O enunciado não solicita a direção do vetor velocidade do ponto E, mas calcularemos mesmo assim: 
Figura 132 – Cálculo da direção do vetor velocidade do ponto E
tg θ = 3 11
3 6
,
,
 θ = atg 3 11
3 6
,
,
 θ = 40,82º
 
Exemplo de aplicação
No instante ilustrado, a barra AB possui velocidade angular de 3 rad/s, que cresce à taxa de 2 rad/s2. 
Para o instante ilustrado, calcular: 
a) A velocidade angular da barra BC. 
b) A velocidade do bloco deslizante C. 
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Figura 133 – Mecanismo de transmissão de movimento
Este exercício já foi resolvido no Tópico 6 pelo Método Geométrico. Vamos agora resolvê-lo pelo 
Método Vetorial.
Observando que tipo de movimento cada um dos sólidos descreve.
• Barra AB: desenvolve movimento de rotação em torno de eixo fixo.
• Barra BC: desenvolve movimento plano.
• Bloco C: desenvolve movimento de translação retilínea.
Adotando uma referência vetorial para obtermos as coordenadas dos pontos de interesse, temos: 
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Unidade III
Figura 134 – Adoção de uma origem vetorial
Obtendo as coordenadas dos pontos de interesse em relação à origem adotada, temos: 
• A (0; 0,5) m. 
• B (0; 1,2) m. 
• C (-0,5; 0) m. 
Observando os vetores velocidade dos pontos B e C, temos:
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Figura 135 – Observação dos vetores velocidade dos pontos B e C e suas projeções
O cálculo da velocidade angular da barra BC ( ωBC
 
) parte da equação genérica da velocidade para o 
movimento plano v v x P QP Q
   
= + −ω ( ) que, adequada ao cálculo de ωBC, fica:
v v x C BC B BC
    
= + −ω ( )
O vetor velocidade do ponto C ( vC
 
) possui intensidade vC e direção inclinada de 36,87
o em relação 
à horizontal, logo terá uma componente horizontal e uma vertical. Assim: 
v v vC Cx Cy
     
= +
vC
 
= - vC . cos36,87ºi - vC . sen36,87ºj
O vetor velocidade do ponto B ( vB

) possui intensidade vB e tem direção horizontal. Assim:
vB

= - vBi
O vetor velocidade angular da barra BC ( ωBC
 
) possui intensidade ωBC, tem direção perpendicular ao 
plano de giro da barra BC e seu sentido é definido pela regra da mão direita. Observamos que o ωBC
 
 
aponta para fora do plano. Assim: ωBC
 
 = ωBCk
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Unidade III
Figura 136 – Observação do sentido de rotação da barra BC
(C - B) é obtido pela subtração das coordenadas dos pontos, assim:
(C - B) = (- 0,5 - 0)i + (0 - 1,2)j
(C - B) = - 0,5i - 1,2j
Voltando à equação inicial:
v v x C BC B BC
    
= + −ω ( )
- VC . cos36,87ºi - vC . sen36,87ºj = - vBi + ωBCk x (- 0,5i - 1,2j)
O cálculo do módulo da velocidade do ponto B parte de v = ω . R. Assim, temos: 
vB = ωAB . AB
vB = 3 . 0,7 = 2,1
m
s
A equação fica:
- vC . cos36,87ºi - vC . sen36,87ºj = - 2,1i + ωBCk x (- 0,5i - 1,2j)
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Resolvendo o produto vetorial, lembrando que k x i = j e k x j = - i, temos:
- vC . 0,8i - vC . 0,6j = - 2,1i - 0,5 . ωBCj + 1,2 . ωBCi
Resolvendo em i:
- vC . 0,8 = - 2,1 + 1,2 . ωBC
Resolvendo em j:
- vC . 0,6 = - 0,5 . ωBC
Isolando uma das incógnitas e resolvendo por substituição, temos:
- vC . 0,6 = - 0,5 . ωBC
ωBC = 
−
−
vC . ,
,
0 6
0 5
 ωBC = 1,2 . vC
Resposta do item b): 
- vC . 0,8 = - 2,1 + 1,2 . 1,2vC vC = 0,937
m
s
Resposta do item a): 
ωBC = 1,2 . vC ωBC = 1,2 . 0,937 ωBC = 1,12
rad
s 
 Saiba mais
Acesse a Minha Biblioteca e consulte os livros:
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; CORNWELL, J. P. Mecânica vetorial para 
engenheiros: dinâmica. 9. ed. Porto Alegre: McGraw Hill, 2012. Cap. 15. p. 938. 
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para engenharia: dinâmica. 6. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2009. Cap. 5. p. 258. 
8 MOVIMENTO PLANO – CÁLCULO DE ACELERAÇÕES PELO MÉTODO VETORIAL
Neste tópico será desenvolvida a forma de cálculo de acelerações para os sólidos em movimento 
plano pelo Método Vetorial. 
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Unidade III
 Observação
O Método Vetorial é o único que permite calcular acelerações de pontos 
(a) e acelerações angulares de barras (a). A parte de cálculo das velocidades 
pode ser feita tanto pelo Método do CIR quanto pelo Método Vetorial.
Partindo da eq. 7.3 e derivando esta em relação ao tempo, temos:
v v x P QP Q
   
= + −ω ( )
d
dt
v
d
dt
v x P QP Q
   
= + − ω ( )
Derivando a soma dos vetores, temos:
d
dt
v
d
dt
v
d
dt
x P QP Q
   
= + − ω ( )
Derivando o produto vetorial, temos:
d
dt
v
d
dt
v
d
dt
x P Q x
d
dt
P QP Q
    
= + − + −ω ω( ) ( )
Sendo:
d
dt
v a
d
dt
v a
d
dt
d
dt
P Q x P Q
P P
Q Q
 
  
 

=
=
=
− = −
ω α
ω( ) ( )
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Temos:
a a x P Q x x P QP Q
    
= + − + − α ω ω( ) ( ) eq. 8.1
Exemplo de aplicação
A barra AB ilustrada tem comprimento 0,8 m e se desloca com as extremidades apoiadas em duas 
superfícies, conforme ilustrado. O extremo A da barra se desloca para a direita, com velocidade constante 
vA = 3,5 m/s. Para o instante ilustrado, quando o ângulo entre a barra e o plano horizontal é θ = 30
o, 
calcular a aceleração do ponto B. 
Figura 137 – Sólido desenvolvendo movimento plano
A equação que define o vetor aceleração do ponto B parte da equação genérica 
a a x P Q x x P QP Q
    
= + − + − α ω ω( ) ( ) e fica: a a x B A x x B AB A
    
= + − + −α ω ω( ) ( )
Figura 138 – Observação dos vetores aceleração dos pontos A e B
Observe o leitor que este exemplo de aplicação foi desenvolvido no Tópico 7, porém para o cálculo 
da velocidade do ponto B. Dessa forma, já temos calculados: 
ω

= 4,38k (B - A) = 0,7i + 0,4j
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Unidade III
Observamos que aA

= 0, pois o enunciado estabelece que a velocidade do ponto A é de 3,5m/s 
constantes.
O vetor aceleração angular da barra AB ( α

) tem direção normal ao plano, e seu sentido ainda é 
desconhecido e será observado pelo sinal do resultado. Então: α

 = ak
Já o vetor aceleração do ponto B só terá componente tangencial, pois o ponto B descreve trajetória 
reta definida pela superfície inclinada. A parcela de aceleração normal ou centrípeta somente existirá 
quando o ponto desenvolver trajetória circular. Então: 
aB

 = aB . cos60i + aB . sen60j
aB

 = aB . 0,5i + aB . 0,87j
Substituindo todos os valores na equação, temos:
aB . 0,5i + aB . 0,87j = ak x (0,7i + 0,4j) + 4,38k x [4,38k x (0,7i + 0,4j)]
Fazendo os produtos vetoriais, temos:
ak x (0,7i + 0,4j) = 0,7aj - 0,4ai
[4,38k x (0,7i + 0,4j)] = 3,07j - 1,75i
4,38k x (3,07j - 1,75i) = - 13,43i - 7,67j
Retornando, temos: 
aB . 0,5i + aB . 0,87j = 0,7aj - 0,4ai - 13,43i - 7,67j
Resolvendo em i, temos:
aB . 0,5 = -0,4a - 13,43 aB = - 0,8a - 26,86
Resolvendo em j, temos:
aB . 0,87 = 0,7a - 7,67 aB = 0,8a - 8,82
Igualando as duas equações obtidas, temos:
- 0,8a - 26,86 = 0,8a - 8,82
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Calculamos o valor da aceleração angular da barra AB:
a = - 11,28 rad
s2
Observamos que o sentido do vetor aceleração angular (α

) é inverso ao do vetor aceleração angular 
( ω

). Então: α

 = - 11,28 rad
s2
.
Voltando a uma das duas equações obtidas, temos:
aB = 0,8 . (- 11,28) - 8,82
aB = - 17,84
m
s2 
Exemplo de aplicação
O eixo manivela AB, do motor ilustrado, gira com velocidade angular constante ω = 75 rad/s, no 
sentido horário. Pela articulação A passa eixo fixo. Para o instante ilustrado, calcular a aceleração do pistão.
Figura 139 – Motor monocilíndrico
O cálculo do vetor aceleração do ponto C parte da equação genérica 
a a x P Q x x P QP Q
    
= + − + − α ω ω( ) ( ) que, adequada ao ponto C, fica:
a a x C B x x C BC B BC BC BC
       
= + → − + − α ω ω( ) ( )
Figura 140 – Observação dos vetores aceleração dos pontos B e C
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Unidade III
Observe o leitor que este exemplo de aplicação foi desenvolvido no Tópico 7, porém para o cálculo 
da velocidade do pistão. Dessa forma, já temos calculado: ωBC
 
= 0. 
Então, como ωBC
 
= 0, a equação fica reduzida a:
a a x C BC B BC
   
= + −α ( )
O vetor aceleração do ponto C ( aC

) possui intensidade aC, tem direção horizontal e seu sentido 
ainda é desconhecido e será determinado pelo sinal do resultado. Assim: 
aC

= aCi
O vetor aceleração do ponto B (aB

) possui intensidade aB. Como o ponto B é girante, tem parcela de 
aceleração tangencial e normal. Assim:
a a aB tB nB
    
= +
Porém, o enunciado estabeleceu que a velocidade angular da manivela AB (ωAB) é de 75 rad/s 
constantes. Então, a aceleração angular da manivela AB (aAB) é zero. Dessa forma, a parcela de 
aceleração tangencial do ponto B será nula, pois:
atB = aAB . RB aAB = 0 atB = 0
Portanto, o vetor aceleração do ponto B possui somente a parcela de aceleração normal. Assim: 
a a a
a a a x x
B tB nB
B nB B AB AB
    
       
= +
= = ω ω (BB A− )
Mas: ωAB Bx B A v
  
( )− =
Então: a x vB AB B
   
= ω
O vetor velocidade angular da manivela AB (ωAB
 
) possui intensidade ωAB, tem direção normal ao 
plano de giro da manivela AB e sentido definido pela regra da mão direita. Assim, como a manivela 
AB gira no sentido horário, o vetor velocidade angular da manivela AB está entrando no plano. Então, 
ωAB
 
= - 75k. 
Por sua vez, o vetor velocidade do ponto B já foi calculado. vB

= 1,875i
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Então:
a x vB AB B
   
= ω aB

= - 75k x 1,875i
Resolvendo o produto vetorial, lembrando que k x i = j : aB

= - 140,62j
Retornando à equação: a a x C BC B BC
   
= + −α ( )
O vetor aceleração angular da biela BC ( αBC
 
) possui intensidade aBC, tem direção normal ao plano 
de giro da biela BC e seu sentido ainda é indefinido e será observado pelo sinal do resultado. Então, 
αBC
 
= aBCk.
(C - B) é obtido pela subtração das coordenadas dos pontos, assim:
(C - B) = (0,08 - 0)i + (0 - 0,025)j
(C - B) = 0,08i - 0,025j
Substituindo todos os valores, temos: 
a a x C BC B BC
   
= + −α ( )
aCi = - 140,62j + aBCk x (0,08i - 0,025j)
Resolvendo o produto vetorial, temos:
aBCk x (0,08i - 0,025j) = 0,08aBCj + 0,025 aBCi
Então: aCi = - 140,62j + 0,08aBCj + 0,025 aBCi
Resolvendo em i:
aC = 0,025 aBC
Resolvendo em j:
0 = - 140,62 + 0,08aBC aBC = 1.757,75
rad
s2
Voltando à resolução em i:
aC =0,025 . aBC aC = 0,025 . 1.757,75 aC = 43,94
m
s2 
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Exemplo de aplicação
No instante ilustrado, a barra AB possui velocidade angular de 3 rad/s, que cresce à taxa de 2 rad/s2. 
Para o instante ilustrado, calcular:
a) A aceleração angular da barra BC. 
b) A aceleração do bloco deslizante C. 
Figura 141 – Mecanismo de transmissão de movimento
A equação que define o vetor aceleração do ponto C parte da equação genérica 
a a x P Q x x P QP Q
    
= + − + − α ω ω( ) ( ) e fica:
a a x C B x x C BC B BC BC BC
       
= + → − + − α ω ω( ) ( )
Observe o leitor que este exemplo de aplicação foi desenvolvido no Tópico 7, porém para o cálculo 
da velocidade do ponto C e da velocidade angular da barra BC. 
Dessa forma, já temos calculados: ωBC
 
 = 1,12k (C - B) = - 0,5i - 1,2j
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Observando os vetores aceleração, temos:
Figura 142 – Observação dos vetores aceleração dos pontos B e C e suas projeções
O vetor aceleração do ponto C terá componentes em x e y. Então:
aC

= - aC . cos36,87ºi - aC . sen36,87ºj
aC

= - aC . 0,8i - aC . 0,6j
O vetor aceleração do ponto B terá componentes tangencial e centrípeta. Então:
a a aB tB nB
    
= +
atB
 
= - aAB . ABi atB
 
= - 2 . 0,7i = - 1,4i
m
s2
anB
 
= - ωAB
2
 
 . ABj anB
 
= - 32 . 0,7j = - 6,3j
m
s2
aB

 = - 1,4i - 6,3j
m
s2
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Unidade III
O vetor aceleração angular da barra BC ( αBC
 
) tem direção normal ao plano e seu sentido ainda é 
desconhecido e será observado pelo sinal do resultado. Então: αBC
 
 = aBCk
Substituindo todos os valores na equação, temos:
a a x C B x x C BC B BC BC BC
       
= + − + − α ω ω( ) ( )
- aC . 0,8i - aC . 0,6j = - 1,4i - 6,3j + aBCk x (- 0,5i - 1,2j) + 1,12k x [1,12k x (- 0,5i - 1,2j)]
Fazendo os produtos vetoriais, temos:
aBCk x (- 0,5i - 1,2j) = - 0,5aBCj + 1,2 aBCi
1,12k x (- 0,5i - 1,2j) = - 0,56j + 1,34i
1,12k x (- 0,56j + 1,34i) = + 0,63i + 1,5j
Voltando, temos:
- aC . 0,8i - aC . 0,6j = - 1,4i - 6,3j + 0,5aBCj + 1,2aBCi + 0,63i + 1,5j
Resolvendo em i:
- aC . 0,8 = - 1,4 + 1,2aBC + 0,63
- aC . 0,8 = 1,2aBC - 0,77
Resolvendo em j:
- aC . 0,6 = - 6,3 - 0,5aBC + 1,5
- aC. 0,6 = -0,5aBC - 4,8
Resolvendo por sistema de equações, temos:
- aC . 0,8 = 1,2aBC - 0,77 (1)
- aC . 0,6 = -0,5aBC - 4,8 (2)
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Multiplicando a equação (1) por -0,75, temos:
aC . 0,6 = -0,9aBCi + 0,58 (1)
- aC . 0,6 = -0,5aBC - 4,8 (2)
Somando as duas equações:
Resposta do item a): 
0 = -1,4aBC - 4,22 aBC = - 3
rad
s2
Logo: αBC
 
= - 3k rad
s2
Voltando a uma das duas equações:
Resposta do item b): 
- aC . 0,6 = - 0,5 . 3 - 4,8 aC = 10,5
m
s2 
 Lembrete
A aceleração de um ponto girante é calculada pela soma vetorial das 
parcelas de aceleração tangencial e normal.
 Saiba mais
Acesse a Minha Biblioteca e consulte os livros: 
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; CORNWELL, J. P. Mecânica vetorial para 
engenheiros: dinâmica. 9. ed. Porto Alegre: McGraw Hill, 2012. Cap. 15. p. 961. 
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para engenharia: dinâmica. 6. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2009. Cap. 5. p. 276. 
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Unidade III
 Resumo
Nesta unidade, abordamos que a equação do vetor velocidade 
para um ponto de um sólido que desenvolve movimento plano é 
v v x P QP Q
   
= + −ω ( ) . 
Vimos também a equação do vetor aceleração para 
um ponto de um sólido que desenvolve movimento plano: 
a a x P Q x x P QP Q
    
= + − + − α ω ω( ) ( ) . 
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FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 10
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; CORNWELL, J. P. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 9. ed. 
Porto Alegre: McGraw Hill, 2012. p. 921. 
Figura 23
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 46. 
Figura 27
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 7. 
Figura 28
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 7. Adaptado. 
Figura 35 
WORLD WIND ENERGY ASSOCIATION (WWEA). Disponível em: <http://www.wwindea.org/technology/
ch01/imgs/1_1_img3.jpg>. Acesso em: 28 jul. 2016. 
Figura 42
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 26. Adaptado.
Figura 44
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 46.
Figura 45
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 46. Adaptado.
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Figura 46
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dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 44.
Figura 47
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 44. Adaptado. 
Figura 56
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 20.
Figura 57
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 20. Adaptado.
Figura 58
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 20. Adaptado.
Figura 59
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 21.
Figura 60
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 20. Adaptado.
Figura 61
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 39.
Figura 62
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 39. Adaptado.
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Figura 63
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 39. Adaptado.
Figura 64
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 39. Adaptado.
Figura 65
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; CORNWELL, J. P. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 9. ed. 
Porto Alegre: McGraw Hill, 2012. p. 931. 
Figura 66
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; CORNWELL, J. P. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 9. ed. 
Porto Alegre: McGraw Hill, 2012. p. 931. Adaptado.
Figura 67
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; CORNWELL, J. P. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 9. ed. 
Porto Alegre: McGraw Hill, 2012. p. 931. Adaptado.
Figura 90
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 64. 
Figura 91
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 64. Adaptado. 
Figura 92
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 64. Adaptado. 
Figura 93
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 92.
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LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 92. Adaptado. 
Figura 99
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 101. Adaptado.
Figura 100
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 101. Adaptado.
Figura 101
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 101. Adaptado.
Figura 102
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 101. Adaptado.
Figura 103
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 101. Adaptado. 
Figura 104
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; CORNWELL, J. P. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 9. ed. 
Porto Alegre: McGraw Hill, 2012. p. 287. 
Figura 105
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; CORNWELL, J. P. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 9. ed. 
Porto Alegre: McGraw Hill, 2012. p. 287. Adaptado.Figura 106
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; CORNWELL, J. P. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 9. ed. 
Porto Alegre: McGraw Hill, 2012. p. 287. Adaptado. 
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Figura 107
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; CORNWELL, J. P. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 9. ed. 
Porto Alegre: McGraw Hill, 2012. p. 287. Adaptado. 
Figura 110
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; CORNWELL, J. P. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 9. ed. 
Porto Alegre: McGraw Hill, 2012. p. 287. Adaptado. 
Figura 111
HIBBELER, R. C. Mecânica para engenharia: dinâmica. 12. ed. São Paulo: Pearson-Prentice Hall, 2011. p. 299.
Figura 112
HIBBELER, R. C. Mecânica para engenharia: dinâmica. 12. ed. São Paulo: Pearson-Prentice Hall, 2011. p. 
299. Adaptado. 
Figura 113
HIBBELER, R. C. Mecânica para engenharia: dinâmica. 12. ed. São Paulo: Pearson-Prentice Hall, 2011. p. 
299. Adaptado. 
Figura 115
HIBBELER, R. C. Mecânica para engenharia: dinâmica. 12. ed. São Paulo: Pearson-Prentice Hall, 2011. p. 
299. Adaptado. 
Figura 118
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 64. 
Figura 119
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 64. Adaptado. 
Figura 120
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 64. Adaptado. 
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LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 90. Adaptado.
Figura 122
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 90. Adaptado.
Figura 123
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 90. Adaptado.
Figura 124
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 90. Adaptado.
Figura 125
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 90. 
Figura 126
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 90. Adaptado.
Figura 127
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 90. Adaptado.
Figura 128
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 90. Adaptado.
Figura 129
HIBBELER, R. C. Mecânica para engenharia: dinâmica. 12. ed. São Paulo: Pearson-Prentice Hall, 2011. p. 
287. Adaptado.
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Figura 130
HIBBELER, R. C. Mecânica para engenharia: dinâmica. 12. ed. São Paulo: Pearson-Prentice Hall, 2011. p. 
287. Adaptado.
Figura 131 
HIBBELER, R. C. Mecânica para engenharia: dinâmica. 12. ed. São Paulo: Pearson-Prentice Hall, 2011. p. 
287. Adaptado.
Figura 133 
HIBBELER, R. C. Mecânica para engenharia: dinâmica. 12. ed. São Paulo: Pearson-Prentice Hall, 2011. p. 
299. Adaptado.
Figura 134
HIBBELER, R. C. Mecânica para engenharia: dinâmica. 12. ed. São Paulo: Pearson-Prentice Hall, 2011. p. 
299. Adaptado.
Figura 135
HIBBELER, R. C. Mecânica para engenharia: dinâmica. 12. ed. São Paulo: Pearson-Prentice Hall, 2011. p. 
299. Adaptado.
Figura 137
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 64. 
Figura 138
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 64. Adaptado.
Figura 139
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 90.
Figura 140
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009. p. 90. Adaptado.
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Figura 141
HIBBELER, R. C. Mecânica para engenharia: dinâmica. 12. ed. São Paulo: Pearson-Prentice Hall, 2011. p. 
299. Adaptado.
Figura 142
HIBBELER, R. C. Mecânica para engenharia: dinâmica. 12. ed. São Paulo: Pearson-Prentice Hall, 2011. p. 
299. Adaptado.
REFERÊNCIAS
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; CORNWELL, J. P. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 9. ed. 
Porto Alegre: McGraw Hill, 2012.
HIBBELER, R. C. Mecânica para engenharia: dinâmica. 12. ed. São Paulo: Pearson-Prentice Hall, 2011. 
LAURICELLA, F. A.; BRITO FILHO, B. C.; SEVEGNANI, F. X.; FRUGOLI, P. A.; PEREIRA FILHO, R. G. Cinemática 
dos sólidos. Livro-texto didático. São Paulo, 2009.
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para engenharia: dinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
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Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000