MEDIDAS DE POSICAO E SEPARATRIZES

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Campira Sérgio 
Hilária Ramussa Ocaisse
MEDIDAS DE POSIÇÃO E MEDIDAS DE SEPARATRIZES 
(Licenciatura em Gestão de Recursos Humanos)
Universidade Rovuma Campus de Nacala-Porto Março, 2021
0
Campira Sérgio 
Hilária Ramussa Ocaisse
MEDIDAS DE POSIÇÃO E MEDIDAS DE SEPARATRIZES 
Trabalho de Carácter avaliativo da Cadeira de Fundamentos de Estatística do curso de Licenciatura em Licenciatura em Gestão de Recursos Humanos, 1º ano.
Leccionado pelo Mcs: Revelinho Mohamed
Universidade Rovuma
Campus de Nacala-Porto
Março, 2021
Contents
Introdução	3
1.	MEDIDAS DE POSIÇÃO	4
1.1.	Média aritmética	4
1.2.	Média Aritmética Ponderada	5
1.3.	Média Geométrica	5
1.3.1.	Média Geométrica Simples	5
1.3.2.	Média Geométrica Ponderada	6
1.4.	Média Harmônica	6
1.4.1.	Média Harmônica Simples	6
1.4.2.	Média Harmônica Ponderada	7
1.5.	MODA	7
1.6.	Mediana	8
2.	MEDIDAS SEPARATRIZES	10
2.1.	Quartil	10
2.2.	Percentil:	11
2.3.	Decil:	11
Cálculo do quartil para o rol	11
Cálculo do quartil para a tabela sem intervalo de classe	12
Cálculo do quartil em tabelas com intervalo de classe	12
Cálculo do decil para tabela com intervalo de classe	13
Cálculo para Percentil em Tabelas com Intervalo de Classe	13
3.	Conclusao	15
4.	Referências Bibliográficas	16
Introdução 
O presente trabalho de estatística, aborda sobre as medidas de posição (media, moda, mediana) e medidas separatrizes (decil, quartil e percentil). Mas antes do desenvolvimento do tema, iremos dar o conceito de estatística.
“Estatística”, palavra de origem latina, significou por muito tempo “ciência dos negócios do Estado”. Estatística trata dos métodos científicos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação (conclusão) dos dados experimentais visando a tomada de decisões.
Medidas de posição é a representação por serie de dados orientados à quanto a posição que é distribuída em relação eixo horizontal do gráfico da curva da frequência. As medidas de posição mais importantes são: media, mediana e moda.
1. MEDIDAS DE POSIÇÃO
Definição 1: As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central, que recebem tal denominação pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais. Dentre as medidas de tendência central, destacamos:
· a média aritmética;
· a mediana;
· a moda.
As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam:
· a própria mediana;
· os quartis;
· os percentis.
PARA DADOS NÃO-AGRUPADOS
(Quando os dados não estiverem na forma de distribuição de freqüência)
1.1. 
Média aritmética (): é o quociente da divisão da soma dos valores (dados, observações) da variável pelo número deles:
sendo:
	= a média aritmética;
	= os valores da variável;
	n = o número de valores.
Exemplo: Determine a média aritmética simples dos valores: 5, 3, 12, 9, 1.
 
1.2. Média Aritmética Ponderada 
A média aritmética ponderada é quando os valores do conjunto tiverem pesos diferentes. Obtém-se uma média ponderada através da divisão entre a somatória dos produtos de cada variável pelo respectivo peso (freqüência) e a somatória dos pesos (somatória das frequências).
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüência, usaremos a média aritmética dos valores x1, x2, ..., xk, ponderados pelas respectivas freqüências absolutas: f1, f2, ..., f k, a média aritmética do conjunto será calculada por:
= número total de observações;
 valor da variável ou pontos médios de classes;	
 quantidade de classes ou de valores individuais diferentes da variável.
1.3. Média Geométrica
Média geométrica de n valores é definida, genericamente, como a raiz n-ésima do produto de todos eles. A média geométrica pode ser simples ou ponderada.
1.3.1. Média Geométrica Simples
 Com n valores x1, x2, ..., xn, a média geométrica desses valores será:
 ou 
A letra (pi maiúsculo) é o símbolo para indicar o produto ou também chamado de produtório dos valores da variável. Utilize a calculadora científica para o cálculo da média geométrica.
1.3.2. Média Geométrica Ponderada
A média geométrica ponderada de um conjunto de números dispostos em uma tabela de freqüências é por intermédio da seguinte expressão: 
 ou 
1.4. Média Harmônica
A média harmônica de um conjunto de valores xi é o inverso da média aritmética dos inversos dos valores. Podemos concluir que o inverso da média harmônica é a média aritmética dos inversos dos valores da variável.
1.4.1. Média Harmônica Simples
Dado o conjunto de n valores ; a média harmônica do conjunto será:
1.4.2. Média Harmônica Ponderada
A média harmônica ponderada de um conjunto de números, dispostos em uma tabela de frequências, é dada pela seguinte expressão:
1.5. MODA 
Moda (Mo): Denominamos moda de um conjunto de dados o valor (ou valores) que ocorre com maior freqüência.
Moda para dados de valores não-tabulados
Quando lidamos com conjunto ordenado de valores, a moda será o valor predominante, o valor que mais se repete.
Exemplo: 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10
Xmo = 9, pois é o valor mais frequente.
Evidentemente, um conjunto de valores pode não apresentar moda, isto é, nenhum valor aparece mais vezes que o outro. Chamamos de amodal.
Nestes exemplos, podemos perceber que não há, predominância de nenhum valor dos conjuntos sobre o outro, portanto os conjuntos são amodais.
Podemos ter conjuntos multimodais, podendo haver dois ou mais valores modais. Chamamos então, bimodal. 
Pratique resolvendo mais alguns exemplos:
1) A ( 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9,) Xmo1 = 3 e Xmo2 = 6 Bimodal
Tanto o valor 3 como o valor 6, apresentaram o maior número de observações.
2) B ( 6, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11) Xmo1 = 6 e Xmo2 = 10 Bimodal
Tanto o valor 6 como o valor 10, apresentaram o maior número de observações.
3) C ( 6, 7, 7, 7, 7, 9, 10, 10, 10, 10, 12, 15) Xmo1 = 7 e Xmo2 = 10 Bimodal
Tanto o valor 6 como o valor 10, apresentaram o maior número de observações.
 
Calculo da moda com intervalos de classe
Observação: Há, para o calculo da moda, outros métodos mais elaborados, por exemplo o que faz uso da fórmula de Czuber:
Na qual: li é o limite inferior da classe modal;
 h é a amplitude da classe modal;
 Δ1 = f(modal) - f(anterior);
 Δ2 = f(modal) - f(posterior).
1.6. Mediana
Mediana (Md): A mediana é outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
Obs: Se o nº de elementos for ímpar, então a mediana será exatamente o valor “do meio”
 Se o nº de elementos for par, então a mediana será exatamente a média “dos dois valores do meio”.
Emprego da Mediana
	Empregamos a mediana quando:
· desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais;
· há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média;
· a variável em estudo é salário.
Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, foi de: 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, pergunta-se: Encontre a média, a moda e a mediana para a produção diária de leite desta vaca.
Média:
Logo, = 14 litros de leite em média por dia que representa uma produção de 98 litros de leite em média por semana.
OBS.: a média pode ser um número diferente de todos os valores da amostra que ela representa.
Moda: Como não existe um valor que aparece com maior freqüência que os outros, não há valor de moda para este exemplo.
Mediana: Ordenando os dados temos:
10 12 13 14 15 16 18
	Desta forma, o valor mediano é o valor central dos dados, ou seja, 14 litros de leite por dia
Calculo da mediana para dados agrupados em classe
1º) Determinamos as freqüências acumuladas.
2º) Calculamos PXmd = posição da classemediana e, em seguida, empregamos a fórmula:
Xmd = 
Na qual: 
li o limite inferior da classe mediana;
Fa(ant) é a freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana;
F (Xmd) é a freqüência simples da classe mediana;
a é a amplitude do intervalo da classe mediana.
2. MEDIDAS SEPARATRIZES
Definição 2: Além das medidas de posição, há outras que, consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua Segunda característica, já que se baseiam em sua posição na série (no conjunto de dados). São elas:
i. os quartis;
ii. os percentis;
iii. Os decis.
2.1. Quartil 
denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais.
Nos quartis, a série é dividida em quatro partes iguais. Os elementos separatrizes da serie são Q1, Q2, e Q3.
 25% 50% 75%
 Q1 Q2 Q3
i. 
O primeiro quartil (Q) : é o valor situado de tal modo na série que uma quarta parte (25%) dos dados é menor que ele e as três quartas partes restantes (75%) são maiores.
ii. 
O segundo quartil (Q) : é exatamente o valor da mediana, ou seja, o valor situado de tal modo na série que deixa metade (50%) dos dados a esquerda dele e a outra metade à direita (Q=Md).
iii. 
O terceiro quartil (Q) : é o valor situado de tal modo na série que as três quartas partes (75%) dos dados são menores que ele e uma quarta parte restante (25%) é maior.
2.2. Percentil: 
denominamos percentis os noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes iguais, ou seja:
, onde P= Md = Q, P= Q e P= Q
2.3. Decil:
Os decis por sua vez, são os dez valores que dividem a série em 10 partes iguais, onde, cada uma delas contém 10% dos dados.
Para o cálculo dos quartis utilizam-se técnicas semelhantes àquelas do cálculo da mediana. Consequentemente, podem-se utilizar as mesmas fórmulas do calculo da mediana, levando em conta que onde houver a expressão será substituída por , sendo K o número da ordem do quartil, em que K =1 corresponde ao primeiro quartil; K = 2 corresponde ao segundo quartil e K = 3 ao terceiro quartil.
Cálculo do quartil para o rol
1° Passo: Determina-se a posição do Quartil. 
2° Passo: Identifica-se a posição mais próxima do rol.
3° Passo: Verifica-se quem está naquela posição.
Cálculo do quartil para a tabela sem intervalo de classe
1° Passo: Calcula-se a posição do quartil.
2° Passo: É necessário inserir a coluna da frequência acumulada, e nela procurar o valor da posição do quartil .
3° Passo: O Valor do quartil será o valor da variável que corresponde àquela classe.
Cálculo do quartil em tabelas com intervalo de classe
Determina-se, inicialmente, a classe que contém o valor quartil a ser calculado. A identificação da classe é feita por meio do termo da ordem calculada pela expressão:
Essa expressão determina a posição do referente quartil ou classe que contém o quartil. Assim, temos:
Sendo:
lQk = limite inferior da classe do quartil considerado.
Fant = freqüência acumulada da classe anterior à classe do quartil considerado.
aQK = amplitude do intervalo de classe do quartil considerado.
fQK = freqüência simples da classe do quartil considerado.
Cálculo do decil para tabela com intervalo de classe
	
Primeiramente, determina-se a classe que contém o valor do decil a ser calculado pela expressão:
Esse termo está localizado numa classe que recebe o nome de classe decil. Para o cálculo dos decis, utilizamos técnicas semelhantes às do cálculo dos quartis. Isto é, utilizamos a fórmula:
Sendo: 
	= limite inferior da classe de decil considerado
	Fant = freqüência acumulada da classe anterior à classe de decil considerado
	hDK = amplitude do intervalo de classe do decil considerado
	fDK = freqüência simples da classe do decil considerado
Cálculo para Percentil em Tabelas com Intervalo de Classe
Para o cálculo dos percentís, utilizamos técnicas semelhantes ás do cálculo dos quartís e decís. Inicialmente, determina-se a classe que contém o valor percentil a ser calculado pela expressão:
Para obtenção do percentil, utilizamos a fórmula:
Sendo:
 limite inferior da classe do percentil considerado
Fant = freqüência acumulada da classe anterior do percentil considerado
amplitude do intervalo de classe do percentil considerado
 = freqüência simples da classe do percentil considerado
 
3. Conclusao 
A medida de tendência central mais comumente utilizada para descrever resumidamente uma distribuição de frequência é a média, ou mais propriamente, a média aritmética. Há vários tipos de médias conforme o que foi desenvolvido no trabalho. 
Contudo, uma mesma série pode ser dividida em duas ou mais partes que contenham a mesma quantidade de elementos. O nome da medida de posição separatriz será de acordo com a quantidade de partes em que é dividida a série.
· Mediana: divide a série em duas partes iguais (Xmd);
· Quartis: divide a série em quatro partes iguais (Q1, Q2, Q3);
· Decis: divide a série em 10 partes iguais (D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9);
· Percentis: divide a série em 100 partes iguais (P1, P2, P3, ..., P99).
4. Referências Bibliográficas
· BUNCHAFT, Guenia; KELLNER, Sheilah R. Oliveira. Estatística sem mistérios
· Murteira, Bento; Black, George; Estatística Descritiva, McGrawHill, 1983.
· FONSECA, JAIRO DA. Curso de Estatística. Editora Atlas.
· TANAKA. Elementos de Estatística. Editora Mc Graw. Hill
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