Lista1 2 - Algumas Respostas Finais

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
Faculdade de Engenharia - Dep. de Engenharia Eletrônica e 
Telecomunicações 
 
Disciplina: Modelos Matemáticos Aplicados à Engenharia Elétrica II 
Período: 2013/2 – Lista 1.2 – Data de entrega: 07/01/2014 
Professor: Tiago Fernandes Moraes 
 
Aluno:______________________________________ Matrícula:______________________ 
Nota:_____________ 
 
 
Orientações 
 Quanto mais exercícios fizer melhor será seu rendimento na prova! 
 Todas as respostas devem ser devidamente justificadas/desenvolvidas. 
 Coloque o seu nome em todas as folhas. 
 
 
Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
Faculdade de Engenharia - Dep. de Engenharia Eletrônica e 
Telecomunicações 
 
 
 
Questão 1. 
Calcule a energia total e a potência média para os 
sinais 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 e diga qual é sinal de energia e qual 
é sinal de potência e o por quê. 
a) 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒𝑗120𝜋𝑡 
𝑆𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∞ 
𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 𝐴2 
b) 𝑥(𝑡) = 𝐴[𝑢(−𝑡 + 1) − 𝑢(−𝑡)] 
𝑆𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴2 
𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 0 
c) 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(− 𝑡 − 5) 
𝑆𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∞ 
𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 =
𝐴2
2
 
d) 𝑥(𝑡) = 𝐴2𝑠𝑒𝑛(𝑡 − 1)𝑐𝑜𝑠(𝑡 − 1) 
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 … 
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(2(𝑡 − 1)) 
𝑆𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∞ 
𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 =
𝐴2
2
 
e) 𝑥(𝑡) = cos (𝑡) [𝑢 (𝑡 +
𝜋
2
) − 𝑢 (𝑡 −
𝜋
2
)] 
𝑆𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝜋
2
 
𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 0 
f) 𝑥(𝑡) = 2𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑡) 
𝑆𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4 
𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 0 
 
 
Questão 2. 
Baseado no sinal 𝑓(𝑡) apresentado na Figura 1 ¸ 
faça o que se pede: 
 
Figura 1 
a) Escreva a expressão matemática para o 
sinal em função das funções degrau 𝑢(𝑡) e 
rampa 𝑅(𝑡). 
O gabarito é a própria resposta! 
𝑓(𝑡) = 2𝐴𝑅(𝑡 + 3) − 4𝐴𝑅(𝑡 + 2) + 
+2𝐴𝑅(𝑡 + 1) − 2𝐴𝑅(𝑡 − 1) + 
+4𝐴𝑅(𝑡 − 2) − 2𝐴𝑅(𝑡 − 3) 
 
b) Calcule a transformada de Laplace de 
𝑓(𝑡). 
𝐹(𝑠) =
2𝐴𝑒3𝑠
𝑠2
−
4𝐴𝑒2𝑠
𝑠2
+ 
+
2𝐴𝑒𝑠
𝑠2
−
2𝐴𝑒−𝑠
𝑠2
+ 
+
4𝐴𝑒−2𝑠
𝑠2
−
2𝐴𝑒−3𝑠
𝑠2
 
=
𝐴
𝑠2
(2𝑒3𝑠 − 4𝑒2𝑠 + 2𝑒𝑠 − 2𝑒−𝑠
+ 4𝑒−2𝑠 − 2𝑒−3𝑠) 
 
c) Calcule: 
 
 
 
∫ 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡)𝑑𝑡
+∞
−∞
 = 0 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2A
-1A
0
1A
2A
A
m
p
lit
u
d
e
Tempo (s)
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∫ 𝑓(−𝑡 + 1)𝛿(𝑡 + 2)𝑑𝑡
+∞
−∞
=0 
∫ 𝑓(−𝑡 + 1)𝛿(𝑡 + 1)𝑑𝑡
+∞
−∞
=-2A 
∫ 𝑓(−𝑡 + 1)𝛿(𝑡)𝑑𝑡
+∞
−∞
=0 
∫ 𝑓(−𝑡)[𝑢(−𝑡 − 2) − 𝑢(−𝑡 − 3)]𝑑𝑡
+∞
−∞
=
9𝐴
4
 
∫ 𝑓(−𝑡)𝑓(𝑡 − 2)𝑑𝑡
+∞
−∞
= 2𝐴 
 
Questão 3. 
Calcule as seguintes integrais 
∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑡 + 𝜋)𝛿(𝑡)𝑑𝑡
+∞
−∞
= cos (𝑡 + 𝜋)|𝑡=0 = cos (𝜋) 
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑡 + 𝜋)𝛿(𝑡 − 𝜋)𝑑𝑡
+∞
−∞
= sen(2𝜋) 
∫ 𝐴 𝑟𝑒𝑐𝑡 (
𝑡
10
) 𝛿(𝑡)𝑑𝑡
+∞
−∞
= 𝐴 
∫ 𝐴 ∆ (
𝑡 − 2
4
) 𝛿(𝑡 − 3)𝑑𝑡
+∞
−∞
=
𝐴
2
 
 
Questão 4. 
Esboce o gráfico das funções a seguir: 
O gabarito é a própria resposta 
a) 𝑓𝑎(𝑡) = 𝐴 𝑅(𝑡 + 2) − 2 𝐴 𝑅(𝑡 + 1) +
2 𝐴 𝑅(𝑡) − 2 𝐴 𝑅(𝑡 − 1) + 𝐴𝑅(𝑡 − 2) 
b) 𝑓𝑏(𝑡) = 𝑢(𝑡) + 𝑅(𝑡) − 2𝑅(𝑡 − 1) +
𝑅(𝑡 − 2) − 𝑢(𝑡 − 2) 
c) 𝑓𝑐(𝑡) = 𝑟𝑒𝑐𝑡 (
𝑡+5
2
) + 𝑟𝑒𝑐𝑡 (
𝑡−5
2
) 
d) 𝑓𝑑(𝑡) = ∆ (
𝑡+5
2
) − ∆ (
𝑡−5
2
) 
e) 𝑓𝑒(𝑡) =
𝑑𝑓𝑎(𝑡)
𝑑𝑡
 
 
Questão 5. 
Se a resposta ao degrau unitário do sistema LIT 
𝐻(𝑠) é 𝑦𝑢(𝑡) = 𝑅(𝑡)[𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 1)], então qual 
será a resposta deste mesmo sistema a entrada 
𝑥(𝑡) mostrada na Figura 2 
Se considerarmos o gráfico indo de 0 à 1 podemos 
escrever x(t) como: 
x(𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 1) + u(t − 2) − u(t − 3) 
yx(𝑡) = 𝑦1(𝑡) + 𝑦2(𝑡) + 𝑦3(𝑡) + 𝑦4(t) 
 
Aplicando o princípio da superposição podemos 
escrever uma saída para cada degrau de x(t) 
𝑦1(𝑡) = +𝑅(𝑡)[𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 1)] 
𝑦2(𝑡) = −𝑅(𝑡 − 1)[𝑢(𝑡 − 1) − 𝑢(𝑡 − 2)] 
𝑦3(𝑡) = +𝑅(𝑡 − 2)[𝑢(𝑡 − 2) − 𝑢(𝑡 − 3)] 
𝑦4(𝑡) = −𝑅(𝑡 − 3)[𝑢(𝑡 − 3) − 𝑢(𝑡 − 4)] 
Fazendo o gráfico de 
𝑦x(𝑡) = 𝑦1(𝑡) + 𝑦2(𝑡) + 𝑦3(𝑡) + 𝑦4(t) 
E reescrevendo com rampas e degraus, chegamos 
a: 
𝑦𝑥(𝑡)(𝑡) = 𝑅(𝑡) + 
−𝑢(𝑡 − 1) − 2R(t − 1) + 
+𝑢(𝑡 − 2) + 2R(t − 2) + 
−𝑢(𝑡 − 3) − 2R(t − 3) + 
+𝑢(𝑡 − 4) + R(t − 4). 
 
Agora façam para x(t) como está no gráfico na 
Figura 2 
 
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Figura 2 
Questão 6. 
Seja um sistema LIT com resposta impulsiva ℎ(𝑡) 
em que: 
ℎ(𝑡) = −𝑅(𝑡) + 𝑢(𝑡) + 𝑅(𝑡 − 1) 
Calcule, através da operação gráfica da 
convolução, a resposta y(𝑡) deste sistema à 
entrada x(𝑡) em que: 
𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 1) e 
y(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) 
OBS1.: Faça a inversão de ℎ(𝑡). 
OBS2.: Não utilize a função rampa na integral de 
convolução. Esboce, primeiro, o gráfico de ℎ(𝑡) e 
x(𝑡). 
OBS3.: Faça o gráfico de y(𝑡) para todo 𝑡. 
𝑥(𝑡) = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑡 < 1 
E Zero caso contrário. 
 
ℎ(𝑡) = 1 − 𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑡 < 1 
E Zero caso contrário. 
Fazendo a mudança de variável temos que 
𝑥(𝜏) = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝜏 < 1 
E Zero caso contrário. 
 
ℎ(𝑡 − 𝜏) = 1 − (𝑡 − 𝜏) 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝜏 < 1 
E Zero caso contrário. 
 
Para t<0 
𝑦(𝑡) = 0 
Para 0<=t<1 
Aqui a integral vai de 0 a t 
𝑦(𝑡) = −
𝑡2
2
+ 𝑡 
Para 1<=t<2 
Aqui a integral vai de t-1 a 1 
 
𝑦(𝑡) =
𝑡2
2
− 2𝑡 + 2 
 
Para t=>2 
𝑦(𝑡) = 0 
Questão 7. 
Sejam os sinais a seguir: 
𝑥1(𝑡) = 𝑒
−𝑡𝑢(𝑡) 
𝑥2(𝑡) = 2[𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 1)] 
Faça o que se pede. 
a) Calcule y(𝑡) = 𝑥1(𝑡) ∗ 𝑥2(𝑡) usando o 
método gráfico. 
b) Faça o gráfico de y(t) para todo t. 
 
Questão 8 
Para cada uma das respostas impulsivas abaixo, 
determine se o sistema é (1) Sem Memória, (2) 
Causal e (3) Estável. 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
(t
)
Tempo (s)
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a) ℎ(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 
b) ℎ(𝑡) = 𝑒−(𝑡+1)𝑢(𝑡 + 1) 
c) ℎ(𝑡) = 𝑒−(𝑡−2)𝑢(𝑡 − 2) 
d) ℎ(𝑡) = 𝛿(𝑡) 
e) ℎ(𝑡) = 𝑢(𝑡 + 1) 
f) ℎ(𝑡) = 𝑢(𝑡 − 1) 
 
Questão 9 
Calcule a Transformada de Laplace das funções a 
seguir: 
a) 𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡) 
b) 𝑥(𝑡) = 𝑒−5𝑡𝑢(𝑡) 
c) 𝑥(𝑡) = cos(2𝑡) 𝑢(𝑡) 
d) 𝑥(𝑡) = 𝑒−5𝑡 cos(2𝑡) 𝑢(𝑡) 
e) 𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡 − 2) 
f) 𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡 + 2) 
g) 𝑥(𝑡) = 𝑒+5𝑡𝑢(𝑡) 
h) 𝑥(𝑡) = 𝑒+5𝑡𝑢(𝑡 + 2) 
 
Questão 10 
Calcule a Transformada de Laplace Inversa das 
funções abaixo. 
𝑋(𝑠) =
𝑒−2𝑠
𝑠 − 3
 
𝑋(𝑠) =
𝑒+2𝑠
𝑠 + 3
 
𝑋(𝑠) =
𝑠𝑒−2𝑠
𝑠2 + 22
 
𝑋(𝑠) =
(𝑠 + 3)𝑒−2𝑠
(𝑠 + 3)2 + 22
 
𝑋(𝑠) =
𝑠
(𝑠 + 3)2 + 22
 
𝑋(𝑠) =
5
𝑠2 + 10𝑠 + 29
 
 
Questão 11 
A multiplicação por “S” no domínio de Laplace 
equivale a derivada no domínio do tempo assim 
com a divisão por “S” equivale a integral. Sendo 
assim, mostre que podemos calcular A TL de 
𝑥(𝑡) = 𝑡4𝑢(𝑡) através de três integrações 
sucessivas partindo da TL de 𝑥(𝑡) = 𝑡 𝑢(𝑡). 
𝐿{𝑡𝑢(𝑡)} =
1
𝑠2
 
Primeira integração 
𝐿 {∫ 𝑡𝑢(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
0+
} =
1
𝑠
×
1
𝑠2
 
𝐿 {
𝑡
2
2
𝑢(𝑡)} =
1
𝑠3
 
𝐿{𝑡2𝑢(𝑡)} =
2
𝑠3
 
 
Questão 12 
Dado o CKT(circuito) LIT abaixo 
 
Considere o CKT sem energia armazenada, ou seja: 
𝑉𝑅(𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡) 
𝑉𝐿(𝑡) = 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
 
𝑉𝐿(𝑡) =
1
𝐶
∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
0+
 
 
Faça o que se pede: 
e(t)
R=4/5 Ohms L=1/5 Henry
C=5/29 
Faraday
i(t)
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a) Escreva a equação integro-diferencial que 
relaciona 𝑒(𝑡) 𝑒 𝑖(𝑡). OBS: ignore o sensor 
de corrente. 
 
b) Calcule a Transformada de Laplace da 
equação acima sabendo que 
 
𝐸(𝑠) = 𝐿{𝑒(𝑡)}𝐼(𝑠) = 𝐿{𝑖(𝑡)} 
 
c) Expresse a razão 𝐻(𝑠) =
𝐼(𝑠)
𝐸(𝑠)
 
 
Introdução à Função de Transferência H(s) 
No CKT acima, se considerarmos 𝑒(𝑡) como sendo 
a entrada do Sistema (CKT) e 𝑖(𝑡), a saída, então 
podemos afirmar que 𝐻(𝑠) é a função de 
transferência do sistema pois relaciona entrada e 
saída. Foi apresentado em nossa matéria que 
podemos representar um sistema pela sua 
resposta ao impulso e a partir dela obter a resposta 
para qualquer entrada a partir da operação de 
convolução. A partir deste momento é 
apresentado a seguinte propriedade: 
 
𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡) 
𝐿{𝑦(𝑡)} = 𝐿{ ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡)} 
𝐿{𝑦(𝑡)} = 𝐿{ ℎ(𝑡)} 𝐿{𝑥(𝑡)} 
𝑌(𝑠) = 𝐻(𝑠)𝑋(𝑠) 
 
𝑦(𝑡) = 𝐿−1{𝐻(𝑠)𝑋(𝑠)} 
 
Ou seja, quando aplicamos a TL à operação 
de convolução, esta por sua vez, 
transforma-se em uma operação de 
produto, o que facilita, e muito, nosso 
trabalho. 
 
Para lembrar: 
 
 A função de transferência é a TL da 
resposta ao impulso do sistema. 
 
 A resposta ao impulso é a TLI da 
Função de Transferência. 
 
 
Ex: 
 
Supondo um sistema LIT com resposta ao 
impulso 
ℎ(𝑡) = 𝑒−𝑡𝑢(𝑡) 
 
deseja-se saber a resposta desse sistema a 
entrada 
𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑡𝑢(𝑡) 
 
No domínio do tempo 
 
𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡) 
 
No domínio de Laplace 
 
𝑦(𝑡) = 𝐿−1{𝐻(𝑠)𝑋(𝑠)}, 
onde 
 
𝑋(𝑠) = 𝐿{𝑥(𝑡)} 
𝐻(𝑠) = 𝐿{ℎ(𝑡)} 
𝑋(𝑠) = 𝐿{𝑢(𝑡)} =
1
𝑠 + 1
 
𝐻(𝑠) = 𝐿{ℎ(𝑡)} =
1
𝑠 + 1
 
𝑌(𝑠) = 𝐻(𝑠)𝑋(𝑠) =
1
(𝑠 + 1)2
 
 𝑦(𝑡) = 𝐿−1{𝑌(𝑠)} = 𝑒−𝑡𝑅(𝑡) 
 
𝑦(𝑡) = 𝑒−𝑡𝑅(𝑡) 
 
 
Questão 13 
Seja um sistema LIT com função de transferência 
𝐻(𝑠) =
1
𝑠 + 2 − 𝑗2
 
Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
Faculdade de Engenharia - Dep. de Engenharia Eletrônica e Telecomunicações 
a) Qual a resposta ao impulso deste 
sistema? 
ℎ(𝑡) = 𝐿−1{𝐻(𝑠)}=... 
b) Qual a resposta deste sistema a entrada 
𝑥(𝑡) = 𝑒−(2+2𝑗)𝑡𝑢(𝑡) 
𝑋(𝑠) =
1
𝑠 + 2 + 2𝑗
 
𝑦(𝑡) = 𝐿−1{𝑋(𝑠)𝐻(𝑠)}=... 
 
𝐹𝑎ç𝑎 𝑗2 = −1 
 
Questão 14 
Dado o seguinte diagrama de blocos, faça o que se 
pede: 
 
 
ℎ1(𝑡) = 𝛿(𝑡 − 5) 
ℎ2(𝑡) = 𝛿(𝑡 + 5) 
ℎ3(𝑡) = 𝑟𝑒𝑐𝑡 (
𝑡
2
) 
 
 
a) Qual a resposta impulsiva equivalente do 
sistema? 
ℎ(𝑡) = ℎ1(𝑡) ∗ ℎ3(𝑡) + ℎ2(𝑡) ∗ ℎ3(𝑡) 
…Faça a convolução graficamente... 
ℎ(𝑡) = 𝑟𝑒𝑐𝑡 (
𝑡 + 5
2
) + 𝑟𝑒𝑐𝑡 (
𝑡 − 5
2
) 
 
b) Qual a função de Transferência do 
sistema? 
Escreva ℎ(𝑡) com degraus unitários 
ℎ(𝑡) = 𝑢(𝑡 + 6) − 𝑢(𝑡 + 4) + 
𝑢(𝑡 − 4) − 𝑢(𝑡 − 6) 
𝐻(𝑠) =
1
𝑠
(𝑒6𝑠 − 𝑒4𝑠 + 𝑒−4𝑠 − 𝑒−6𝑠)