Avaliação II - Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

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Acadêmico: Perla Padilhda da Silva (3175991)
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (EMC02)
Avaliação: Avaliação II - Individual ( Cod.:668549) ( peso.:1,50)
Prova: 29797572
Nota da Prova: 10,00
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada
1. O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento 
no eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o 
produto vetorial aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, no 
qual o produto entre dois vetores tem como solução um novo vetor, 
simultaneamente ortogonal aos outros dois. Baseado nisto, quanto ao produto 
vetorial (u x v) entre os vetores u = (1,1,2) e v = (-3,1,2), analise as opções a seguir:
I- u x v = (1,8,-4).
II- u x v = (0,8,4).
III- u x v = (0,-8,4).
IV- u x v = (0,8,-4).
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção III está correta.
 b) Somente a opção I está correta.
 c) Somente a opção II está correta.
 d) Somente a opção IV está correta.
2. No estudo da Álgebra Linear e Vetorial surge o conceito de autovalores e 
autovetores. Teoricamente, um autovetor de uma transformação é um vetor que 
quando aplicado na transformação, resulta um múltiplo de si próprio, sendo que a 
este fator multiplicativo, damos o nome de autovalor. Estes conceitos possuem 
diversas aplicações práticas, principalmente na Engenharia. Baseado nisso, dada a 
transformação T(x,y) = (2x, y) analise as sentenças a seguir:
I- v = (1,0) é um autovalor de T, com autovalor igual a 2.
II- v = (0,1) é um autovalor de T, com autovalor igual a 2.
III- T possui um autovalor de multiplicidade algébrica 1.
IV- T possui dois autovalores de multiplicidade algébrica 1.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) As opções II e IV estão corretas.
 b) As opções I e III estão corretas.
 c) As opções I e IV estão corretas.
 d) As opções II e III estão corretas.
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3. Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente 
conceitos de núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um 
entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um 
operador linear de R³ em R³:
T(x,y,z) = (z, x - y, -z)
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta a dimensão da Imagem 
deste operador:
 a) 3.
 b) 0.
 c) 2.
 d) 1.
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4. Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de 
área. Por exemplo, temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois 
vetores, que é o módulo (ou norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o 
caso da área do triângulo, bastaria dividir este resultado por dois, pois a área do 
triângulo é a metade da área do paralelogramo. Determine a área do triângulo 
formado pelos vetores u = (1,2,0) e v = (0,1,2):
 a) Somente a opção IV está correta.
 b) Somente a opção III está correta.
 c) Somente a opção I está correta.
 d) Somente a opção II está correta.
5. Ao falar das aplicações do cálculo dos autovetores e autovalores de uma matriz, 
podemos colocar as soluções de equações diferenciais que são de interesse físico, 
como as frequências naturais de vibração de um instrumento musical, ou de uma 
simples corda esticada. No entanto, anteriormente a isto, devemos compreender 
corretamente este conceito para que as futuras aplicações sejam corretas. Assinale 
a alternativa CORRETA que apresenta o conceito de autovetor de transformação:
 a) É um vetor que gera uma base do núcleo da transformação.
 b) É um vetor que após aplicado à transformação resulta num múltiplo de si mesmo.
 c) É um número real que anula a transformação.
 d) É um número real que multiplica o vetor após a transformação.
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6. Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um 
espaço vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, 
ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no fato de que o resultado de 
um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais. Quanto 
ao resultado do produto escalar entre u = (1,-2,3) e v = (0,2,1), classifique V para as 
opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) u x v = -2.
( ) u x v = -1.
( ) u x v = 0.
( ) u x v = 1.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) F - F - V - F.
 b) F - V - F - F.
 c) F - F - F - V.
 d) V - F - F - F.
7. Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele 
precisa estar na direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não 
chegará ao resultado desejado: se desejar que o objeto vá para frente, logicamente 
não adiantará empurrá-lo para baixo. Isso porque a força é um exemplo de 
grandeza vetorial. Para descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido e a 
direção em que ela é aplicada. Com relação ao vetor resultado (R) da operação -2u 
+ 3v, sendo u = (-1,2,0) e v = (-1,-2,3), analise as opções a seguir:
I- R = (1,10,9).
II- R = (-1,-10,9).
III- R = (-5,2,9).
IV- R = (5,-2,9).
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção I está correta.
 b) Somente a opção II está correta.
 c) Somente a opção IV está correta.
 d) Somente a opção III está correta.
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8. Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, 
permeiam muito mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as 
raízes do polinômio característico de uma transformação linear, mas sim o 
problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial para a 
compreensão e a análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, 
placas etc., como também de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais 
podem ser citados os seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de 
telecomunicações e de transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas de 
pedestres, edificações residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Sobre 
a soma dos autovalores da transformação apresentada a seguir, classifique V para 
as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que 
apresenta a sequência CORRETA:
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 a) V - V - V - F.
 b) F - V - F - F.
 c) V - F - F - F.
 d) F - F - F - V.
9. Pela definição de vetor, sabemos que dados dois pontos e um sentido podemos 
determinar o vetor que liga estes dois pontos e possui a direção indicada. Através 
deste processo podemos mais tarde ter um apoio no estudo das retas e planos no 
espaço. Baseado nisso, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o vetor u 
definido pelos pontos A = (1,0,-3) e B = (2,4,1), no sentido de B para A:
 a) u = (-1,-4,2).
 b) u = (-1,-4,-2).
 c) u = (0,-4,-4).
 d) u = (-1,-4,-4).
10.A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do 
vetor analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade da 
grandeza física envolvida em um dado problema. Sendo assim, assinale a 
alternativa CORRETA que apresenta a norma (ou módulo) do vetor z = (3,4):
 a) 5.
 b) Raiz de 10.
 c) 3.
 d) Raiz de 5.
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Prova finalizada com 10 acertos e 0 questões erradas.
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