1 Funções Trigonométricas Inversas (1)

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Nota sobre a actual versão
Devido à reestruturação dos cursos aquando da adaptação dos mesmos ao processo de
Bolonha, as Unidades Curriculares (UCs) da área de Matemática sofreram alterações, tendo
surgido novas UCs e consequentemente novos programas.
Com o objectivo de utilizar os apontamentos teóricos existentes na nova Unidade Curricular
de Análise Matemática, os apontamentos teóricos originais sofreram algumas alterações, tendo
sido excluídos dos mesmos os conteúdos programáticos que foram retirados do programa.
Agradece-se aos autores do texto original a cedência do mesmo.
3
1 Funções trigonométricas inversas
1.1 Funções Seno e Arco seno
Consideremos a função
f : R! [�1; 1]
x 7�! f(x) = sin x:
A sua representação grá�ca é:
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-1
1
x
y
Veri�ca-se que:
� É uma função contínua em R.
� É uma função limitada.
� É uma função ímpar.
� É periódica de período 2�:
� Não existe lim
x!�1
sin x:
� Não é injectiva.
Não sendo injectiva não admite inversa. Considere-se uma restrição g de f que seja injectiva (restrição
principal):
g :
h
��
2
;
�
2
i
! [�1; 1]
x 7�! g(x) = sin x:
A função inversa de g é:
g�1 : [�1; 1] !
h
��
2
;
�
2
i
x 7�! g�1(x) = arcsinx:
Nestas condições veri�ca-se:
4
y = arcsinx, sin y = x; se x 2 [�1; 1] e y 2
h
��
2
;
�
2
i
:
A representação grá�ca da função y = arcsin x é:
y = arcsinx
-1 1
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
x
y
Exemplo 1.1 Dada a função h(x) = 2 + arcsin (3x+ 1): Determine:
1) O domínio de h. 2) h(0) e h(�1
6
):
3) O contradomínio da função. 4) As soluções da equação h(x) = 2 +
�
3
:
5) Caracterize a função inversa de h.
Resolução:
1) Atendendo a que o domínio da função arco seno é [�1; 1], tem-se:
�1 � 3x+ 1 � 1, �2 � 3x � 0, �2
3
� x � 0:
Dh =
�
�2
3
; 0
�
:
2) h(0) = 2 + arcsin 1 = 2 +
�
2
=
4 + �
2
h
�
�1
6
�
= 2 + arcsin
1
2
= 2 +
�
6
=
12 + �
6
:
3) Atendendo a que
��
2
� arcsin(3x+ 1) � �
2
;
vem,
2� �
2
� 2 + arcsin(3x+ 1) � 2 + �
2
:
Logo,
D0h =
h
2� �
2
; 2 +
�
2
i
:
4) h(x) = 2 +
�
3
, 2 + arcsin(3x+ 1) = 2 + �
3
, arcsin(3x+ 1) = �
3
, 3x+ 1 = sin �
3
, x =
p
3� 2
6
:
5
5) Vai resolver-se em ordem a x, a equação h(x) = y. Tem-se então:
2 + arcsin(3x+ 1) = y , arcsin(3x+ 1) = y � 2, 3x+ 1 = sin(y � 2), x = �1 + sin(y � 2)
3
:
Como já se conhece o domínio e o contradomínio de h, calculados em 1) e 3), vem:
h�1 :
h
2� �
2
; 2 +
�
2
i
�!
�
�2
3
; 0
�
x 7�! y = �1 + sin(x� 2)
3
:
1.2 Funções Co-seno e Arco co-seno
Consideremos a função
f : R! [�1; 1]
x 7�! f(x) = cos x:
A sua representação grá�ca é:
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-1
1
x
y
Veri�ca-se que:
� É uma função contínua em R.
� É uma função limitada.
� É uma função par.
� É periódica de período 2�:
� Não existe lim
x!�1
cos x:
� Não é injectiva.
Não sendo injectiva não admite inversa. Considere-se uma restrição g de f que seja injectiva (restrição
principal):
6
g : [0; �] ! [�1; 1]
x 7�! g(x) = cos x:
A função inversa de g é:
g�1 : [�1; 1] ! [0; �]
x 7�! g�1(x) = arccosx:
Nestas condições veri�ca-se:
y = arccosx, cos y = x; se x 2 [�1; 1] e y 2 [0; �]:
A representação grá�ca da função y = arccos x é:
y = arccos x
-1 1
-1
1
2
3
x
y
Exercício 1.1 Considere a função
f(x) = arccos
 
3
p
2
2
� 2x
!
:
a) Determine o domínio e o contradomínio e indique a expressão de f�1(x):
b) Resolva a equação f(x) =
�
4
:
Soluções:
a) Df =
"
3
p
2� 2
4
;
3
p
2 + 2
4
#
; D0f = [0 ; �] ; f
�1 (x) =
3
p
2
4
� 1
2
cos x; b) S =
(p
2
2
)
1.3 Funções Tangente e Arco tangente
Consideremos a função:
f : Rn
n�
2
+ k�; k 2 Z
o
�! R
x 7�! f(x) = tg x:
7
A sua representação grá�ca é:
y = tg x
-6 -4 -2 2 4 6
-4
-2
2
4
x
y
A função não é injectiva, logo não admite inversa. Considere-se uma restrição g de f que seja injectiva
(restrição principal).
g :
i
��
2
;
�
2
h
�! R
x 7�! g(x) = tg x:
A função inversa de g é:
g�1 : R �!
i
��
2
;
�
2
h
x 7�! g�1(x) = arctg x:
Tem-se assim,
y = arctg x, tg y = x; se y 2
i
��
2
;
�
2
h
:
A representação grá�ca de g�1 é:
y = arctg x
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
1
x
y
Exercício 1.2 Calcule o número real designado por tg(arccos 1):
Exercício 1.3 Calcule o valor de
A = tg
�
arcsin
1
3
+ arccos
1
2
�
:
Solução: A =
p
2 + 4
p
3
4�
p
6
8
Exercícios 1.4 Resolva a equação 1� 3 arctg (3x) = �(1 + 1
�
):
Exercícios 1.5 Caracterize a função inversa da função de�nida por:
t(x) =
�
2
� 2 arctg (1� x)
3
:
1.4 Funções Co-tangente e Arco co-tangente
Consideremos a função:
f : Rn fk�; k 2 Zg �! R
x 7�! f(x) = cotg x
A sua representação grá�ca é:
y = cotg x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
A função não é injectiva, logo não admite inversa. Considere-se uma restrição g de f que seja injectiva
(restrição principal).
g : ]0; �[ �! R
x 7�! g(x) = cotg x:
A função inversa de g é:
g�1 : R �! ]0; �[
x 7�! g�1(x) = arccotg x:
Tem-se assim,
y = arccotg x, cotg y = x; se y 2 ]0; �[:
9
A representação grá�ca de g�1 é:
y = arccotg x
-6 -4 -2 0 2 4 6
1
2
3
x
y
Exercícios 1.6 Determine o domínio e o contradomínio das f:r:v:r: f , g , m e q de�nidas por:
1) f(x) = cos
�
2x+
�
3
�
+ 3 2) g(x) = 2 sin
�
3x� �
5
�
3) m(x) = 1� 1
2
arccos (2x+ 1) 4) q(x) =
�
2
� 2 arctg (x
2
� 1)
Exercício 1.7 Veri�que que arcsin
x� 1
x+ 1
= arccotg
2
p
x
x� 1 :
Exercício 1.8 Calcule
�
sin
�
arcsin
1
2
� arcsin 3
5
��2
: Solução:
43� 24
p
3
100
1.5 Função Secante
A função secante é de�nida da seguinte forma:
sec : Rn
n�
2
+ k�; k 2 Z
o
! ]�1;�1] [ [1;+1[
x 7�! sec x = 1
cos x
:
O seu grá�co é:
y = secx
-2 2 4 6
-4
-2
2
4
x
y
10
Uma vez que
1 + tg2 x =
1
cos2 x
;
escreve-se agora,
1 + tg2 x = sec2 x:
1.6 Função Co-secante
A função co-secante é de�nida da seguinte forma:
cosec : Rn fk�; k 2 Zg ! ]�1;�1] [ [1;+1[
x 7�! cosec x = 1
sin x
O seu grá�co é:
y = cosecx
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
x
y
Uma vez que
1 + cotg2 x =
1
sin2 x
;
escreve-se agora,
1 + cotg2 x = cosec2 x:
11